p-adische Funktionentheorie

Michael Helbig
p-adische Funktionentheorie
Die Zahlen Cp und ihre Analysis
im Vergleich zur
klassischen Funktionentheorie
6
|a3 |p %3
|a4 |p %4
|a2 |p %2
M%f
»»»
»»
»»
»»
»»»
%0
»» |a1 |p %
»»
»»»
%00
|a0 |p
r
-
p-adische Funktionentheorie
Die Zahlen Cp und ihre Analysis
im Vergleich zur
klassischen Funktionentheorie
Michael Helbig
Diplomarbeit bei
Prof. Dr. Wolfgang Zimmermann
Mathematisches Institut
Ludwig-Maximilians-Universität
München
15. Dezember 2004
Zusammenfassung
Mit p-adischer Funktionentheorie wird die Analysis bezeichnet, die im padischen Analogon zu den komplexen Zahlen C betrieben wird. Diese heißen
komplexe p-adische Zahlen und werden mit Cp bezeichnet.
Thema dieser Arbeit soll es sein, eben dieses p-adische Analogon zu
konstruieren und dann herauszufinden, ob und wie weit sich die p-adische
Funktionentheorie zur klassischen Funktionentheorie analog verhält. Beides, die
Analogien, wie die Unterschiede, ist faszinierend und es kommt einem vor, als
ob man auf die Analysis durch eine verzerrende Brille blickt. Durch zahlreiche
Beispiele wurde versucht, dies deutlich zu machen. Der besondere Reiz der
p-adischen Funktionentheorie mag aber vielleicht auch in der Mischung von
Algebra, Zahlentheorie und Analysis liegen.
Anfangs wird eine historische Einführung gegeben und dann im ersten und zweiten Kapitel werden die p-adischen Zahlen Qp und Cp
konstruiert und die wichtigsten Tatsachen über sie zusammengestellt.
Im Anschluss daran wenden wir uns dem eigentlichen Anliegen dieser Arbeit, der p-adischen Funktionentheorie, zu: Im dritten Kapitel werden die
Grundlagen der Analysis in Cp , wie Geometrie, Topologie, Folgen und Reihen,
diskutiert - immer mit Blick auf die klassische Analysis. Auch zur Stetigkeit,
Differentiation und Integration wird Stellung genommen. Die Potenzreihen bekommen wegen ihrer Wichtigkeit in der p-adischen Funktionentheorie ein eigenes viertes Kapitel. Darauf folgend kommen wir im fünften Kapitel zu
den Höhepunkten dieser Arbeit: Es werden p-adische Analogien zu klassischen
Sätzen, die mit Namen wie Cauchy, Liouville, Weierstraß und anderen
verbunden sind, behandelt.
Stets wurde großer Wert auf Beispiele gelegt und so soll dies auch abschließend und ausklingend im sechsten und letzten Kapitel geschehen: es
werden einige wichtige klassische Funktionen näher betrachtet und die vorher
gewonnene Theorie auf sie angewendet. Ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis
verrät einem mehr Details.
Ich habe versucht alles neu aufzuschreiben, um es in einer zusammenhängenden
Geschichte zu erzählen, und habe dabei viel selbst gerechnet. In diesem Sinne:
Salvo errore calculi et omissione.
Herzlich danken möchte ich an dieser Stelle Herrn Prof. Dr.
Wolfgang Zimmermann, der mir dieses schöne Thema gestellt
und mich ausgezeichnet betreut hat; er hatte stets ein offenes Ohr
für meine Anliegen und hat mich dabei immer sehr freundlich und
hilfreich unterstützt.
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung
1
Inhaltsverzeichnis
2
Einführung: Warum p-adische Zahlen?
Diophantische Gleichungen . . . . . . . . .
Kurt Hensels Analogie . . . . . . . . . . . .
Anwendung auf die Arithmetik . . . . . . .
Historischer Abriss der p-adischen Analysis
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
7
9
13
1 Die
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
reellen p-adischen Zahlen Qp
Wie hat man sich Q vorzustellen? . . . . .
Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Analysis in nicht-archimedischen Körpern
Was erwartet man von Zahlen? . . . . . .
Q ist nicht vollständig! . . . . . . . . . . .
Qp als Vervollständigung von Q . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
14
15
19
23
25
26
2 Die
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
komplexen p-adischen Zahlen Cp
Qp ist nicht algebraisch abgeschlossen! . . . . . .
Endlich-dimensionale normierte Vektorräume . .
Endliche Körpererweiterungen von Qp . . . . . .
Algebraischer Abschluss Qp . . . . . . . . . . . .
Qp ist nicht vollständig! . . . . . . . . . . . . . .
Cp als Vervollständigung von Qp . . . . . . . . .
Zusammenfassung: Q ⊂ Qp ⊂ Cp und Q ⊂ R ⊂ C
.
.
.
.
.
.
.
30
30
32
34
39
42
46
48
.
.
.
.
.
.
.
.
49
49
50
53
56
56
58
62
65
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
3.1 Elementare Geometrie und Topologie ultrametrischer
3.1.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Konvergenz von Folgen und Reihen . . . . . . . . . .
3.2.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Umordnungssätze für Reihen . . . . . . . . . . . . .
3.4 Stetigkeit, Differentiation, Integration . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Räume
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Inhaltsverzeichnis
3
4 Potenzreihen
4.1 Formale Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Konvergenz von Potenzreihen über Cp . . . . . . . . . . . .
4.3 Beispiele von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Addition und Multiplikation von konvergenten Potenzreihen
4.5 Komposition von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Durch Potenzreihen definierte Funktionen . . . . . . . . . .
4.7 Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Sätze der p-adischen Funktionentheorie
5.1 Cauchysche Ungleichung und Wachstumsmodul . .
5.2 Satz von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
5.3.1 Nullstellen und kritische Sphären . . . . . .
5.3.2 Polynome und eingeschränkte Potenzreihen
5.3.3 Weierstraßscher Vorbereitungssatz . . . . .
5.3.4 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Ganze Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
68
68
70
72
78
78
87
89
.
.
.
.
.
.
.
.
.
92
92
98
100
100
102
105
112
119
122
6 Ausgewählte Funktionen
124
6.1 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2 Cosinus- und Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Binomialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Literaturverzeichnis
132
Erklärung
135
Einführung:
Warum p-adische Zahlen?
Im letzten Jahrhundert erlangten die p-adischen Zahlen und die p-adische Analysis eine zentrale Rolle in der modernen Zahlentheorie. Der Grund dafür ist,
dass die p-adischen Zahlen eine natürliche und mächtige Sprache bieten, um
über Kongruenzen von ganzen Zahlen zu sprechen. Die p-adische Analysis macht
für solche Fragestellungen Methoden aus der klassischen Analysis anwendbar.
Mittlerweile haben p-adische Konzepte auch Einzug in andere Gebiete der Mathematik gehalten; ja sogar in die Physik. In der Quantenphysik benutzt man
zum Beispiel die im p-adischen Kontext gültige verschärfte Dreiecksungleichung
|x + y| ≤ max(|x|, |y|),
um das Verhalten der Raumzeit in sehr kleinen Skalen zu beschreiben. Die padische Quantenphysik, die in den 80er Jahren gegründet wurde, erhielt in den
letzten Jahren sehr großes Interesse. Hier ist es notwendig, sich verstärkt mit
p-adischer Funktionalanalysis zu beschäftigen, also der Theorie der Räume von
p-adischen Funktionen. Diese sind ganz allgemein lokal-konvexe Räume über
nicht-archimedisch bewerteten Körper; siehe dazu [Sch02] und [PG03].
Wir beschränken uns aber fast nur auf die p-adische Analysis; es wird gleich
vorweg genommen, dass hier die Idee verfolgt wird, einen neuen Abstandsbegriff auf den rationalen Zahlen Q einzuführen. Bezüglich dieses Abstandsbegriffes betrachtet man die Vervollständigung (d.h. eine Erweiterung, in der alle
Cauchy-Folgen konvergieren und die rationalen Zahlen dicht liegen): dies sind
die p-adischen Zahlen Qp .
Das entspricht aber nicht der Entstehungsgeschichte der p-adischen Zahlen:
Es sei ausdrücklich gesagt, dass die p-adischen Zahlen nicht vom Verlangen einer
Verallgemeinerung des Abstandsbegriffes erwachsen sind, sondern vielmehr aus
konkreten Problemen der Arithmetik.
Diesem historischen Aspekt soll diese Einführung gerecht werden, ganz nach
Johann Wolfgang von Goethe (1749-1832):
Wohl dem, der seiner Väter gern gedenkt.
Zuerst soll das Warum der p-adischen Zahlen, nämlich Diophantische Gleichungen, beleuchtet werden. Danach wird die Idee von Kurt Hensel (1861-1941)
aus [Hen08] dargestellt, der hoffte, damit der Lösung dieses Problems näher zu
kommen. Wie Hensel sich dies gedacht hat, soll abschließend gesagt werden,
6
Einführung: Warum p-adische Zahlen?
nämlich die Anwendung der p-adischen Zahlen auf Kongruenzen von ganzen
Zahlen. Im Idealfall kann man dann Rückschlüsse auf Diophantische Gleichungen ziehen.
Wie man heute weiß, war die Idee der p-adischen Zahlen sehr fruchtbar,
aber die Frage nach der Lösbarkeit von Diophantischen Gleichungen ist damit
noch längst nicht erschöpfend beantwortet. Es ist nämlich auch heute immer
noch ein Problem, das im Brennpunkt des Forschungsinteresses steht, und das
noch viele solche neue Ideen verlangt. Man denke nur an den bekannten Satz
von Pierre de Fermat (1601-1665),1 der besagt, dass für n ≥ 3 die Gleichung
X1n + X2n = X3n
keine ganzzahligen Lösungen besitzt. Dies ist aber nur ein Spezialfall von folgendem:
Diophantische Gleichungen
Die eigentliche Bestimmung der p-adischen Zahlen liegt in der Arithmetik,
nämlich bei Diophantischen Gleichungen
F (X1 , . . . , Xn ) = 0,
F ∈ Z[X1 , . . . , Xn ].
Hierbei stellt sich die Frage nach der Lösbarkeit in den ganzen Zahlen (man ist
auch an Diophantischen Gleichungen über den rationalen Zahlen Q interessiert).
Angefangen hat diese Art der Fragestellung mit Pythagoras (er lebte in
Griechenland, ca. 550 bis 500 v.Chr.), der die mystische Verbindung zwischen
Arithmetik und Geometrie bewunderte (“Alles ist Zahl ”) und bemerkte, dass
die Gleichung 32 + 42 = 52 gerade für die geometrische Tatsache steht, dass
jedes ebene Dreieck mit dem Seitenlängenverhältnis 3 : 4 : 5 rechtwinklig ist.
Aus diesem Grunde suchte er weitere Quadratzahlen, die sich als Summe
zweier Quadratzahlen schreiben lassen. Also er betrachtete Gleichungen der Art
X12 + X22 = X32 .
Pythagoras hat weiter noch entdeckt, dass es unendlich viele solche ganzzahlige Lösungstripel gibt, nämlich (m, 12 (m2 − 1), 21 (m2 + 1)) mit ungeradem ganzem m ≥ 3. Dies sind aber nicht sämtliche Lösungen, wie z.B. (8, 15, 17) und
(12, 35, 37) belegen.
Zum vorläufigen Höhepunkt kommt dann Diophant (er lebte im ägyptischen Alexandria, irgendwann zwischen 100 v.Chr. und 350 n.Chr.) in seinem
zahlentheoretischen Werk Arithmetika,2 in dem er sich dann eben mit den oben
beschriebenen Gleichungen befasste. Er hat zahlreiche Beispiele bis zum Gesamtgrad vier behandelt, aus denen sich sehr allgemeine Lösungsmethoden erschließen ließen. Ihm zu Ehren erhielten sie dann auch ihren wohlklingenden
Namen:
1
Dazu sei einem das Buch [Sin00] ans Herz gelegt, das die Geschichte der Auffindung des
Beweises der Fermatschen Vermutung spannend erzählt.
2
Das Werk Arithmetika in griechischer Sprache bestand ursprünglich aus 13 Büchern, von
denen heute leider nur noch 10 erhalten sind.
Einführung: Warum p-adische Zahlen?
7
Diophantische Gleichungen
Erst viel später wird dieses Thema weiter vorangetrieben. Nachdem lineare
diophantische Gleichungen relativ einfach abzuhandeln waren, lag es nahe, als
nächstes quadratische Formen (das sind homogene Polynome vom Grad 2) über
Z und Q zu betrachten. Die ersten wesentlichen Ergebnisse dazu stammen von
Fermat, allerdings überwiegend (wie so oft bei ihm) ohne Beweise, die erst
gut 100 Jahre später von Leonhard Euler (1707-1783) und Joseph Louis
Lagrange (1736-1813) geliefert wurden. Darunter findet man z.B. die Darstellung natürlicher Zahlen als Summen von zwei bzw. vier ganzen Quadraten.
Weitere Ergebnisse stammen von Carl Friedrich Gauß (1777-1855) (Summen von drei Quadraten) und Carl Gustav Jacobi (1804-1851) (Anzahl der
Darstellungen als Summen von vier Quadraten).
Mit Hermann Minkowski (1864-1909) wurde nach 1881 in Königsberg
die Theorie der ganzzahligen quadratischen Formen in beliebig vielen Variablen begründet. Zu dieser Zeit hatte er als 17-jähriger Student das Preisthema
der Pariser Akademie, eine Zerlegung ganzer Zahlen in eine Summe von fünf
Quadraten zu finden, beantwortet.
Zur Behandlung dieser quadratischer Formen hatte man die geniale Idee,
die p-adischen Zahlen zu benutzen. Zuerst aber zu den p-adischen Zahlen und
Hensel.
Kurt Hensels Analogie
Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts führte der deutsche Mathematiker Kurt
Hensel (1861-1941) die p-adischen Zahlen ein, wenngleich sie auch durch
Ernst Eduard Kummer (1810-1893) schon vorbereitet wurden. Seine Idee,
die sich in [Hen08] erkennen lässt, war, sich die machtvolle Methode der Potenzreihenentwicklung aus der Funktionentheorie zu borgen und sie für die Zahlentheorie zu nutzen (man achte auf den Unterschied von Hensels Standpunkt zu
unserem, den wir ab Kapitel 1 einnehmen werden).
Hensel wollte folgendermaßen ein Analogon bei den rationalen Zahlen etablieren: Seine Motviation war die Analogie des Polynomrings über C zusammen
mit dem Körper der rationalen Funktionen über C zum Ring der ganzen Zahlen
zusammen mit dem Körper der rationalen Zahlen,
C[X] ⊂ C(X)
und
Z ⊂ Q.
Der Hauptpunkt ist jetzt die Analogie einer eindeutigen Faktorisation in
C[X] und Z: Einerseits gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra für alle Polynome f ∈ C[X] vom Grad n > 0 und andererseits gilt nach dem Satz über die
Primzahlzerlegung für alle Zahlen 0 6= z ∈ Z folgende eindeutige Faktorisierung,
wobei ε aus den jeweiligen Einheitengruppen ist:
n
Y
f = ε (X − αi )
i=0
und
z=ε
n
Y
pi ,
i=0
wobei die αi die Nullstellen des Polynoms sind, und pi Primzahlen. Hensels
Erkenntnis war jetzt, wie man unschwer erkennen kann, dass die Primzahlen
8
Einführung: Warum p-adische Zahlen?
pi ∈ Z genau den Linearfaktoren X − αi ∈ C[X] entsprechen. Die Wahl einer
komplexen Zahl αi entspricht also der Wahl einer Primzahl pi .
Sei also im folgenden α eine feste komplexe Zahl und p eine feste Primzahl.
Die Analogie hat nun noch tiefere Gründe: Wir können ein Polynom f in einer
(i)
Taylorreihe um α mit eindeutigen Koeffizienten ai = f i!(α) entwickeln, wobei
f (i) die formale i-te Ableitung von f bezeichnet.
Ganz analog geht die Entwicklung, die p-adische Entwicklung, einer natürlichen Zahl m ∈ N in der Basis p mit eindeutigen Koeffizienten 0 ≤ ai ≤ p − 1
von statten:
f=
n
X
i
ai (X − α)
und
m=
i=0
n
X
ai pi .
i=0
Eine solche Darstellung von f bzw. n zeigt nun zum Beispiel an, ob α eine
i-fache Nullstelle von f ist, bzw. ob pi die natürliche Zahl m teilt (0 ≤ i ≤ n):
Beispiel 0.0.1
Sei ak 6= 0. Man sieht sofort, dass α eine k-fache Nullstelle von
!
Ã n
n
X
X
ai (X − α)i−k
ai (X − α)i = (X − α)k
f=
i=k
i=k
ist. Analog sieht man sofort, dass
m=
n
X
i
k
ai p = p
Ã n
X
!
i−k
ai p
i=k
i=k
durch pk geteilt wird.
Will man nun auch negative ganze Zahlen z p-adisch entwickeln, so ist man
gezwungen, auch unendliche Summen zu betrachten. Diese Reihen sollen formal als Folge der Partialsummen aufgefasst werden. Sie konvergieren natürlich
keineswegs unter dem gewöhnlichen Absolutbetrag. Es ist
−1 =
∞
X
(p − 1) pi ,
i=0
da formale Addition mit 1 gleich 0 ergibt (bei uns wird sich in 3.2.2 die Gleichheit aufgrund von Konvergenz ergeben). Man kann somit auch negative Zahlen
p-adisch entwickeln.
P
i
Diese unendlichen Reihen ∞
i=0 ai p sind die ganzen p-adischen Zahlen Zp
(siehe dazu auch Abschnitt 1.6). In ihnen enthalten sind auch die rationalen
Zahlen ab , deren NennerPb nicht durch p teilbar ist. Man kann diese also auch in
i
einer Reihe der Form ∞
i=0 ai p p-adisch entwickeln. Dagegen geht dies nicht
bei beliebigen rationalen Zahlen ab , z.B. wegen
P∞
∞
i
X
X
a
i=0 ai p
=
=
ai pi−k =
ai+k pi
k
k
p
p
i=0
i≥−k
Einführung: Warum p-adische Zahlen?
9
muss man auch Reihen zulassen, die mit einem Index n0 < 0 beginnen.
Allgemeine rationale Funktionen fg ∈ C(X) kann man ebenso in einer solchen Reihe entwickeln, der Laurent-Entwicklung. Zusammen kann man für die
Form aller fg ∈ C(X), ab ∈ Q mit einem passenden n0 ∈ Z festhalten:
X
f
ai (X − α)i
=
g
und
i≥n0
X
a
ai pi .
=
b
i≥n0
Es sei angemerkt, dass beide Reihen rechts des Gleichheitszeichens genau dann
endlich sind, falls g = (X − α)k bzw. a ∈ N und b = pk für ein k ≥ 0 ist.
Diese Laurent-Entwicklung von rationalen Funktionen induziert so eine Inklusion von Körpern
(
)
X
i
C(X) ⊂
ai (X − α) .
i≥n0
Nun gibt es aber auch nicht rationale Funktionen, die in einer solchen nach links
endlichen Laurent-Reihe dargestellt werden: die transzendenten Funktionen, wie
z.B. exp(X), sin(X) oder cos(X). Also ist die eben genannte Inklusion eine
echte.
Wieder gilt Analoges für Q: Man kann genauso durch die p-adische Entwicklung eine Inklusion
(
)
X
i
Q⊂
ai p
i≥n0
finden. Die rechte Menge nennt Hensel den Körper der p-adischen Zahlen und
bezeichnet ihn mit Qp . Dessen Konstruktion werden wir später in Abschnitt 1.6
sehen. Die Inklusion ist ebenso echt, da eine p-adische Zahl genau dann in Q
ist, wenn die Koeffizienten der Reihe periodisch werden (dazu siehe man etwa
[E+ 92] Kap.6 §1). Zusammenfassend halten wir fest:
(
)
(
)
X
X
C(X)
ai (X − α)i
und
Q
ai pi = Qp .
i≥n0
i≥n0
Somit hat Hensel das Analogon zur funktionentheoretischen Potenzreihenentwicklung für rationale Zahlen etabliert.
Was hat dies jetzt aber mit Diophantischen Gleichungen zu tun? Was hatte
Hensel dabei im Hinterkopf?
Anwendung auf die Arithmetik
Man kann in einigen glücklichen Fällen Rückschlüsse auf Lösungen von Diophantischen Gleichungen
F (X1 , . . . , Xn ) = 0
erhalten, falls man die Kongruenzen
F (X1 , . . . , Xn ) ≡ 0 (mod m),
10
Einführung: Warum p-adische Zahlen?
für alle m ∈ N betrachtet, oder, was nach dem chinesischen Restsatz das Gleiche
bedeutet, sich das Kongruenzsystem
F (X1 , . . . , Xn ) ≡ 0 (mod pi )
für alle Primzahlen p und natürlichen Zahlen i anzuschauen. Für das zuletzt
genannte gilt nun folgender
Satz 0.0.2 Sei F (X1 , . . . , Xn ) ∈ Z[X1 , . . . , Xn ] und p eine Primzahl. Die Kongruenz
F (X1 , . . . , Xn ) ≡ 0 (mod pi )
ist genau dann gleichzeitig für alle natürlichen Zahlen i in Z lösbar, wenn
F (X1 , . . . , Xn ) = 0
in den ganzen p-adischen Zahlen Zp lösbar ist.
Den Beweis hierfür findet man z.B. in [Neu02] Kap.II (1.4). Wir wollen uns
mit folgender Illustration begnügen:
Beispiel 0.0.3
Man betrachte das Kongruenzsystem
X2 ≡ 2
(mod 7i ),
i ∈ N,
das man gleichzeitig lösen will. Für i = 0 tut es jede Lösung. Für i = 1 finden
wir genau zwei Lösungen
x0 ≡ 3 (mod 7)
und
x00 ≡ −3 ≡ 4
(mod 7).
Um nun die Lösungen für i = 2 zu finden, sei bemerkt, dass diese modulo 7
wieder die Lösungen für i = 1 ergeben müssen. Also setzt man x1 = 3 + 7k1
bzw. x01 = 4 + 7k1 und löst für k1
(3 + 7k1 )2 ≡ 2 (mod 72 )
und
(4 + 7k1 )2 ≡ 2 (mod 72 ).
Die linke Kongruenz ergibt
0 ≡ (3 + 7k1 )2 − 2 ≡ (9 + 42k1 ) − 2 ≡ 7 + 42k1 ≡ 7(1 + 6k1 )
d.h. 1 + 6k1 ≡ 0 (mod 7), also k1 ≡ 1 (mod 7). Somit ist
x1 ≡ 3 + 1 · 7 (mod 72 ).
Analog finden wir die andere Lösung
x01 ≡ 4 + 5 · 7 (mod 72 ).
(mod 72 ),
Einführung: Warum p-adische Zahlen?
11
Weiter geht man für i = 3 so vor: wir setzen x2 = 3 + 1 · 7 + k2 · 72 und
x02 = 4 + 5 · 7 + k2 · 72 wieder in X 2 ≡ 2 (mod 73 ) ein und lösen nach k2 auf.
Dies iteriert man und erhält so die zwei 7-adischen Lösungen
x = 3 + 1 · 7 + 2 · 72 + 6 · 73 + . . .
und
x0 = 4 + 5 · 7 + 4 · 72 + 0 · 73 + . . . .
Wir bekommen also zwei Lösungen der Quadratwurzel aus 2 in Q7 .3 Diese
unterscheiden sich analog zur Quadratwurzel in R nur um ein Minuszeichen,
denn die Multiplikation mit −1 = 6 + 6 · 7 + 6 · 72 + 6 · 73 + . . . ergibt jeweils
die andere Lösung.
Wann kann man jetzt von der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung
F = 0 in Zp für alle Primzahlen p (d.h. von der Lösbarkeit aller Kongruenzen
F ≡ 0 (mod m)) auf die Lösbarkeit in Z schließen?
Diese Frage wollen wir jetzt für quadratische Formen beantworten. Es war
Helmut Hasse (1898-1979), der 1921 in seiner Dissertation auf Minkowski aufbaute und Hensels p-adische Zahlen Qp heranzieht: Es gilt das LokalGlobal-Prinzip von Hasse-Minkowski, dessen Beweis sich z.B. in [Sér73] Kap.IV
findet.
Satz 0.0.4 (Lokal-Global-Prinzip von Hasse-Minkowski) Sei
F (X1 , . . . , Xn ) ∈ Q[X1 , . . . , Xn ] eine quadratische Form. Die Gleichung
F (X1 , . . . , Xn ) = 0
besitzt genau dann nicht-triviale Nullstellen in Q, wenn sie eine nicht-triviale
Nullstelle in R und Qp für alle Primzahlen p hat.
Dies wird auch aus folgendem Grund mit Lokal-Global-Prinzip bezeichnet:
Für jede Primzahl p ≤ ∞ sind die p-adischen Körper Qp 4 das Analogon zum
Körper der nach links endlichen, um p entwickelten Laurent-Reihen und korrespondieren somit zu lokaler Information nahe der Primzahl p. Eine Nullstelle in
jedem p-adischen Körper zu haben, bedeutet somit, eine Nullstelle in der Nähe
von jedem p ≤ ∞ zu besitzen.
Die Tatsache, dass eine Nullstelle von Q immer eine Nullstelle in Qp (für
jedes p ≤ ∞) ist, bedeutet, dass eine globale Nullstelle auch an jedem p eine
lokale Nullstelle ist. Somit rechtfertigt sich die Bezeichnung global.
Das Lokal-Global-Prinzip, dessen Idee auch auf Hensel zurückzugehen
scheint, aber zuerst bei Hasse klar formuliert wurde, besagt allgemein:
Man kann von einer lokalen Eigenschaft (für jedes p ≤ ∞) auf eine
globale Eigenschaft schließen.
Natürlich gilt dieses Prinzip im Allgemeinen nicht so ohne weiteres, d.h. es ist an
gewisse Zusatzbedingungen geknüpft, die vom speziellen Problem abhängen. In
unserem Fall ist die Zusatzbedingung quadratische Form und das Lokal-GlobalPrinzip lautet:
√
Dies würde z.B. √
auch zeigen, dass √
Q Q7 , da ja bekanntlich 2 nicht in Q liegt. In Q5
z.B. aber liegt keine 2, dafür gibt es −1, die wiederum nicht in Q7 ist.
4
Für p = ∞ meint man die reellen Zahlen: Q∞ = R.
3
12
Einführung: Warum p-adische Zahlen?
Man kann von nicht-trivialen lokalen Nullstellen von quadratischen
Formen auf nicht-triviale globale Nullstellen schließen.
Ohne diese Zusatzbedingung wäre der Satz falsch. Man kann zeigen, dass z.B.
die Polynome
(X 2 − 2)(X 2 − 17)(X 2 − 34)
oder
X14 − 2X22 − 17
lokale (für jedes p ≤ ∞), aber keine globalen Nullstellen besitzen.
Eine entsprechende Aussage des Lokal-Globalprinzips von Hasse-Minkowski
mit der Forderung der Ganzzahligkeit, also mit Z statt Q und Zp statt Qp , ist
wie schon gesagt, nicht allgemein gültig. An die Stelle dieser Aussage tritt der
schwierige Satz von Siegel-Minkowski aus dem Jahre 1935. Diesen findet man
in [Kne02] Kap.X.
Zuletzt soll noch ein kurzer historischer Abriss in tabellarischer Form, angelehnt an [Kob80], über die p-adischen Zahlen, insbesondere mit Blick auf
die p-adische Analysis, gebracht werden. Es werden die Hauptergebnisse der padischen Analysis aufgeführt; mehr zur Geschichte wird später an entsprechenden Stellen gesagt. Bei den angesprochenen Resultaten handelt es sich meist um
sehr spezielle Themen. Wir wählen einen grundlegenden systematischen Zugang
zur p-adischen Analysis und konzentrieren uns auf p-adische Potenzreihen.
Einführung: Warum p-adische Zahlen?
13
Historischer Abriss der p-adischen Analysis
1850-1900
Kummer und Hensel führen die p-adischen Zahlen als formale
Laurent-Reihen in einer Primzahl p ein und entdecken ihre grundlegenden Eigenschaften.
ab 1881
Minkowski gründet die Theorie der ganzzahligen quadratischen
Formen in beliebig vielen Variablen.
1912
Kürschák führt den p-adischen Absolutbetrag ein und begründet
die Bewertungstheorie. Er konstruiert die p-adischen Zahlen als
Vervollständigung der rationalen Zahlen bzgl. des p-adischen
Betrages.
1921
Hasse beweist das Lokal-Global-Prinzip von Hasse-Minkowski.
1935
Siegel beweist den Satz von Siegel-Minkowski.
1950
Tate macht Fourier-Analysis auf p-adischen Gruppen; dies zeigt
Beziehungen von p-adischen Zahlen zu L-Funktionen und zur Darstellungstheorie auf.
1960
Dwork benutzt die p-adische Analysis, um einen Teil der WeilVermutung zu beweisen: Er zeigt die Rationalität der ZetaFunktion einer Menge von Gleichungen über einem endlichen
Körper; dazu siehe [Kob84] Kap.V.
ab 1965
Iwasawa, Sérre, Mazur, Manin, Katz et al. entwickeln Theorien für viele Funktionen, die für die Arithmetik interessant sind.
Oft sind diese durch Potenzreihen definiert; siehe dazu [Kob84]
und [Rob00].
Dwork, Grothendieck und ihre Studenten behandelten padische Differentialgleichungen und p-adische Kohomologie.
Kapitel 1
Die reellen
p-adischen Zahlen Qp
Warum reelle? Sonst heißen die Zahlen Qp doch nur p-adische Zahlen? Weil
wir eben in diesem ersten Kapitel sehen werden, dass sie das Analogon zu den
reellen Zahlen R sind. In welcher Weise? Dafür soll man sich noch gedulden; es
sei bloß soviel verraten:
In diesem ersten Kapitel soll beschrieben werden, wie man die p-adischen
Zahlen Qp konstruiert. Dafür wird ein neuer Abstandsbegriff auf den rationalen
Zahlen eingeführt. Sobald man einen Begriff für Abstand hat, kann man Analysis betreiben.
P Unter diesem neuen Abstand konvergieren jetzt die vorher formalen Reihen i≥n0 ai pi aus der Einführung und man sieht die p-adischen Zahlen
in gewohnter Weise als Limites von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen. Diese
Begründung wurde von dem ungarischen Mathematiker Jószef Kürschák
(1864-1933) gegeben (vgl. Hensels Darstellung).
Wir wollen die wichtigsten Tatsachen der Analysis, die wir gleich zu Beginn
benötigen, zusammenstellen, wenngleich sie auch später im dritten Kapitel noch
einmal in einen allgemeineren Rahmen gestellt werden.
Danach wird erläutert, was man ganz allgemein von Zahlen erwartet, und
diese Erwartungen werden dann gleich zur Hälfte in die Tat umgesetzt.1
Hierbei sollen die wichtigsten Schritte behandelt werden. Da es sich hier
lediglich um eine Wiederholung handeln soll, wird teilweise auf Beweise verzichtet (natürlich ausgenommen dem Abschnitt über die Analysis in nichtarchimedischen Körpern). Dementsprechend wird auf die Literatur verwiesen.
Es wurde aber trotzdem versucht, alle großen Ideen anzusprechen, da nichts
einfach so vom Himmel fällt, und es auch hier nicht tun soll.
1.1
Wie hat man sich Q vorzustellen?
Schauen wir uns einmal die rationalen Zahlen Q etwas genauer an, um eine
grundlegende Diskussion zu entfachen.
1
Die andere Hälfte der Erwartungen wird dann sogleich im zweiten Kapitel realisiert.
1.2. Bewertungen
15
Wie kann man sie sich bildlich vorstellen? Die Gewohnheit sagt: als auf
einer Gerade liegend, als Zahlenstrahl (wenn auch mit Lücken). Geht das auch
anders? Natürlich, man muss sich nur folgendes bewusst machen:
Die Vorstellung nach welchem Kriterium wir die rationalen Zahlen räumlich
oder besser geistig anordnen, hängt nur davon ab, welche Zahl man sich nah
an eine andere denkt.
Bei der Vorstellung als Zahlenstrahl sagt einem der gewöhnliche Absolutbetrag, was nah ist. Was heißt also nah? Nah ist ein kleiner Abstand. Folglich ist es
eine Frage des Abstandsbegriffs, wie sich unsere Vorstellung von Q entwickelt.
Somit gilt es den Abstandsbegriff zu abstrahieren.
Der passende allgemeine Begriff dieser Überlegung ist die Metrik, der als
bekannt vorausgesetzt wird. Wir wollen hier Abstände in Körpern messen und
interessieren uns daher für eine Metrik, die von einer Bewertung kommt:
1.2
Bewertungen
Die Namensgebung der Objekte ist in Anlehnung an [Neu02] gestaltet.
Definition 1.2.1 Eine Bewertung eines Körpers K ist eine Funktion
ϕ : K −→ R+
0
mit folgenden drei Eigenschaften, wobei x, y ∈ K:
(i) ϕ(x) = 0 ⇔ x = 0
(ii) ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)
(iii) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y)
Dann heißt (K, ϕ) bewerteter Körper.
Eine Bewertung heißt nicht-archimedisch, wenn sie zusätzlich die verschärfte Dreiecksungleichung erfüllt:
(iii’)
ϕ(x + y) ≤ max(ϕ(x), ϕ(y))
In diesem Fall heißt (K, ϕ) nicht-archimedisch bewerteter Körper oder kurz
nicht-archimedischer Körper.
Zuerst sollen ein paar Eigenschaften einer Bewertung, die eine direkte Folgerung der drei Eigenschaften sind, festgehalten werden:
Folgerung 1.2.2 Für x, y ∈ K gilt:
(i) ϕ(1) = ϕ(−1) = 1
(ii) ϕ(−x) = ϕ(x)
(iii) |ϕ(x)−ϕ(y)| ≤ ϕ(x − y)
Beweis. (i) Sei x 6= 0, so gilt
ϕ(x)ϕ(1) = ϕ(x · 1) = ϕ(x)
=⇒
ϕ(1) = 1.
Weiter gilt
(ϕ(−1))2 = ϕ((−1)2 ) = ϕ(1) = 1
=⇒
ϕ(−1) = 1,
16
Kapitel 1. Die reellen p-adischen Zahlen Qp
und (ii) ist eine direkte Folgerung daraus.
Für (iii) betrachte man
ϕ(x) = ϕ(y + x − y) ≤ ϕ(y) + ϕ(x − y)
=⇒
ϕ(x) − ϕ(y) ≤ ϕ(x − y).
Man vertauscht nun x und y und erhält
−(ϕ(x) − ϕ(y)) = ϕ(y) − ϕ(x) ≤ ϕ(y − x) = ϕ(x − y),
woraus (iii) folgt, q.e.d.
Bemerkung 1.2.3 Aus einer Bewertung ϕ kann man eine Metrik d zur Abstandsmessung konstruieren, vermöge
d(x, y) := ϕ(x − y).
Sie heißt von ϕ induzierte Metrik.
Als Beispiel einer Bewertung von Q oder R kennt man bereits den gewöhnlichen Absolutbetrag | . |.
Wir sind aber nur an folgendem interessiert: In der Arithmetik ist es wichtig
zu wissen, ob und bis zu welcher Potenz k eine Primzahl p eine ganze Zahl a
teilt. Das größte solche k wird mit νp (a) bezeichnet (für a = 0 vereinbart man
νp (0) = ∞). Nun erweitert man dies auf rationale Zahlen x = ab , indem man
νp ( ab ) := νp (a) − νp (b) setzt (was nur von x abhängig ist und nicht von a und
a
b, denn νp ( ac
bc ) = νp ( b )).
Definition 1.2.4 Sei p eine Primzahl. Die Funktion
νp : Q −→ Z ∪ {∞}
heißt p-adische Exponentialbewertung von Q.
Für die p-adische Exponentialbewertung gilt folgendes
Lemma 1.2.5 Für x, y ∈ Q gilt
(i) νp (x) = ∞ ⇔ x = 0
(ii) νp (xy) = νp (x) + νp (y)
(iii) νp (x + y) ≥ min(νp (x), νp (y))
Wir definieren jetzt die Menge pZ0 := {0} ∪ {p−k : k ∈ Z} ⊂ R und weiter
Definition 1.2.6 Sei p eine Primzahl. Die Funktion
½ −ν (x)
p p , falls
Z
| . |p : Q −→ p0 ,
x −→ |x|p :=
0, falls
x 6= 0
x=0
heißt p-adischer Absolutbetrag oder auch p-adische Bewertung.
1.2. Bewertungen
17
Mit der vorher gemachten Bemerkung folgt nun leicht, dass der p-adische
Absolutbetrag eine Bewertung auf Q ist.
Wir haben nun die rationalen Zahlen nach der Güte der Teilbarkeit durch
eine feste Primzahl p angeordnet: Groß sind die Zahlen x, für die νp (x) klein
ist (auch negativ!) und kleine Zahlen sind diejenigen, für die νp (x) groß ist.
Durch die induzierte Metrik d(x, y) = |x − y|p sind sich also die Zahlen
nah, deren Differenz durch eine große Potenz von p geteilt wird. Dies ist der
neue Abstandsbegriff, der uns von nun an beschäftigen wird. Er ist zwar sehr
ungewohnt, aber durchaus natürlich auf Q, wie im folgenden geschildert werden
wird. Zuerst soll festgehalten werden, dass sich aus (iii) in Lemma 1.2.5 ein
bisschen mehr ergibt, als für eine Bewertung gefordert ist (was sich später in
der Analysis als fundamental erweisen wird).
Satz 1.2.7 Der p-adische Absolutbetrag ist eine nicht-archimedisch Bewertung,
d.h. er erfüllt die verschärfte Dreiecksungleichung
|x + y|p ≤ max(|x|p , |y|p ).
Der Begriff nicht-archimedisch wird wegen folgendem benutzt: Die
verschärfte Dreiecksungleichung ist äquivalent zu der Aussage
ϕ(n) = ϕ(1 + . . . + 1) ≤ 1
für alle ganzen n im Primkörper P von K (n ∈ Z ⊂ Q w P für charK = 0),
d.h. wegen ϕ(1) = 1
sup ϕ(n) = 1.
n∈Z
Andererseits erinnern wir uns an die Archimedische Eigenschaft
∀ x, y ∈ K, x 6= 0 ∃ n ∈ N :
ϕ(nx) > ϕ(y),
die im Falle K = R und ϕ = | . | gerade das Archimedische Axiom ist. Es lässt
sich leicht zeigen, dass die Archimedische Eigenschaft äquivalent zur Aussage
“Es gibt beliebig große ganze Zahlen n”,
d.h.
sup ϕ(n) = ∞.
n∈Z
Wir zeigen nun, dass
sup ϕ(n) = 1 und
sup ϕ(n) = ∞
n∈Z
n∈Z
die beiden einzigen Möglichkeiten sind: Sei sup ϕ(n) > 1, so gibt es ein m
mit ϕ(m) > 1 und somit ist ϕ(mk ) = ϕ(m)k beliebig groß für k → ∞; also
ist sup ϕ(n) bereits ∞. Andrerseits ist immer ϕ(1) = 1 und es kann nicht
sup ϕ(n) < 1 sein.
Es macht also Sinn eine Bewertung ϕ archimedisch zu nennen, falls es eine
natürliche Zahl n im Primkörper gibt, für die ϕ(n) > 1 ist. Somit schließt sich
der Kreis.
Als nächstes brauchen wir noch den Begriff der Äquivalenz von Bewertungen
bzw. Metriken.
18
Kapitel 1. Die reellen p-adischen Zahlen Qp
Definition 1.2.8 Zwei Bewertungen ϕ und ψ eines Körpers K heißen äquivalent, falls es ein α ∈ R+ gibt, so dass
ϕ(x) = ψ(x)α
für alle x ∈ K gilt. In diesem Fall heißen auch die induzierten Metriken äquivalent.
Dies macht Sinn, da äquivalente Metriken die gleiche Topologie induzieren.
Weiter braucht man später noch die
Bemerkung 1.2.9 Zwei Bewertungen ϕ und ψ eines Körpers K sind genau
dann äquivalent, wenn für alle x ∈ K
ϕ(x) < 1 ⇐⇒ ψ(x) < 1.
Nun aber dazu, warum p-adische Bewertungen natürlich auf Q sind: Gemessen mit einer beliebigen nicht-archimedischen Bewertung ϕ von Q, sind nach
obigem alle natürlichen Zahlen n kleiner gleich eins. Falls die Bewertung noch
nicht-trivial (ϕ heißt trivial, falls ϕ(0) = 0 und sonst ϕ = 1) ist, so gibt es auch
natürliche Zahlen mit der Bewertung echt kleiner als eins. Die kleinste solche
Zahl n0 ist jetzt aber eine Primzahl, denn wäre es keine, so kann man n0 = ab
mit a, b < n0 schreiben. Aus der Minimalität von n0 folgt ϕ(a) = ϕ(b) = 1.
Daraus würde aber
1 > ϕ(n0 ) = ϕ(a)ϕ(b) = 1
folgen. Wir schreiben n0 = p, mit einer Primzahl p.
Diese Argumentation führt dazu, dass man nun nur die p-adischen Absolutbeträge mit einer Primzahl p betrachtet. Es würde durchaus Sinn machen, den
Betrag | . |z mit z ∈ Z zu definieren, da hierbei nur die Teilbarkeit eine Rolle
spielt. Dies ist aber nicht notwendig, denn es gilt der
Satz 1.2.10 (von Ostrowski) Jede nicht-triviale Bewertung auf Q ist äquivalent zu einer Bewertung | . |p oder | . |.
Den Satz von Ostrowski findet man etwa in [Kob84] Kap.I.2. Man bezeichnet
den gewöhnlichen Absolutbetrag | . | auch mit | . |∞ . So kann man den Satz
auch so formulieren:
Jede nicht-triviale Bewertung auf Q ist äquivalent zu einer padischen Bewertung | . |p mit p ≤ ∞.
Wir haben also somit die nicht-trivialen Bewertungen auf Q bis auf Äquivalenz
klassifiziert und die p-adischen Bewertungen sind in folgendem Sinn natürlich:
Es gibt keine anderen als die p-adischen Bewertungen.
1.3. Analysis in nicht-archimedischen Körpern
1.3
19
Analysis in nicht-archimedischen Körpern
Jetzt da wir eine Metrik haben, die von der Bewertung induzierte Metrik,
können wir auch Analysis betreiben. Dieser Abschnitt soll einige wichtige Eigenschaften der Analysis eines solchen Körpers zusammenstellen. Dies wird später
in Kapitel 3 in einen allgemeineren Rahmen gestellt und dort auch ausführlicher diskutiert werden. Da wir einige Aussagen aber schon vorab brauchen,
werden diese hier gebracht. In diesem Abschnitt gelten alle Resultate für einen
nicht-archimedischen Körper (K, ϕ). Man habe bei allem immer unsere nichtarchimedische Bewertung | . |p im Kopf.
Definition 1.3.1 Eine Folge heißt konvergent, falls sie bezüglich der induzierten Metrik konvergiert. Eine Reihe heißt konvergent, falls die Folge der Partialsummen konvergiert.
Man kann die meisten Theoreme aus der Analysis, die nur auf den drei
Eigenschaften der Metrik fußen, wortwörtlich für nicht-archimedische Körper
übernehmen, wie z.B. folgende Rechenregeln:
Satz 1.3.2 (RR für lim) Für limn→∞ xn = x und limn→∞ yn = y folgt
(i)
(ii)
(iii)
limn→∞ xn ± yn = x ± y
limn→∞ xn · yn = x · y
−1 falls x 6= 0 für alle n und x 6= 0.
limn→∞ x−1
n
n =x
Eine weitere nützliche Sache ist die Stetigkeit einer Bewertung.
Satz 1.3.3 Eine Bewertung ϕ ist stetig, d.h. aus limn→∞ xn = x folgt
limn→∞ ϕ(xn ) = ϕ(x).
Beweis. Es ist nach 1.2.2 (iii)
|ϕ(xn ) − ϕ(x)| ≤ ϕ(xn − x).
Letzteres ist beliebig klein nach Voraussetzung, q.e.d.
Es gilt wegen der verschärften Dreiecksungleichung in nicht-archimedischen
Körpern folgender denkwürdiger Satz über Dreiecke:
Satz 1.3.4 (über Dreiecke) Alle Dreiecke sind gleichschenklig, mit einer
kürzeren Seite, oder gleichseitig.
Beweis. Man betrachte ein Dreieck in K mit den Eckpunkten x, y und z . Sei
nun ohne Einschränkung ϕ(y − z) ≤ ϕ(x − y), so gilt nach der verschärften
Dreiecks-Ungleichung
ϕ(x − z) ≤ max(ϕ(x − y), ϕ(y − z)) = ϕ(x − y)
und andererseits
ϕ(x − y) = ϕ(x − z + z − y) ≤ max(ϕ(x − z), ϕ(z − y)).
20
Kapitel 1. Die reellen p-adischen Zahlen Qp
Falls max(ϕ(x − z), ϕ(z − y)) = ϕ(x − z), so ist
ϕ(x − y) = ϕ(x − z) ≥ ϕ(y − z),
und falls max(ϕ(x − z), ϕ(z − y)) = ϕ(z − y), so ist
ϕ(x − y) = ϕ(y − z) ≥ ϕ(x − z).
In jedem Fall erhält man ein Dreieck, wie gesagt, q.e.d.
Folgerung 1.3.5 Es gilt
ϕ(x) 6= ϕ(y) ⇒ ϕ(x ± y) = max(ϕ(x), ϕ(y)).
Beweis. Im Dreieck mit den Eckpunkten 0, x und y ist nach dem Satz über
Dreiecke ϕ(x − y) = max(ϕ(x), ϕ(y)) für ϕ(x) 6= ϕ(y). Für das Dreieck mit den
Eckpunkten 0, x und x + y ergibt sich analog ϕ(x + y) = max(ϕ(x), ϕ(y)), q.e.d.
Folgerung 1.3.6 Für ein genügend großes n gilt
lim xn = x 6= a
n→∞
⇒
ϕ(xn − a) = ϕ(x − a).
Speziell für a = 0 heißt das
lim xn = x 6= 0
n→∞
⇒
ϕ(xn ) = ϕ(x).
Beweis. Sobald ϕ(xn − x) < ϕ(x − a), was nach Konvergenz von xn gegen x für
große n gelten muss, so ist nach der Folgerung zuvor ϕ(xn −a) = ϕ(x−a), q.e.d.
Weiterhin folgt aus der verschärften Dreiecksungleichung eine verschärfte
Konvergenztheorie:
Satz 1.3.7 (Cauchy-Kriterium für Folgen) Für eine Folge (xn ) gilt
(xn )n∈N ist eine Cauchy-Folge
⇐⇒
lim ϕ(xn − xn+1 ) = 0.
n→∞
Beweis. Falls (xn ) eine Cauchy-Folge ist, ist klar, dass auch Nachbarglieder
beliebig nah werden. Umgekehrt ist für ϕ(xn − xn+1 ) < ε für alle n ≥ N auch
ϕ(xn − xn+m ) ≤ max ϕ(xn+i − xn+i+1 ) < ε
0≤i<m
für alle n ≥ N und m ≥ 0, q.e.d.
Folgerung 1.3.8 (Cauchy-Kriterium für Reihen) Es gilt
!
Ã n
X
xi
ist eine Cauchy-Folge ⇐⇒
lim xi = 0.
i=0
n∈N
i→∞
1.3. Analysis in nicht-archimedischen Körpern
21
Beweis. Man betrachte die Identität
!
Ã n
n−1
X
X
ϕ
xi −
xi = ϕ(xn ).
i=0
i=0
Ist die Folge der Partialsummen eine Cauchy-Folge, so geht die linke Seite gegen
null.
Gilt umgekehrt limi→∞ xi = 0, so geht die rechte Seite gegen null und
es ist unmittelbar aus dem Cauchy-Kriterium für Folgen 1.3.7 die Folge der
Partialsummen eine Cauchy-Folge, q.e.d.
Hieraus folgt unmittelbar folgendes Konvergenzkriterium in vollständigen
Körpern (es überrascht, da dies in archimedischen Körpern gerade nicht gilt;
mehr dazu wird in Kapitel 3 gesagt):
Folgerung 1.3.9 (Konvergenzkriterium für Reihen) Sei K vollständig.
Dann gilt
∞
X
xi konvergiert ⇐⇒
lim xi = 0.
i→∞
i=0
Die verschärfte Dreiecksungleichung gilt nicht nur für endliche Summen,
sondern auch für konvergente unendliche Reihen:
Folgerung 1.3.10
P∞(Verallgemeinerte verschärfte Dreiecksungleichung)
Falls die Reihe i=0 xi konvergent ist, so gilt
Ã∞ !
X
ϕ
xi ≤ max ϕ(xi ).
i=0
i∈N
P
P∞
Beweis. Falls ∞
zu
zeigen.
Anderenfalls
ist
i = 0 ist nichts
i=0 xP
i=0 xi 6= 0.
P∞
n
So ist nach 1.3.6 ϕ ( i=0 xi ) = ϕ ( i=0 xi ) für ein großes n. Ebenso gilt für
große n, da xi eine Nullfolge ist, supi∈N ϕ(xi ) = maxi=0,...,n ϕ(xi ) und man kann
deswegen dafür maxi∈N ϕ(xi ) schreiben. Insgesamt ergibt sich
Ã∞ !
Ã n
!
X
X
ϕ
xi = ϕ
xi ≤ max ϕ(xi ) = max ϕ(xi )
i=0
i=0
i=0,...,n
i∈N
für ein großes n, q.e.d.
Zuletzt soll noch etwas über unendliche Produkte ausgesagt werden. Die
zwei Aussagen sind ganz analog zu denen über Reihen:
Folgerung 1.3.11 (Cauchy-Kriterium für Produkte) Es gilt
Ã n !
Y
lim xi = 1 =⇒
xi
ist eine Cauchy-Folge,
i→∞
i=0
n∈N
22
Kapitel 1. Die reellen p-adischen Zahlen Qp
und falls das Produkt nicht gegen null konvergiert, gilt auch
Ã n !
Y
xi
ist eine Cauchy-Folge =⇒
lim xi = 1.
i=0
i→∞
n∈N
Beweis. Man betrachte die Identität
!
Ãn−1 !
Ã n
n−1
Y
Y
Y
xi .
xi −
xi = ϕ(xn − 1)ϕ
ϕ
i=0
i=0
i=0
Falls das Produkt eine Cauchy-Folge ist, so geht die linke Seite gegen 0, und da
das Produkt weiter keine Nullfolge ist, muss auf der rechten Seite xn → 1.
Falls umgekehrt xi → 1, so ist nach 1.3.6 für ein großes i bereits
ϕ(xi ) = 1.
Deshalb bleibt das endliche Produkt durch ein C > 0 für jedes n beschränkt:
Ãn−1 !
Y
ϕ
xi ≤ C.
i=0
Nach obiger Identität ist
Ã n
!
n−1
Y
Y
ϕ
xi −
xi ≤ ϕ(xn − 1) · C → 0,
i=0
i=0
Q
für n → ∞. Dies bedeutet ( ni=1 xi )n∈N bildet eine Cauchy-Folge, q.e.d.
Wieder existiert in vollständigen Körpern K ein Grenzwert der CauchyFolge der Partialprodukte, den wir mit
∞
Y
xi := lim
n→∞
i=0
n
Y
xi
i=0
bezeichnen. Wir halten fest:
Folgerung 1.3.12 (Konvergenzkriterium für Produkte) Sei
ständig. Dann gilt
lim xi = 1
i→∞
=⇒
∞
Y
xi konvergiert,
i=0
und falls das Produkt nicht gegen null konvergiert, gilt auch
∞
Y
i=0
xi konvergiert
=⇒
lim xi = 1.
i→∞
K
voll-
1.4. Was erwartet man von Zahlen?
23
Bei der Rückrichtung ist es notwendig, dass das Produkt
nicht gegen null
Q
konvergiert, denn z.B. gilt für das unendliche Produkt p = 0, da
¯
¯
¯n−1
¯
¯Y ¯
p¯ = |pn |p = p−n → 0,
¯
¯
¯
i=0
p
aber p 9 1 (|p − 1|p = p−0 = 1, denn p - p − 1).
Von unserem kleinen Ausflug in die Analysis wollen wir jetzt aber wieder
zurück zu unserer Diskussion kehren.
1.4
Was erwartet man von Zahlen?
Seit Menschengedenken existiert wahrscheinlich schon ein gewisses Gefühl für
Quantität, wie z.B. “ich habe mehr Tiere erlegt, als mein Mitmensch”. Die
Abstrahierung auf den Zahlbegriff, als ein Maß für eine Quantität von Objekten,
muss sich somit auch schon vor langer Zeit ereignet haben. Belegt sind Funde
bereits aus dem Jahre ca. 2000 v.Chr.. Man benutzte beispielsweise Zahlen als
Maß für die Anzahl von Dingen, die Fläche von Feldern und das Volumen von
Kornkammern.
Man hat also konkrete Fragestellungen, meist geometrischer Art, die man
mit Hilfe der Zahlen lösen will. Uns soll nun folgendes Problem leiten: Wie
hängt die Kreisfläche FO vom Durchmesser d ab?
Die Ägypter beantworteten dies folgendermaßen: Zuerst wird der Kreis in ein Quadrat der Seitenlänge d einbeschrieben. Die
Fläche F8 des unregelmäßigen Achtecks,
das durch Drittelung der Quadratseiten
entsteht (siehe Bild rechts), ist
¡
¡
¡
¡
@
@
@
@
@
@
¡
¡
7
63
F8 = d2 = d2 .
9
81
Anschließend wird die ägyptische Kreisfläche FOägypt durch die Fläche F8 approximiert und man bekommt sie in Form der
Gleichung
Ã
FOägypt =
!2
8
64
d
= d2 ≈ F8 .
9
81
Es ergibt sich nun aus der heute bekannten
¡ ¢2
Kreisflächenformel FO = d2 π, dass
Ã
πägypt =
2·8
9
@
¡
¡
¡
@
@
@
¡
@
@
¡
¡
Abbildung 1.1: Ägyptische Berechnung der Kreisfläche als Approximation der Fläche des unregelmäßigen Achtecks.
!2
≈ 1, 006π.
24
Kapitel 1. Die reellen p-adischen Zahlen Qp
Erstaunlich ist, dass man somit eine Approximation von π mit nur einem zu
π relativen Fehler von 0, 6% erhält.2 Dies ändert jedoch nichts daran, dass
¡ ¢es2
trotzdem falsch ist. Damals wollte man nicht glauben, dass an Stelle von 2·8
9
richtigerweise π stehen sollte, also eine Zahl die nicht rational ist, denn man
dachte sich fälschlich die rationalen Zahlen Q als eine kontinuierliche Zahlengerade, als vollständig.
Weiteres ist zu beobachten, wenn man die
Situaiton von der algebraischen Seite betrachtet:
Für gegebene Fläche FOägypt ∈ Q ist die
¡ ¢2
Gleichung FOägypt = 89 d mit d ∈ Q nicht
immer lösbar. Denn für FOägypt = 128
81 gilt
128
=
81
µ
8
d
9
¶2
⇐⇒ d2 = 2.
Wohl ist dies aber geometrisch lösbar, wie
√
man im Bild rechts sieht (speziell für 2
gibt es auch eine einfachere Konstruktion:
die Diagonale des Einheitsquadrats).
√
ab
a
b
Abbildung
1.2: Konstruktion von
√
ab mit Zirkel und Lineal. √
Für
a = 1 und b = 2 erhält man 2.
Man hat also eine algebraische Gleichung in Q, die dort keine Lösung besitzt,
obwohl eine geometrische Lösung sichtbar ist. Dies war gar nicht vorstellbar!
Wie sollte es einen Kreis geben, der keinen Durchmesser (in Q) besitzt? Die
rationalen Zahlen können also nicht der Wahrheits letzter Schluss sein.
Also was verlangt man nun von Zahlen? Damals wie heute erwartet man
von Zahlen vor allem zwei Dinge:
1. Vollständigkeit, d.h. Konvergenz von Cauchy-Folgen bzgl. der Bewertung:
man will keine Lücken.
2. Algebraische Abgeschlossenheit, d.h. Lösen sämtlicher algebraischer Gleichungen: man will mit den Zahlen rechnen können.
Man sei dazu aufgerufen, sich an den Aufbau der Zahlen zu erinnern und sie anhand dieser zwei Kriterien zu beurteilen. Man beginnt historisch, wie logisch mit
den “von Gott gegebenen” natürlichen Zahlen N und endet bei den komplexen
Zahlen C, die die beiden Eigenschaften vollständig und algebraisch abgeschlossen besitzen. Wunderlicherweise sind diese nur eine quadratische
Erweiterung
√
der reellen Zahlen R, da man sie durch Adjunktion von i = −1 erhält.
Wir wollen also auch bei den p-adischen Zahlen eine solche Zahlerweiterung
finden, die die eben beschriebenen Erwartungen erfüllt. Man ist also auf der
Suche nach einem p-adischen Analogon zu C. Dies soll in dieser Arbeit in den
2
Notabene: Die Babylonier ermittelten eine nicht ganz so gute Näherung der Kreisfläche
mit πbabylon = 3, indem sie das Mittel der Flächen des umschriebenen und einbeschriebenen
Quadrates berechneten. Derselbe Wert für π findet sich übrigens auch in der Bibel im ersten
Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 und im zweiten Buch der Chronik, Kapitel 4, Vers 2.
Wer mehr zur Verwirrung um π erfahren will, dem sei [Bec71] empfohlen. So viel dazu.
1.5. Q ist nicht vollständig!
25
wichtigsten Schritten vorgeführt werden. Es wird sich aber nicht als so einfach
erweisen, wie dies bei C geschehen ist.
1.5
Q ist nicht vollständig!
Im vorangegangenen Abschnitt 1.2 hat man nun einen neuen Abstand auf Q
eingeführt, der die Güte der Teilbarkeit durch eine Primzahl p misst. Q zusammen mit der Bewertung | . |p ist aber genau so wenig vollständig, wie mit | . |,
was nach 1.2.10 äquivalent ist zu dem
Hauptsatz 1.5.1 Q ist bezüglich keiner nicht-trivialen Bewertung vollständig.
Beweis. Für | . | ist dies wohlbekannt.3 Für den Fall von | . |p muss man
natürlich ebenfalls eine Cauchy-Folge konstruieren, die nicht konvergiert. Dies
ist in den p-adischen Zahlen z.B. durch das Finden einer Gleichung möglich, die
in Q keine Lösung hat, aber deren Lösungen xn modulo pn eine Cauchy-Folge
bilden.
Falls p 6= 2, betrachte man etwa die Gleichung X 2 = a, wobei a kein Quadrat
in Q ist und nicht durch p geteilt wird (sonst wäre die Gleichung modulo p
trivial! Siehe dazu auch das Beispiel 0.0.3). Weiter soll diese Gleichung modulo
p auch wirklich eine Lösung besitzen; man wähle etwa a = b2 + cp für beliebige
ganze Zahlen b und c.
Die Cauchy-Folge (xn ) bekommt man nun so: Man findet x0 als eine beliebige Lösung von x20 ≡ a (mod p) und darauf aufbauend die anderen xn als
Lösung von
xn ≡ xn−1
(mod pn ) und x2n ≡ a (mod pn+1 ).
Diese Lösungen findet man auch, da unsere Voraussetzung p 6= 2 ist. Man erhält
für ein k ∈ Z
|xn − xn−1 |p = |kpn |p ≤ p−n → 0.
Dies reicht nach 1.3.7 in einem nicht-archimedischen Körper aus, um eine
Cauchy-Folge zu sein. Andererseits ist für ein l ∈ Z
|x2n − a|p = |lpn+1 |p ≤ p−(n+1) → 0,
was besagt, dass der Limes, falls er existiert, eine Quadratwurzel von a ist, was
aber nicht sein kann. Für p = 2 geht man für die Gleichung X 3 = 3 analog vor,
q.e.d.
Wie in Abschnitt 1.4 beschrieben, hat man nun analog zu dem gewöhnlichen
Absolutbetrag das Verlangen, diesen Missstand zu beheben und die rationalen
Zahlen zu vervollständigen. Vorher tat man das für | . | und erhielt die reellen
Zahlen R und nun machen wir dasselbe bezüglich der p-adischen Bewertung
| . |p . Das Ergebnis davon ist also als das Analogon zu R zu sehen.
3
verwendeten die rationale Cauchy-Folge (xn ), die rekursiv durch xn+1 :=
³ Die Babylonier
´
1
a
xn + xn definiert ist, wobei x0 > 0 ein beliebiger Startwert in Q ist, und die gegen die
2
√
positive Lösung von a ∈
/ Q konvergiert. Siehe dazu [For01] §6.
26
Kapitel 1. Die reellen p-adischen Zahlen Qp
1.6
Qp als Vervollständigung von Q
Zur Vervollständigung eines Körpers benutzt man die Idee von Georg Cantor (1845-1918) und Charles Méray (1835-1911) (nach Cantor selbst die
“einfachste und natürlichste von allen” und, “dass sie sich dem analytischen
Kalkül am unmittelbarsten anpasst”), die auf beliebigen metrischen Räumen
anwendbar ist und die fehlenden Grenzwerte, wie folgt hinzunimmt: Als Grenzwert der Cauchy-Folgen, die sich beliebig nahe kommen, wählt man einfach
die Menge dieser Cauchy-Folgen. Also gleich allgemein für einen Körper K: Sei
CFϕ (K) (kurz CF ) die Menge aller Cauchy-Folgen in K bzgl. einer Bewertung
ϕ. Auf CF wird nun die Äquivalenzrelation (xn ) ∼ (yn ), falls (xn − yn ) eine
Nullfolge ist, eingeführt. Man fasst K ⊂ CF auf, vermöge der Identifikation von
x ∈ K mit der konstanten Folge (x). Es gilt folgender Satz (siehe dazu [Jac00]
Kap.V.4):
Hauptsatz 1.6.1 Die Menge CF/ ∼ ist ein vollständiger Körper, in dem K
dicht als Teilkörper liegt, bzgl. folgender Bewertung ϕ und algebraischer Struktur:
¡
¢
(i) ϕ (xn ) = limn→∞ ϕ(xn )
(ii) (xn ) + (yn ) = (xn + yn )
(iii) (xn ) · (yn ) = (xn · yn )
Wendet man diese Konstruktion auf K = Q und ϕ = | . |p an4 , so erhält
man folgenden Spezialfall, der das p-adische Analogon zu den reellen Zahlen R
ist:
Definition 1.6.2 Der Körper CF| . |p (Q)/ ∼ heißt Körper der reellen p-adischen
Zahlen und man bezeichnet ihn mit
Qp := CF| . |p (Q)/ ∼ .
Man schreibt für die Bewertung ϕ einfach
| . |p := ϕ( . )
und nennt sie ebenso p-adischer Absolutbetrag oder p-adische Bewertung.
Welche Werte nimmt die p-adische Bewertung auf den reellen p-adischen
Zahlen an? Auf Q war es die Menge pZ0 . Hier ist es die gleiche Menge, da Q
dicht in Qp liegt.
Satz 1.6.3 Die Wertemenge der p-adischen Bewertung | . |p auf Qp ist
|Qp |p = pZ0 .
4
In [Kob84] Kap.I.4 wird dies direkt für Q konstruiert. Es wurde hier der allgemeinen
Version der Vorzug gegeben, da man diese Vervollständigung ein zweites mal durchführen
muss.
1.6. Qp als Vervollständigung von Q
27
Beweis. Dies folgt direkt aus der Aussage 1.3.6: Falls xn → x 6= 0, dann ist
|xn |p = |x|p für große n, q.e.d.
Man beachte, dass die Menge pZ diskret in R ist, weswegen man auch | . |p
als eine diskrete Bewertung bezeichnet. Analog definiert man jetzt wieder die
p-adische Exponentialbewertung auf Qp :
Definition 1.6.4 Für x ∈ Q×
p definiert man νp (x) als die eindeutige ganze
Zahl, die |x|p = p−νp (x) erfüllt. Für x = 0 definiert man wieder νp (x) := ∞.
Die somit erhaltene Funktion
νp : Qp −→ Z ∪ {∞}
heißt p-adische Exponentialbewertung von Qp .
Nun will man aber eine Darstellung der p-adischen Zahlen, mit denen man
auch gut rechnen kann, ohne sich Gedanken über Äquivalenzklassen und Repräsentanten zu machen. Der Kreis schließt sich nun und man kommt wieder
P zu deri p-adischen Entwicklung der p-adischen Zahlen als Reihen der Form
i≥n0 ai p , wie es in der Einführung beschrieben wurde. Dies geschieht im
Groben so (für genaueres konsultiere man [Kob84] Kap.I.4):
Vorerst vollzieht man die p-adische Entwicklung der ganzen p-adischen Zahlen, wobei wir natürlich jetzt schon an die Entwicklung, also an Reihen beginnend vom Index null, denken. Was sind also die ganzen p-adischen Zahlen?
Definition 1.6.5 Die Menge
Zp := {x ∈ Qp : |x|p ≤ 1}
heißt Ring der ganzen p-adischen Zahlen.
Zuerst soll aber schnell noch eine wichtige Tatsache über die ganzen padischen Zahlen festgehalten werden:
Satz 1.6.6 Zp ist ein Teilring von Qp und die Vervollständigung von Z, d.h.
Zp ist vollständig und Z liegt dicht darin.
Beweis. Teilring: Die Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation ergibt
sich direkt aus
|x + y|p ≤ max(|x|p , |y|p ) und |xy|p = |x|p |y|p .
Vollständigkeit: Sei (xn ) eine Cauchy-Folge in Zp , so existiert ein Grenzwert x in Qp . Da |xn |p ≤ 1, so ist auch |x|p ≤ 1, also x ∈ Zp .
Dichtheit: Sei x ∈ Zp . Es existiert nun eine rationale Folge (xn ) die gegen
x konvergiert, da Q dicht in Qp liegt. Diese Folge muss nach 1.3.6 für große n
ganz in Zp liegen, da |xn |p = |x|p ≤ 1 für große n. Man wählt diese Teilfolge,
die nur aus rationalen Gliedern mit |xn |p ≤ 1 besteht, d.h. für jedes Folgenglied
kann man xn = abnn , wobei p nicht bn teilt, schreiben. Somit sind auch bn und pi
28
Kapitel 1. Die reellen p-adischen Zahlen Qp
für alle i teilerfremd. Deswegen können wir zwei ganze Zahlen r und s finden
mit rbn + spi = 1. Die Idee ist jetzt, dass rbn nahe an der 1 bzgl. des p-adischen
Betrages ist, sodass r eine gute Approximation von b1n ist. Folglich ist ran eine
gute Approximation von xn = abnn :
¯ ¯
¯ an ¯
|ran − xn |p = ¯¯ ¯¯ |rbn − 1|p ≤ |rbn − 1|p = |spi |p ≤ p−i
bn p
Dies gilt für jedes i: wir können für jedes Folgenglied xn eine ganze Zahl ran
finden, die beliebig nahe an xn ist. Somit können wir uns eine Folge in Z
konstruieren, die gegen x konvergiert. D.h. Z liegt dicht in Zp , q.e.d.
Nun zurück zur p-adischen Entwicklung der ganzen p-adischen Zahlen:
Zunächst wählt man
¯
¯zu jeder ganzen p-adischen Zahl, das ist eine Äquivalenz¯
klasse (xn ) mit (xn )¯p ≤ 1, den ausgezeichneten eindeutigen Repräsentanten
(sn ), der
0 ≤ sn < pn und sn ≡ sn+1 (mod pn )
für alle n ∈ N erfüllt. Es sind jetzt die sn genau die Partialsummen
sn =
n−1
X
ai pi
i=0
mit eindeutigen Koeffizienten 0 ≤ ai ≤ p − 1 und wir können somit die Äquivalenzklasse (xn ) eindeutig als
(xn ) = (sn ) =
∞
X
ai pi
i=0
auffassen.
Um nun die restlichen p-adischen Zahlen mit Bewertung größer als eins zu
entwickeln, multipliziert man sie einfach mit einer genügend großen Potenz von
p. Somit sind sie nun ebenfalls kleiner oder gleich eins und man entwickelt
sie, wie eben, und zieht danach die Potenz von p wieder heraus. Wie in der
Einführung schon informal beschrieben, hat man somit für ein beliebiges Element (xn ) aus Qp die eindeutige p-adische Entwicklung
X
(xn ) =
a i pi
i≥n0
mit Koeffizienten 0 ≤ ai ≤ p − 1 und n0 ∈ Z via des ausgezeichneten Repräsentanten (sn ). Wir sehen nun folgendes ein:
Satz 1.6.7 Es gilt
Zp
=
½ X
¾
i
ai p : 0 ≤ ai ≤ p − 1
und
i≥0
Qp
=
½ X
i≥n0
ai pi : 0 ≤ ai ≤ p − 1, n0 ∈ Z
¾
.
1.6. Qp als Vervollständigung von Q
29
Diese Vereinfachung der Sichtweise war notwendig, um sich unter Qp etwas
vorstellen zu können. Dies ist nicht ungewöhnlich, da man bei R das Gleiche
gemacht hat. Folgendes soll dazu etwas sagen:
Die p-adische Zahl
X
ai pi
i≥n0
mit 0 ≤ ai ≤ p − 1 kann man als Ziffernfolge
(. . . a2 a1 a0 , a−1 a−2 . . . an0 )p
darstellen. Analoges gilt für die wohl bekannte Dezimaldarstellung in R, wie
etwa in [For01] §5 behandelt. Man kann eine reelle Zahl in der Reihe
X
ai 10i ,
i≤n0
wobei 0 ≤ ai ≤ 9, entwickeln und sie als Ziffernfolge
(an0 . . . a2 a1 a0 , a−1 a−2 . . .)10 ,
wie man das jeden Tag macht, schreiben.
Die p-adischen Zahlen “hauen nach links ab”, reelle Zahlen dagegen bekanntlich nach rechts. Dies liegt an der Bewertung. Ein weiterer wichtiger Unterschied
ist, dass die Dezimalbruchentwicklung nicht eindeutig ist, da z.B. die eins als
(1)10 oder als (0, 999 . . .)10 entwickelt werden kann. So etwas kommt bei den
p-adischen Zahlen nicht vor, weil man eben den eindeutigen Repräsentanten
gefunden hat. Dies liegt daran, dass die p-adische Bewertung diskret ist.
Zuletzt sei noch an die vielleicht wichtigste algebraische Eigenschaft der
p-adischen Zahlen erinnert, das Henselsche Lemma. Es findet sich in dieser
Form in [E+ 92] Kap.6 §4. Dabei spricht man von Kongruenz zweier Polynome
modulo p, falls jeder einzelne Koeffizient eines Polynoms kongruent modulo p
zum jeweiligen Koeffizienten des anderen Polynoms ist.
Satz 1.6.8 (Henselsches Lemma) Besitzt ein Polynom f (X) ∈ Zp [X] modulo p eine Zerlegung
f (X) ≡ g0 (X)h0 (X) (mod p)
mit Polynomen g0 , h0 ∈ Zp [X], die mod p teilerfremd sind und von denen g0
normiert ist, so gibt es über Zp eine Zerlegung
f (X) = g(X)h(X)
mit Polynomen g, h ∈ Zp [X] derart, dass g normiert ist und
g(X) ≡ g0 (X)
(mod p),
h(X) ≡ h0 (X)
(mod p).
Kapitel 2
Die komplexen
p-adischen Zahlen Cp
Angekommen bei den reellen p-adischen Zahlen Qp , wird sich nun zeigen, dass
sie leider nicht algebraisch abgeschlossen sind. Das heißt genau wie in R sind
auch in Qp nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar. In R waren es quadratische Gleichungen, wie X 2 + 1 = 0, in den p-adischen Zahlen sind es bedeutend
mehr. Wir sind also mit den p-adischen Zahlen noch nicht zufrieden und sind
versucht, dieses Defizit zu beheben.
Es soll nun der weitere Weg bis zu dem p-adischen Analogon Cp der komplexen Zahlen beschrieben werden, d.h. einer Körpererweiterung von Q die
vollständig (bzgl. einer Fortsetzung der p-adischen Bewertung) und algebraisch
abgeschlossen ist, sodass auch alle unsere Erwartungen aus 1.4 erfüllt sind.
Dieser Weg von Q nach Cp ist aber viel verzwickter, als der von Q nach C.
Die erste Hürde, die Vervollständigung, haben wir schon genommen. Aber jetzt
kommen neue Probleme.
Wir sind etwa bemüht, eine Bewertung auf diesem Körper Cp zu finden,
die einer Anschauung leider völlig entzogen ist. Ganz anders bei C: dort durfte
man geometrisch gelenkt auf den Satz von Pythagoras bauen. Wir müssen also
abstrahieren (in algebraischer Richtung, nicht geometrisch) und versuchen, diese
Methode auch für andere Körper anwendbar zu machen.
Als weitere Schwierigkeit wird sich erweisen, dass der algebraische Abschluss
von Qp leider nicht mehr vollständig ist; bei C gab es auch dieses Problem nicht.
Deswegen ist man gezwungen noch einmal zu vervollständigen. Geht dieses Spiel
dann immer so weiter? Nein, danach sind wir dann wirklich an unserem Ziel
angekommen.
Genug Gerede! Das Gesagte soll nun vorgeführt werden, ad rem:
2.1
Qp ist nicht algebraisch abgeschlossen!
Hierfür genügt es, ein einziges Beispiel zu finden. Wir wollen aber hier systematischer vorgehen und gleich eine ganze Menge von Beispielen konstruieren, um
noch zu sehen, dass es sogar keinen algebraischen Abschluss, der von endlichem
2.1. Qp ist nicht algebraisch abgeschlossen!
31
Grad ist, geben kann. Wir erinnern uns im Gegensatz dazu an die Endlichkeit
des Grades 2 der Körpererweiterung C = R[i] über R.
Um dies beides zu sehen, genügt es, Polynome von beliebig hohem Grad n >
1 über Qp zu finden, die irreduzibel sind. Zur Konstruktion solcher irreduziblen
Polynome dient der auch sonst sehr nützliche
Satz 2.1.1 (Eisensteinsches Irreduzibilitätskriterium) Sei
f (X) = an X n + . . . + a1 X + a0 ∈ Zp [X]
ein Polynom mit folgenden Eigenschaften:
(i) |an |p = 1
(ii) |ai |p < 1 für i = 0, . . . , n − 1
(iii) |a0 |p = 1/p.
Dann ist f (X) irreduzibel in Qp [X].
Beweis. Sei etwa f = gh eine nicht-triviale Faktorisierung in Zp [X]1 mit
g(X) = br X r + . . . + b1 X 1 + b0 ,
h(X) = cs X s + · · · + c1 X + c0 ,
wobei
r + s = n,
br cs = an ,
b0 c0 = a0 .
Man betrachte alle diese Polynome modulo p; mit einem Querstrich wird
die Reduktion modulo p bezeichnet. Nach Voraussetzung (i) ist an 6= 0, und
nach (ii) und (iii) sind alle anderen Koeffizienten modulo p gleich 0, also ist nun
f = an X n .
Weiter folgt wegen (i) und br , cs ∈ Zp , dass |br |p = |cs |p = 1, also br , cs 6= 0.
Dann muss g = br X r und h = cs X s bei der Faktorisierung f = gh sein, d.h.
alle anderen Koeffizienten bi und ci sind durch p teilbar.
Insbesondere sind b0 und c0 durch p teilbar und somit a0 = b0 c0 durch p2 ;
dies heißt nichts anderes, als |a0 |p ≤ 1/p2 , im Widerspruch zu (iii), q.e.d.
Wir können nun unmittelbar aus dem Eisensteinschen Irreduzibilitätskriterium unser Hauptresultat folgern:
Hauptsatz 2.1.2
(i) Qp ist nicht algebraisch abgeschlossen.
(ii) Der algebraische Abschluss Qp kann keinen endlichen Grad über Qp haben.
Beweis. (i) Nach obigem Satz lässt sich leicht ein irreduzibles Polynom über
Qp vom Grad größer als 1 hinschreiben. Somit kann es keine Nullstellen in Qp
besitzen. Zum Beispiel erfüllt dies das Polynom
f (X) = X n + pX n−1 + . . . + pX + p ∈ Zp [X].
1
Dies ist gleichwertig zu der Existenz einer Faktorisierung in Qp [X] nach dem Satz von
Gauß, siehe dazu [Bos01] 2.7(7); dazu bedenke man, dass Qp der Quotientenkörper von Zp
ist.
32
Kapitel 2. Die komplexen p-adischen Zahlen Cp
(ii) Zu dieser Aussage sei einem bewusst, dass die Adjunktion einer Nullstelle eines irreduziblen Polynoms vom Grad n, eine Körpererweiterung ebenfalls
vom Grad n erzeugt. Das bedeutet, dass auch der algebraische Abschluss2 Qp
der p-adischen Zahlen Körpererweiterungen vom Grad n enthalten muss. Dies
kann man für jedes beliebig große n machen (siehe eben genanntes Polynom).
Deswegen kann Qp keine endliche Körpererweiterung sein, q.e.d.
Also ist man gezwungen, einen algebraischen Abschluss Qp der p-adischen
Zahlen Qp zu bilden, der riesengroß sein wird. Man weiß aber noch nichts über
eine Bewertung dieses Körpers. Dazu muss man einige Überlegungen anstellen.
Wie geht man nun vor? Man studiert zuerst endlich-dimensionale normierte
Vektorräume über einem vollständig bewerteten Körper (K, ϕ), da eine endliche
Körpererweiterung von Qp so ein Ding ist und der algebraische Abschluss die
Vereinigung aller solcher endlichen Körperweiterungen ist.
Somit beginnt hier eine Reise, die sich aber ganz anders verhält, wie die von
R nach C. Aber halt! Zuvor noch ein sehr wichtiges
Beispiel 2.1.3 (p-tes Kreisteilungspolynom, Teil 1)
Sei ζ eine p-te Einheitswurzel mit ζ 6= 1. Dann ist ζ eine Nullstelle des p-ten
Kreisteilungspolynoms
Φp (X) =
Xp − 1
= X p−1 + X p−2 + . . . + X + 1.
X −1
Dieses Polynom ist irreduzibel über Qp : Dazu betrachtet man das Polynom
Φp (X +1) und wendet darauf das Eisensteinsche Kriterium an. Man sieht leicht,
dass Φp (X) genau dann irreduzibel ist, wenn Φp (X + 1) irreduzibel ist.
Es gilt
Φp (X + 1) =
(X + 1)p − 1
(X + 1) − 1
=
≡
(X + 1)p − 1
X
X p + 1p − 1
≡ X p−1
X
(mod p),
d.h. alle Koeffizienten sind durch p teilbar, aber nicht der höchste,
|ap−1 |p =
P d.h.
n
1 und |ai |p < 1 für i = 0, . . . , p − 2 (falls man Φp (X + 1) = an X schreibt).
Für den niedrigsten Koeffizienten a0 gilt
a0 = Φp (0 + 1) = Φp (1) = p,
also |a0 |p = 1/p und somit sind alle Bedingungen erfüllt.
2.2
Endlich-dimensionale normierte Vektorräume
Definition 2.2.1 Sei V ein Vektorraum über einem bewerteten Körper (K, ϕ).
Eine Norm ist eine Funktion || . || : V → R+ mit folgenden drei Eigenschaften,
2
Man konstruiert Qp , indem man alle endlichen Körpererweiterungen von Qp vereint.
2.2. Endlich-dimensionale normierte Vektorräume
33
wobei v, w ∈ V und λ ∈ K:
(i) ||v|| = 0 ⇔ v = 0
(ii) ||λv|| = ϕ(λ)||v||
(iii) ||v + w|| ≤ ||v|| + ||y||
In diesem Fall heisst (V, || . ||) normierter Vektorraum.
Dabei kann man mit der Norm des Vektorraums wieder eine Metrik etablieren, indem man d(x, y) := ||x − y|| setzt. Dies führt wieder zu einer Topologie,
in der man über Offenheit, Konvergenz, etc. sprechen kann.
Ausgezeichnet unter den Normen endlich-dimensionaler Vektorräume ist
diese:
Definition 2.2.2 Sei (K, ϕ) ein bewerteter Körper und v1 , . . . , vn eine feste
Basis des K-Vektorraums V . Die Norm
¯¯
¯¯
n
¯¯X
¯¯
¯¯
¯¯
||v||sup = ¯¯
λi vi ¯¯ := max (ϕ(λi )) .
i=1,··· ,n
¯¯
¯¯
i=1
sup
bezüglich der Basisdarstellung eines v ∈ V mit eindeutigen Koeffizienten λi ∈ K
heißt sup-Norm.
Ausgezeichnet deswegen, da man hier ganz leicht sieht, dass der Vektorraum V unter einer gewissen Voraussetzung, nämlich der Vollständigkeit des
Grundkörpers, vollständig ist:
Lemma 2.2.3 Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem
vollständig bewerteten Körper (K, ϕ). Dann ist V bezüglich || . ||sup vollständig.
Beweis. Sei v1 , . . . , vn eine Basis und (wk ) eine Folge in V mit folgender Basisdarstellung
wk = λ1k v1 + . . . + λnk vn
Nun ist (wk ) genau dann eine Cauchy-Folge bzgl. || . ||sup , wenn alle Folgen der
Koeffizienten (λ1k ), . . . , (λnk ) Cauchy-Folgen in K bzgl. ϕ sind.
Aber für die Cauchy-Folgen der Koeffizienten existieren Grenzwerte nach
Voraussetzung und man erhält somit auch einen Grenzwert für die CauchyFolge (wk ):
lim wk = ( lim λ1k )v1 + . . . + ( lim λnk )vn ,
k→∞
k→∞
k→∞
q.e.d.
Nun kommt wieder ein Äquivalenzbegriff ins Spiel:
Definition 2.2.4 Zwei Normen || . ||1 und || . ||2 heißen äquivalent, falls es zwei
Konstanten c, C ∈ R+ gibt, sodass für alle v ∈ V folgende Bedingung gilt:
c||v||1 ≤ ||v||2 ≤ C||v||1 .
34
Kapitel 2. Die komplexen p-adischen Zahlen Cp
Dies macht Sinn, da äquivalente Normen die gleiche Topologie induzieren.3
Es stellt sich jetzt folgendes heraus (für den etwas technischen Beweis siehe man
etwa [Gou00] 5.2 oder [Cas86]):
Satz 2.2.5 Sei V ein endlich-dimensionaler Verktorraum über einem
vollständig bewerteten Körper K. Dann sind alle Normen äquivalent.
Insbesondere hat man jetzt als Resultat diesen
Satz 2.2.6 Sei V ein endlich-dimensionaler normierter Verktorraum über einem vollständig bewerteten Körper K. Dann ist V vollständig.
Beweis. Nach Lemma 2.2.3 ist V bzgl. der sup-Norm vollständig, also nach
Satz 2.2.5 auch bzgl. jeder anderen Norm, q.e.d.
Für unendlich-dimensionale normierte Vektorräume gelten komplexere
Verhältnisse. Dies ist Gegenstand der Funktionalanalysis: die klassische findet
man etwa in [SR70], die p-adische z.B. in [BGR84] oder [Sch84]. Diese unendliche Dimension ist außerdem auch der Grund, warum der algebraische Abschluss
Qp nicht mehr vollständig sein wird.
Jetzt wenden wir die gemachten Ergebnisse auf die p-adischen Zahlen an.
2.3
Endliche Körpererweiterungen von Qp
Sei jetzt K = Qp . Wir suchen nun eine Bewertung einer endlichen Körpererweiterung L/Qp , die eine Fortsetzung der p-adischen Bewertung | . |p ist. Aus den
angestellten Überlegungen des vorigen Abschnitts lässt sich nun festhalten:
Satz 2.3.1 Sei L eine endliche Körpererweiterung von Qp . Falls eine Bewertung ϕ von L, die eine Fortsetzung der p-adischen Bewertung | . |p ist,
existiert, so gilt
(i) L ist bzgl. ϕ vollständig.
(ii) Die Topologie auf L die durch ϕ induziert wird, ist die einzige Toplogie
auf L als normierter Qp -Vektorraum. Deswegen ist sie unabhängig von
der speziellen Wahl einer solchen Bewertung.
(iii) Den Grenzwert einer Folge (xk ) in L ermittelt man bzgl. einer gegebenen Qp -Basis v1 . . . vn einfach so, wobei die λ1k , . . . , λnk ∈ Qp die
Koeffizienten der Basisdarstellung von xk sind:
lim xk = ( lim λ1k )v1 + . . . + ( lim λnk )vn .
k→∞
3
k→∞
k→∞
Äquivalente Normen induzieren sogar die gleichen Cauchy-Folgen, was a priori eine stärkere Forderung ist. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Metrik von einer Norm auf einem
Vektorraum kommt.
2.3. Endliche Körpererweiterungen von Qp
35
Beweis. Jede endliche Körpererweiterung L von Qp ist auch ein endlichdimensionaler Vektorraum über Qp , und eine Bewertung von L, die eine Fortsetzung der p-adischen Bewertung | . |p ist, ist auch eine Norm auf L als Qp Vektorraum. So folgt (i) direkt aus Satz 2.2.6.
Da nach Lemma 2.2.5 die Bewertung ϕ als Norm äquivalent zu der supNorm ist und somit die gleiche Topologie induziert, ergibt sich die Behauptung
(ii) und auch (iii), die genau die Konvergenz bzgl. der sup-Norm wiedergibt
(wie im Beweis von Lemma 2.2.3 beschrieben), q.e.d.
Als Folgerung dieser Erkenntnis kann man festhalten:
Satz 2.3.2 Sei L eine endliche Körpererweiterung von Qp . Es gibt höchstens
eine Bewertung auf L, die die p-adische Bewertung | . |p fortsetzt.
Beweis. Seien ϕ und ψ zwei solche Bewertungen. Man zeigt zuerst, dass sie
äquivalent (als Bewertungen) sind, und anschließend, dass sie sogar identisch
sind.
Wir erinnern uns an 1.2.9: die Äquivalenz der beiden Bewertungen ist gleichwertig zur Aussage
ϕ(x) < 1 ⇐⇒ ψ(x) < 1
für alle x ∈ L. Weiter seien einem noch folgende einfache Aussagen bewusst:
ϕ(x) < 1 ⇐⇒ xn → 0 und ψ(x) < 1 ⇐⇒ xn → 0,
einmal bzgl. der von ϕ erzeugten Topologie und einmal bzgl. der von ψ erzeugten
Topologie.
Wir wissen bereits, dass ϕ und ψ als Normen des Qp -Vektorraums L äquivalent sind und somit auch die gleiche Topologie erzeugen (Satz 2.3.1(iii)). Deswegen konvergiert die Folge xn genau dann bzgl. ϕ gegen null, wenn sie das bzgl.
ψ tut; und das für alle x ∈ L. Folglich sind ϕ und ψ äquivalente Bewertungen.
Dies heißt aber, dass es ein α ∈ R+ gibt, sodass ϕ(x) = ψ(x)α für alle
x ∈ L. Da beide eine Fortsetzung der p-adischen Bewertung sind, erhält man,
wenn man etwa x = p ∈ Qp einsetzt, α = 1, q.e.d.
Weiterhin sei noch bemerkt, dass eine solche Bewertung ebenfalls nichtarchimedisch ist, da dies ja nur von der Bewertung der natürlichen Zahlen
abhängt, die aber bereits in Qp enthalten sind (siehe Abschnitt 1.2).
Wir wissen jetzt, dass es nur eine einzige Fortsetzung der p-adischen Bewertung geben kann und dass L bzgl. dieser vollständig sein muss. Das Problem
ist aber nun, dass wir noch gar nicht wissen, ob eine solche Fortsetzung der
p-adischen Bewertung überhaupt existiert!
Nun also zur Existenz: Wir brauchen eine Konstruktion für eine Bewertung.
Die Hauptidee dafür ist jetzt, dass man die Norm4 NL/Qp der Körpererweiterung
L/Qp benutzt. Dazu erinnern wir uns an die Definition der Norm und an ein
Lemma, dessen Beweis sich in [Bos01] 4.7 findet.
4
Diese Norm ist nicht mit der Vektorraumnorm zu verwechseln!
36
Kapitel 2. Die komplexen p-adischen Zahlen Cp
Definition 2.3.3 Sei L/K eine endliche Körpererweiterung. Für x ∈ L betrachte man
τx : L −→ L, y −→ xy,
als K-Vektorraumendomorphismus von L. Dann heißt
NL/K (x) := det τx ∈ K
die Norm von x bezüglich der Körpererweiterung L/K.
Aus dieser Definition sieht man mit
Multiplikationssatz, dass die Norm multiplikativ ist.
dem
Determinanten-
Lemma 2.3.4 Sei L/K eine endliche Körpererweiterung vom Grad n, und
sei x ∈ L. So gilt:
(i) Für x ∈ K gilt
NL/K (x) = xn .
(ii)
Für L = K(x) und X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 als Minimalpolynom von
x über K gilt
NL/K (x) = (−1)n a0 .
(iii)
Für s = [L : K(x)] gilt
NL/K (x) = (NK(x)/K (x))s .
Wieso spielt diese Norm hier eine Rolle? Da sie eine Möglichkeit bietet,
die Elemente vom großen Körper L in den kleineren Körper K (hier Qp ) zu
holen. Man bewertet nun die Elemente aus L über die p-adische Bewertung
der p-adischen Zahlen. Dies geschieht folgendermaßen5 , wobei beim Beweis hier
[E+ 92] Kap.6 §4 gefolgt wird:
Hauptsatz 2.3.5 Sei L/Qp eine endliche Körpererweiterung vom Grad n.
Dann setzt sich die p-adische Bewertung | . |p von Qp in eindeutiger Weise
zu einer Bewertung | . |L auf L fort, nämlich durch
|x|L :=
q
n
|NL/Qp (x)|p
und L ist bzgl. | . |L wieder vollständig.
5
Man kennt dies bereits von C/R, wo gilt:
q
||a + ib|| =
2
s¯
µ
¶¯
¯
a −b ¯¯ p 2
|NC/R (a + ib)| = 2 ¯¯det
= a + b2 .
b a ¯
2.3. Endliche Körpererweiterungen von Qp
37
Beweis. Die Aussagen über die Eindeutigkeit und die Vollständigkeit wurden
zuvor in 2.3.2 und 2.3.1 bewiesen. So bleibt nur noch zu zeigen, dass | . |L
wirklich eine Bewertung ist, die | . |p fortsetzt.
Falls |x|L = 0, so ist NL/Qp = 0, was nur dann passiert falls τx nicht invertierbar ist. Da L aber ein Körper ist, ist dies nur für x = 0 möglich. Umgekehrt,
falls x = 0, ist klar, dass |x|L = 0. Die Eigenschaft |xy|L = |x|L |y|L geht aus
der Multiplikativität der Norm hervor.
Man beweist nun sogar6 die verschärfte Dreiecksungleichung
|x + y|L ≤ max(|x|L , |y|L )
mit Hilfe des Henselschen Lemmas 1.6.8. Diese folgt bereits aus der Implikation
|x|L ≤ 1 =⇒ |x − 1|L ≤ 1.
Diese technische Sache wird in dieser Fußnote7 begründet. Dies ist aber nach
Definition äquivalent zu
|NL/Qp (x)|p ≤ 1 =⇒ |NL/Qp (x − 1)|p ≤ 1,
was nichts anderes heißt, wie
NL/Qp (x) ∈ Zp =⇒ NL/Qp (x − 1) ∈ Zp .
Wegen der Transitivität der Norm, siehe Lemma 2.3.4 (iii) und der Endlichkeit
der Körpererweiterung darf man hierzu L = Qp (x) annehmen. Sei nun
f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0
das Minimalpolynom von x über Qp , so ist klar, dass
f (X + 1) = X n + (n + an−1 )X n−1 + . . . + (1 + an−1 + . . . + a1 + a0 )
6
Die normale Dreicksungleichung würde genügen, da die Fortsetzung, wie zuvor bemerkt,
automatisch nicht-archimedisch sein müsste.
7
Man teilt die verschärfte Dreiecksungleichung zuerst etwa durch y und erhält die äquivalente Ungleichung
|x + 1|L ≤ max(|x|L , 1),
die für alle x gelten muss. Diese folgt nun wiederum aus der Implikation
|x|L ≤ 1 =⇒ |x − 1|L ≤ 1.
Dass dies stimmt, sieht man so: Zuerst sei einem bewusst, dass, falls diese Implikation richtig
ist, wegen | − x|L = |x|L auch
|x|L ≤ 1 =⇒ |x + 1|L ≤ 1
gilt. Man macht nun eine Fallunterscheidung:
Falls |x|L ≤ 1, so ist |x + 1|L ≤ 1 = max(|x|L , 1). Falls |x|L > 1, so ist |1/x|L < 1, und
deswegen
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯x + 1¯
¯ = ¯1 + 1 ¯ ≤ 1.
¯
¯
¯ x ¯
x ¯L
L
Nun haben wir |x + 1|L ≤ |x|L = max(|x|L , 1).
38
Kapitel 2. Die komplexen p-adischen Zahlen Cp
das Minimalpolynom für x − 1 ist. An diesen beiden Gleichungen sieht man
dann wegen Lemma 2.3.4 (ii), dass
NL/Qp (x) = (−1)n a0
und
NL/Qp (x − 1) = (−1)n (1 + an−1 + . . . + a1 + a0 ).
Jetzt bleibt folgendes zu zeigen:
a0 ∈ Zp =⇒ 1 + an−1 + . . . + a1 + a0 ∈ Zp .
Wir zeigen hier sogar
a0 ∈ Zp =⇒ a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ Zp .
Sei also angenommen, dass a0 ∈ Zp aber nicht alle a1 , . . . , an−1 in Zp liegen.
Man multipliziert nun f (X) mit der kleinsten Potenz m von p, so dass alle
pm a0 , pm a1 , . . . , pm an−1 ∈ Zp . Man erhält somit das Polynom mit Koeffizienten
bi = pm ai ∈ Zp
g(X) = pm f (X) = bn X n + bn−1 X n−1 + . . . + b1 X + b0 ∈ Zp [X].
Es ist bn = pm durch p teilbar. Auch b0 = pm a0 ist durch p teilbar, da a0 nach
Voraussetzung aus Zp ist. Weiter, da m minimal gewählt ist, ist mindestens ein
Koeffizient von b1 , . . . , bn−1 nicht durch p teilbar.
Sei br ein solcher Koeffizient mit minimalem r. Dann bekommt man eine
Zerlegung
g(X) ≡ (bn X n−r + bn−1 X n−r−1 + . . . + br )X r
(mod p)
in mod p teilerfremde Faktoren. Mit dem Henselschen Lemma 1.6.8 folgt
hieraus, dass g(X) = pm f (X) reduzibel ist und somit auch f (X), was zu einem
Widerspruch führt.
Also ist | . |L eine Bewertung, die nun auch wirklich eine Fortsetzung von
| . |p ist, da NL/Qp (x) = xn für x ∈ Qp wegen Lemma 2.3.4 (i) gilt, q.e.d.
Definition 2.3.6 Die eindeutige Bewertung | . |L von L aus 2.3.5 heißt padische Bewertung von L und wird ebenfalls mit | . |p bezeichnet.
Zuletzt noch ein Beispiel dazu:
Beispiel 2.3.7 (p-tes Kreisteilungspolynom, Teil 2)
Nach Beispiel 2.1.3 ist das p-te Kreisteilungspolynom
Φp (X) =
Xp − 1
= X p−1 + X p−2 + . . . + X + 1
X −1
2.4. Algebraischer Abschluss Qp
39
irreduzibel über Qp . Es ist das Minimalpolynom von einer p-ten Einheitswurzel
ζ mit ζ 6= 1. Somit ist L = Qp (ζ) eine Erweiterung vom Grad p − 1. Weiter
sieht man am Minimalpolynom, dass
NL/Qp (ζ) = (−1)p−1 1
und deswegen ist
q
|NL/Qp (ζ)|p = 1.
|ζ|p =
p−1
Weiter ist Φp (X + 1) das Minimalpolynom von ζ − 1. Deswegen gilt
NL/Qp (ζ − 1) = (−1)p−1 p
und somit
q
|ζ − 1|p =
2.4
p−1
1
− p−1
|NL/Qp (ζ − 1)|p = p
.
Algebraischer Abschluss Qp
Jetzt endlich kann man ruhigen Gewissens den algebraischen Abschluss Qp als
Vereinigung aller endlichen Körpererweiterungen L von Qp bilden, da man jetzt
auch eine Bewertung hierfür erhält:
Wir konstruierten eben die p-adische Bewertung von endlichen Körpererweiterungen von Qp und basteln hieraus eine p-adische Bewertung der unendlichen
Körpererweiterung Qp , wie folgt.
Sei x ∈ Qp . Wir betrachten die dazugehörige Körpererweiterung Qp (x), die
endlich ist, da ihr Grad gerade der Grad des Minimalpolynoms von x ist. In
Qp (x) haben wir nach 2.3.5 | . |Qp (x) als eindeutige Fortsetzung von | . |p . Wir
definieren jetzt die Bewertung | . |Qp von Qp durch diese. Dies macht Sinn, da
diese Bewertung nur von x abhängt und nicht von der speziellen Körpererweiterung Qp (x):
Denn seien M ⊃ L ⊃ Qp Körpererweiterungen. So folgt wegen der Eindeutigkeit für die Fortsetzungen der p-adischen Bewertung | . |L auf L und | . |M
auf M aus 2.3.5, dass diese auf L übereinstimmen, d.h. für x ∈ L ⊂ M gilt
|x|L = |x|M .
Wir erhalten somit eine Bewertung8 des algebraischen Abschlusses der padischen Zahlen und diese setzt auch wieder die p-adische Bewertung fort.
Definition 2.4.1 Die Funktion
| . |Qp : Qp −→ R+ ,
x 7−→ |x|Qp := |x|Qp (x) =
q
n
|NQp (x)/Qp (x)|p
heißt p-adische Bewertung von Qp und wird von nun an ebenfalls mit | . |p
bezeichnet.
8
Um zu zeigen, dass es wirklich eine Bewertung ist, betrachte man für je zwei Elemente
x, y ∈ Qp die endliche Körperwerweiterung Qp (x, y), die auch Produkt und Summe enthält.
40
Kapitel 2. Die komplexen p-adischen Zahlen Cp
Die Frage ist nun, welche Werte diese Bewertung annehmen wird. Für Qp
war es die Wertemenge pZ0 . Dann sieht man aus obigem sofort, dass für eine
endliche Körpererweiterung L/Qp vom Grade n
1
|L|p ⊂ p0n
Z
gilt. Inwieweit die Wertemenge von L dort enthalten ist, soll nun etwas mehr
geklärt werden. Dazu sei für x ∈ Qp erinnert an die p-adische Exponentialbewertung νp (x). Es wurde νp (0) = ∞ gesetzt.
Definition 2.4.2 Sei L/Qp eine Körpererweiterung vom Grad n. Für x ∈ L×
definiert man νp (x) als die eindeutige rationale Zahl, die |x|p = p−νp (x) erfüllt.
Für x = 0 definiert man wieder νp (x) = ∞.
Die somit erhaltene Funktion
νp : L −→
1
Z ∪ {∞}
n
heißt p-adische Exponentialbewertung von L.
Man sieht aus obigem oder direkt aus 2.3.5, dass νp für x ∈ L× von folgender
Form ist:
1
νp (x) = νp (NL/Qp (x)).
n
Dies stimmt mit dem ursprünglichen νp auf Qp überein und hat ebenfalls die
Eigenschaften aus 1.2.5, insbesondere νp (xy) = νp (x) + νp (y). Dies besagt, dass
νp ein Gruppenhomomorphismus von (L× , ·) nach ( n1 Z, +) ist.
Nun wurde bereits erwähnt, dass νp (L× ) ⊂ n1 Z. Da νp ein Gruppenhomomorphismus ist, so ist νp (L× ) eine Untergruppe von n1 Z. Aus einfacher Überlegung muss es ein e ∈ N mit e | n geben, sodass die Untergruppe von der
Form
1
νp (L× ) = Z
e
ist. Diese Zahl e spielt nun eine besondere Rolle und bekommt einen Namen.
Definition 2.4.3 Sei L/Qp eine endliche Körpererweiterung und gelte
1
νp (L× ) = Z.
e
Dann heißt e der Verzweigungsindex von L über Qp .
Weiter heißt L/Qp unverzweigt, falls e = 1; L/Qp heißt verzweigt, falls
e > 1 und voll verzweigt, falls e = n.
Mit Hilfe dieser Begriffe kann man die endlichen Körpererweiterungen gut
beschreiben, wovon ich aber absehen will, da diese Arbeit einen anderen Schwerpunkt haben soll. Dazu siehe man etwa [Kob84] Kap.III.3.
Es sei hier nur soviel gesagt: In Qp hat die Zahl p eine besondere Rolle
gespielt, da p ein Element ist, das kleinste positive Exponentialbewertung hat,
2.4. Algebraischer Abschluss Qp
41
d.h. ein Minimum von νp > 0 annimmt: νp (p) = 1. Dies bedeutet, dass man
jedes Element x ∈ Qp als
x = pνp (x) u
schreiben kann, wobei |u|p = 1 und νp (x) ∈ Z.
Um etwas Ähnliches in einer endlichen Körpererweiterung L zu tun, sucht
man jetzt ein Element π, das ebenfalls das Minimum von νp > 0 annimmt, also
νp (π) = 1e . Dann ist klar, dass man jedes Element x ∈ L analog als
x = πk u
schreiben kann, wobei |u|p = 1 und k ∈ Z; hierbei ist k = e · νp (x).
Die Rolle von p übernimmt hier also ein solches π; in unverzweigten
Körpererweiterungen kann man beim p bleiben. Man kann dann analog zu Qp
zeigen, dass jedes x ∈ L eine Reihenentwicklung in Potenzen von π hat; siehe
dazu [Gou00] 5.4.5 oder [Kob84] Kap.III.3.
Nun aber zurück zu der Frage nach der Wertemenge der Bewertung | . |p .
Es wird ebenfalls in [Kob84] Kap.III.3 folgendes gezeigt:
Satz 2.4.4 Um eine Körpererweiterung L/Qp vom Grad n und Verzweigungsindex e zu erhalten, muss man folgendes tun:9
Zuerst konstruiert man eine unverzweigte Erweiterung vom Grad ne durch
Adjunktion einer primitiven (pn/e − 1)-ten Einheitswurzel.
Und danach konstruiert man eine voll verzweigte Erweiterung vom Grad
e der vorher erhaltenen Erweiterung durch Adjunktion einer Nullstelle eines
normierten Eisenstein-Polynoms (d.h. ein Polynom mit Voraussetzungen wie
in 2.1.1) .
Dieser Satz klingt kompliziert, ist er auch, aber er braucht uns jetzt nur für
eine Sache zu interessieren, weswegen hier auf eine Ausführung verzichtet wird:
Wir können jetzt voll verzweigte Körpererweiterungen jedes beliebigen Grades
n konstruieren, die als Wertemenge der p-adischen Bewertung
1
|L|p = p0n
Z
haben und natürlich alle im algebraischen Abschluss Qp enthalten sind. So
erhalten wir als Wertemenge darauf auch wirklich die ganze Menge
[ 1Z
¯ ¯
¯Qp ¯ =
p0n
p
n∈N
und halten fest:
Satz 2.4.5 Die Wertemenge der p-adischen Bewertung | . |p auf Qp ist
¯ ¯
¯Qp ¯ = pQ .
0
p
9
Man bedenke e | n, also n = ef für ein f ∈ N. Dabei werden der Verzweigungsindex und
der andere Faktor, dem auch eine Bedeutung zukommt, traditionell mit e und f bezeichnet.
42
Kapitel 2. Die komplexen p-adischen Zahlen Cp
+
Man beachte, dass pQ
0 in R0 dicht liegt, also die p-adische Bewertung auf
Qp nicht mehr diskret ist: Dazu bezeichne logp den Logarithmus zur Basis p.
Q
q
Zwischen je zwei Zahlen r < s ∈ R+
0 liegt ein p ∈ p0
r = plogp r < pq < plogp s = s,
da man wegen der Dichtheit von Q in R ein q ∈ Q mit
logp r < q < logp s
wählen kann.
Wieder definiert man die p-adische Exponentialfunktion:
×
Definition 2.4.6 Für x ∈ Qp definiert man νp (x) als die eindeutige rationale
Zahl, die |x|p = p−νp (x) erfüllt. Für x = 0 definiert man wieder νp (x) = ∞.
Die somit erhaltene Funktion
νp : Qp −→ Q ∪ {∞}
heißt p-adische Exponentialbewertung von Qp .
Da Q im Vergleich zu Z nicht mehr diskret ist, kann man hier kein Element
π mit minimalem νp (π) > 0 mehr finden. Somit ist auch die Darstellung der
Zahlen in einer Reihe in Potenzen von einem solchen π nicht mehr möglich.
Es ist jetzt, wie vorher schon erwähnt nicht klar, ob Qp vollständig bezüglich
dieser Bewertung ist, da es eine unendliche Körpererweiterung ist, wie in 2.3.5
beschrieben wurde. Dies ist nicht nur nicht klar, sondern auch wirklich nicht
wahr!
2.5
Qp ist nicht vollständig!
Jetzt ergibt sich folgendes Problem in Qp ⊃ Qp ⊃ Q, das im Falle C ⊃ R ⊃ Q
nicht auftritt:
Hauptsatz 2.5.1 Qp ist nicht vollständig.
Hierzu brauchen wir noch zwei Lemmata für ein paar technische Feinheiten:
Lemma 2.5.2 Es gilt
f0 | f
=⇒
0
pf − 1 | pf − 1.
Beweis. Man schreibt f = f 0 k und erhält
f
³
f0
p −1= p
´k
k−1 ³
³ 0
´X
´
0 i
f
−1 = p −1
pf ,
k
q.e.d.
i=0
Das zweite Lemma wird uns auch später noch sehr hilfreich sein. Hierbei betrachtet man Einheitswurzeln reduziert modulo p, d.h. man schreibt x ≡ y
(mod p), falls es ein u mit |u|p = 1 gibt, so dass x = y + pu.
2.5. Qp ist nicht vollständig!
43
Lemma 2.5.3
(i) Falls ggT (m, p) = 1, dann sind zwei verschiedene m-te Einheitswurzeln
unmöglich kongruent modulo p.
(ii) Ist zusätzlich noch ggT (n, p) = 1, dann können auch eine m-te und eine
dazu verschiedene n-te Einheitswurzel unmöglich kongruent modulo p
sein.
(iii) Haben m und n die Gestalt pf − 1 und pg − 1 (auch f = g), dann
gilt für eine m-te Einheitswurzeln ζ1 und eine dazu verschiedene n-te
Einheitswurzel ζ2
|ζ1 − ζ2 |p = 1.
Beweis. (i) Denn sind zwei m-te Einheitswurzeln ζ1 und ζ2 kongruent
ζ1 ≡ ζ2
(mod p),
so sind sie schon gleich: Auf Grund von ggT (m, p) = 1 und der Endlichkeit
der Gruppe (Z/mZ)× gilt pf ≡ 1 (mod m) für ein f ∈ N (etwa f = ϕ(m) :=
|(Z/mZ)× |). Somit kann man
f
f
ζ1 = ζ1p
und ζ2 = ζ2p
schreiben. Weiter gilt
f
f
ζ1p ≡ ζ2p
(mod pf +1 ),
denn
p µ f¶
X
f
p
=
ζ2p −i pi ui
i
f
f
ζ1p
pf
= (ζ2 + pu)
i=0
=
f
ζ2p
=
f
ζ2p
+
f
pf ζ2p −1 pu
+
f −1 µ
¶
pX
pf
i
i=2
+p
f +1
f
(ζ2p −1 u
f −i
ζ2p
f
f
pi ui + pp up
f
+ . . .) = ζ2p + pf +1 u0 .
Insgesamt ergibt sich
f
f
ζ1 = ζ1p ≡ ζ2p = ζ2
(mod pf +1 ).
Man kann das ganze jetzt für ein beliebiges Vielfaches kf von f machen und
erhält
ζ1 ≡ ζ2 (mod pkf +1 )
modulo einer beliebig hohen Potenz kf von p. Daraus folgt, dass |ζ1 − ζ2 | ≤
p−(kf +1) für alle k ∈ N. Deswegen muss ζ1 = ζ2 sein.
(ii) Ist noch ggT (n, p) = 1, so ist auch ggT (mn, p) = 1. Und analog gilt pf ≡
1 (mod mn) für ein f ∈ N. Falls ζm eine m-te und ζn eine dazu verschiedene
n-te Einheitswurzel bezeichnet, so gilt dann
f
p
ζm = ζm
f
und ζn = ζnp ,
44
Kapitel 2. Die komplexen p-adischen Zahlen Cp
und man kann analog wie in (i) schließen.
(iii) Wenn m und n diese Form haben, gilt insbesondere ggT (m, p) =
ggT (n, p) = 1. Weiter beachte man hierbei, dass solche Einheitswurzeln nach
2.4.4 unverzweigte Körpererweiterungen10 erzeugen und somit der Wertebereich
solcher Erweiterungen von νp nur Z ist.11 Deswegen kann man jetzt
|ζ1 − ζ2 |p > p−1
schließen (denn wäre |ζ1 − ζ2 | ≤ p−1 , also gleich p−i mit i = 1, 2, 3, . . ., dann
2
kann man ζ1 − ζ2 = pi u mit u := ζ1p−ζ
, also |u|p = 1, schreiben. Jetzt kann
i
man analog zu obigem ζ1 = ζ2 folgern.), d.h. |ζ1 − ζ2 |p = pi mit i = 0, 1, 2, . . ..
Andererseits gilt aber stets nach der verschärften Dreiecksungleichung
|ζ1 − ζ2 |p ≤ max(1, 1) = 1 = p0 ,
woraus die Behauptung folgt, q.e.d.
Jetzt hat man das Handwerkszeug zum
Beweis zu 2.5.1. Dazu benötigen wir eine Cauchy-Folge in Qp , die nicht unter
| . |p konvergiert. Da ja alle endlichen Körpererweiterungen von Qp vollständig
sind, müssen die Glieder dieser Folge aus immer größeren Körpererweiterungen
kommen, denn sonst würde eine bestimmte Körpererweiterung alle Folgenglieder enthalten und die Folge müsste konvergieren. Also wird es ein bisschen
kompliziert. Es wird [Cas86] S.150 gefolgt:
Man sucht zuerst eine Folge (ζi ) von Einheitswurzeln. Wir wählen ζ1 = 1
und für höhere i geht man folgendermaßen vor:
(i)
ζi ist eine Einheitswurzel deren Ordnung kein Vielfaches von p ist, d.h.
es gibt ein mi mit p - mi mit
ζimi = 1.
(ii)
Für jedes i ist ζi−1 ∈ Qp (ζi ), also
Qp (ζi−1 ) ⊂ Qp (ζi ).
(iii)
Der Grad der Erweiterung Qp (ζi )/Qp (ζi−1 ) ist größer als i, also
[Qp (ζi ) : Qp (ζi−1 )] > i.
10
Falls wir uns in einer verzweigten Körpererweiterung befinden wollen, so macht es Sinn,
hier p durch π zu ersetzen.
11
Dies gilt auch bei der Vereinigung aller unverzweigten Erweiterungen, die man in der
Literatur mit Qunr
(unr von unramified, also unverzweigt) bezeichnet. Wir bewegen uns
p
momentan also gar nicht in ganz Qp , sondern nur in einer echten Teilmenge Qunr
Qp !
p
2.5. Qp ist nicht vollständig!
45
Dies ist möglich: Zuerst sei einem noch einmal der Satz 2.4.4 bewusst. Man
bekommt eine unverzweigte Erweiterung vom Grad f , wenn man eine pf − 1te Einheitswurzel adjungiert. Wir wählen mi = pfi − 1 (so ist Bedingung (i)
erfüllt) mit folgenden fi :
Bedingung (ii) erreicht man einfach dadurch, dass man mi als Vielfaches von
mi−1 wählt. Dies wiederum erwirkt nach obigem Lemma dadurch, dass man fi
als ein Vielfaches von fi−1 wählt.
Ist Qp (ζi ) ⊃ Qp (ζi−1 ) ⊃ Qp mit [Qp (ζi ) : Qp ] = fi und [Qp (ζi−1 ) : Qp ] = fi−1
so ist [Qp (ζi ) : Qp (ζi−1 )] = fi /fi−1 . Wir müssen nun diese Zahl groß genug
wählen, nämlich größer als i und dann ist auch Bedingung (iii) erfüllt.
Nun konstruiert man die gewollte Cauchy-Folge, oder besser die gewollte
Reihe
∞
X
ζi pi ,
i=0
deren Folge der Partialsummen
sn =
n
X
ζi pi
i=0
nach 1.3.8 eine Cauchy-Folge in Qp bilden, da der Hauptterm ζi pi eine Nullfolge
bildet (|ζi pi |p = |pi |p = p−i → 0 für i → ∞).
Wir müssen jetzt zeigen, dass diese Reihe keinen Grenzwert in Qp besitzt
und nehmen dazu an, dass es so wäre: Sei S der Limes der Reihe. Wie auch
immer, S muss die Nullstelle eines irreduziblen Polynoms über Qp sein, da es
in dessen algebraischen Abschluss liegt. Sei g der Grad dieses Polynoms, so ist
[Qp (S) : Qp ] = g und wir betrachten nun die g-te Partialsumme
sg =
g
X
ζi pi .
i=0
Es ist
S − sg =
∞
X
ζi pi
i=g+1
und nach der verschärften Dreiecksungleichungen für Reihen 1.3.10 gilt
|S − sg |p ≤ p−(g+1) .
Man nimmt jetzt irgendeinen Körperautomorphismus σ : Qp −→ Qp , der
auf Qp die Identität ist (konjugierte Elemente haben die gleiche Bewertung,
also erhalten diese Automorphismen die Bewertung) und sieht
|σ(S) − σ(sg )|p ≤ p−(g+1) .
(2.1)
Bedingung (iii) für die ζ’s sagt für i = g, dass es mindestens g + 1 Automorphismen σ1 , . . . , σg+1 gibt, die den Körper Qp (ζg−1 ) fix lassen, also insbesondere
nach (ii) auch ζ1 , . . . , ζg−1 , aber ζg verschieden abbilden.
46
Kapitel 2. Die komplexen p-adischen Zahlen Cp
Für 0 ≤ k 6= l ≤ g + 1 erhalten wir nun
Ã
σk (sg ) − σl (sg ) =
g
σk (ζg )p +
g−1
X
!
ζi p
i
Ã
−
g
σl (ζg )p +
i=0
g−1
X
!
i
ζi p
i=0
= (σk (ζg ) − σl (ζg )) pg .
Dabei sind σk (ζg ) und σl (ζg ) verschiedene mg -te Einheitswurzeln. Nach obigem
Lemma gilt für diese
|σk (ζg ) − σl (ζg )|p = 1.
Und folglich ist
|σk (sg ) − σl (sg )|p = p−g .
Weiter wissen wir nach (2.1), dass
|σk (sg ) − σk (S)|p ≤ p−(g+1)
und |σl (sg ) − σl (S)|p ≤ p−(g+1) .
Wendet man jetzt den Satz über Dreiecke 1.3.4 zweimal an. Zuerst auf das
Dreieck mit den Eckpunkten σk (sg ), σl (sg ) und σl (S) und dann auf das Dreieck
mit den Eckpunkten σk (sg ), σl (S) und σk (S), so erhält man
|σk (S) − σl (S)|p = p−g ,
insbesondere ist σk (S) 6= σl (S). In anderen Worten hat man g + 1 Qp Automorphismen σ1 , . . . , σg+1 gefunden, sodass die Bilder von S alle unterschiedlich sind. Aber dann muss das Minimalpolynom von S mindestens g + 1
Nullstellen haben, was im Widerspruch zum Grad g des Minimalpolynoms von
S steht.
So folgt, dass S keine Nullstelle eines Polynoms über Qp sein kann und es
kann also nicht zu Qp gehören. Somit haben wir eine Cauchy-Folge konstruiert,
deren Grenzwert nicht in der Menge liegt, q.e.d.
Wir wollen nun wieder die Löcher stopfen und müssen somit die Vervollständigung bilden. Ist diese Vervollständigung dann auch algebraisch abgeschlossen oder muss man dieselbe Prozedur immer wiederholen? Hört das
auf? Ja, die Vervollständigung von Qp wird tatsächlich auch algebraisch abgeschlossen sein.
2.6
Cp als Vervollständigung von Qp
Man wendet jetzt einfach 1.6.1 auf (Qp , | . |p ) an und erhält den nichtarchimedisch bewerteten vollständigen Körper (CF| . |p (Qp )/ ∼, | . |p ).
Definition 2.6.1 Der Körper CF| . |p (Qp )/ ∼ heißt Körper der komplexen padischen Zahlen und man bezeichnet ihn mit Cp . Man schreibt für | . |p einfach
ebenso | . |p und nennt sie auch p-adische Bewertung.
2.6. Cp als Vervollständigung von Qp
47
Das ging jetzt leicht von der Hand, aber man mache sich bewusst, wie riesig
dieser Körper ist:
Q ⊂ Qp ⊂ Qp ⊂ Cp .
Man kann, wie in [Rob00] Kap.III.3.5, zeigen, dass Cp die gleiche Mächtigkeit
wie R hat und es gilt, dass C und Cp isomorph sind.
Jetzt stellt sich wieder die Frage nach den möglichen Werten, die für die
p-adische Bewertung auf Cp in Frage kommen. Die Antwort lautet: Dieselben
wie auf Qp .
Satz 2.6.2 Die Wertemenge der p-adischen Bewertung | . |p auf Cp ist
|Cp |p = pQ
0.
Beweis. Dies folgt wieder direkt aus der Aussage 1.3.6 und da Qp dicht in Cp
liegt, q.e.d.
Das nächste Resultat sagt uns jetzt, dass wir wirklich am Ziel unserer Reise
angekommen sind.
Hauptsatz 2.6.3 Cp ist algebraisch abgeschlossen.
Dazu braucht man ein Lemma, das sich in etwas allgemeinerer Form in
[Ami75] findet:
Lemma 2.6.4 Sei (K, | . |) ein vollständig nicht-archimedisch bewerteter
Körper der Charakteristik 0 und sei
f (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 ∈ K[X]
ein irreduzibles Polynom vom Grad n. Dann existiert ein ε > 0 mit folgender
Eigenschaft:
Falls g(X) = X n + bn−1 X n−1 + . . . + b1 X + b0 irgendein Polynom vom Grad
n mit
|ai − bi | < ε
für alle i = 0, 1, . . . , n − 1 ist, dann ist auch g(X) irreduzibel über K.
Beweis von 2.6.3. Wir betrachten ein irreduzibles Polynom
f (X) ∈ Cp [X].
Da Qp dicht in Cp liegt, können wir ein Polynom g(X) ∈ Qp [X] des gleichen
Grades mit Koeffizienten beliebig nahe an den Koeffizienten von f (X) finden.
Wenn wir die Koeffizienten von g(X) nah genug an die von f (X) wählen, ist
g(X) nach 2.6.4 irreduzibel über Cp und somit auch über Qp . Da aber Qp
algebraisch abgeschlossen ist, bedeutet das, dass g(X) den Grad 1 hat und
folglich, da f (X) und g(X) denselben Grad haben, auch f (X), q.e.d.
48
Kapitel 2. Die komplexen p-adischen Zahlen Cp
Das ist prima! Hier endet unsere Reise. Aber wie können wir uns diese
Zahlen vorstellen, wie setzen sie sich zusammen?
Es lässt sich analog zu Qp die p-adische Exponentialbewertung νp auf Cp
fortsetzen:
νp : Cp −→ Q ∪ {∞}
Da νp auch wieder nicht diskret ist (wie zuvor bei Qp ), gibt es ebenfalls kein
Element kleinster positiver Exponentialbewertung und somit auch keine Reihenentwicklung. Man kann aber ein Element 0 6= x ∈ Cp mit νp (x) = r = ab
immer noch folgendermaßen zerlegen: Man findet irgendeine Nullstelle des Polynoms X b − pa und bezeichnet diese mit pr (für diese gilt auch νp (pr ) = ab );
dann ist u0 = pxr mit |u0 |p = 1. Dieses u0 kann man jetzt weiter durch eine
0
Einheitswurzel ζ teilen und man erhält u = uζ , was ebenfalls |u|p = 1 erfüllt
(welche Einheitswurzel man am besten nimmt, ist abhängig, zu welchem Zweck
man die Zerlegung braucht). So ergibt sich
Satz 2.6.5 Jedes Element 0 6= x ∈ Cp mit νp (x) =
a
b
lässt sich als Produkt
x = pr ζu
darstellen, wobei pr eine Nullstelle des Polynoms X b −pa , ζ eine Einheitswurzel
und u ein Element mit |u|p = 1 ist.
2.7
Zusammenfassung: Q ⊂ Qp ⊂ Cp und Q ⊂ R ⊂ C
Zusammenfassend soll noch einmal festgehalten werden: Abhängig von der Bewertung erhält man als Vervollständigung von Q die Körper
R
oder Qp
und die Frage nach dem vollständigen algebraischen Abschluss wird mit
C oder Cp
beantwortet. Diese Analogie sollte man sich immer vor Augen halten.
Der Zwischenkörper Qp war für uns nur Mittel zum Zweck zur Konstruktion
von Cp und interessiert uns ab jetzt nicht mehr, da er nicht vollständig ist und
wir ja schließlich von nun an Analysis betreiben wollen.
Abschließend soll noch erwähnt werden, dass Cp nicht sphärisch abgeschlossen ist. Ein Raum heißt sphärisch abgeschlossen, wenn jede absteigende Folge
von abgeschlossenen Bällen einen nicht-leeren Durchschnitt besitzt. Man kann
auch einen solchen Abschluss bilden. Für unsere Zwecke ist diese Eigenschaft
aber nicht notwendig und wird daher nicht Thema sein. Es wird auf [Rob00]
Kap.3 verwiesen.
Mit folgendem Satz aus [Kob84] möchte ich den ersten Teil über die Grundlagen der Zahlen Cp beschließen:
The field Cp is a beautiful, gigantic realm, in which p-adic analysis lives.
Kapitel 3
Grundlagen der p-adischen
Funktionentheorie
Nun beginnt der Aufbruch in die faszinierende Welt der p-adischen Funktionentheorie, in der so manches gleich zu C ist, aber doch auch gravierende Unterschiede herrschen. Man soll sich klar machen, dass im Prinzip alles aus
einer “kleinen” Abänderung hervorgeht. Nicht einmal das, sondern nur einer
Verschärfung einer der Bedingungen, nämlich eine verschärfte Dreiecksungleichung. Natürlich ist es nicht verwunderlich, wenn man weiß, dass schließlich ein
total anderes Konzept dahinter steckt.
Unsere Absicht ist es nun, alles von diesem Blickwinkel aus zu betrachten
und uns vom Vorbild der wunderschönen Funktionentheorie leiten zu lassen,
um zu sehen, was ihr gleicht und was von ihr verschieden ist. Deswegen ist
versucht worden, den Aufbau ganz analog zu gestalten, wie man vielleicht schon
dem Inhaltsverzeichnis entnehmen konnte (als Richtlinie wurde ein klassisches
Funktionentheorielehrbuch, wie [RS01], [Jän99] oder [FB00] benutzt).
Es wird grundlegend mit der Geometrie und Topologie begonnen und anschließend Folgen, Reihen, Funktionen, Stetigkeit, Differentiation, Potenzreihen, usw. behandelt, natürlich nicht erschöpfend, sondern es wird vielmehr eine
lehrende Auswahl geboten, die auch eine gewisse Ästhetik ausüben soll.
Wir werden gleich von Anfang an über dem Körper Cp Analysis betreiben,
wenn gleich noch viele Beispiele des besseren Verständnisses wegen in Qp oder
gar Zp gebracht werden.
3.1
Elementare Geometrie und Topologie ultrametrischer Räume
Die Geometrie und Topologie wird besser gleich im allgemeinen Rahmen eines
ultrametrischen Raumes abgehandelt.
Definition 3.1.1 Ein ultrametrischer Raum (X, d) ist ein metrischer Raum,
in dem für x, y, z ∈ X die so genannte ultrametrische Ungleichung gilt:
d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(x, z))
50
Kapitel 3. Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
Somit sind gleichzeitig unsere nicht-archimedischen Körper Qp und Cp , die
ultrametrische Räume sind, behandelt. In solchen Räumen herrscht, wie schon
am Beispiel von Q in 1.1 und 1.2 diskutiert, ein exotischer Abstandsbegriff.
Der Anschauung entzogen, die sich eigentlich nur auf die euklidischen Räume
Rn mit n = 1, 2, 3 beschränkt, können wir dementsprechend mit unintuitiven
Resultaten in der Geometrie und einer verrückten Topologie rechnen, die sich
jedoch zu studieren lohnen.
3.1.1
Geometrie
Sobald man die Möglichkeit hat, Abstände zu messen, kann man auch Geometrie betreiben. Wenn nichts anderes gesagt wird, befinden wir uns im folgenden
immer in einem ultrametrischer Raum (X, d). Dort gilt auch folgender interessanter Satz, dessen Beweis ganz analog wie in einem nicht-archimedischen
Körper von statten geht. Der Vollständigkeit halber soll er aber gebracht werden.
Satz 3.1.2 (über Dreiecke) Alle Dreiecke sind gleichschenklig, mit einer
kürzeren Seite, oder gleichseitig.
Beweis. Man betrachte ein Dreieck in X mit den Eckpunkten x, y und z .
Sei nun ohne Einschränkung d(x, y) ≥ d(y, z), so gilt nach der ultrametrischen
Ungleichung
d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)) = d(x, y)
und andererseits
½
d(x, y) ≤ max(d(x, z), d(z, y)) =
d(x, z),
d(z, y),
so ist d(x, z) = d(x, y) ≥ d(y, z)
so ist d(x, y) = d(y, z) ≥ d(x, z),
q.e.d.
In Bildern gesprochen heißt das
Solche Dreiecke gibt es. . .
££BB
£ B
B
£
JJ
B
J
£

B
J
£

B
J
£

. . . und solche nicht! ¢¢
¢
#
#
##cc
c
c
¢
¢
¢
Abbildung 3.1: Von links: ein gleichschenklinges Dreieck mit einer kürzeren
Seite, ein gleichseitiges Dreieck, ein gleichschenkliges Dreieck mit einer längeren
Seite und ein nicht-gleichschenkliges Dreieck.
Folgerung 3.1.3 (über n-Ecke) Für n ≥ 3 haben alle n-Ecke mindestens
zwei gleich lange Seiten, die von maximaler Länge sind.
3.1. Elementare Geometrie und Topologie ultrametrischer Räume
51
Beweis über Induktion. Der Induktionsanfang ist der Satz über Dreiecke.
Der Induktionsschritt von n − 1 nach n: Man betrachte ein n-Eck mit den
Eckpunkten x1 , . . . , xn . Man nehme einen Punkt, o.E. xn , heraus und erhält
ein (n − 1)-Eck mit einer neuen Seite, definiert durch die Punkte xn−1 und x1 .
Nach Induktionsvoraussetzung hat dieses (n − 1)-Eck zwei gleich lange Seiten,
die maximal sind.
Ist die neue Seite (definiert durch xn−1 und x1 ) keine maximale Seite, so
gibt es kein Problem.
Falls aber die neue Seite maximal ist, kann man dies wiederum mit dem
Satz über Dreiecke für das Dreieck x1 , xn−1 und xn klären: Entweder gilt
d(xn−1 , xn ) = d(xn , x1 ) ≥ d(xn−1 , x1 ) oder d(xn−1 , x1 ) bleibt auch im Dreieck maximal. Dann muss aber noch eine zweite Seite im Dreieck, die auch eine
Seite des n-Ecks ist, die gleiche maximale Länge haben.
In jedem Fall erhält man nun im n-Eck zwei gleich lange Seiten, die dort
von maximaler Länge sind, q.e.d.
Man definiert für r ≥ 0 und a ∈ X den abgeschlossenen Ball
B≤r (a) := {x ∈ X : d(x, a) ≤ r},
den offenen Ball
B<r (a) := {x ∈ X : d(x, a) < r}
und die Sphäre
Sr (a) := {x ∈ X : d(x, a) = r},
für welche man jetzt folgende überraschende Resultate bekommt:
Satz 3.1.4 (über Bälle, Teil 1) In ultrametrischen Räumen gilt:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Jeder Punkt eines Balls ist Mittelpunkt des Balls.
Falls zwei Bälle einen gemeinsamen Punkt haben, ist einer im anderen
enthalten.
Der Durchmesser eines Balls ist kleiner oder gleich seinem Radius.
Seien B und B 0 zwei disjunkte Bälle. Dann gilt d(B, B 0 ) = d(x, x0 ) für
alle x ∈ B und x0 ∈ B 0 .
Beweis. Für offene Bälle sieht man:
(i) Sei b ∈ B<r (a), also d(a, b) < r. So gilt
(∗)
x ∈ B<r (a) ⇔ d(x, a) < r ⇐⇒ d(x, b) < r ⇔ x ∈ B<r (b);
(∗) gilt bei “⇒” wegen d(x, b) ≤ max(d(x, a), d(a, b)) < r und analog bei “⇐”.
Also ist B<r (a) = B<r (b).
(ii) Sei c ∈ B<r (a) ∩ B<r0 (b). Nach (i) gilt B<r (a) = B<r (c) und B<r0 (b) =
B<r0 (c). So ist ein Ball im anderen enthalten, je nachdem welcher Radius größer
ist.
(iii) Nach (i) ist die größte Entfernung, die zwei Punkte x, y ∈ B<r (a) haben
können, kleiner als r.
52
Kapitel 3. Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
Für abgeschlossene Bälle beweist man (i)-(iii) völlig analog. Man bedenke
nur, dass man bei (ii) noch zusätzlich offene mit abgeschlossenen Bällen schneiden muss, was aber auch ganz analog läuft.
(iv) Man nehme vier Punkte: x, y ∈ B und x0 , y 0 ∈ B 0 . Nach dem Satz über
n-Ecke hat das Viereck, definiert durch die Punkte x, x0 , y 0 , y, zwei gleich lange
maximale Seiten. Diese beiden Seiten können nur d(x, x0 ) = d(y, y 0 ) sein, da die
Bälle disjunkt sind.
Weiter haben nach mehrmaliger Anwendung des Satzes über Dreiecke alle Paare von Punkten x ∈ B, x0 ∈ B 0 den gleichen Abstand. Deswegen ist dieser unabhängig von der Wahl der zwei Punkte:
d(B, B 0 ) = inf x∈B,x0 ∈B 0 d(x, x0 ) = d(x, x0 ), q.e.d.
Wieder in Bildern heißt das
Möglich sind. . .
. . . aber nicht so etwas!
'$
'$
¾»
º·
r
r
r
½¼ r ¹¸
&%
&%
'$
Â¿
ÁÀ
&%
Abbildung 3.2: Von links: disjunkte Bälle, ineinander enthaltene Bälle und sich
schneidende Bälle, die nicht ineinander enthalten sind. Die Punkte stellen mögliche Mittelpunkte der Kreise dar.
Auch Sphären verhalten sich eigenartig, wie sich vielleicht schon in obigem
Bild im zweiten Ball von links andeutet:
Satz 3.1.5 (über Sphären, Teil 1) In ultrametrischen Räumen gilt für x ∈
Sr (a) mit r > 0, dass
B<r (x) ⊂ Sr (a)
und
Sr (a) =
[
B<r (x).
x∈Sr (a)
Beweis. Sei x ∈ Sr (a) und b ∈ B<r (x), d.h. d(x, a) = r und d(b, x) < r. So
gilt nach dem Satz über DreieckeSfür das Dreieck a, b, x, dass d(b, a) = r, also
b ∈ Sr (a). Somit gilt Sr (a) ⊃ x∈Sr (a)
S B<r (x) und schließlich ist für jedes
x ∈ Sr (a) natürlich stets x ∈ B<r (x) ⊂ x∈Sr (a) B<r (x), q.e.d.
Leider ist mir keine gute Idee eingefallen eine Sphäre einfach zu illustrieren.
Vielleicht als Kreisring, aber auch das ist nicht passend, da die Bälle darin
wieder den Radius des großen Balles haben müssten. Ein interessantes Bild des
3-adischen Einheitsballs findet sich in [Kob84] auf Seite ii.
Nochmal eine kurze Zusammenfassung: Bälle und Sphären sind keineswegs
so, wie man sie sich vorstellt! Bälle sind entweder disjunkt oder ineinander
3.1. Elementare Geometrie und Topologie ultrametrischer Räume
53
enthalten mit jeder Menge Mittelpunkte, die alle gleich weit von einem Punkt
außerhalb des Balls entfernt sind. Sphären dagegen sind keineswegs die Randpunkte eines Balls, sondern ebenfalls mittendrin. . .
Bemerkung 3.1.6 (über Bälle, Teil 2)
(i)
In Qp sind die B≤r (a) mit r > 0 der Form
B≤p−i (a) = a + pi Zp ,
i ∈ Z,
und die B<r (a) mit r > 0 der Form
B<p−i (a) = a + pi+1 Zp ,
(ii)
i ∈ Z.
In Cp sind die B≤r (a) mit r > 0 der Form
B≤p−i (a) = a + pi B≤1 (0),
i ∈ Q,
und die B<r (a) mit r > 0 der Form
B<p−i (a) = a + pi B<1 (0),
i ∈ Q.
Beweis. (i) In Qp kommen für r nur Werte in pZ0 in Frage, also sind alle abgeschlossenen Bälle mit einem Radius > 0 der Form B≤p−i (a). Insbesondere ist
B≤1 (0) = Zp und daher B≤p−i (0) = pi Zp . Somit ist der allgemeine abgeschlossene Ball um a in Qp von der besagten Form. Die Aussage über die offenen
Bälle ergibt sich, wenn man B<1 (0) = pZp beachtet.
(ii) Nach 2.6.2 kommen für r in Cp nur Werte in pQ
0 in Frage, also sind alle
abgeschlossenen Bälle mit einem Radius > 0 der Form B≤p−i (a). Analog ist
der allgemeine abgeschlossene Ball um a in Cp von der besagten Form. Ebenso
ergibt sie sich für die offenen Bälle, q.e.d.
Der schöne Zusammenhang zwischen offenen Bällen und geschlossenen
Bällen in Qp geht in Cp verloren, da die Bewertung nicht mehr diskret ist.
Die Begriffe der offenen und abgeschlossen Bälle sind aber auch Begriffe der
Topologie und sollen jetzt dahingehend näher untersucht werden.
3.1.2
Topologie
Die Begriffe offen und abgeschlossen sind für den Begriff eines Balls in einem
ultrametrischen Raum trügerisch. Deswegen wurde anstatt
Br (a) und Br (a)
die Notation
B<r (a) und B≤r
gewählt.
54
Kapitel 3. Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
Natürlich gilt, wie in jedem metrischen Raum (dazu etwa [For20], §1), dass
die offenen bzw. abgeschlossen Bälle auch wirklich offen bzw. abgeschlossen
sind. Angemerkt sei, dass die offenen Bälle in natürlicher Weise eine Basis einer
Topologie bilden (d.h. jede andere offene Menge ist eine Vereinigung von offenen
Bällen und die Vereinigung aller offenen Bälle ergibt den ganzen metrischen
Raum X). In ultrametrischen Räumen X gilt aber mehr.
Definition 3.1.7 Eine Menge B ⊂ X heißt geschloffen, falls sie offen und
zugleich abgeschlossen ist.
Geschloffen wurde frei aus dem Englischen übersetzt: clopen. Es ist auf
Deutsch aber fast schöner. In Qp folgt mit Bemerkung 3.1.6 leicht, dass alle
Bälle geschloffen sind, da B≤p−(i+1) (a) = B<p−i (a). In Cp ist das nicht mehr
so einfach, da bereits i ∈ Q ist. Es gilt aber in allgemeinen ultrametrischen
Räumen folgender
Satz 3.1.8 (über Bälle, Teil 3) In ultrametrischen Räumen gilt:
(i)
(ii)
Der offene Ball ist geschloffen.
Der abgeschlossene Ball ist für r > 0 geschloffen.
Beweis. (i) Sei x ein Randpunkt von B<r (a), d.h. für alle s > 0 gibt es ein
y ∈ B<r (a) ∩ B<s (x). Wähle s ≤ r. Daraus folgt
d(x, a) ≤ max(d(x, y), d(y, a)) < max(s, r) = r,
d.h. x ∈ B<r (a). Also gehört jeder Randpunkt von B<r (a) auch zu B<r (a), was
heisst, dass B<r (a) auch geschlossen ist.
(ii) Sei x ∈ B≤r (a). Nach Satz 3.1.4 (i) ist B≤r (a) = B≤r (x). Für r > 0 ist
nun B<r (x) ⊂ B≤r (a) eine offene Umgebung für x. Dies besagt, dass B≤r (a)
auch offen ist, q.e.d.
Dasselbe gilt für die Sphären:
Satz 3.1.9 (über Sphären, Teil 2) In ultrametrischen Räumen ist die
Sphäre für r > 0 geschloffen.
Beweis. Die Sphäre Sr (a) ist in jedem metrischen Raum geschlossen, da die
Funktion x 7→ d(x, a) stetig ist und somit das Urbild der abgeschlossenen
Menge {r} abgeschlossen ist. Dass eine Sphäre mit positivem Radius auch
offen ist, folgt unmittelbar aus 3.1.5, q.e.d.
In R oder C sind die einzigen geschloffenen Mengen nur sie selbst und die
leere Menge. Dies liegt daran, dass R und C zusammenhängend sind. Hier aber
hat man gleich eine Basis der Topologie, deren Mengen allesamt geschloffen
sind. Dies macht die Topologie eher exotisch.
Satz 3.1.10 Ein ultrametrischer Raum ist ein total unzusammenhängender
Hausdorffraum.
3.1. Elementare Geometrie und Topologie ultrametrischer Räume
55
Beweis. Jeder metrische Raum ist ein Hausdorffraum, da man zwei Punkte x, y
einfach durch zwei offen Kugeln mit Radius 21 d(x, y) trennen kann.
Total unzusammenhängend heißt, dass die Zusammenhangskomponente eines jeden Punktes x ∈ X nur die Menge {x} aus diesem Punkt selbst ist. Sei
Z ⊂ X die Zusammenhangskomponente von x. Es ist ja {x} ⊂ Z; würde nun
Z einen weiteren Punkt y enthalten, so würde Z nicht zusammenhängend sein:
Sei d(x, y) = r. Zu x wählt man den offenen Ball B<r/2 (x), der y nicht enthält,
und das Komplement dieses Balls, das ebenfalls offen ist, da der Ball nach Satz
3.1.8 auch geschlossen ist. Man erhält somit eine disjunkte Zerlegung von Z
Z = (Z ∩ B<r/2 (x)) ∪ (Z ∩ (B<r/2 (x))c )
in zwei nichtleere offene1 Mengen, q.e.d.
Dies hat zur Folge, dass man keine klaren Begriffe, wie Intervall oder Kurve
hat (zumindest nicht im gewöhnlichen Sinn). Weiter sind R und C lokalkompakt
und die kompakten Mengen sind dort nach dem Satz von Heine-Borel (siehe
[For20]) gerade die beschränkten und abgeschlossenen Mengen.
Satz 3.1.11 In Qp gilt:
(i)
(ii)
Zp ist kompakt.
Qp ist lokalkompakt.
Beweis. Sobald (i) gezeigt ist, folgt (ii) aus Bemerkung 3.1.6: Die Bilder von
Zp der stetigen Körperoperationen Qp 3 x 7→ a+x ∈ Qp und Qp 3 x 7→ px ∈ Qp
(sie sind sogar Homöomorphismen) sind kompakt. Also sind a + Zp , oder gar
a + pn Zp kompakte Umgebungen von a.
Nun zu (i): In metrischen Räumen sind die Begriffe kompakt und folgenkompakt äquivalent (siehe [Jän01] 6.3). Sei also (xn ) eine Folge in Zp . Man
entwicklt alle xn p-adisch und wählt dann mittels des Diagonalverfahrens eine
konvergente Teilfolge aus:
x1 = a11 + a12 p + a13 p2 + a14 p3 + . . .
x2 = a21 + a22 p + a23 p2 + a24 p3 + . . .
x3 = a31 + a32 p + a33 p2 + a34 p3 + . . .
..
.
Zuerst gibt es unendlich viele i mit gleichen ai1 (man bedenke, dass die
Koeffizienten nur endlich viele Werte 0, . . . , p − 1 annehmen). Wähle also diese
erste Teilfolge mit den gleichen ersten Koeffizienten ai1 aus. Als nächstes gibt
es in dieser ersten Teilfolge wieder unendlich viele i mit gleichen ai2 . Wähle
nun aus der ersten Teilfolge die zweite Teilfolge mit den gleichen ersten beiden
Koeffizienten ai1 und ai2 aus, usw..
Nun nimmt man die Teilfolge, bestehend aus dem ersten Glied der ersten
Teilfolge, dem zweiten Glied der zweiten Teilfolge,. . . , dem i-ten Glied der i-ten
1
Offen in der Teilraumtopolgie von Z!
56
Kapitel 3. Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
Teilfolge, usw.. Diese Teilfolge ist trivialerweise konvergent, q.e.d.
Leider gilt dies nicht mehr für den Körper Cp , was ein weiterer grober Unterschied zu C ist.
Satz 3.1.12 Cp ist nicht lokalkompakt.
Beweis. Wir zeigen, dass der Einheitsball B≤1 (0) nicht folgenkompakt ist. Dazu
nehmen wir irgendeine Folge von verschiedenen pf − 1-ten Einheitswurzeln (ζi ),
wobei f ∈ N. Dann sagt einem Lemma 2.5.3, dass für je zwei solche Einheitswurzeln ζi und ζj mit i 6= j
|ζi − ζj |p = 1
gelten muss, d.h. alle Folgenglieder haben einen Abstand 1 zueinander. Es
kann somit auch keine konvergente Teilfolge geben, q.e.d.
Dies waren die Grundlagen der Geometrie und Topologie, die im folgenden
benötigt werden.
3.2
Konvergenz von Folgen und Reihen
Auch hier wollen wir wieder möglichst allgemein arbeiten. Es sei einem aber
bewusst, dass man bei der Reihenbildung eine Addition braucht, die in einem
ultrametrischen Raum nicht unbedingt gegeben sein muss. Zuerst aber zu den
3.2.1
Folgen
Definition 3.2.1 Eine Folge in einem ultrametrischen Raum (X, d) heißt konvergent, falls sie bzgl. der Metrik d konvergiert.
Speziell für Cp wurde das Wichtigste schon gesagt:
Es konvergieren alle Cauchy-Folgen.
Man kann auf Grund der ultrametrischen Ungleichung diverse Resultate der
Konvergenz verschärfen:
Satz 3.2.2 (Cauchy-Kriterium für Folgen) Für eine Folge (xn ) in einem
ultrametrischen Raum gilt:
(xn ) ist eine Cauchy-Folge
⇐⇒
lim d(xn , xn+1 ) = 0.
n→∞
Beweis. Ganz analog zu 1.3.7: Die eine Richtung ist sowieso klar und zur anderen
betrachte man für d(xn , xn+1 ) < ε (für große n)
d(xn , xn+m ) ≤ max d(xn+i , xn+i+1 ) < ε,
0≤i<m
q.e.d.
Damit haben wir, da wir in dem vollständigen Körper Cp arbeiten, ein sehr
hilfreiches Konvergenzkriterium für Folgen. Folgende Beispiele sollen ein Gefühl
für die Konvergenz von Folgen vermitteln:
3.2. Konvergenz von Folgen und Reihen
57
Beispiele 3.2.3
(1)
xn = n!
konvergiert gegen 0,
da für n ≥ mp und ein großes m gilt
|n!|p ≤ |1 · 2 · · · p · · · 2p · · · mp|p = p−m < ε.
(2)
xn = n divergiert,
da |(n + 1) − n|p = 1 9 0 für alle n und somit (xn ) keine Cauchy-Folge
ist.
(3)
xn =
1
n
divergiert,
da für n > 0 gilt
¯
¯
¯
¯
¯1
¯
¯
¯
1
νp (n2 +n)
¯ − 1 ¯ =¯
¯
≥ 1.
¯n n + 1¯
¯ n(n + 1) ¯ = p
p
p
(4)
xn = pn
konvergiert gegen 0,
da |pn |p = p−n < ε für ein genügend großes n gilt.
(5)
xn = (1 + p)p
n
konvergiert gegen 1.
Man betrachtet dazu
pn
(1 + p)
Ã pn µ ¶ !
pn µ n ¶
X pn
X
p
−1=
pi − 1 =
pi
i
i
i=0
i=1
und weiter ist für jedes i ∈ N
¯ i¯
¯p ¯
¯ ¯ = |p · p · · · p|p ≤ 1.
¯ i! ¯
|1 · 2 · · · i|p
p
Jetzt sieht man, dass für ein genügend großes n
¯µ n ¶ ¯
¯
¯ p
¯
¯
¯(1 + p)pn − 1¯ ≤
pi ¯¯
max n ¯¯
p
i=1,...,p
i
p
¯ i¯
¯p ¯
=
max n |p (p − 1) · · · (p − i + 1)|p ¯¯ ¯¯
i=1,...,p
i! p
n
≤
=
n
max |pn (pn
i=1,...,pn
|pn |p = p−n <
n
− 1) · · · (pn − i + 1)|p
ε.
58
Kapitel 3. Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
Dies sind interessante Beispiele, an denen man sieht, dass hier alles ganz
anders läuft wie im archimedischen Fall: Schnell wachsende Zahlenfolgen n!
konvergieren und andere Folgen, die normalerweise Nullfolgen sind, wie n1 , divergieren. Bemerkenswert für die Konvergenz in ultrametrischen Räumen (analog
zu nicht-archimedischen Körpern) ist auch der
Satz 3.2.4 Falls limn→∞ xn = x 6= a gilt, dann ist d(xn , a) = d(x, a) für große
n.
Dies heißt speziell für a = 0 und einer Folge in Cp , dass, falls limn→∞ xn =
x 6= 0 gilt, ist |xn |p = |x|p für große n.
Beweis. Sobald d(xn , x) < d(x, a), was nach Konvergenz von xn gegen x für
große n gelten muss, so ist nach dem Satz über Dreiecke d(xn , a) = d(x, a),
q.e.d.
3.2.2
Reihen
Hierfür reicht der Begriff des ultrametrischen Raumes nicht mehr aus, denn
man braucht noch eine Addition. Da aber auch hier angestrebt wird, möglichst
allgemein zu arbeiten, folgt die
Definition 3.2.5 Eine ultrametrische abelsche Gruppe (X, +, d, | . |) ist ein
ultrametrischer Raum (X, d) mit folgenden zusätzlichen Eigenschaften:
(i)
(ii)
(X,+) ist eine abelsche Gruppe
Die Metrik d ist invariant bzgl. der Addition, d.h. für x, y, z ∈ X gilt
d(x + z, y + z) = d(x, y).
(iii)
| . | : X −→ R+ ,
x −→ |x| := d(x, 0).
Die Funktion | . | ist eine Art Bewertung der Gruppe, die folgende Eigenschaften besitzt:
Bemerkung 3.2.6 Für | . | gilt:
(i)
(ii)
(iii)
|x| = 0 ⇔ x = 0
| − x| = |x|
|x + y| ≤ max(|x|, |y|)
Beweis. (i) folgt direkt aus der Eigenschaft der Definitheit der Metrik.
(ii) | − x| = d(−x, 0) = d(0, x) = d(x, 0) = |x|.
(iii) |x + y| = d(x + y, 0) ≤ max(d(x + y, y), d(y, 0)) ≤ max(d(x, 0), d(y, 0)) =
max(|x|, |y|), q.e.d.
Umgekehrt ist klar: wenn man eine Funktion | . | : X −→ R+ mit den Eigenschaften (i)-(iii) aus 3.2.6 hat, so kann man eine bzgl. der Addition invariante
Ultrametrik definieren, wie gehabt mit d(x, y) := |x − y|. Somit wissen wir, dass
3.2. Konvergenz von Folgen und Reihen
59
unsere bewerteten Körper Qp und Cp auch ultrametrische abelsche Gruppen
sind.
Definition 3.2.7 Eine Reihe in einer ultrametrischen abelschen Gruppe
(X, +, d, | . |) heißt konvergent, falls die Folge der Partialsummen in X konvergiert.
P
Die Analysis der konvergenten Reihen ∞
i=0 xi in ultrametrischen abelschen
Gruppen ist nun einfacher als die klassische Analysis. Ganz allgemein bilden
die Reihenglieder xi eine Nullfolge, denn
lim xn = lim
n→∞
n→∞
n
X
xi − lim
n→∞
i=0
n−1
X
xi = 0.
i=0
Die Umkehrung ist in R und C ärgerlicherweise falsch: das klassische Beispiel
dafür ist die harmonische Reihe
∞
X
1
i=0
i
.
In Cp löst sich dieses Dilemma in Wohlgefallen auf: 1i ist keine Nullfolge und
kann gleich von vornherein nicht konvergieren. Dies ist kein Einzelfall. Es gilt in
vollständigen ultrametrischen abelschen Gruppen folgender wünschenswerter
Satz 3.2.8 (Konvergenz-Kriterium für Reihen) In vollständigen ultrametrischen abelschen Gruppen gilt:
∞
X
xi ist konvergent
⇐⇒
i=0
lim xi = 0.
i→∞
Beweis. Sei also limi→∞ xi = 0. So ist
Ã n
!
X n−1
X
lim d
xi ,
xi = lim
n→∞
i=0
¯ n
¯
n−1
¯X
¯
X
¯
¯
xi −
xi ¯ = lim |xn | = 0
¯
n→∞ ¯
¯ n→∞
i=0
i=0
i=0
und deshalb ist die Folge der Partialsummen nach dem Cauchy-Kriterium für
Folgen 3.2.2 eine Cauchy-Folge und somit konvergent, q.e.d.
Dieses Konvergenz-Kriterium ist fundamental; es vereinfacht die Konvergenztheorie von Reihen ungemein!
Beispielsweise spielt deswegen ein wechselndes ± der Koeffizienten für die
Konvergenz der Reihe keine Rolle. Von so etwas wie einem Leibnizkriterium für
alternierende Reihen kann also hier keine Rede sein.
Satz 3.2.9 (Verallgemeinerte verschärfte Dreiecksungleichung)
In ulP∞
trametrischen abelschen Gruppen gilt, falls die Reihe i=0 xi konvergent ist
¯∞ ¯
¯X ¯
¯
¯
xi ¯ ≤ max |xi |.
¯
¯
¯
i∈N
i=0
60
Kapitel 3. Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
Der Beweis ist wortwörtlich der gleiche, wie bei nicht-archimedischen Körpern
in 1.3.10. Man muss nur | . | für ϕ( . ) schreiben, q.e.d.
Wieder sollen zuletzt Beispiele ein Gefühl für die Konvergenz von Reihen in
Cp vermitteln.
Beispiele 3.2.10
(1)
∞
X
pi =
i=0
1
.
1−p
Nach dem Konvergenz-Kriterium konvergiert die Reihe, da pi eine Nullfolge ist. Aber dies sagt einem leider nicht gegen was.
Pn−1Es igilt die endlin
che geometrische Summenformel 1 − p = (1 − p) i=0 p . Weiter folgt
|1 − p|p = 1 aus |p|p < |1|p nach dem Satz über Dreiecke. So ist für ein
genügend großes n
¯
¯
n−1
¯ 1
¯
X
|1 − (1 − pn )|p
¯
¯
−
pi ¯ =
= p−n < ε.
¯
¯1 − p
¯
|1 − p|p
i=0
(2)
p
In der Einführung wurde schon
∞
X
(p − 1) pi = −1
i=0
erwähnt. Dort galt diese Gleichheit formal (man addiere 1 und erhält
0). In unserer p-adischen Bewertung konvergiert diese Reihe auch gegen
−1, denn für ein genügend großes n gilt
¯
¯Ã
¯
¯
!
n
n
¯
¯
¯
¯ X
X
¯
¯
¯
¯
(p − 1) pi ¯
(p − 1) pi − (−1)¯ = ¯p +
¯
¯
¯
¯
¯
i=1
i=0
p
p
¯
¯
n
¯
¯
X
¯
¯
(p − 1) pi ¯
= ¯p2 +
¯
¯
i=2
..
.
p
¯
¯
n
¯
¯
X
¯
¯ n−1
+
(p − 1) pi ¯
= ¯p
¯
¯
i=n−1
p
¯ n+1 ¯
−(n+1)
¯
¯
=p
< ε.
= p
p
3.2. Konvergenz von Folgen und Reihen
(3)
61
Wir müssen immer sehr vorsichtig sein bzgl. welchem p ≤ ∞ Konvergenz herrscht. Folgendes schönes Gedicht aus [BS96] mahnt dazu:
If you claim a series sums to S
Your metric you must not suppress
The danger, you can now see
Is that another may disagree
And you both may be right: what a mess!
Denn nach (1) ist z.B.
∞
X
3i = −
i=0
1
2
in C3 , dagegen divergiert die Reihe für jedes andere 3 6= p ≤ ∞. Für
p = ∞ ist dies klar, und für p 6= 3 ist |3|p = 1 9 0. Weiter ist die Reihe
∞
X
1
i!
i=0
für jede Primzahl p divergent, da (i!) eine Nullfolge ist und somit |1/i|p
größer als jedes C > 0 wird. Sie konvergiert bekanntlich für p = ∞
gegen die Eulersche Zahl e. Zuletzt ist
∞
X
1
i=0
i
eine für jedes p ≤ ∞ divergente Reihe. Für p = ∞ ist dies bekannt und
sonst ist 1i keine Nullfolge. Man kann sich fragen: Gibt es eine Reihe, die
in allen Körpern Cp mit p ≤ ∞ konvergiert? Diese Problematik könnte
man auch so formulieren:
You can sum some of the series some of the time
and some of the series none of the time. . .
but can you sum some of the series all of the time?
Diese Frage beantwortet [BS96], von dem auch das eben genannte Zitat
stammt. Es wird sogar folgendes gezeigt:
Für jedes p ≤ ∞ sei ein αp ∈ Qp gegeben. Dann existiert
eine Reihe mit positiven rationalen Gliedern, die für jedes
p ≤ ∞ bzgl. | . |p gegen αp konvergiert.
Weiter spielt in R und C für Reihen bei Fragen der Umordnung der Begriff
der absoluten Konvergenz eine große Rolle. Das Ergebnis, das eine Reihe genau dann konvergiert, wenn ihre Glieder eine Nullfolge bilden, vereinfacht die
Theorie der Reihen auch hier.
62
3.3
Kapitel 3. Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
Umordnungssätze für Reihen
In der klassischen Analysis gilt bei absoluter Konvergenz der Umordnungssatz.
Auch folgt daraus die Konvergenz der Reihe. Diese Resultate kann man wieder
Strich für Strich übertragen (man muss nur manchmal ein kleines p an den Betrag hin malen). Dies ist aber für Umordnungen in ultrametrischen abelschen
Gruppen unnötig, denn wegen der verallgemeinerten nicht-archimedischen Ungleichung reicht bereits die normale Konvergenz für Umordnungen von Reihen
aus. Dieser Abschnitt richtet sich nach [Rud98] Kap.3 und [Wal01] Kap.B.5.11,
wurde aber für ultrametrische abelsche Gruppen umgeschrieben.
P
Satz 3.3.1 (Umordnungssatz) Sei ∞
i=0 xi eine konvergente Reihe in einer
ultrametrischen abelschen Gruppe. Dann gilt für eine Bijektion σ : N → N
∞
X
xi =
i=0
∞
X
xσ(i) .
i=0
P
Beweis. Sei
xi konvergent gegen S, insbesondere gilt dann xi → 0, d.h. für
jedes ε > 0 gibt es ein N ∈ N, sodass |xi | < ε für alle i ≥ N gilt. Dann gilt
auch für alle n ≥ N
¯
¯
n
¯X
¯
¯
¯
xi ¯ ≤ max |xi | < ε.
(3.1)
¯
¯
¯ N ≤i≤n
i=N
Man wählt jetzt ein k ≥ N so groß, dass die Zahlen 0, 1, 2, . . . , N in der Menge
der Zahlen σ(0), σ(1), σ(2), . . . , σ(k) enthalten
sind.
P
P Man bezeichne jetzt mit
0
sn bzw. sn die n-te Partialsumme von
xi bzw.
xσ(i) ; dann gilt für jedes
n > k, dass die Glieder x1 , x2 , . . . , xN sich in der Differenz s0n − sn gegenseitig
aufheben. s0n − sn ist dann eine Summe, in der jedes Glied < ε ist, also eine
Summe vom Typ 3.1:
|s0n − sn | < ε.
Somit gilt für ein genügend großes n
|s0n − S| ≤ max(|s0n − sn |, |sn − S|) < ε,
d.h.
P∞
i=0 xσ(i)
= S, q.e.d.
P∞Jetzt kann man statt einer (nicht unbedingt absolut) konvergenten Reihe
i=0 xi allgemeiner auch
X
xi
i∈M
für eine abzählbare Menge M schreiben. M hat dabei a priori keine Ordnung.
Ihr wird eine Ordnung erst im Nachhinein durch
eine bijektive
Abbildung σ :
P
P∞
N → M aufgeprägt. Es ist nach obigem
P Satz i∈M xi = i=0 xσ(i) , unabhängig
von der Wahl von σ. Die
Summe
Wählt man
i∈M xi ist somit wohldefiniert.
P
P
ein solches σ, so wird ∞
x
als
eine
Realisierung
von
x
i=0 σ(i)
i∈M i bezeichnet.
3.3. Umordnungssätze für Reihen
63
Als nächstes leiten wir einige Eigenschaften von Summen in vollständigen
Räumen ab. Dafür bezeichnen wir für I ⊂ M
X
S(I) :=
xi
i∈I
`
und mit dem umgedrehten Produktzeichen
disjunkte Vereinigungen. Unser
Ziel ist eine allgemeinere Form des Umordnungssatzes.
Lemma 3.3.2 Sei S(M ) eine konvergente Reihe in einer vollständigen
ultrametrischen abelschen Gruppe. Dann gilt:
(i) S(I) + S(M − I) = S(M ) für I ⊂ M
(ii) S(I) + S(J) = S(I q J) für I, J ⊂ M disjunkt
(iii) S(I1 ) + . . . + S(In ) = S(I1 q . . . q In ) für Ij ⊂ M paarweise disjunkt
Beweis. (i) Für eine endliche Menge I ist dies klar. Sei also I eine unendliche
P
Menge. Jetzt stelltPsich das Problem der Konvergenz der Reihen S(I) = i∈I xi
und S(M − I) = i∈M −I xi . Man betrachte etwa die Realisation für σ, die die
geraden Zahlen auf I und die ungeraden Zahlen auf M − I abbildet. Damit ist
S(M ) =
∞
X
xσ(i) ,
S(I) =
i=0
∞
X
xσ(2i)
und S(M − I) =
i=0
∞
X
xσ(2i+1) .
i=0
Da S(M ) konvergiert, bildet die Folge der Glieder (xσ(i) )i∈N eine Nullfolge und
somit auch jede Teilfolge dieser Folge, insbesondere auch die Folgen (xσ(2i) )i∈N
und (xσ(2i+1) )i∈N . Da wir uns in einem vollständigen Raum befinden, sind nach
dem Konvergenzkriterium für Reihen die Reihen S(I) und S(M −I) konvergent.
Somit gilt nach den Rechenregeln für den Limes
S(I) + S(M − I) = lim
n→∞
n
X
xσ(2i) + lim
n→∞
i=0
n
X
xσ(2i+1) = lim
n→∞
i=0
2n+1
X
xσ(i) = S(M ).
i=0
(ii) Man tauscht in (i) M mit I q J (auch auf dieser Indexmenge konvergiert
die Reihe analog, wie zuvor gesehen) und erhält die gewünschte Gleichung.
(iii) erhält man durch Induktion von (ii), q.e.d.
Eine (iii) im Lemma entsprechende Gleichung gilt sogar für überabzählbar viele Teilmengen Ij , was man allgemein als den großen Umordnungssatz
bezeichnet, der mehr wie der Umordnungssatz aussagt.
Satz
P3.3.3 (Großer Umordnungssatz) Sei M eine abzählbare Menge und
sei i∈M xi eine konvergente Reihe in einer vollständigen
ultrametrischen abel`
schen Gruppe. Dann gilt für jede Partition M = ∞
I
j=1 j
X
i∈M
xi =
∞ µX
X
j=1
i∈Ij
¶
xi .
64
Kapitel 3. Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
Beweis. Man muss mit der Notation aus dem Lemma zeigen, dass für M =
S(M ) =
∞
X
`
Ij
S(Ij ).
j=1
Nach dem Lemma gilt für jedes n
¶
µ
n
a
Ij .
S(M ) = S(I1 ) + . . . + S(In ) + S M −
P∞
j=1
Bezeichne jetzt i=0 xσ(i) eine Realisierung von S(M ), so gilt nach der Konvergenz von S(M ), dass (xσ(i) ) eine Nullfolge ist, und somit gibt es für jedes
ε > 0 ein N mit
¯
¯
¯
¯
¯X
¯
¯
(3.2)
xσ(i) ¯¯ ≤ max |xσ(i) | < ε.
¯
¯i≥N
¯ i≥N
` `
Man wählt ein k ≥ N so groß, dass I1 . . . Ik alle Indizes
σ(0), `
σ(1), . . . , σ(N ) enthält.
Für
¡
`nn > ¢k kommen diese Indizes somit nicht in
n
M − j=1 Ij vor, d.h. S M − j=1 Ij ist eine Summe vom Typ (3.2) und es
gilt
¯
¯
¯ µ
¶¯
n
a
¯
¯
¯S M −
Ij ¯¯ < ε.
¯
¯
¯
j=1
Somit ist
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯ µ
¶¯
n
n
X
a
¯
¯ ¯
¯
¯S(M ) −
S(Ij )¯¯ = ¯¯S M −
Ij ¯¯ < ε,
¯
¯
¯ ¯
¯
j=1
j=1
P∞
was nichts anderes heißt, wie S(M ) = j=1 S(Ij ), q.e.d.
Man darf also den Indexbereich in beliebiger Weise aufspalten und jeden
Teilbereich Ij beliebig anordnen. Man mache sich bewusst, dass die Voraussetzung des Satzes in vollständigen Räumen bereits durch xi → 0 erfüllt ist, im
krassen Gegensatz zur Voraussetzung der absoluten Konvergenz der Reihe in
der herkömmlichen Analysis.
Etwas ist aber gleich: In beiden Kontexten kann eine Umordnung einer
divergenten Reihe eine konvergente Reihe liefern. Folgende Beispiele sollen dies
verdeutlichen.
Beispiele 3.3.4
(1)
P
i
i
In R oder C ist ∞
i=0 (−1) eine divergente Reihe, da ((−1) )i keine Nullfolge bildet. Dagegen erhält man bei einer Umgruppierung konvergente
Reihen, wie etwa
(1 − 1) + (1 − 1) + . . . = 0 + 0 + . . . = 0
oder
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . = 1 + 0 + 0 + . . . = 1.
3.4. Stetigkeit, Differentiation, Integration
(2)
P∞
In Cp denke man etwa an
genten Reihen führen:
i=0 1,
65
wo folgende Anordnungen zu konver-
1 + (1
. . + 1}) + (1
. . + 1}) + . . . = 1 + p + p2 + . . . =
| + .{z
| + .{z
p-Stück
p2 -Stück
1
1−p
oder
(1
. . + 1}) + (1| + .{z
. . + 1}) + ( |1 + .{z
. . + 1} ) + . . .
| + .{z
(p−1)-Stück
(p−1)p2 -Stück
(p−1)p-Stück
= (p − 1) + (p − 1)p + (p − 1)p2 + . . . = −1.
Zuletzt soll noch eine sehr nützliche Folgerung des großen Umordnungssatzes
festgehalten werden.
Folgerung 3.3.5 (Doppelreihensatz) Sei (xij )i,j∈N eine Doppelfolge in einer vollständigen ultrametrischen abelschen Gruppe, sodass für jedes ε > 0 die
Menge der Paare (i, j) mit |xij | ≥ ε endlich ist. Dann ist (xij ) beliebig summierbar und insbesondere gilt
X
k∈N×N
xk =
∞ µX
∞
X
i=0
j=0
¶
xij
=
∞ µX
∞
X
j=0
i=0
¶
xij
=
∞ µ X
X
n=0
¶
xij .
i+j=n
P
Beweis. Die Reihe k∈N×N xk über die abzählbare Indexmenge N × N konvergiert nach Voraussetzung: (xk ) bildet eine Nullfolge, denn für jedes ε > 0 ist
|xk | < ε für fast alle k.
Aus dem großen Umordnungssatz folgt die Gleichheit für jede beliebige
Anordnung von N × N; insbesondere liefern hier die disjunkten Zerlegungen
von N × N in Zeilen Zi = {i} × N, Spalten Sj = N × {j} und Diagonalen
Dn = {(i, j) : i + j = n} die drei gewünschten Summationen, q.e.d.
3.4
Stetigkeit, Differentiation, Integration
Will man nun Funktionen auf Cp definieren, so geht man genauso vor, wie in
der gewöhnlichen Analysis. Dabei beachte man aber folgendes: Der Körper Cp
ist total unzusammenhängend und aus diesem Grunde hat man keine Intervalle oder allgemein zusammenhängende Mengen, die aus mehr als einem Punkt
bestehen (vgl. Abschnitt 3.1.2). So definiert man eine Funktion gewöhnlich auf
einem Ball.
Man kann nun den Begriff der Stetigkeit ebenfalls analog definieren, da dies
nur von der Struktur eines metrischen Raumes abhängt. Dies ist aber hier ein
nicht sehr tiefsinniger Begriff.
Zwar gelten alle Resultate, die in allgemeinen metrischen Räumen wahr
sind, auch hier; z.B. gilt ein p-adisches Analogon des Zwischenwertsatzes:
66
Kapitel 3. Grundlagen der p-adischen Funktionentheorie
Stetige Bilder
menhängend.
zusammenhängender
Mengen
sind
zusam-
Aber, wie eben erwähnt, sind die einzigen zusammenhängenden Mengen diejenigen, die nur aus einem Punkt bestehen.
In der Funktionentheorie spielte die Differential- und Integralrechnung eine
so entscheidende Rolle. Will man nun beginnen p-adische Funktionentheorie zu
betreiben, so ist man vor folgendes Problem gestellt:
Man hat keine Begriffe wie Intervall oder Weg und somit existiert auch keine
Integralrechnung. Alles gemeint im gewöhnlichen Sinne; es gibt natürlich eine
p-adische Integrationstheorie, aber diese ist eine total andere Geschichte. Man
benutzt sie z.B. für Interpolationsprobleme von Funktionen, d.h. die stetige
Fortsetzung einer Funktion von Z auf Zp oder von Q auf Qp . Dazu sei auf
[Kob84] Kap.II verwiesen.
Auch Differenzierbarkeit spielt eine geringe Rolle. Man kann zwar wieder
alles ganz analog definieren, aber sie ist im p-adischen Kontext lange nicht
so interessant. Der Fakt, dass der Mittelwertsatz nicht hält, zeigt, dass der
Begriff differenzierbar (in C holomorph) nicht ausreicht, um Aussagen analog
zur klassischen Analysis zu bekommen. Hier eine einfache Form eines p-adischen
Mittelwertsatzes, der nicht gilt:
falscher Satz 3.4.1 (Mittelwertsatz) Sei f eine stetig differenzierbare
Funktion auf Cp . Dann existiert für alle zwei Zahlen a, b ∈ Cp ein ξ ∈ Cp
“zwischen” a und b, d.h. von der Form
ξ = at + b(1 − t),
wobei t ∈ Cp mit |t|p ≤ 1, sodass
f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a).
Beweis. Es genügt ein Gegenbeispiel: Für f (x) = xp − x, a = 0 und b = 1 ist
f 0 (x) = pxp−1 − 1 und f (a) = f (b) = 0. Man muss nun zeigen, dass es kein ξ
mit ξ = 1 − t und t ∈ B≤1 (0) gibt mit
f 0 (ξ) = pξ p−1 − 1 = 0.
Dies ist aber einfach: Es muss ξ ebenfalls aus B≤1 (0) sein, da
|ξ|p ≤ max(1, |t|p ) = 1. Aber dann ist pξ p−1 − 1 ∈ (−1) + pB≤1 (0) = B≤1/p (−1),
also insbesondere verschieden von 0, q.e.d.
Funktionen die durch Potenzreihen definiert sind, sind viel schöner. Man
kann hier den Mittelwertsatz auch retten, indem man |b − a|p nur klein genug
wählt; siehe dazu [Rob00] Kap.V.3.2. Weiter gilt folgender Satz nicht:
falscher Satz 3.4.2 Sei f eine differenzierbare Funktion auf Cp mit überall
verschwindender Ableitung, dann ist sie lokal-konstant.
3.4. Stetigkeit, Differentiation, Integration
67
Beweis. Wieder genügt ein Gegenbeispiel: Man konstruiert eine Funktion, die
differenzierbar ist und deren Ableitung überall verschwindet, aber dennoch nicht
lokal-konstant ist:
Man denke an eine Funktion, die überall lokal-konstant ist, außer an der
0. Definiere f (0) = 0 und wähle f konstant auf immer kleiner werdenden
Ballringen um die 0 (ein Ballring soll so etwas sein, wie B≤r − B<r0 mit r0 ≤ r).
Weiter wählt man die konstanten Werte so, dass die Ableitung an 0 existiert
und verschwindet, q.e.d.
Insbesondere folgt hieraus, dass zwei Funktionen, die dieselbe Ableitung
besitzen, sich nicht unbedingt nur durch eine konstante Funktion unterscheiden
müssen.
Diese Beispiele zeigen, dass der Begriff Differenzierbarkeit in Cp nicht so
nützlich ist, wie in der klassischen Analysis.
Das Analogon der holomorphen Funktionen ist also nicht bei den differenzierbaren, sondern den analytischen Funktionen zu suchen (analytische Funktionen sind im Weierstraßschen Sinn Funktionen, die in Potenzreihen entwickelbar
sind; hier fallen die Begriffe holomorph und analytisch nicht zusammen!). Wenn
man also wirklich Funktionentheorie betreiben will, so ist in den p-adischen
Zahlen nur der Weierstraßsche Ansatz fruchtbar, der die konvergenten Potenzreihen an die Spitze stellt. Ein indischer Mathematiker hat einmal in diesem
Zusammenhang geschrieben:
Weierstraß, the prince of analysis, was an algebraist.
Kapitel 4
Potenzreihen
Eine Potenzreihe ist ein spezieller Typ einer Reihe, der wie eben besprochen, eine besondere Beachtung in der p-adischen Funktionentheorie verdient. Zunächst
soll ganz allgemein begonnen werden, nach [Bou90] Kap.IV.4.
4.1
Formale Potenzreihen
Definition 4.1.1 Sei R 6= {0} ein kommutativer Ring mit Eins. Eine formale
Potenzreihe über R ist eine Folge (an ) in R. Man schreibt dafür
f = f (X) =
∞
X
an X n .
n=0
Die Menge aller Potenzreihen über R wird mit R[[X]] bezeichnet und heißt Ring
der formalen Potenzreihen über R.
definiert man
natürliche algebraische Struktur, falls f (X) =
P Weiter
P folgende
n
n
an X und g(X) = bn X :
f (X) + g(X) :=
f (X) · g(X) :=
∞
X
(an + bn )X n ,
n=0
∞ µ
X
n=0
¶
¶
∞ µX
n
X
n
ai bj X =
ai bn−i X n .
X
n=0
i+j=n
i=0
Durch diese Struktur wird R[[X]] zum kommutativen Ring mit Eins. Ist R
ein Integritätsring, so auch R[[X]]. Weiter hat R[[X]] die zusätzliche Struktur
der Komposition von Potenzreihen
f ◦ g(X) := f (g(X)).
Eine interessante und nützliche Operation auf den formalen Potenzreihen ist
folgende:
Definition 4.1.2 Die formale Ableitung des Ringes R[[X]] ist die Abbildung
D : R[[X]] −→ R[[X]],
∞
X
n=0
n
an X 7−→
∞
X
n=1
nan X n−1 .
4.1. Formale Potenzreihen
69
Die formale Ableitung erfüllt folgende einfache Eigenschaften:
Bemerkung 4.1.3 Für f (X), g(X) ∈ R[[X]] und a ∈ R gilt:
(i)
(ii)
(iii)
D(f + g) = Df + Dg
D(af ) = aDf
D(f g) = Df · g + f · Dg
Hieraus sieht man, dass die formale Ableitung eine R-lineare Abbildung ist.
Wenn man die formale Ableitung k-mal auf X n anwendet, so erhält man
Dk (X n ) = n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)X n−k .
n(n − 1) · . . . · (n − k + 1) ist ein Vielfaches von k!, denn der Binomialkoeffizient
µ ¶
n
n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)
=
k
k!
ist ganz allgemein die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen
Menge, also insbesondere eine natürliche Zahl (eine natürliche Zahl m ist im
allgemeinen Ring als m · 1 = 1 + . . . + 1 zu verstehen). Deswegen ist
µ ¶
n
Dk (X n )
=
X n−k
k!
k
und man kann wegen obiger Bemerkung auf ganz R[[X]] die Abbildung
Dk
: R[[X]] −→ R[[X]],
k!
∞
X
n=0
∞ µ ¶
X
n
an X −
7 →
an X n−k
k
n
n=k
definieren. Eine Potenzreihe ist im allgemeinen keine Funktion, da sie nicht für
jeden eingesetzten Wert
Falls man aber 0 einsetzt, so erhält man
Pkonvergiert.
n
f (0) = a0 für f (X) =
an X , und falls wir nun D0 (f ) := f und wie gehabt
0! := 1 vereinbaren, so gilt für eine Potenzreihe folgende
Bemerkung
4.1.4 Für die
P∞
n
n=0 an X ∈ R[[X]] gilt
Koeffizienten
ak =
der
Potenzreihe
f (X)
=
Dk
(f )(0).
k!
Wir wollen jetzt, da wir p-adische Funktionentheorie betreiben, natürlich
die analytischen Funktionen studieren. Es wird sich aber herausstellen, dass
p-adische analytische Funktionen nicht die gewöhnten schönen Eigenschaften
besitzen. Dazu aber später mehr. Wenn man aber trotzdem versuchen will,
eine solche Funktion zu definieren, dann muss man zuerst einmal wissen, wo
eine Potenzreihe konvergiert. Dies soll im folgenden geschehen. Nun also zu
unserem Fall, in dem die Potenzreihen über R = Cp sind.
70
Kapitel 4. Potenzreihen
4.2
Konvergenz von Potenzreihen über Cp
Die Theorie der Potenzreihen ist in C und R eine besonders schöne. Constantin
Carathédory (1873-1950) schreibt dazu:
Die Potenzreihen sind deshalb besonders bequem, weil man mit ihnen fast wie mit Polynomen rechnen kann.
Es stellt sich nun die Frage, inwieweit sich die dort gemachten Ergebnisse
auch in Cp erzielen lassen.1 Es wird sich zeigen, dass sich einerseits manche sonst
komplizierte Dinge viel einfacher handhaben lassen, andererseits auch ein paar
neue Probleme auftauchen. Das größte Problem wird sein, dass die Beziehung
zwischen der Komposition von formalen Potenzreihen und der Komposition der
Funktion, die sie definieren, im p-adischen Kontext komplizierter wird.
Es sei noch einmal an 3.2.8 erinnert, was besagt, dass in Cp eine Reihe genau
dann konvergiert, wenn die Reihenglieder P
eine Nullfolge bilden. Setzt man jetzt
ein x ∈ Cp in eine Potenzreihe f (X) =
an X n ∈ Cp [[X]] ein, so kann man
sich fragen, ob diese konvergiert. Sie konvergiert genau dann, falls |an xn |p → 0.
Man erhält so den Konvergenzbereich der Potenzreihe
{x ∈ Cp : |an xn |p → 0}.
Es stellt sich jetzt die Frage, ob so etwas wie ein Konvergenzradius existiert;
aber ja doch!
P
Satz 4.2.1 (Konvergenzradius) Jede Potenzreihe f (X) =
an X n ∈
Cp [[X]] besitzt einen Konvergenzradius 0 ≤ r ≤ ∞ mit der Eigenschaft, dass
die Reihe f (x)
für
für
|x|p < r
|x|p > r
konvergiert und
divergiert.
Der Konvergenzradius hängt nur von |an |p ab und berechnet sich nach der
Formel von Cauchy-Hadamard
r=
wobei hier
1
0
= ∞ und
1
∞
1
lim supn→∞
p
n
|an |p
,
= 0 festgelegt wird.
Beweis. Ist |x|p < r, so ist notwendigerweise r > 0 und wir können ein |x|p <
s < r wählen. Damit gilt
q
q
s
lim sup n |an |p sn = s lim sup n |an |p = < 1.
r
n→∞
n→∞
1
Obwohl wir eigentlich immer an Cp denken wollen, ist die Eigenschaft algebraisch abgeschlossen eigentlich meistens nicht nötig. Man benötigt nur die Eigenschaft der Vollständigkeit,
weswegen man in den folgenden Resultaten statt Cp auch eine endliche Körpererweiterung
L ⊃ Qp zulassen kann.
4.2. Konvergenz von Potenzreihen über Cp
71
p
Also ist supn≥N n |an |p sn < 1 für ein großes N , also auch |an |p sn < 1 für alle
n ≥ N . Jetzt gilt für n → ∞
µ
¶
µ
¶
|x|p n
|x|p n
<
→ 0,
0 ≤ |an xn |p = |an |p sn
s
s
was zeigt, dass die Potenzreihe konvergent ist.
Ist nun schließlich |x|p > r, so ist
q
lim sup
|an xn |p = |x|p lim sup
n
n→∞
n→∞
q
|x|p
n
|an |p =
> 1.
r
Dann hat man für unendlich viele n, dass |an xn |p > 1. Damit bildet (an xn )
keine Nullfolge. Daraus folgt die Divergenz der Reihe, q.e.d.2
Man erhält also ganz analog zur klassischen Analysis, dass der Konvergenzbereich den Ball
B<r (0) ⊂ {x ∈ Cp : |an xn |p → 0}
mit einem Radius 0 < r ≤ ∞ oder nur die 0 enthält. Es stellt sich analog zur
Funktionentheorie die Frage nach dem Konvergenzverhalten auf der Sphäre3
Sr (0) = {x : |x|p = r} des Balls.
In C war alles möglich und somit alles sehr kompliziert. Man denke an
folgende Beispiele:
(1) Die geometrische Reihe
∞
X
Xn
mit Konvergenzbereich B<1 (0).
n=0
(2)
Die logarithmische Reihe
log(1+X) =
∞
X
(−1)n−1
n=1
(3)
∞
X
Xn
n=1
n2
Xn
n
mit Konvergenzbereich B≤1 (0)−{−1}.
mit Konvergenzbereich B≤1 (0).
Die Antwort hier ist viel einfacher:
Lemma 4.2.2 Das Konvergenzverhalten auf der Sphäre des Konvergenzballs
ist folgendes: Entweder konvergiert die Potenzreihe auf allen Sphärenpunkten
oder auf keinem.
2
Wer aufgepasst hat, hat vielleicht gemerkt, dass hier das Wurzelkriterium mit bewiesen
wurde. . .
3
Es wurde gezielt der Begriff Rand des Balles nicht benutzt, da die Sphäre eines Balles in
ultrametrischen Räumen nicht der Rand des Balles im topologischen Sinne ist; siehe dazu die
Sätze 3.1.5 und 3.1.9.
72
Kapitel 4. Potenzreihen
P
Beweis. Dies ist wieder wegen 3.2.8 klar: Die Reihe f (x) = an xn konvergiert
genau dann, wenn |an xn |p = |an |p |x|np → 0. Dies hängt nur von dem Wert |x|p
ab und nicht von der speziellen Wahl von x, q.e.d.
Jetzt folgt unmittelbar dieser
Satz 4.2.3 Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe f (X) =
Cp [[X]] mit Konvergenzradius 0 ≤ r ≤ ∞ ist
½
n
{x ∈ Cp : |an x |p → 0} =
P
an X n ∈
B≤r (0), falls f (x) für ein x ∈ Sr (0) konvergiert,
B<r (0), sonst.
Das ist eine schöne Antwort. Wir müssen also keine komplizierten Randbetrachtungen, wie in der Funktionentheorie, vollziehen: Der Konvergenzbereich
ist in jedem Fall ein Ball (entweder ein offener oder ein abgeschlossener). Dies
wollen wir gleich an zahlreichen Beispielen illustrieren.
4.3
(1)
Beispiele von Potenzreihen
Jede Potenzreihe
f (X) =
∞
X
an X n ∈ B≤1 [[X]] konvergiert mindestens in B<1 (0),
n=0
denn aus |an | ≤ 1 und |x|p < 1 folgt, dass |an xn |p ≤ |x|np → 0.
Man beachte, dass Zp ⊂ B≤1 . Ein spannendes Beispiel ergibt die Binomialreihe
∞ µ ¶
X
a
ba (X) :=
X n ∈ Zp [[X]]
n
n=0
mit einem festen a ∈ Zp , wobei
µ ¶
a
a(a − 1) · · · (a − n + 1)
:=
.
n
1 · 2···n
Diese werden wir später in 6.3 betrachten.
(2)
∞
X
1
Xn
=
1−X
hat den Konvergenzbereich B<1 (0),
n=0
da nach der Formel von Cauchy-Hadamard r = 1 ist (nach (1) ist der
Konvergenzradius r ≥ 1).
Wie sieht es auf der Sphäre S1 (0) aus? Die Folge der Reihenglieder geht
nicht gegen null, ganz analog zur Funktionentheorie (dies hängt nur von
der 1 ab, die aber in jedem bewerteten Körper gleich bewertet ist!).
4.3. Beispiele von Potenzreihen
(3)
73
Die logarithmische Reihe
log(1 + X) :=
∞
X
Xn
n
(−1)n−1
n=1
hat den Konvergenzbereich B<1 (0) :
Für n ≥ 1 gilt offensichtlich
1
≤ |n|p ≤ 1
n
und weiter, wenn man die n-te Wurzel zieht, sieht man für n → ∞, dass
q
n
|n|p → 1.
¯
¯
n−1 ¯
¯
Dann ist wegen |an |p = ¯ (−1)n ¯ =
p
pνp (n)
1
|n|p
klar, dass auch
p
n
|an |p → 1.
Auf der Sphäre ist |an xn |p =
≥ 1, also insbesondere keine Nullfolge; man vergleiche dies zum Falle C!
(4)
∞
X
Xn
n=1
n2
hat den Konvergenzbereich B<1 (0),
weil aus (3)
q
n
1
|an |p = p
2 →1
n
|n|p
folgt. Auch analog zu (3) herrscht wegen |an xn |p = p2νp (n) ≥ 1 auf der
Sphäre Divergenz; auch dies vergleiche man zu C.
(5)
∞
X
1
=
pn X n
1 − pX
hat den Konvergenzbereich B<p (0),
n=0
nach (2) oder direkt:
q
1
n
|an |p =
und auf der Sphäre gilt |an xn |p = p−n pn = 1.
p
(6)
∞
X Xn
1
=
pn
1 − Xp
n=0
hat den Konvergenzbereich B<1/p (0).
Wieder nach (2) oder ganz analog zu (5) gilt
q
n
|an |p = p und auf der Sphäre gilt |an xn |p = pn p−n = 1.
Will man Reihen mit Koeffizienten behandeln, die n! enthalten, so muss
man besser wie bisher n! abschätzen können:
74
Kapitel 4. Potenzreihen
Lemma 4.3.1 Sei n ≥ 1 mit n = n0 + n1 p + n2 p2 + . . . + nm pm und sp (n) :=
n0 + n1 + . . . + nm ≥ 1. Dann ist
∞ ¹ º
X
n − sp (n)
n
n
νp (n!) =
=
<
,
i
p
p−1
p−1
i=1
insbesondere ist
|n!|p = p
−
n−sp (n)
p−1
n
− p−1
>p
.
Beweis. Man zähle wie viele Zahlen des Produkts n! = 1 · 2 · · · n durch p, p2 ,
p3 ,. . . geteilt werden. bmc bezeichne die größte ganze Zahl ≤ m, so werden b np c
durch p, b pn2 c durch p2 ,. . . geteilt. Also ergibt sich die endliche Summe
νp (n!) =
∞ ¹ º
X
n
i=1
pi
.
Man schreibe jetzt n in der Basis p als n = n0 + n1 p + n2 p2 + . . . + nm pm mit
0 ≤ ni < p, dann ist
¹
º
¹ º
n0
n
m−1
=
+ n1 + n2 p + . . . + nm p
= n1 + n2 p + n3 p2 + . . . + nm pm−1
p
p
¹ º
º
¹
n
n0 n1
m−2
+ n2 + . . . + nm p
= n2 + n3 p + n4 p2 + . . . + nm pm−2
=
+
p2
p2
p
..
º
¹ º . ¹
n
n0
n1
n2
nm−1
+ nm = nm ,
=
+
+
+ ... +
pm
pm pm−1 pm−2
p
da die Summe der nicht-ganzen Terme immer kleiner als 1 ist: Im schlimmsten
Fall sind bei b pnk c die Koeffizienten n0 = . . . = nk−1 = p − 1 und es gilt für die
n
n1
Summe der nicht-ganzen Terme npk0 + pk−1
+ . . . + k−1
p
p−1 p−1
p−1
+ k−1 + . . . +
= (p − 1)
k
p
p
p
µ
¶
1 − (1/p)k+1
pk − 1
−1 =
< 1.
1 − 1/p
pk
Somit ist
¹ º
n
n = n0 + p
p
¹ º
¹ º
n
n
= n1 + p 2
p
p
..
¹
º
¹ º .
n
n
= nm + p m+1 = nm .
pm
p
Summiert man alle Gleichungen auf, so erhält man
n + νp (n!) = sp (n) + pνp (n!),
4.3. Beispiele von Potenzreihen
75
und der Rest ist evident, q.e.d.
Jetzt können wir auch folgende Reihen betrachten:
(7)
Die Exponentialreihe
exp(X) :=
∞
X
Xn
n=0
hat den Konvergenzbereich B<p−1/(p−1) (0) :
n!
Nach Lemma 4.3.1 ist hier der Konvergenzradius
r≥p
1
− p−1
und folglich konvergiert die Reihe für |x|p < p
1
− p−1
. Aber schon für
1
− p−1
|x|p = p
konvergiert die Reihe nicht mehr: Für n = pm ist wieder
nach 4.3.1, da sp (pm ) = 1
νp (pm !) =
Schließlich ist wegen νp (x) =
µ
νp
m
xp
pm !
¶
=
pm − 1
.
p−1
1
p−1
pm
pm − 1
1
−
=
p−1
p−1
p−1
m
und somit (xp /pm !)m , also auch (xn /n!)n , keine Nullfolge. Dieser Konvergenzbereich ist verglichen mit dem in C eher schäbig!
So etwas, wie die in C existierende Eulersche Zahl
e=
∞
X
1
n!
n=0
sucht man also vergeblich in den Körpern Cp (siehe dazu auch Beispiel 3.2.10
(3)).
(8)
Sei ζ 6= 1 eine p-te Einheitswurzel:
∞
X
(ζ − 1)n
n=0
n!
Xn
hat den Konvergenzbereich B<1 (0),
da nach Beispiel 2.3.7 |ζ − 1|p = p−1/p−1 ist und somit analog zu (7)
das besagte Konvergenzverhalten folgt. Dies ist faszinierend!
Zuguterletzt soll noch eine nützliche Aussage über die formale Ableitung
gezeigt werden:
P
Satz 4.3.2 (formale
Ableitung, Teil 3) Die Potenzreihen f (X) = an X n
P
und Df (X) = nan X n−1 haben den gleichen Konvergenzradius.
76
Kapitel 4. Potenzreihen
Beweis. Es reicht
lim sup
n→∞
q
n
|an |p = lim sup
q
|nan |p
n−1
n→∞
zu zeigen. Eigentlich ist die Aussage evident: Ob eine Wurzel mehr oder weniger
gezogen wird, ist beim Grenzübergang
vernachlässigbar und weiter haben wir
p
vorher schon gesehen, dass n |n|p → 1 geht. Will man es dennoch explizit
vorgeführt haben, so lese man folgenden Beweis (wenn nicht, dann überspringe
man ihn einfach, da man danach auch nicht schlauer ist): Sei dazu
q
q
lim sup n |an |p =: A und lim sup n−1 |nan |p =: B.
n→∞
n→∞
Beide sind ≥ 0 und es ist klar, dass A = ∞ genau dann, wenn B = ∞. Ebenso
ist A = 0 genau dann, wenn B = 0. Somit ist 0 < A < ∞ genau dann, wenn
auch 0 < B < ∞ ist, und wir zeigen jetzt A = B:
Wie schon in (3) bemerkt, ist stets n1 ≤ |n|p ≤ 1, und wenn man die n − 1-te
p
p
Wurzel zieht auch n−1 |n|p ≤ 1, also insbesondere supk≥n k−1 |k|p ≤ 1. Weiter
gibt es für jedes n ein k ≥ n, das nicht von p geteilt wird (man wählt m in
k = pm − 1 groß), also mit |k|p = 1. Somit ist
q
sup k−1 |k|p = 1.
k≥n
p
p
Weiter heißt lim sup n |an |p = A nichts anderes, als | supk≥n k |ak |p −A| < ε
für jedes ε > 0 und ein genügend großes n. Man kann somit ein genügend kleines
ε > 0 und dazu ein genügend großes n wählen, sodass
q
0 < A − ε < sup k |ak |p < A + ε
k≥n
gilt. Zieht man hier die n − 1-te Wurzel und lässt n → ∞ gehen, so erhalten wir
s
q
n−1
sup
k≥n
k
|ak |p → 1.
Dann ergibt sich insgesamt
¯
¯
q
q
¯
¯
¯
¯
0 ≤ ¯sup k−1 |kak |p − sup k |ak |p ¯
¯k≥n
¯
k≥n
¯
¯
r
q
q
q
¯
¯
¯
¯
k−1 k
≤ sup k |ak |p · ¯sup
|ak |p · sup k−1 |k|p − 1¯
¯k≥n
¯
k≥n
k≥n
¯ s
¯
q
q
¯
¯
¯
¯ n→∞
≤ sup k |ak |p · ¯ n−1 sup k |ak |p − 1¯ −→ A · |1 − 1| = 0,
¯
¯
k≥n
k≥n
da eine größere Wurzel näher bei der eins ist als eine kleinere (k − 1 ≥ n − 1
für k ≥ n). Also gilt A = B, q.e.d.
4.3. Beispiele von Potenzreihen
77
Obwohl f (X) und Df (X) den gleichen Konvergenzradius haben, kann ihr
Verhalten auf der Sphäre verschieden sein; siehe dazu folgendes Beispiel (9).
Als weitere schöne Anwendung zur Konvergenzradiusbestimmung ist folgendes Beispiel (10) gedacht.
(9)
∞
X
n
Xp
hat den Konvergenzbereich B<1 (0).
n=0
p
n
Wegen lim p |an |p = 1 ist der Konvergenzradius r = 1; auf der Sphäre
herrscht wie in (2) Divergenz.
D
µX
∞
¶
X
pn
=
n=0
∞
X
n −1
pn X p
hat den Konvergenzbereich B≤1 (0).
n=0
Nach 4.3.2 hat es den gleichen Konvergenzradius, aber konvergiert auf
der Sphäre:
n
|an xp −1 |p = |an |p = p−n → 0.
(10)
∞
X
1
=
(−1)n X n
1+X
hat den Konvergenzbereich B<1 (0).
n=0
1
Wegen D log(1 + X) = 1+X
ist nach (3) und 4.3.2 der Konvergenzradius r = 1. Dies ist natürlich offensichtlich und es wäre arbeitseffizienter
gewesen umgekehrt zu schließen, aber es sollte hier so geschehen, da die
direkte Bestimmungpdes Konvergenzradius von log(1 + X) die zusätzliche Erkenntnis lim n |n|p = 1 gebracht hat. Auf der Sphäre divergiert
die Reihe wieder analog zu (2).
Die beiden wichtigsten Beispiele wollen wir nochmal explizit in Form eines
Satzes festhalten. Man beachte nochmal, wie sich die Verhältnisse im p-adischen
Kontext umdrehen:
Satz 4.3.3 (exp(X) und log(1 + X), Teil 1)
(i)
(ii)
exp(X) hat den Konvergenzbereich B<p−1/(p−1) (0).
log(1 + X) hat den Konvergenzbereich B<1 (0).
Als nächstes kann man sich fragen: Was passiert mit dem Konvergenzradius, wenn man die Reihenstruktur von Cp [[X]] auf konvergente Potenzreihen
loslässt? (Die Frage, wie es sich mit der Komposition von konvergenten Potenzreihen verhält, verdient, wie schon in in 4.2 angesprochen, besondere Aufmerksamkeit und soll in einem eigenen Abschnitt 4.5 anschließend behandelt
werden.)
78
Kapitel 4. Potenzreihen
4.4
Addition und Multiplikation von konvergenten
Potenzreihen
Folgender Satz gibt zur Addition und Multiplikation von konvergenten Potenzreihen Antwort:
P
Satz 4.4.1
(Addition
und
Multiplikation)
Seien
f
(X)
=
an X n und
P
g(X) =
bn X n zwei Potenzreihen mit Konvergenzradien r und s. Falls f (x)
und g(x) für x ∈ Cp konvergiert (auf jeden Fall für |x|p < min(r, s)), so konvergieren auch die Reihen f + g(x) und f g(x) und es gilt:
(i)
(ii)
f + g(x) = f (x) + g(x)
f g(x) = f (x)g(x)
Beide Potenzreihen haben einen Konvergenzradius ≥ min(r, s).
Beweis. (i) Nach Voraussetzung sind (an xn ) und (bn xn ) Nullfolgen, also auch
((an + bn )xn ) und somit konvergiert f + g(x). Weiter gilt
f (x) + g(x) = lim
k→∞
k
X
n
an x + lim
n=0
k→∞
k
X
k
X
n
bn x = lim
k→∞
n=0
(an + bn )xn = f + g(x).
n=0
(ii) Für die Glieder der Reihe
X
ai bj xi+j
(i,j)∈N×N
gilt: Für jedes ε > 0 ist die Menge der (i, j) mit |ai bj xi+j |p ≥ ε endlich, da nach
Voraussetzung (ai xi ) und (bj xj ) Nullfolgen sind.
Aus dem Doppelreihensatz 3.3.5 erhält man, dass diese Reihe konvergent
ist und auch jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert. Insbesondere gilt
f (x)g(x) =
∞
X
i=0
ai xi
∞
X
j=0
bj xj =
∞ X
∞
X
i=0 j=0
ai bj xi+j =
∞ X
X
ai bj xn = f g(x)
n=0 i+j=n
und die Aussage über die Konvergenzradien ist klar, q.e.d.
4.5
Komposition von Potenzreihen
Nach dem Erfolg bei der Addition und Multiplikation von konvergenten Potenzreihen wollen wir mutiger werden und uns an die Komposition
Pwagen.
Wir P
beginnen mit der formalen Komposition: Seien f (X) =
an X n und
n
g(X) = bn X zwei formale Potenzreihen. Zusätzlich braucht man die Bedingung b0 = 0, was dasselbe bedeutet wie g(0) = 0 (diese Voraussetzung bedeutete
in C, dass f (g(X)) in einer kleinen Umgebung von 0 definiert und analytisch,
d.h. in einer Potenzreihe c0 + c1 X + c2 X 2 + . . . entwickelbar ist). Wenn man
jetzt formal g(X) in f (X) einsetzt, erhält man
f (g(X)) = a0 + a1 g(X) + a2 g(X)2 + . . .
4.5. Komposition von Potenzreihen
79
und man will diese Potenzreihe wieder nach Potenzen von X ordnen und bekommt die Potenzreihe
f ◦ g(X) = c0 + c1 X + c2 X 2 + . . .
Diese zwei Potenzreihen sind zwar formal identisch, aber, wie man später sehen
wird, muss man bei Konvergenzfragen strikt zwischen ihnen unterscheiden!
Wir wollen uns jetzt die Koeffizienten cn genauer anschauen. Da nach Voraussetzung b0 = 0 ist, beginnt g(X)2 mit einem Term vom Grad 2, g(X)3 mit
einem Term vom Grad 3, usw.. Also braucht man nur endlich viel Arbeit, wenn
man den Koeffizienten cn berechnen will. Zur Berechnung von etwa c0 , c1 , c2
und c3 betrachte man
f (g(X)) = a0 + a1 g(X) + a2 g(X)2 + a3 g(X)3 + . . .
= a0 + a1 (b1 X + b2 X 2 + b3 X 3 + . . .)
+a2 (b1 b1 X 2 + b1 b2 X 3 + b2 b1 X 3 + . . .)
+a3 (b1 b1 b1 X 3 + . . .) + . . .
und man liest sie mit Leichtigkeit ab:
c0 = a0
c1 = a1 b1
c2 = a1 b2 + a2 b21
c3 = a1 b3 + 2a2 b1 b2 + a3 b31
..
.
Allgemein kann man aus obiger Darstellung von f (g(X)) auch sehen, dass für
m≥1
∞
X
βmn X n
g(X)m =
n=m
mit
½
βmn :=
P
0
i1 +i2 ...+im =n bi1 bi2 . . . bim
, falls n < m
, falls n ≥ m.
Auch sieht man aus obiger Darstellung der cn für n ≥ 1
n
X
cn =
am βmn .
m=1
Somit lässt sich
f ◦ g(X) = a0 +
∞
X
n=1
Ã
n
X
!
am βmn
Xn
m=1
schreiben. Nun stellt sich die Frage nach der Konvergenz dieser formalen Potenzreihe in Cp . Diese Frage ist nicht so leicht zu beantworten, da das Problem
folgendes ist: Es kann passieren, dass man zu unterschiedlichen Ergebnissen
80
Kapitel 4. Potenzreihen
kommt, falls man einerseits x ∈ Cp in f ◦ g(X) einsetzt und andererseits dieses
x zuerst in g(X) einsetzt und dann das Resultat in f (X) einsetzt. Es ist also in
diesem Sinne, wie schon vorher erwähnt, deutlich zwischen der Reihe f ◦ g(X)
und der Reihe f (g(X)) zu unterschieden, wenn man einen Wert x ∈ Cp einsetzt,
obwohl sie formal gleich sind!
Man könnte Vermuten, dass das Problem daran liegt, wie stark man eine
Reihe umordnen darf. In der Tat muss man sehr vorsichtig sein: Am Ende
dieses Abschnitts wird ein wichtiges Beispiel mit der Logarithmus- und der
Exponentialreihe ausführlich diskutiert. Hier aber der Satz aus [Has80] Kap.17,
wann man es darf:
P
an X n ,
Satz 4.5.1
von Potenzreihen) Seien f (X) =
P (Komposition
n
g(X) =
bn X ∈ Cp [[X]] mit g(0) = 0 und Konvergenzradien r, s und sei
x ∈ Cp . Falls die Voraussetzungen
(i)
(ii)
(iii)
g(x) konvergiert
f (g(x)) konvergiert
maxn∈N |bn xn |p ≤ |g(x)|p
erfüllt sind, dann konvergiert die Reihe f ◦ g(x) mit Konvergenzradius ≥ |x|p ,
und es gilt
f ◦ g(x) = f (g(x)).
Beweis. Man muss sich überlegen, ob die Doppelreihe
f ◦ g(x) = a0 +
∞
X
Ã
n=1
n
X
!
am βmn
xn
m=1
mit den Voraussetzungen konvergiert. Zuerst kann man die Voraussetzungen
von (i) und (iii) auf g(X)m erweitern: Mit Induktion von 4.4.1 (ii) konvergiert
auch g(x)m mit
∞
X
βmn xn .
(4.1)
g(x)m =
n=m
Weiter sieht man
max |βmn xn |p ≤ |g(x)m |p
(4.2)
n∈N
folgendermaßen:
Falls n < m, so ist |βmn xn |p = 0 und somit nichts zu zeigen. Falls n ≥ m,
so ist
¯Ã
! ¯
¯
¯
X
¯
¯
n
bi1 bi2 . . . bim xn ¯
|βmn x |p = ¯
¯
¯
i1 +i2 ...+im =n
≤
max
i1 +i2 ...+im =n
p
i1
i2
|bi1 x |p |bi2 x |p . . . |bim xim |p .
Nach Voraussetzung (iii) ist aber maxij ∈N |bij xij |p ≤ |g(x)|p und es folgt (4.2).
4.5. Komposition von Potenzreihen
81
Voraussetzung (ii) sagt einem folgendes, wobei die Art der Summation
natürlich ausschlaggebend ist: Die Doppelreihe
Ã ∞
!
∞
∞
X
X
X
n
m
βmn x
f (g(x)) =
am g(x) = a0 +
am
m=0
= a0 +
n=m
m=1
∞ X
∞
X
am βmn xn ,
m=1 n=m
konvergiert, insbesondere ist (am g(x)m ) eine Nullfolge.
Zusammenfassung: Man hat folgende zwei Reihen, die man gegenseitig voneinander erhält, falls man die Summenzeichen vertauscht:
f (g(x)) = a0 +
f ◦ g(x) = a0 +
∞ X
∞
X
n
am βmn x = a0 +
∞ X
∞
X
m=1 n=m
∞ X
n
X
∞ X
∞
X
n=1 m=1
n=1 m=1
am βmn xn = a0 +
am βmn xn
m=1 n=1
am βmn xn
Wir müssen jetzt also nur den Doppelreihensatz 3.3.5 anwenden. Dieser hat
als Voraussetzung, dass es für jedes ε > 0 nur endlich viele Paare (m, n) gibt,
sodass |am βmn xn |p > ε. Sei also ein ε > 0 gegeben.
Jetzt kommt schlagend (4.2) ins Spiel:
max |am βmn xn |p ≤ |am g(x)m |p → 0
n∈N
Dabei ist wichtig, dass die rechte Seite nicht von n abhängt. Man kann also
ein minimales m wählen, sodass |am βmn xn |p < ε. Somit kann nur für i ∈
{0, . . . , m − 1}
|ai βin xn |p ≥ ε
sein.
P
n
Andererseits weiß man aus (4.1), dass g(x)m = ∞
n=m βmn x konvergiert,
was nichts anderes heißt, als (βmn xn )n und somit auch (am βmn xn )n eine Nullfolge ist. Somit gibt es zu jedem Index i ∈ {0, . . . , m − 1} ein minimales ni mit
|ai βini xni |p < ε; also nur für j ∈ {0, . . . , ni − 1} ist
|ai βij xj |p ≥ ε.
Deswegen ist die S
Menge der (i, j) mit |ai βij xj |p ≥ ε in der endlichen Menge
{0, . . . , m − 1} × m−1
i=0 {0, . . . , ni − 1} enthalten.
Die Aussage über den Konvergenzradius ist klar, q.e.d.
Es ist interessant, dass sich dieser Sachverhalt in der Funktionentheorie
einfacher handhaben lässt: Hier reicht für f ◦ g(x) = f (g(x)), falls r der Konvergenzradius von f (X) ist, dass |g(x)| < r ist.
Ausschlaggebend in der p-adischen Funktionentheorie ist also die Voraussetzung (iii)! Bevor wir aber das besagte Beispiel bringen, soll noch eine nützliche
Aussage über die formale Ableitung behandelt werden; nämlich die Kettenregel.
Diese ergibt sich aus der oben gewonnenen Reihendarstellung von f ◦ g(X).
82
Kapitel 4. Potenzreihen
Folgerung
Teil 4: Kettenregel) Seien
P 4.5.2 (Formale Ableitung,
P
f (X) = an X n und g(X) = bn X n zwei formale Potenzreihen mit g(0) = 0,
dann gilt:
D(f ◦ g) = (Df ◦ g)Dg
Beweis. Es ist
Ã
D(f ◦ g) = D a0 +
∞ X
n
X
!
am βmn X
n
n=1 m=1
=
∞
X
am
m=1
∞
X
=
∞ X
∞
X
nam βmn X n−1
n=1 m=1
nβmn X n−1 =
n=1
∞
X
am D(g m ).
m=1
Wir müssen jetzt D(g m ) berechnen:
D(g m ) = D(g m−1 )g + g m−1 D(g)
= [D(g m−2 )g + g m−2 D(g)]g + g m−1 D(g)
= [[D(g m−3 )g + g m−3 D(g)]g + g m−2 D(g)]g + g m−1 D(g)
= . . . = mg m−1 D(g).
Also erhält man
Ã
D(f ◦ g) =
∞
X
!
mam g
m−1
Dg = (Df ◦ g)Dg,
q.e.d.
m=1
Beispiele 4.5.3
(1)
Mit 4.5.2 könnte man die Koeffizienten von f ◦ g(X) jetzt auch mit der
Formel von 4.1.4 bestimmen:
c0 = f ◦ g(0) = f (0) = a0 ,
c1 = D(f ◦ g)(0) = (Df ◦ g)(0)Dg(0) = a1 b1 ,
D2
(D2 f ◦ g)(0)Dg(0)2 + (Df ◦ g)(0)D2 g(0)
c2 =
(f ◦ g)(0) =
2
2
= a2 b21 + a1 b2 ,
..
.
Dk
(f ◦ g)(0)
ck =
k!
..
.
4.5. Komposition von Potenzreihen
(2)
83
Man betrachte die formalen Potenzreihen aus Cp
exp(X) =
∞
X
Xn
n=0
und
n!
log(1 + X) =
∞
X
(−1)n−1
n=1
Xn
.
n
Die formalen Ableitungen sind nach Beispiel 4.3 (10)
D exp(X) = exp(X) und D log(1 + X) =
1
.
1+X
Die Komposition log ◦ exp(X) lässt sich wegen (exp −1)(0) = 0
log ◦ exp(X) = log(1 + (exp −1))(X) = X +
∞
X
cn X n
n=2
schreiben. Einerseits ist jetzt
D(log ◦ exp)(X) = 1 +
∞
X
ncn X n−1
n=2
und andererseits nach 4.5.2 wegen D(exp −1) = exp
D(log ◦ exp)(X) =
1
(X) exp(X) = 1.
1 + (exp −1)
Koeffizientenvergleich der formalen Potenzreihen ergibt ncn = 0 und
somit cn = 0 für n ≥ 2. Dies zeigt
log ◦ exp(X) = X.
Analog lässt sich die Komposition exp ◦ log(1 + X) wegen log(1 + 0) = 0
als
∞
X
exp ◦ log(1 + X) = 1 +
cn X n
n=1
schreiben. Einerseits gilt wieder
D(exp ◦ log(1 + X)) =
∞
X
ncn X n−1
n=1
und andererseits nach 4.5.2
P
n
1+ ∞
exp ◦ log(1 + X)
n=1 cn X
D(exp ◦ log)(1 + X) =
=
.
1+X
1+X
84
Kapitel 4. Potenzreihen
Gleichsetzen dieser zwei Resultate ergibt, wenn man
berücksichtigt,
1+
∞
X
n
cn X = (1 + X)
n=1
∞
X
1
1+X
· (1 + X) = 1
ncn X n−1 .
n=1
Das heißt
1+
∞
X
cn X
n
=
n=1
∞
X
n
(n + 1)cn+1 X +
n=0
= c1 +
∞
X
ncn X n
n=1
∞
X
((n + 1)cn+1 + ncn )X n .
n=1
Durch Koeffizientenvergleich der formalen Potenzreihen erhält man
1 = c1 ,
c1 = 2c2 + c1 ,
, c2 = 3c3 + 2c2 ,
....
Somit ist c2 = 0 und dann auch c3 = 0. . . , also cn = 0 für n ≥ 2. Wir
erhalten folglich
exp ◦ log(1 + X) = 1 + X
und sehen, dass die formale Potenzreihe (exp −1)(X) das Inverse von
log(1 + X) bezüglich der Komposition ist:
log ◦ exp(X) = X
und
exp ◦ log(1 + X) = 1 + X.
Abschließend soll der Satz 4.5.1 über die Komposition von Potenzreihen auf
exp(X) und log(1 + X), wie weiter oben versprochen, diskutiert werden.
Satz 4.5.4 (exp(X) und log(1 + X), Teil 2) Für x ∈ B<p−1/(p−1) (0) gilt
log(exp(x)) = x
und
exp(log(1 + x)) = 1 + x.
Dazu folgendes, auch sonst sehr nützliches
Lemma 4.5.5 (exp(X) und log(1 + X), Teil 3) Für x ∈ B<p−1/(p−1) (0) gilt
| exp(x)|p = 1,
| exp(x) − 1|p = |x|p
und
| log(1 + x)|p = |x|p .
Beweis. Für x = 0 ist nichts zu zeigen; sei also x 6= 0. Es sei nochmal an 4.3.1
erinnert: Für n ≥ 1 ist sp (n) ≥ 1 und somit
νp (n!) ≤
n−1
.
p−1
Daraus folgt
|n|p ≥ |n!|p ≥ p
− n−1
p−1
4.5. Komposition von Potenzreihen
85
und für n ≥ 2 und |x|p < p−1/(p−1) sogar
¯ n¯
¯ n¯
¶n−1
µ
¯x ¯
¯ ¯
|x|p
¯ ¯ ≤ ¯x ¯ ≤
· |x|p < |x|p < 1.
¯n¯
¯ n! ¯
p−1/(p−1)
p
p
Deswegen gilt bei der Reihe
exp(x) = 1 + x +
∞
X
xn
n=2
auch
n!
¯ n¯
¯ n¯
¯ n¯
¯x ¯
¯x ¯
¯x ¯
¯
¯
¯
¯
max ¯ ¯ < max ¯ ¯ = |x|p < max ¯¯ ¯¯ = 1,
n≥2 n! p
n≥1 n! p
n≥0 n! p
und deshalb ergibt sich
¯ n¯
¯x ¯
| exp(x)|p ≤ max ¯¯ ¯¯ = 1
n≥0 n! p
¯ n¯
¯x ¯
und | exp(x) − 1|p ≤ max ¯¯ ¯¯ = |x|p .
n≥1 n! p
Analog sieht man bei der Reihe
log(1 + x) = x +
∞
X
(−1)n−1
n=2
auch
xn
n
¯ n¯
¯ n¯
¯x ¯
¯x ¯
¯
¯
max ¯ ¯ < max ¯¯ ¯¯ = |x|p
n≥2 n p
n≥1 n p
und somit
¯ n¯
¯x ¯
| log(1 + x)|p ≤ max ¯¯ ¯¯ = |x|p .
n≥1 n p
Um zu zeigen, dass wirklich überall Gleichheit herrscht, beachte man, dass
dahinter ein allgemeinerer Zusammenhang
P steckt, der später genauer in 5.1 beschrieben werden soll: Sei 0 6= f (X) = an X n ∈ Cp [[X]] eine in x konvergente
Potenzreihe. Falls es nur ein einziges N gibt mit
|aN xN |p = max |an xn |p ,
n∈N
so ist
|f (x)|p = |aN xN |p .
Es gilt ja immer |f (x)|p ≤ |aN xN |p ; wäre jetzt |f (x)|p < |aN xN |p , so ist nach
dem Satz über Dreiecke
|f (x) − aN xN |p = |aN xN |p
was im Widerspruch zu
max |an xn |p < |aN xN |p = |f (x) − aN xN |p ≤ max |an xn |p
n6=N
n6=N
86
Kapitel 4. Potenzreihen
steht. Hier im Lemma ist N = 0 bei exp(X) und N = 1 bei exp(X) − 1 und
log(1 + X), q.e.d.
Beweis von 4.5.4. Nach 4.5.3 (2) ist
log ◦ exp(X) = X
und
exp ◦ log(1 + X) = 1 + X.
Man muss also nur die drei Bedingungen (i)-(iii) aus Satz 4.5.1 zeigen:
Nach Satz 4.3.3 ist (i) in beiden Kompositionen nach Voraussetzung erfüllt.
Bedingung (ii) lautet auch wegen 4.3.3
|(exp −1)(x)|p < 1
1
− p−1
und | log(1 + x)|p < p
,
was aber direkt aus dem eben gezeigten Lemma folgt. Bedingung (iii) ist in
diesem Fall
|x|p ≤ |(exp −1)(x)|p
und |x|p ≤ | log(1 + x)|p ,
was ebenfalls unmittelbar aus dem Lemma folgt, sodass alle Bedingungen
erfüllt sind, q.e.d.
Zum Schluss noch ein Beispiel dafür, dass die Bedingung (iii) aus Satz 4.5.1
nicht vernachlässigbar ist:
Beispiel 4.5.6
Für p = 2 und x = −2 ergibt sich folgender Widerspruch, wenn man bedenkenlos x zuerst in exp ◦ log(1 + X) = 1 + X und dann in exp(log(1 + X)) einsetzt:
Dazu folgt aus 2 log(−1) = log((−1)2 ) = log(1) = 0 (dass der Logarithmus
tatsächlich auch hier diese Eigenschaft hat, wird später in 6.1.1 gezeigt!)
log(1 + x) = log(−1) = 0,
und somit
exp(log(−1)) = exp(0) = 1 6= −1 = 1 + x = exp ◦ log(1 + x).
Was ist hier los? Gemäß dem vorherigen Satz kann für x mit |x|p < p−1/(p−1)
nichts schiefgehen; hier ist aber |−2|2 = 12 = p−1/(p−1) . Es konvergieren zwar alle
Reihen (|−2|2 < 1 und 0 < p−1/(p−1) ), aber dennoch ist exp(log(1+x)) 6= 1+x.
Die Lösung dieses Mysteriums liegt in der Bedingung (iii), die hier nicht erfüllt
ist: da die Koeffizienten von log(1 + X) alle ungleich 0 sind, ist
¯
¯
n¯
¯
n−1 (−2) ¯
¯
.
| log(1 + (−2))|p = 0 < max ¯(−1)
n≥1
n ¯2
Dies zeigt einen wichtigen allgemeinen Fakt auf: Falls g(x) = 0 ist, hat man
Probleme bei der Erfüllung von Bedingung (iii) für f ◦ g!
4.6. Durch Potenzreihen definierte Funktionen
4.6
87
Durch Potenzreihen definierte Funktionen
Eine Potenzreihe definiert eine Funktion auf dem Konvergenzbereich B, entweder der Form B<r (0) oder B≤r (0):
f : B → Cp ,
x 7−→ f (x) =
∞
X
an xn
n=0
Wie in der klassischen Analysis haben solche Funktionen schöne Eigenschaften.
Man kann sich fragen: Ist so eine Funktion ebenfalls stetig auf B? Ja klar:
Satz 4.6.1 Jede Potenzreihe f (X) =
ist stetig auf B.
P
an X n ∈ Cp mit Konvergenzbereich B
Beweis. Sei ε > 0 und 0 6= x ∈ B gegeben (die Stetigkeit in x = 0 ist sehr
einfach). Da (an xn ) eine Nullfolge ist, ist C := maxn∈N |an xn |p eine Konstante.
Wähle nun x0 ∈ B mit |x − x0 |p < δ := min(ε|x|p /C, |x|p ); somit ist insbesondere |x − x0 |p < |x|p und nach dem Satz über Dreiecke 3.1.2 |x|p = |x0 |p . So
ergibt sich
¯∞
¯
¯X
¯
¯
¯
|f (x) − f (x0 )|p = ¯
an (xn − x0n )¯ ≤ max(|an |p |xn − x0n |p )
¯
¯
n∈N
n=0
p

¯n−1
¯ 
¯X
¯
¯
¯
= max |an |p |x − x0 |p ¯
xi x0(n−1)−i ¯  .
¯
¯
n∈N
i=0
p
¯P
¯
¯
i x0(n−1)−i ¯ ≤ max
i 0(n−1)−i | = |x|n−1 ist schließlich
x
Wegen ¯ n−1
¯
i=0...n−1 |x x
p
p
i=0
p
¡
¢
¡
¢
δ
max |an |p |x|np ≤ ε,
|f (x) − f (x0 )|p ≤ max |an |p |x − x0 |p |x|n−1
<
p
n∈N
|x|p n∈N
q.e.d.
Ein wichtiger Satz für solche Funktionen ist der aus der klassischen Analysis
bekannte und auch hier gültige Identitätssatz :
Satz 4.6.2 (Identitätssatz) Seien f (X), g(X) ∈ Cp [[X]] und sei 0 6= xn → 0
eine Folge in Cp , sodass f (xn ) = g(xn ), dann ist f (X) = g(X).
Beweis. Wegen der Stetigkeit im Nullpunkt nach 4.6.1 ist lim f (xn ) = f (0) = a0
und auch lim g(xn ) = g(0) = b0 , also a0 = b0 . Nach Subtraktion von a0 und
Division durch xn erhalten wir f1 (xn ) = g1 (xn ), wobei
f1 (X) = a1 + a2 X + a3 X 2 + . . .
und g1 (X) = b1 + b2 X + b3 X 2 + . . .
ist. Diese beiden Reihen haben ebenfalls einen positiven Konvergenzradius.
Lässt man xn → 0 streben, so ergibt sich auf dieselbe Weise wie oben a1 = b1 ,
usw., q.e.d.
88
Kapitel 4. Potenzreihen
Als direkte Folgerung des Identitätssatzes ergibt sich ein weiteres schönes
Ergebnis für die formale Ableitung: Weiter oben wurde in 3.4.2 gezeigt, dass
es p-adische Funktionen gibt, deren Ableitungen4 gleich sind, ohne dass ihre
Differenz lokal-konstant ist. Das passiert nicht für Funktionen, die durch Potenzreihen definiert sind:
Folgerung 4.6.3 (formale Ableitung, Teil 5) Seien f (X), g(X) ∈ Cp [[X]]
mit Konvergenzradius r > 0. Falls für alle x ∈ B<r
Df (x) = Dg(x)
gilt, dann exisitert eine Konstante c ∈ Cp , sodass
f (X) = g(X) + c.
Beweis. Den Identitätssatz wendet man auf Df und Dg an und erhält:
Df = Dg, also an = bn für n ≥ 1, q.e.d.
Zuletzt seien wieder zwei Beispiele gebracht. Dazu erinnere man sich an
4.3.3 und Beispiel 4.3 (2) und man erhält folgende Funktionen:
Beispiele 4.6.4
(1)
exp : B<p−1/(p−1) (0) −→ Cp ,
x 7−→ exp(x) =
∞
X
xn
n=0
n!
(2)
log : B<1 (1) −→ Cp ,
x 7−→ log(x) = log(1 + (x − 1))
∞
X
(x − 1)n
=
(−1)n−1
.
n
n=1
(3)
1
: B<1 (0) −→ Cp ,
1−X
x 7−→
∞
X
xn .
n=0
1
Man kann ganz leicht zeigen, dass die Reihe gegen 1−x
konvergiert; man
Pn−1 i
n
n
beachte (1−x) i=0 x = 1−x , wobei x wegen |x|p < 1 eine Nullfolge
ist.
Nun aber zum nächsten Thema.
4
Man kann natürlich zeigen, dass bei Potenzreihen die formale Ableitung genau der Ableitung entspricht; dazu siehe man [Has80] oder [Jän99].
4.7. Analytische Funktionen
4.7
89
Analytische Funktionen
Wie es sich zeigen wird, ist der Begriff der analytischen Funktion nicht so einfach
aus der Funktionentheorie zu übertragen.
Definition 4.7.1 Eine Funktion heißt in B in eine Potenzreihe entwickelbar,
falls eine Potenzreihe, die in B gegen die Werte der Funktion konvergiert, existiert.
Aus der Funktionentheorie geleitet, ist man nun versucht folgende Definition
zu geben, die, wie sich herausstellen wird, im p-adischen Kontext nicht optimal
ist.
Definition 4.7.2 Eine Funktion, die in einem abgeschlossenen Ball in eine
Potenzreihe entwickelbar ist, heißt analytische Funktion.
Insbesondere ist eine auf einem abgeschlossenen Ball durch eine Potenzreihe
f (X) definierte Funktion analytisch. Man bezeichnet sie ebenfalls mit f :
f : B≤r (0) → Cp ,
x 7−→ f (x) =
∞
X
an xn
n=0
In der Funktionentheorie spielt der Begriff lokal analytisch eine Rolle.
Definition 4.7.3 Eine Funktion heißt lokal analytisch, falls zu jedem Punkt
eine offene Umgebung exisitert, sodass die Funktion dort in eine Potenzreihe
entwickelbar ist.
Da Cp aber total unzusammenhängend ist, gibt es dort etliche solcher Funktionen, die gar nicht das sind, was man sich darunter vorstellen will, wie folgendes Beispiel zeigen soll:
½
1, falls x ∈ B≤1 (0)
f (x) :=
0, falls x ∈ Cp − B≤1 (0)
ist lokal analytisch, da sowohl B≤1 (0) als auch Cp − B≤1 (0) offen ist! So eine
Funktion will man nicht in irgendeiner Weise analytisch nennen.
Da sich aber die analytischen Funktionen auf abgeschlossenen Bällen gut
verhalten, ist es nicht klar, wie der Zusammenhang von lokal analytisch und
global analytisch ist. Dies ist unschön! Man kann dies aber tatsächlich umgehen.
Dazu soll später nochmal Stellung genommen werden.
Es treten noch weitere Schwierigkeiten bei dem Begriff analytisch auf: In der
Funktionentheorie war eine sehr wichtige Frage, ob und wie man eine analytische
Fortsetzung finden kann. Dies erreicht man zum Beispiel oft dadurch, indem
man einfach
P den Entwicklungspunkt ändert, d.h. man ordnet eine Potenzreihe
f (X) = an X n für α ∈ B nach Potenzen von (X − α) um. Somit erhält man
die folgende Gleichheit formaler Potenzreihen:
∞
∞
n µ ¶
X
X
X
n
m
f (X) =
an ((X − α) + α) =
an
(X − α)m αn−m
m
n=0
n=0
m=0
µ
¶
∞
∞
∞
X
X X n
an αn−m (X − α)m =
bm (X − α)m =: g(X)
=
m
n=m
m=0
m=0
90
Kapitel 4. Potenzreihen
Diese neue (formal aber dieselbe) Potenzreihe g(X) hat dann in C meistens
einen anderen Konvergenzbereich und man erhält somit eine analytische Fortsetzung. Überraschenderweise kann das aber nie in der p-adischen Funktionentheorie passieren! Dies kann man sich vielleicht so vorstellen, dass jeder Punkt
eines Balls Mittelpunkt des Balls ist. . . ; hier aber der Satz dazu:
P
Satz 4.7.4 Sei f (X) =
an X n ∈ Cp [[X]] und α ∈ Cp , sodass f (α) konvergiert. Für m ∈ N definiere
X µn¶
bm :=
an αn−m
m
n≥m
und betrachte die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt α
g(X) =
∞
X
bm (X − α)m .
m=0
Es konvergiert f (x) genau dann, wenn g(x) konvergiert und es gilt dann
f (x) = g(x). Insbesondere haben f (X) und g(X) den gleichen Konvergenzbereich.
Beweis. Zuerst muss man zeigen, dass die bm wohldefiniert sind, d.h. dass sie
konvergieren. Dies ist aber einfach, da f (α) konvergiert: Für ein festes m ist
¯µ ¶
¯
¯ n
¯
n−m ¯
n−m
¯
a
α
|p = |α|−m
· |an αn |p → 0.
n
p
¯ m
¯ ≤ |an α
p
Man nehme ein x aus dem Konvergenzbereich von f (X) und betrachte
∞
∞ X µ ¶
X
X
n
f (x) =
an ((x − α) + α)m =
an αn−m (x − α)m ,
m
n=0
n=0 m≤n
was g(x) bis auf die Art der Summation gleicht. Man muss lediglich den Doppelreihensatz 3.3.5 anwenden. Dazu definiere
½ ¡n¢
n−m (x − α)m , falls m ≤ n
m an α
βnm :=
0
, falls m > n.
Falls r den Konvergenzradius von f (X) bezeichnet, so wählt man jetzt ein
% ≤ r, sodass x, α ∈ B≤% (0). So gilt auch
|α|n−m
≤ %n−m
p
und mit der verschärften Dreiecksungleichung
m
m
|x − α|m
p ≤ max(|x|p , |α|p ) ≤ % .
Schließlich erhält man
¯
¯µ ¶
¯
¯
¯
¯ n
n−m
m¯
¯
an α
(x − α) ¯ ≤ ¯an αn−m (x − α)m ¯p ≤ |an |%n → 0,
|βnm |p = ¯
m
p
4.7. Analytische Funktionen
91
für n → ∞, aber unabhängig von m. Weiter ist klar, dass auch für m → ∞
nach Definition der βnm ebenfalls βnm → 0 (βnm = 0 für m > n).
Man schließt nun ganz wie im Beweis von 4.5.1, dass für ein ε > 0 die Menge
der (j, i) mit |βji |p > ε endlich ist, sodass die Voraussetzung des Doppelreihensatzes 3.3.5 erfüllt ist. Somit ist, falls f (x) konvergiert, auch g(x) konvergent
und f (x) = g(x).
Sei umgekehrt g(x) konvergent, dann beachte man für ein festes m, dass
¯
¯
¯
¯X µ ¶
¯
¯
n
n−m
m¯
¯
an α
(x − α) ¯ ≤ max |an αn−m (x − α)m |p .
¯
n≥m
¯
¯n≥m m
p
Falls s den Konvergenzradius von g(X) bezeichnet, so wähle man analog ein
σ ≤ s, und gehe ganz wie eben vor, q.e.d.
Die Theorie der analytischen Funktionen, wie oben definiert, ist analog zu
C ebenfalls schön, aber wie wir gerade gesehen haben, ist nicht ganz so viel
möglich: Man bekommt keine analytische Fortsetzung einer Funktion, falls man
den Entwicklungspunkt der Potenzreihe ändert. Auch hat man das Problem mit
lokal und global analytisch.
Es existiert tatsächlich ein besseres Konzept von analytischen Funktionen
und analytischer Fortsetzbarkeit, das solche Schwierigkeiten umgeht:
Dies war die Idee von Krasner, in der man von einem Satz von Runge aus
der Funktionentheorie geleitet ist, in welchem man analytische Funktionen als
Approximation von rationalen Funktionen sieht. Siehe dazu [Rob00] Kap.VI.4.
Es gibt sogar eine noch modernere Methode, deren Gründung John Tate
zugeschrieben wird und ein wichtiger Zweig der modernen Zahlentheorie ist:
rigide analytische Geometrie. Sie benötigt aber in hohem Grade kommutative
Algebra. Eine Einführung zu diesem schwierigen Thema findet sich in [BGR84].
Dies zeigt, dass der Begriff analytisch nicht so einfach zu fassen ist. Wir wollen hiervon absehen und lediglich Funktionen studieren, die durch Potenzreihen
definiert sind.
Kapitel 5
Sätze der p-adischen
Funktionentheorie
Dieses Kapitel ist der Höhepunkt dieser Arbeit: Hier sollen p-adische Analogien
zu klassischen Sätzen behandelt werden, die mit Namen wie Cauchy, Liouville, Weierstraß et al. verbunden sind.
Zuerst beweist man ein Analogon zur Cauchyschen Ungleichung und beweist damit einen p-adischen Satz von Liouville. Dazu braucht man neue Begriffe. Wir führen das Wachstumsmodul ein, das Potenzreihen sehr gut und auch
anschaulich beschreibt. Dann untersucht man die Nullstellen von Potenzreihen
und kommt zu unserem Hauptresultat, einer p-adischen Version des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes.
Aus diesem folgt alles andere in leichter Weise, insbesondere werden wir
mit dessen Hilfe ganze Funktionen charakterisieren. Zum Abschluß wird noch
gezeigt, dass auch hier das Maximumprinzip gilt.
5.1
Cauchysche Ungleichung und Wachstumsmodul
Ziel dieses Abschnitts ist es zu untersuchen, inwieweit die in der Funktionentheorie gültige Cauchysche Ungleichung für die Taylorkoeffizienten auch in Cp
gültig ist. Der französische Mathematiker Augustin Louis Cauchy (17891857) kannte die nach ihm benannte Ungleichung spätestens 1835. Er bewies
sie mit Hilfe von Integralen. Weierstraß hat sie 1841 elementar mit einer arithmetischen Mittelwertbildung bewiesen.
Wir halten uns im Prinzip an [Rob00] Kap.VI.1, obwohl dieser Text grundlegend überarbeitet wurde, z.B. erwähnt [Rob00] die Analogie zur Cauchyschen
Ungleichung nicht.
Wir erinnern uns an die Cauchysche Ungleichung in den komplexen Zahlen:
P
Für eine Potenzreihe f (X) =
an X n ∈ C[[X]] mit Konvergenzradius r sei % < r, so gilt für alle n ∈ N
|an |%n ≤ max |f (z)|.
|z|=%
5.1. Cauchysche Ungleichung und Wachstumsmodul
93
Aus dieser Ungleichung folgt dann in der Funktionentheorie unmittelbar der
Satz von Liouville:
Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant.
Auch wir wollen einen Satz von Liouville, natürlich eine p-adische Version
davon, mit einem p-adischen Analogon zur Cauchyschen Ungleichung beweisen.
Ist das möglich? Was steht uns hier zur Verfügung?
P
Hier ist die Cauchysche Ungleichung umgedreht: Sei f (X) =
an X n ∈
Cp [[X]] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Wir haben für alle x mit
|x|p = % < r
|f (x)|p ≤ max |an |p %n .
n∈N
Insbesondere besagt dies, obwohl die Sphäre S% (0) nicht kompakt ist, dass f
dennoch darauf beschränkt ist.
Wie ist aber nun der Zusammenhang? Um die Situation besser zu verstehen,
lohnt es sich folgende Begriffe zu entwickeln:
Definition 5.1.1 Falls nur ein einziges N existiert mit
|aN |p %N = max |an |p %n ,
n∈N
d.h. |aN |p %N > maxn6=N |an |p %n , so sagen wir das Monom aN X N ist auf der
Sphäre S% (0) dominant.
Gibt es (mindestens) zwei i und j mit
|ai |p %i = |aj |p %j = max |an |p %n ,
n∈N
so sagen wir die Monome ai X i und aj X j sind auf der Sphäre S% (0) konkurrierend.
Satz 5.1.2 (über das dominante Monom)
(i)
Für ein auf der Sphäre S% (0) dominantes Monom aN X N gilt dort
|f (x)|p = |aN xN |p = |aN |p %N .
(ii)
Insbesondere ist in diesem Fall |f (x)|p konstant auf der Sphäre S% (0).
Falls % nur klein genug ist, so existiert immer ein dominantes Monom
aN X N auf der Sphäre S% (0).
Beweis. (i) wurde schon im Beweis von 4.5.5 gezeigt.
P
(ii) Sei f (X) =
an X n ∈ Cp [[X]] und definiert man N := min{n ∈ N :
an 6= 0}, so gilt für ein genügend kleines |x|p
|aN xN |p > max |an |p |x|np ,
n>N
q.e.d.
94
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
P
Definition 5.1.3 Sei f (X) =
an X n ∈ Cp [[X]] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Die monoton wachsende Funktion
Q
M% f : pQ
0 ∩ [0, r) −→ p0 ,
% 7−→ M% f := max |an |p %n
n∈N
heißt Wachstumsmodul von f .
% < r heißt regulärer Radius von f , falls ein dominantes Monom auf S% (0)
existiert.
% < r heißt kritischer Radius von f , falls kein dominantes Monom auf S% (0)
existiert.
Das Wachstumsmodul ist wohldefiniert, da für ein |x|p = % < r geht an xn →
0 bzgl. | . |p und so geht |an |p %n → 0 bzgl. | . |∞ . Deswegen exisitiert ein m mit
|am |p %m = max |an |p %n = M% f.
n∈N
Der Name Wachstumsmodul ist berechtigt, weil es misst, wie groß |f |p höchstens
sein kann: Nach Definition ist für |x|p = % < r
|f (x)|p ≤ M% f.
Wir halten direkt aus 5.1.2 (i) fest:
Satz 5.1.4 (über reguläre Radien) Falls % einen regulären Radius bezeichnet gilt
|f (x)|p = M% f.
Falls a0 6= 0, so ist % = 0 ein regulärer Radius, da a0 dort das dominante
Monom ist:
|a0 |p > 0 = max |an |p %n
n≥1
Falls a0 = 0, dann ist % = 0 ein kritscher Radius: Denn dann ist
max |an |p %n = 0
n≥0
und somit hat man unendlich viele konkurrierende Monome a0 = 0, a1 X,
a2 X 2 ,. . . .
Weiter gilt: Falls % ein positiver kritischer Radius ist, so gibt es (mindestens)
i und j mit M% f = |ai |p %i = |aj |p %j und wir können
¯ ¯
¯ aj ¯
i−j
%
= ¯¯ ¯¯
ai p
schreiben. Aus eben gesagten folgt unmittelbar der
5.1. Cauchysche Ungleichung und Wachstumsmodul
95
Satz 5.1.5 (über kritische Radien)
(i)
(ii)
% = 0 ist genau dann ein kritischer Radius wenn a0 = 0.
Für einen positiven kritischen Radius % ist
¯ ¯
¯ aj ¯
i−j
%
= ¯¯ ¯¯ ,
ai p
d.h. ein positiver kritischer Radius ist eine Wurzel eines Betrages eines
Elements aus Cp . Somit ist ein positiver kritischer Radius der Betrag
eines algebraischen Elements.
Wie steht es aber nun mit einem Analogon zur Cauchyschen Ungleichung
für die Taylorkoeffizienten?
P
Hauptsatz 5.1.6 (Cauchysche Ungleichung) Sei f (X) =
an X n ∈
Cp [[X]] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r. Für reguläre Radien % < r
und alle n ∈ N gilt die Cauchysche Ungleichung:
|an |%n ≤ M% f = max |f (x)|.
|x|=%
Beweis. Das “≤” gilt nach Definition von M% f und das “=” gilt nach dem
Satz über reguläre Radien, q.e.d.
Wenn man einen p-adischen Satz von Liouville mit der Cauchyschen Ungleichung 5.1.6 beweisen will, haben wir das Problem, dass wir im Gegensatz
zur Funktionentheorie reguläre Radien brauchen. Wir brauchen, wenn man die
Schlussweise in der Funktionentheorie imitieren will, genügend reguläre Radien.
Dass genügend solche Radien existieren, verrät vielleicht schon die Bezeichnung;
sie sind wirklich regulär :
P
an X n ∈ Cp [[X]] mit KonverLemma 5.1.7 Eine Potenzreihe 0 6= f (X) =
genzradius 0 < r ≤ ∞ hat nur reguläre Radien % < r bis auf eine diskrete
Teilmenge von kritischen Radien
{% < %0 < %00 < . . .} ⊂ pQ
0 ∩ [0, r).
Beweis. Sei 0 < |x|p = % < r und sei N mit
|aN |p %N = M% f.
Falls n > N und 0 < σ < % so ist nach Definition von M% f |an |p %n ≤ |aN |p %N
und es folgt
|an |p n−N
%
≤1
|aN |p
=⇒
|an |p n−N
σ
<1
|aN |p
=⇒
|an |p σ n < |aN |p σ N .
Somit ergibt sich für σ < %, dass nur die Monome a0 , a1 X, . . . aN −1 X N −1 mit
aN X N auf der Sphäre Sσ (0) konkurrieren können. Deswegen sind die kritischen
Radien σ < % lediglich unter den Lösungen der Gleichungen
σ j−i =
|ai |p
|aj |p
96
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
mit 0 ≤ i < j ≤ N zu suchen; dies sind nur endlich viele. Die Menge der
kritischen Radien < r ist folglich endlich (eventuell auch leer) oder besteht aus
einer streng monoton wachsenden Folge, die sich in r häuft, q.e.d.
Man kann den Graphen (%, M% f ) einfach skizzieren: Es sei einem dabei
Q
bewusst, dass sich der Graph in pQ
0 × p0 befindet.
6
|a3 |p %3
|a4 |p %4
|a2 |p %2
M%f
»
»
»»»
»
»»
»»
»»»
»»»
»»
»»»
|a0 |p
»»
»»»
»»»
0
%
|a1 |p %
00
%
-
r
Abbildung 5.1: Das Wachstumsmodul M% f . Der Graph des Wachstumsmoduls ist die konvexe Oberkante aller Graphen von Beträgen von Monomen. Es wurden nur die Graphen dick gezeichnet, die eine Rolle für
M% f spielen.
Für a0 6= 0 ist nach 5.1.5 (i) % = 0 ein regulärer Radius und somit gilt nach
5.1.2 (ii) auch noch für kleine |x|p = %, genauer für 0 ≤ % < %0
M% f = |a0 |p .
Bei einem kritischen Radius %0 schneiden sich also die Graphen mindestens
zweier konkurrierender Monome. Auf der Abbildung hat man gleich drei konkurrierende Monome bei %0
M%0 f = |a0 |p = |a1 |p %0 = |a2 |p %02 ,
und zwei bei %00
M%00 f = |a2 |p %002 = |a3 |p %003 .
Zwischen zwei kritischen Radien %0 < %00 liegen nur reguläre Radien %. Deswegen gilt hier, also für %0 < % < %00 , für ein einziges N
M% f = |aN |p %N .
5.1. Cauchysche Ungleichung und Wachstumsmodul
97
In der Abbildung ist hier N = 2 und für %00 < % < r ist N = 3. Das Wachstumsmodul ist somit die konvexe Oberkante aller Graphen von |an |p %n (n ∈ N
und 0 ≤ % < r). Außerdem beachte man, wie das Monom a4 X 4 bzw. dessen
Betrag |a4 |p %4 keine Rolle für das Wachstumsmodul spielt.
Zusammenfassend kann man festhalten:
Bemerkung 5.1.8 Für alle 0 ≤ % < r stimmt das Wachstumsmodul M% f
stückweise mit den Beträgen von Monomen |aN |p %N auf der Sphäre S% (0) überein. Insbesondere ist M% f stetig, sogar bis auf diskret viele Ausnahmen stetig
differenzierbar.
Auch gilt für alle 0 ≤ % < r bis auf diskret viele Ausnahmen, dass der
Betrag der Potenzreihe |f (x)|p mit |x|p = % mit dem Wachstumsmodul M% f
übereinstimmt, insbesondere auch mit den Beträgen von Monomen |aN |p %N .
Beispiele 5.1.9
(1)
∞
X
1
=
Xn
1−X
n=0
hat den Konvergenzradius r = 1 und keine kritischen Radien % < 1,
denn das dominante Monom a0 = 1 ist für alle % < 1 dominant:
M% f = |a0 |p = 1.
Man denke dabei an folgendes Bild: Man zeichne die Graphen der Funktionen 1, %, %2 , . . . für % < 1 und sieht, dass wirklich das Monom a0 = 1
dominant ist.
(2)
exp(X) =
∞
X
Xn
n=0
n!
hat den Konvergenzradius r = p−1/(p−1) und keine kritischen Radien:
In 4.5.5 hat sich ergeben, dass für |x|p < r < 1
¯ n¯
¯x ¯
max ¯¯ ¯¯ = |x|p < 1.
n≥1 n! p
Also ist das dominante Monom a0 = 1.
(3)
log(1 + X) =
∞
X
(−1)n−1
n=1
Xn
n
hat den Konvergenzradius r = 1 und in B<p−1/(p−1) (0) nur den kritischen
Radius % = 0. Denn wegen a0 = 0 ist nach 5.1.5 (ii) % = 0 ein kritischer
Radius. Dagegen ist für 0 < |x|p < p−1/(p−1) nach 4.5.5
¯ n¯
¯ n¯
¯x ¯
¯x ¯
¯
¯
max ¯ ¯ < max ¯¯ ¯¯ = |x|p ,
n≥1 n p
n≥2 n p
also a1 X = X das dominierende Monom.
98
(4)
(5)
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
P
Falls f (X) =
an X n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r ist,
wobei für n → ∞
|an |p rn → ∞,
dann existiert eine Folge von kritischen Radien %0 , %00 , %000 , . . ., die gegen
r konvergiert.
Man stelle sich dies bildlich vor und formuliere dahingehend einen
Beweis. Die Idee: Da % 7→ M% f stetig ist, muss für % → r auch
M% f → Mr f = ∞. Da aber jedes Monom an X n an der Sphäre Sr (0)
nur einen endlichen Betragswert annimmt (die Monome haben ja keinen
Pol, sondern sind bijektiv auf R+ ), muss je näher % an r kommt, ein Monom immer größeren Betrages auf der Sphäre S% (0) dominant werden.
Somit erhält man die kritischen Radien, die gegen r konvergieren.
Ein Beispiel für (4) ist
n
∞
X
Xp
;
pn
n=0
sie hat den Konvergenzradius r = 1, da
s¯ ¯
¯1¯
n/pn
pn ¯
¯
→ p0 = 1.
¯ pn ¯ = p
p
Es gilt für |x|p = 1
n
|an |p 1p = pn → ∞.
Jetzt noch eine Schlussbemerkung: Das Wachstumsmodul steht in engem
Zusammenhang mit dem Newton-Polygon. Man kann das so sagen: Was beim
Wachstumsmodul die Rolle von | . |p spielt, ist beim Newton-Polygon νp ( . ).
Dies kann man in [Rob00] Kap.VI.1 nachlesen. Für unsere Zwecke ist das Wachstumsmodul anschaulicher, natürlicher und einfacher zu verstehen.
Mit den hier entwickelten Begriffen können wir nun endlich zum p-adischen
Analogon des Satzes von Liouville kommen.
5.2
Satz von Liouville
Nach Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815-1897) heißen Funktionen, die überall in C holomorph sind, ganze Funktionen. So wollen wir analog
für Potenzreihen definieren:
Definition 5.2.1 Eine Potenzreihe f (X) =
genzradius r = ∞ heißt ganze Potenzreihe.
P
an X n ∈ Cp [[X]] mit Konver-
Wir wollen für ganze Potenzreihen folgendes allgemeines Lemma zeigen,
dessen Spezialfall unser angestrebtes Ziel ist:
5.2. Satz von Liouville
99
P
Satz 5.2.2 Sei f (X) =
an X n ∈ Cp [[X]] eine ganze Potenzreihe. Es gelte
für ein C > 0 und ein N ∈ N
|f (x)|p ≤ C|x|N
p ,
für jedes x mit |x|p > 0, dann ist f ein Polynom vom Grade ≤ N .
Beweis. Es ist für einen regulären Radius |x|p = % nach der Cauchyschen Ungleichung 5.1.6
|an |p %n ≤ M% f = max |f (x)|p
|x|p =%
und nach Voraussetzung für % > 0
max |f (x)|p ≤ C%N .
|x|p =%
Daher ist für einen regulären Radius % > 0
|an |p ≤ C%N −n .
Jetzt kommt die Idee: Nach dem Lemma 5.1.7 gibt es aber nur “diskret viele”
kritische Radien und man kann insbesondere eine Folge von regulären Radien
%j → ∞ wählen,1 für die dann
−n
|an |p ≤ C%N
j
gilt. Für j → ∞ bekommt man
an = 0,
falls n > N , q.e.d.
Wir kommen somit zum p-adischen Analogon des Satzes von Liouville, der
unmittelbar aus dem voran gehenden Satz folgt. Der französische Mathematiker
Joseph Liouville (1809-1882) stellte 1847 den Satz
Une fonction doublement périodique qui ne devient jamais infinite
est impossible.
an den Anfang seiner Vorlesung, die der deutsche Mathematiker Carl Wilhelm Borchardt (1817-1880) hörte und ihn in einer Veröffentlichung nach
Liouville benannte. Eigentlich aber stammte der Satz von Cauchy, der ihn
1844 mittels seines Residuenkalküls herleitete. Die direkte Herleitung aus der
Cauchyschen Ungleichung, wie auch wir es eben getan haben, gab Camille
Jordan (1838-1921):
Hauptsatz 5.2.3 (von Liouville) Jede beschränkte ganze Potenzreihe über
Cp ist konstant.
1
Aufgepasst, hier ist Cp notwendig: Es müssen insgesamt genügend Radien, d.h. Werte von
+
| . |p existieren. Dies ist hier der Fall, da |Cp |p = pQ
0 dicht in R0 liegt. Dieser Schluss ist für
Qp oder einer endlichen Körpererweiterung davon nicht zulässig, denn deren Wertemenge von
| . |p bildet selbst nur eine diskrete Menge!
100
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
Beweis. Man wendet den Satz 5.2.2 für N = 0 an: Es existiert nach Voraussetzung ein C > 0, so dass für alle x ∈ Cp
|f (x)|p ≤ C
und es ist somit f ein Polynom vom Grad 0, d.h. f ist konstant, q.e.d.
5.3
Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
Unser nächstes Ziel ist es, über das Nullstellenverhalten von Potenzreihen, also
über die Existenz und Vielfachheit von Nullstellen, Aussagen zu treffen. Ein
Satz, der dies alles auf einmal erschlägt, ist eine p-adische Version des Weierstraßschen Vorbereitungssatz.
Wir folgen hier [Cas86] und [Rob00]. Alles wurde aber grundlegend überarbeitet. Wir werden zuerst das Resultat für Polynome beweisen und dann für
Potenzreihen als Limes von Polynomen. Diese Konvergenztheorie soll im folgenden entwickelt werden.
Dazu braucht man aber noch mehr Wissen über unsere entwickelten Begriffe.
5.3.1
Nullstellen und kritische Sphären
Definition 5.3.1 Eine Sphäre S% (0) heißt kritisch für eine Potenzreihe f (X),
falls % ein kritischer Radius von f (X) ist.
Satz 5.3.2 Nullstellen einer Potenzreihe über Cp befinden sich nur auf kritischen Sphären.
Beweis. Ist f =
P0, so nist die Aussage klar, da jeder Radius kritisch ist. Sei nun
0 6= f (X) =
an X ∈ Cp [[X]] mit Konvergenzradius r > 0 und weiter sei
|x|p = % < r mit f (x) = 0; insbesondere ist f somit nicht konstant.
Falls für x 6= 0 nun % > 0 ein regulärer Radius wäre, so müsste
0 = |f (x)|p = M% f = maxn∈N |an |p %n > 0
gelten. Deswegen ist % = |x|p ein kritischer Radius.
Falls x = 0 mit f (x) = 0, so ist a0 = 0 und wir wissen bereits aus 5.1.5,
dass % = |x|p = 0 ein kritischer Radius ist, q.e.d.
Beispiel 5.3.3
(1)
(2)
exp(X) hat keine kritischen Sphären in B<p−1/(p−1) (0), da nach 5.1.9
(2) keine kritischen Radien. Somit existieren dort auch keine Nullstellen
(dies ist aber auch direkt aus | exp(x)|p = 1 (4.5.5) ersichtlich).
log(1 + X) hat in B<p−1/(p−1) (0) nur S0 (0) als kritische Sphäre, da nach
5.1.9 (3) nur % = 0 ein kritischer Radius ist. Hier existiert auch eine
Nullstelle (dies ist ebenfalls bereits durch | log(1 + x)|p = |x|p (4.5.5)
ersichtlich).
5.3. Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
101
Auf einer kritischen Sphäre konkurrieren immer mindestens zwei Monome.
Dabei sind zwei Monome ausgezeichnet:
P
Definition 5.3.4 Sei f (X) =
an X n ∈ Cp [[X]] mit Konvergenzradius r und
0 < % < r. Dann heißen
n := min{n : |an |p %n = M% f } ≤ n := max{n : |an |p %n = M% f } < ∞
der kleinste und der größte konkurrierende Index auf der Sphäre S% (0) von f .
Die Monome an X n und an X n heißen das kleinste und das größte konkurrierende Monom auf S% (0) von f .
Falls % = 0 wäre, so ist n = ∞. Diesen einfachen Fall wollen wir aber im
folgenden ausschließen. Für 0 < % < r ist immer n < ∞, da die |an |p %n eine
Nullfolge bilden.
Was kann man sich unter den Monomen an X n und an X n vorstellen? Wenn
man wieder an den Graphen von M% f , bzw. der Monome |an |p %n denkt, kann
man das so interpretieren: Falls % ein regulärer Radius ist, schneidet sich mit
dem dominierenden Monom-Graph kein anderer Monom-Graph und es gilt
n = n. Bezeichnet % einen kritischen Radius, so schneiden sich dort mehrere Monom-Graphen mit dem vorher dominierenden Monom-Graph |an |p %n .
Dabei hat |an |p %n unter all diesen den höchsten Grad, also wird an X n das
neue dominante Monom (falls |ai |p %i = |aj |p %j für ein % gilt, so ist klar, dass
|ai |p (% + ε)i > |aj |p (% + ε)j für i > j und ein ε > 0 ist).
Beispiel 5.3.5
In Abbildung 5.1 ist bei dem kritischen Radius %0 n = 0 und n = 2, und bei %00
ist n = 2 und n = 3.
Wir halten fest:
Bemerkung 5.3.6 Für einen regulären Radius % gilt
n=n
und für einen kritischen Radius % gilt
n < n.
Bezeichnen %0 < %00 zwei unmittelbar aufeinander folgende kritische Radien
mit kleinsten bzw. größten Indizes n0 bzw. n0 und n00 bzw. n00 , dann gilt
n0 = n00 .
Wir wissen schon, dass Nullstellen nur auf kritischen Sphären liegen. Gilt
es auch umgekehrt, falls man einen kritischen Radius hat, dass auch Nullstellen darauf existieren? Ja! Es wird sich später aus dem Weierstraßschen Vorbereitungssatz ergeben, dass die Anzahl der Nullstellen auf der Sphäre S% (0)
102
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
gleich n − n ist (für einen regulären Radius sieht man schon jetzt, dass es
stimmt). Wenn wir dies wissen, liefert uns das Wachstumsmodul eine anschauliche Möglichkeit eine Potenzreihe zu analysieren.
Nun aber zu Potenzreihen, die man jetzt als Limes von Polynomen sehen
will.
5.3.2
Polynome und eingeschränkte Potenzreihen
P
Wir betrachten nun eine Potenzreihe f (X) =
an X n ∈ Cp [[X]] mit einem
Konvergenzradius r zusammen mit dem Wachstumsmodul. f konvergiert dann
auch für ein % < r im abgeschlossenen Ball B≤% (0). Ist % = 1 (< r ⇒ |ai |p → 0),
so heißt das Wachstumsmodul M1 f Gauß-Norm oder auch sup-Norm
sup |ai |p = max |ai |p = M1 f.
i∈N
i∈N
Wie wir sehen werden, ist Mf (1) tatsächlich eine Norm auf dem Unterraum des
Cp -Vektorraums Cp [[X]]
Cp {X} := {f (X) ∈ Cp [[X]] : |ai |p → 0} ⊂ Cp [[X]];
dies ist sogar ein Unterring. Dies scheint Anlass zur Annahme zu geben, dass
die Abbildung f 7→ M% f eine Norm auf einem geeigneten Unterraum von
Cp [[X]] ist. Dies ist tatsächlich der Fall. Dazu definieren wir zuerst passende
Unterräume:
Definition 5.3.7 Sei % > 0. Dann heißt
n
o
X
Cp {X}% := f (X) =
an X n ∈ Cp [[X]] : |ai |p %n → 0
Ring der bzgl. % eingeschränkten Potenzreihen.
Für % = 1 heißt
n
o
X
Cp {X} := Cp {X}1 = f (X) =
an X n ∈ Cp [[X]] : |ai |p → 0
Ring der eingeschränkten Potenzreihen.
Die Potenzreihen in Cp {X}% konvergieren in B≤% (0) und sie bilden
tatsächlich einen Unterring und auch Untervektorraum von Cp [[X]].2 Weiter
ist M% f tatsächlich eine Norm darauf, es gilt sogar noch mehr:
Satz 5.3.8 Sei % > 0 und f (X), g(X) ∈ Cp {X}% . Dann gilt für M% f :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
M% f = 0 ⇐⇒ f (X) = 0
M% (f + g) ≤ max(M% f, M% g)
M% (f g) = M% f · M% g
Für f = a0 ∈ Cp ist M% f = |a0 |p
Insbesondere ist f 7→ M% f eine multiplikative Norm auf dem Vektorraum
Cp {X}% , der den p-adischen Absolutbetrag | . |p fortsetzt.
2
Man könnte statt Cp auch eine endliche Körpererweiterung von Qp zulassen, allerdings
gelten hier nicht alle Ergebnisse, die wir im folgenden machen werden: dies liegt wieder daran, dass die Bewertung nur diskret ist. Es wird aber an den entsprechenden Stellen darauf
hingewiesen.
5.3. Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
103
Beweis. (i) und (ii) folgen direkt aus den Eigenschaften von | . |p ; (iv) direkt
aus der Definition von M% f .
(iii) Für reguläre Radien % gilt ja M% f = |f (x)|p für ein x mit |x|p = %. So
heißt (iii) nichts anderes, als
|f g(x)|p = |f (x)|p |f (x)|p .
Für einen kritischen Radius % geht man folgendermaßen vor: Da die regulären Radien dicht liegen,3 nähere man % durch reguläre Radien %n an, also
%n → %.
Dann ergibt sich nach obigem
M%n (f g) = M%n f · M%n g
und wegen der Stetigkeit der Abbildung % 7→ M% (h) für ein beliebiges h erhält
man nach Grenzübergang die Behauptung, q.e.d.
Falls man diesen Satz nur für Polynome Cp [X] ⊂ Cp {X}% liest, so sieht
man, dass M% f eine nicht-archimedische Bewertung des Körpers der rationalen
Funktionen Cp (X) ist.4
Diese Bewertung auf dem Polynomring ist ein hilfreiches Werkzeug, z.B.
kann man den Beweis des Eisensteinschen Irreduzibilitätskriterium 2.1.1 vereinfachen.
Dieser Satz wird für jedes positive reelle % > 0 erfüllt; wir interessieren uns
ab jetzt aber nur für % ∈ pQ , da nur solche positiven Radien vorkommen können
(die Erweiterung der im folgenden gemachten Ergebnisse auf ein beliebiges % ∈
R+ erhält man aus der Tatsache, dass pQ dort dicht liegt und % 7→ M% f stetig
ist).
Als nächstes soll beschrieben werden, wie man Potenzreihen durch Polynome
annähert. Es bildet Cp {X}% die Vervollständigung des Polynomrings Cp [X]
bzgl. der Norm M% f . Also ist eine bzgl. % eingeschränkte Potenzreihe der Limes
von Polynomen; genau das, was wir wollen.
Satz 5.3.9 Sei % ∈ pQ . Dann ist Cp {X}% die Vervollständigung des Polynomrings Cp [X] bzgl. der Norm M% f .
Beweis. Zuerst wird gezeigt, dass Cp {X} vollständig bzgl. M1 f ist, und anschließend, dass Cp {X}c vollständig bzgl. M% f ist.
Anschließend wird gezeigt, dass Cp [X] bzgl. M1 f dicht in Cp {X} und dann,
dass es bzgl. M% f dicht in Cp {X}% liegt.
Cp {X} vollständig bzgl. M1 f : Sei
fi (X) = ai0 + ai1 X + ai2 X 2 + ai3 X 3 + . . .
3
Hier wäre eine endliche Körpererweiterung von Qp nicht ausreichend! Man kann aber noch
zeigen, dass M% (f g) ≤ M% f · M% g gilt.
4
Für Polynome könnte man Cp durch eine endliche Körpererweiterung von Qp ersetzen;
der Beweis ist aber ein bisschen kompliziert.
104
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
eine Cauchy-Folge in K{X}, d.h. für jedes ε > 0 gibt es große i, j, sodass
M1 (fi − fj ) < ε.
Dies heißt nichts anderes, als
|ain − ajn |p < ε,
für alle n, also sind alle Koeffizientenfolgen (ain )i Cauchy. Da aber Cp
vollständig ist, konvergieren diese gegen ein an , also ain → an . Man betrachte
dahingehend
g(X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 + . . .
und zeigt, dass dies wirklich der Grenzwert von (fi (X))i in Cp {X} ist: Falls
man für große i und j → ∞ die Ungleichung |ain − ajn |p < ε betrachtet, erhält
man |ain − an |p ≤ ε für alle n und somit für große i
M1 (fi − g) = max |ain − an |p ≤ ε.
n∈N
Jetzt muss man nur noch zeigen, dass g(X) auch wirklich in Cp {X} liegt.
Da aber die fi (X) daraus waren, gilt |ain |p → 0 für n → ∞. Insgesamt gilt also
für ein großes i und ein großes n
|an |p ≤ |ain − an |p + |ain |p ≤ ε + ε,
d.h. an → 0.
Cp {X}% vollständig bzgl. M% f : Für % = pa/b ∈ pQ , wählt man ein α ∈ Cp
mit |α|p = % = pa/b .5 Sei
fi (X) = ai0 + ai1 X + ai2 X 2 + ai3 X 3 + . . .
eine Cauchy-Folge in Cp {X}% , dann betrachtet man die Folge
fi0 (X)
:= fi (αX) =
∞
X
ain αn X n ,
n=0
die in Cp {X} liegt und ebenfalls Cauchy ist, da
M1 (fi0 − fj0 ) = max |ain αn − ajn αn |p = max |ain − ajn |p %n = M% (fi − fj ).
n∈N
n∈N
Wendet man den Fall % = 1 auf die Cauchy-Folge fi0 an, so erhält man als
Grenzwert der Folge
∞
X
g 0 (X) =
an αn X n .
n=0
5
So ein α existiert auch wirklich, da Cp algebraisch abgeschlossen ist: Man sucht ein α
mit |α|p = pa/b und findet es als Nullstelle des Polynoms X b − p−a . Falls man eine endliche
Körpererweiterung von Qp mit Verzweigungsindex e annimmt, so muss ab ∈ 1e Z sein, also
b = e. Hier muss man also vorsichtig sein!
5.3. Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
105
Definiert man nun g(X) := g 0 (α−1 X), so ist g(X) ∈ Cp {X}% . Es ist dann auch
M% (fi − g) = max |ain − an |p %n = max |ain αn − an αn |p = M1 (fi0 − g 0 )
n∈N
n∈N
und die Folge fi konvergiert dann tatsächlich gegen g.
Cp [X] liegt bzgl. M1 f dicht in Cp {X}: Sei
f (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 + . . . ∈ Cp {X}.
Betrachte nun folgende Polynome, die f (X) annähern:
f0 (X) = a0
f1 (X) = a0 + a1 X
f2 (X) = a0 + a1 X + a2 X 2
..
.
fi (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + ai X i
Es gilt da f (X) ∈ Cp {X}
M1 (f − fi ) = max |an |p → 0,
n>i
also wirklich fi → f .
Cp [X] liegt bzgl. M% f dicht in Cp {X}% : Jetzt wendet man wieder
für % = pa/b denselben Trick an: Man betrachtet zu f (X) ∈ Cp {X}%
das Polynom f 0 (X) := f (αX) ∈ Cp {X}, wobeiP |α|p = %. Man kann
i
n n annähern.
jetzt nach obigem f 0 (X) durch Polynome fi0 =
n=0 an α X
Jetzt definiert man analog fi (X) := fi0 (α−1 X) und es gilt wieder
M% (f − fi ) = maxn>i |an |p %n = maxn>i |an αn |p = M1 (f 0 − fi0 ), q.e.d.
Die wichtigste Tatsache ist nun, dass diejenigen Eigenschaften von Polynomen, die wir für eingeschränkte Potenzreihen zeigen wollen, beim Grenzübergang erhalten bleiben. Wir denken dabei an den
5.3.3
Weierstraßscher Vorbereitungssatz
Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz ist ein klassischer Satz über Potenzreihen
in mehreren Variablen, der ein wichtiges Werkzeug der kommutativen Algebra
und algebraischen Geometrie ist. Man findet ihn in [ZS75] Kap.VII.1:
Sei K ein Körper und f (X1 , . . . , Xn ) eine beliebige Potenzreihe.
Weiter sei g(X1 , . . . , Xn ) eine nicht-invertierbare Potenzreihe über
K, die Terme der Form aXnh mit a 6= 0 enthält. Bezeichnet s (≥
1) das kleinste solche h, dann gibt es eine eindeutige Potenzreihe
q(X1 , . . . , Xn ) und s eindeutige Potenzreihen ri (X1 , . . . , Xn ) (0 ≤
i ≤ s − 1), so dass
f (X1 , . . . , Xn ) = q(X1 , . . . , Xn )g(X1 , . . . , Xn )
s−1
X
+
ri (X1 , . . . , Xn−1 )Xni .
i=0
106
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
Wir arbeiten natürlich nur mit einer Variable,
so lässt sich die Zerlegung
P
i mit r ∈ K, d.h.
folgendermaßen lesen: f (X) = q(X)g(X) + s−1
r
X
i
i
i=0
f (X) = q(X)g(X) + r(X),
mit
deg r < s.
Wir wollen ebenfalls eine solche Zerlegung einer, jetzt aber in B≤% (0) mit % > 0
konvergenten, Potenzreihe f anstreben, die einer Art Division mit Rest gleicht.
Diese erhalten wir in Lemma 5.3.12. Aber wir können es in unserem nichtarchimedischen Fall noch viel weiter treiben: es ergibt sich ein noch viel schöneres Ergebnis, nämlich eine Zerlegung einer Potenzreihe f (X), die in B≤% (0) mit
% > 0 konvergent ist, in ein Produkt eines Polynoms g(X) und einer Potenzreihe h(X) (ohne Rest). Dabei hat f (X) genau die Nullstellen des Polynoms
(dieses zerfällt aber über Cp in Linearfaktoren). Somit gibt dieser Satz Auskunft
über das Nullstellenverhalten einer bzgl. % eingeschränkten Potenzreihe. Dies
wollen wir als das p-adische Analogon zum Weierstraßschen Vorbereitungssatz
bezeichnen.
Man interessiert sich wieder nur für % ∈ pQ . Der Fall % = 0 ist einfach zu
beantworten: Es ist 0 genau dann eine Nullstelle, falls der 0-te Koeffizient gleich
0 ist. Hier ist aber der Satz, der unser Hauptergebnis darstellt, und von dem
alles andere folgen wird:
Hauptsatz
(Weierstraßscher Vorbereitungssatz) Sei c ∈ pQ ,
P 5.3.10
n
f (X) =
an X ∈ Cp {X}% und n der größte konkurrierende Index von f
bzgl. M% f .
Dann existiert eine Zerlegung von f (X)
f (X) = g(X)h(X)
in ein Polynom
g(X) =
n
X
bn X n ∈ Cp [X]
n=0
vom Grad n und eine bzgl. % eingeschränkte Potenzreihe
h(X) =
∞
X
cn X n ∈ Cp {X}%
n=0
mit folgenden Eigenschaften:
(i)
(ii)
M% g = M% f = |bn |p %n
M% (h − 1) < 1
Insbesondere liegen alle n Nullstellen von g(X) in B≤% (0) und h(X) hat
dort keine Nullstellen. Somit hat f (X) in B≤% (0) genau n Nullstellen.
Zum Beweis braucht man ein Lemma, das zuerst für Polynome bewiesen
wird und danach, wie schon angedeutet, auf bzgl. % eingeschränkte Potenzreihen
übertragen wird.
5.3. Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
107
Lemma 5.3.11 Sei % ∈ pQ und f (X) ∈ Cp [X] ein beliebiges Polynom und
g(X) =
N
X
bn X n ∈ Cp [X]
n=0
ein Polynom vom Grad N mit
M% g = |bN |p %N .
Seien q(X) und r(X) der Quotient und der Rest bei der Polynomdivision von
f (X) durch g(X). Dann gilt:
(i)
(ii)
M% f ≥ M% q · M% g
M% f ≥ M% r
Beweis. Man betrachtet wieder zwei Fälle für %:
Fall % = 1: So ist M1 g = |bN |p . Ohne Einschränkung sei M1 g = |bN |p = 1;
gegebenenfalls multipliziert man ein passendes Element aus Cp mit g(X).
Man betrachte die Polynomdivision
f (X) = q(X)g(X) + r(X) mit
deg r < N.
Wieder ohne Einschränkung (nach eventueller Multiplikation der ganzen Gleichung mit einem Element aus Cp ) sei
max(M1 q, M1 r) = 1.
Nun folgt aus 5.3.8 (ii) und (iii), dass
M1 f ≤ 1.
Nehmen wir an, dass M1 f < 1. Dann ist jeder Koeffizient von f (X) in B<1 (0).
Man betrachtet nun die Polynomdivision modulo B<1 (0) und bezeichnet diese
Reduktion mit einem Querstrich:
0 = f (X) = q(X)g(X) + r(X)
Da aber nun |bN |p = 1, so ist
deg g = N > deg r ≥ deg r,
woraus folgt, dass q(X) = 0, also damit auch r(X) = 0. Dies steht im Widerspruch zu max(M1 q, M1 r) = 1. Somit ist M1 f = 1 und das Lemma ist für % = 1
gezeigt.
Fall % = pa/b ∈ pQ : Hier wählt man ein α ∈ Cp mit |α|p = %. Dann
betrachtet man die Polynome
f 0 (X) := f (αX) und g 0 (X) := g(αX),
für die M1 f 0 = M% f und M1 g 0 = M% g gilt. Wendet man den Fall % = 1 auf f 0
und g 0 an, so erhält man die gewünschten Ungleichungen, q.e.d.
Jetzt verallgemeinern wir dieses Lemma noch auf f (X) ∈ Cp {X}% :
108
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
Lemma 5.3.12 Sei % ∈ pQ und f (X) ∈ Cp {X}% eine bzgl. % eingeschränkte
Potenzreihe und
N
X
g(X) =
bn X n ∈ Cp [X]
n=0
ein Polynom vom Grad N mit
M% g = |bN |p %N .
Dann existieren q(X) ∈ Cp {X}% und r(X) ∈ Cp [X] vom Grad < N , sodass
f (X) = q(X)g(X) + r(X),
wobei:
(i)
(ii)
M% f ≥ M% q · M% g
M% f ≥ M% r
Beweis. Die Idee ist jetzt, das Lemma zuvor zu benutzen mit der Tatsache, dass
Cp {X}% die Vervollständigung von Cp [X] ist:
Sei also fi (X) eine Folge von Polynomen, die gegen f (X) konvergiert. Jetzt
teilt man fi (X) durch g(X) und erhält
fi (X) = qi (X)g(X) + ri (X) und
deg ri < N.
Es ist nun zu zeigen, dass qi (X) und ri (X) konvergieren, was das Gleiche ist,
zu zeigen, dass sie Cauchy sind: Um dies einzusehen, betrachte man die zwei
Gleichungen
fi (X) = qi (X)g(X) + ri (X)
mit
deg ri < N,
fi+1 (X) = qi+1 (X)g(X) + ri+1 (X) mit
deg ri+1 < N.
Subtrahiert man die eine von der anderen, so ergibt sich
fi+1 (X) − fi (X) = (qi+1 (X) − qi (X))g(X) + (ri+1 (X) − ri (X))
mit deg(ri+1 − ri ) < N . Auf diese Gleichung wendet man Lemma 5.3.11 an und
bekommt
M% (qi+1 − qi ) ≤
M% (fi+1 − fi )
M% g
und M% (ri+1 − ri ) ≤ M% (fi+1 − fi ).
Es ist also, da (fi ) eine Cauchy-Folge ist,
lim M% (qi+1 − qi ) = lim M% (ri+1 − ri ) = 0.
i→∞
i→∞
Wegen 5.3.8 (ii) ist M% f eine nicht-archimedische Norm und die qi (X) und die
ri (X) bilden somit nach dem Cauchy-Kriterium für Folgen Cauchy-Folgen. Es
existieren also Grenzwerte q(X) und r(X). Diese erfüllen die Bedingungen des
Satzes, da qi (X) und ri (X) diese erfüllen und die Norm f 7→ M% f analog zu
1.3.3 stetig ist, q.e.d.
5.3. Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
109
Jetzt ist man in der Lage den Weierstraßschen Vorbereitungssatz zu
beweisen, wobei das N aus dem Lemma die Rolle des größten konkurrierenden
Index n spielen wird.
Beweis des Weierstraßschen Vorbereitungssatz 5.3.10. Der Fall f = 0 ist
trivial; sei also im folgenden f 6= 0: Man startet mit einer angenäherten Faktorisierung von f ≈ g1 h1 und verfeinert sie dann schrittweise durch bessere gi und
hi , die dann schließlich gegen gewünschte g und h konvergieren. Die Konstruktion der gi und hi erfolgt via Induktion und anschließend wird gezeigt, dass die
dadurch erhaltenen gi und hi auch geeignet sind, d.h. dass sie gegen ein g und
ein h konvergieren, die unsere Anforderungen erfüllen.
Induktionshypothese. Es kann eine Folge von Polynomen
gi =
n
X
bin X n ∈ Cp [X],
n=0
eine Folge von bzgl. % eingeschränkten Potenzreihen
hi =
∞
X
cin X n ∈ Cp {X}%
n=0
und ein festes 0 < δ < 1 gefunden werden, die folgende Eigenschaften erfüllen:
(1)
(2)
(3)
deg gi = n und hi ∈ Cp {X}%
M% (f − gi ) ≤ δM% f und M% (hi − 1) ≤ δ
M% (f − gi hi ) ≤ δ i M% f
Induktionsanfang i = 1. Wir suchen nun g1 , h1 und ein δ < 1. Falls n
den größten konkurrierenden Index bezeichnet, so ist M% f = |an |p %n und für
n > n ist |an |p %n < M% f . Daraus folgt
Ã
M%
f−
n
X
!
an X n
< M% f,
n=0
also für ein 0 < δ < 1 ist
Ã
M%
f−
n
X
!
an X n
= δM% f.
n=0
P
Nun wählt man g1 (X) := nn=0 an X n und h1 (X) := 1, die ganz klar die Bedingungen (1)-(3) erfüllen.
Induktionsvoraussetzung. Nehmen wir an, wir hätten ein gi und ein
hi mit (1)-(3) gefunden. Jetzt untersuchen wir diese genauer und wenden das
Lemma an: M% f erfüllt als nicht-archimedische Norm den Satz über Dreiecke.
Wir wenden jetzt den Satz über Dreiecke gleich doppelt an, einmal für M% f und
110
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
einmal für | . |p . Einerseits betrachtet man also das Dreieck mit den Eckpunkten
0, f, gi in Cp {X}c , für das nach (2)
M% (f − gi ) ≤ δM% f < M% f
gilt, und andererseits das Dreieck 0, an xn , bin xn in Cp mit einem |x|p = %, für
das wegen obigem insbesondere
|an − bin |p %n < |an |p %n
gilt. Insgesamt ergibt sich mit 2× dem Satz über Dreiecke
M% gi = M% f = |an |p %n = |bin |p %n .
Somit ist für gi (X) die Voraussetzung des Lemmas 5.3.12 für N = n erfüllt.
Man wendet es auf f − gi hi ∈ Cp {X}% und gi (X) ∈ Cp [X] an und erhält
q(X) ∈ Cp {X}% und r(X) ∈ Cp [X] mit
f − gi hi = qgi + r
und
deg r < n,
für die mit (3)
M% q ≤
M% (f − gi hi )
M% (f − gi hi )
=
≤ δi < δ
M% gi
M% f
und
M% r ≤ M% (f − gi hi ) ≤ δ i M% f < δM% f
gilt.
Induktionsschritt von i auf i + 1. Man definiert jetzt
gi+1 (X) := gi (X) + r(X) und hi+1 (X) := hi (X) + q(X)
und man zeigt für diese, dass sie wieder (1)-(3) erfüllen.
(1) Zuerst ist wegen deg r < n auch wirklich wieder deg gi+1 = n. Auch ist
wegen q(X), hi (X) ∈ Cp {X}% auch hi+1 ∈ Cp {X}% .
(2) Es ist, da nach obigem M% r < δM% f gilt, nach Voraussetzung (2)
M% (f − gi+1 ) = M% (f − gi − r) ≤ max(M% (f − gi ), M% r) ≤ δM% f
und analog, wegen M% q < δ,
M% (hi+1 − 1) = M% (hi − 1 + q) ≤ max(M% (hi − 1), M% q) ≤ δ.
(3) Es gilt
f − gi+1 hi+1 = f − (gi + r)(hi + q)
= f − gi hi − qgi − rhi − rq = r − rhi − rq = r[(1 − hi ) − q],
woraus mit M% r ≤ δ i M% f , Voraussetzung (2) und M% q < δ
M% (f − gi+1 hi+1 ) = M% r · M% ((1 − hi ) − q)
≤ δ i M% f · max(M% (1 − hi ), M% q) ≤ δ i+1 M% f
5.3. Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
111
folgt.
Konvergenz der Folgen gegen geignete g und h. Jetzt da man die
Folgen gefunden hat, muss man noch zeigen, dass sie auch konvergieren; und
zwar gegen geeignete g und h:
Die Ungleichungen M% q ≤ δ i und M% r ≤ δ i M% f bedeuten, wenn man q =
hi+1 − hi und r = gi+1 − gi beachtet,
M% (hi − hi+1 ) ≤ δ i
und M% (gi − gi+1 ) ≤ δ i M% f.
Da δ < 1, so bilden die gi (X) und die hi (X) also Cauchy-Folgen bezüglich der
nicht-archimedischen Norm M% f . Diese konvergieren nach Definition der Norm
M% f gegen
g(X) =
h(X) =
n
X
n=0
∞
X
n=0
n
bn X :=
n
cn X :=
n µ
X
¶
lim bin X n ∈ Cp [X]
i→∞
n=0
∞ µ
X
n=0
¶
lim cin X n ∈ Cp {X}% .
i→∞
Diese Grenzwerte erfüllen jetzt auch die Aussagen des Satzes: Da die Norm
f 7→ M% f stetig ist, lassen sich die Ungleichungen in (2) auch auf g(X) und
h(X) übertragen, also M% (f − g) ≤ δM% f . Dies heißt nach dem Satz über
Dreiecke wieder M% f = M% g und nach nochmaliger Anwendung des Satzes
über Dreiecke, analog zur Induktionsvoraussetzung, ergibt sich
M% g = M% f = |an |p %n = |bn |p %n .
Dies ist bereits Aussage (i). Hier sieht man auch wegen f 6= 0 und somit M% f 6=
0, dass wirklich deg g = n. Weiter sagt einem (3) (nach Grenzübergang i → ∞),
dass
f (X) = g(X)h(X)
und somit ist auch wirklich h(X) ∈ Cp {X}% . Weiter ist nach (2) auch
M% (h − 1) ≤ δ < 1,
also gilt Aussage (ii). Jetzt noch zu der letzten Aussage des Satzes:
g(X) hat alle Nullstellen in B≤% (0). Es garantiert (i) M% g = |bn |p %n ,
dass das Polynom g(X) alle Nullstellen in B≤% (0) hat: Also wenn man g(X)
durch bn teilt erhält man das normierte Polynom
g 0 (X) = b00 + b01 X + . . . + b0n−1 X n−1 + X n ,
für dessen Koeffizienten
|b0n |p %n ≤ M% g 0 = %n
gilt und somit für alle n = 0, . . . , n − 1
|b0n |p ≤ %n−n .
112
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
Sei nun α eine Nullstelle von g(X), so ist α auch eine Nullstelle von g 0 (X) und
wir schreiben
αn = −(b00 + b01 α + . . . + b0n−1 αn−1 ).
Insgesamt ergibt sich
|α|np ≤
max
n=0...n−1
|b0n αn |p ≤
max
n=0...n−1
%n−n |α|np ,
woraus |α|p ≤ % folgt; denn wäre nun |α|p > %, so ergäbe sich der Widerspruch
|α|p < |α|p .
h(X) hat keine Nullstelle in B≤% (0). Aussage (ii) besagt für ein |x|p ≤ %
|h(x) − 1|p ≤ M% (h − 1) < 1
und somit kann h(X) keine Nullstelle in B≤% besitzen, denn sonst ergäbe sich
1 < 1.
f (X) hat n Nullstellen in B≤% (0). Nach Obigem hat f (X) in B≤% (0)
genau die Nullstellen von dem Polynom g(X), das aber wegen der algebraischen
Abgeschlossenheit von Cp n (nicht unbedingt verschiedene) Nullstellen besitzt,
q.e.d.
5.3.4
Folgerungen
Jetzt soll der Weierstraßsche Vorbereitungssatz sozusagen ausgemolken werden.
Dazu schauen wir ihn uns noch einmal genauer an: Was bedeutet der Weierstraßsche Vorbereitungssatz?
Wenn wir eine Potenzreihe ungleich null haben, die in B≤% (0) konvergiert,
also
∞
X
f (X) =
an X n ∈ Cp {X}% ,
n=0
und wenn n den größten konkurrierenden Index von f bzgl. M% f bezeichnet, so
kann man f folgendermaßen faktorisieren:
Ã
f (X) = g(X)h(X) =
n
X
!
bn X n
h(X)
n=0
Dabei hat h(X) ∈ Cp {X}% keine Nullstellen in B≤% (0), dagegen g(X) ∈ Cp [X]
alle n.
Man kann g(X) als
g(X) = bn (X − α1 ) · · · (x − αn )
schreiben, wobei α1 , . . . , αn die (nicht notwendig unterschiedlichen) Nullstellen
bezeichnen.
Diese sind exakt auch die Nullstellen von f (X) in B≤% (0). Wir halten fest:
5.3. Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
113
P
Folgerung 5.3.13 Sei 0 6= f (X) = an X n ∈ Cp {X}% und n der größte konkurrierende Index von f bzgl. M% f . Dann hat f in B≤% (0) genau n Nullstellen
und lässt sich als
f (X) = (X − α1 ) · · · (X − αn )h0 (X)
schreiben, wobei α1 , . . . , αn die Nullstellen sind und h0 (X) ∈ Cp {X}% keine
Nullstellen besitzt.
Insbesondere gilt für ein solches f 6= 0, was man auch den Satz von Strassman nennt, folgende
Folgerung 5.3.14 (Satz von Strassman) Sei f 6= 0 eine Potenzreihe die in
B≤% (0) konvergiert. Dann hat f dort nur endlich viele Nullstellen.
Damit kann man nun den Identitätssatz auch so formulieren:
P
Folgerung 5.3.15 (Identitätssatz) Seien f (X) =
an X n und g(X) =
P
n
bn X ∈ Cp {X}% . Falls es unendlich viele α ∈ B≤% (0) mit
f (α) = g(α)
gibt, dann ist an = bn für alle n ∈ N.
Beweis. Da die Reihe f − g unendlich viele Nullstellen besitzt, kann sie nach
dem Satz von Strassman nur identisch gleich 0 sein, q.e.d.
Dies ist überraschend! In der Funktionentheorie ist es nicht ausreichend
nur unendlich viele Punkte zu haben; sie müssen sich noch zusätzlich in einem
Punkt häufen (so haben auch wir den Identitätssatz zuerst formuliert).
Daraus ergibt
sich eine weitere Überraschung für periodische Funktionen:
P
Sei f (X) = an X n ∈ Cp {X}% , so definiert sie eine Funktion
f : B≤% (0) → Cp .
Diese Funktion heißt periodisch, falls es ein π ∈ B≤% (0) mit f (x + π) = f (x)
für alle x ∈ B≤% (0) gibt.
Folgerung 5.3.16 (periodische Funktionen) Eine periodische durch eine
Potenzreihe definierte Funktion ist konstant.
Beweis. Für die periodische Funktion f = 0 ist die Aussage klar. Sei also f 6= 0
eine durch eine Potenzreihe definierte Funktion mit der Periode π, dann besitzt
die Reihe f (0 + X) − f (0) die Nullstelle π und somit auch die Nullstellen nπ
mit n ∈ Z. Mit π ∈ B≤% (0) sind auch alle nπ ∈ B≤% (0) und somit ist die Reihe
f (X) − f (0) nach dem Identitätssatz gleich 0. Daraus ergibt sich, dass f (X)
gleich der Konstante f (0) = a0 sein muss, q.e.d.
114
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
Das heißt, dass es keine periodischen durch Potenzreihen definierte Funktionen gibt, außer den Konstanten. Diese Folgerung steht im krassen Gegensatz
zu den klassischen trigonometrischen Funktionen sin(X) und cos(X), die in C
sehr wohl periodisch sind; auch exp(X) ist in C periodisch.
Dies rührt daher, dass alle Vielfachen nπ der Periode π in unserem nichtarchimedischen Fall in einem beschränkten Ball liegen, was in C durch die
archimedische Eigenschaft nicht passieren kann.
Als nächstes wollen wir, wie schon vorher in 5.3.1 erwähnt, die Verteilung
der Anzahl der Nullstellen von Potenzreihen noch genauer festlegen.
P
Satz 5.3.17 (Verteilung der Nullstellen, Teil 1) Sei f (X) =
an X n ∈
Cp [[X]] mit Konvergenzradius r > 0 und bezeichne n und n den kleinsten und
größten konkurrierenden Index von f bzgl. M% f . Dann hat die Potenzreihe für
0 < % < r folgende Anzahlen von Nullstellen:
in einem abgeschlossenen Ball B≤% (0)
auf einer kritischen Sphäre S% (0)
in einem offenen Ball B<% (0), mit kritischem %
in einem offenen Ball B<% (0), mit regulärem %
n
n−n
n
n
Beweis. Die Aussage mit dem abgeschlossenen Ball ist direkt der Weierstraßsche
Vorbereitungssatz. Wenn das mit den kritischen Sphären stimmt, dann sieht
man sofort die letzten beiden Aussagen:
Wenn also % ein kritischer Radius ist, so liegen in B<% (0)
n − (n − n) = n
Nullstellen.
Wenn dagegen % einen regulären Radius bezeichnet, so ist die Anzahl der
Nullstellen in B<% (0) und B≤% (0) gleich, da man bereits weiß, dass sich Nullstellen nur auf kritischen Sphären befinden.
Nun aber zu den kritischen Sphären: Sei 0 < %0 ≤ % < r zwei unmittelbar folgende kritische Radien, d.h. es gibt keinen weiteren kritischen Radius
zwischen ihnen und somit können hier auch keine Nullstellen mehr auftauchen.
Dies funktioniert, da wir wissen, dass die kritischen Radien diskret sind.
Nach dem Weierstraßschen Vorbereitungssatz ist die Anzahl der Nullstellen
im Ball B≤% (0) von f (X) gleich n und im Ball B≤%0 (0) gleich n0 , also n − n0
Nullstellen auf der Sphäre S% (0).
Weiter sei man für den eben beschriebenen Fall an die Beschreibung des
größten und kleinsten konkurrierenden Monoms aus 5.3.1 erinnert: für zwei
unmittelbar folgende kritische Radien gilt stets n = n0 . Somit gibt es auf der
Sphäre S% (0) genau n − n Nullstellen, q.e.d.
Dies ist ein sehr schönes Ergebnis: Man kann den Graphen von M% f zeichnen
und dann die Anzahl der Nullstellen auf den kritischen Sphären einfach ablesen.
Dazu folgende
5.3. Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
115
Beispiele 5.3.18
Wir wollen dies für eine beliebige Potenzreihe
f (X) =
∞
X
an X n ∈ Cp [[X]]
n=0
mit Konvergenzradius r > 0 etwas genauer diskutieren und anhand folgender
drei Fälle beleuchten (die nicht aufgezeichneten Monome seien vernachlässigbar):
6
|a2 |p %2
©©
n0 = 1 = n00
©
©©
©©
n00 = 2
|a0 |p
©
©
n0 = 0
© |a1 |p %
©
M% f
©©
(1) In der linken Abbildung
ist % = 0 ein regulärer Radius
und somit ist 0 keine Nullstelle. Weiter gilt für die kleinsten
und größten konkurrierenden
Indizes dort (n0 , n0 beziehen
sich auf %0 und n00 , n00 auf %00 ):
%0
%00
r
-
Man definiere jetzt die Funktion
Abbildung 5.2: Der Radius % = 0 ist
ein regulärer Radius.
#N (M ) := Anzahl der Nullstellen von f auf
der Menge M
und so ergibt sich
#N (B≤%0 ) = #N (S%0 ) = n0 − n0 = 1 − 0 = 1.
Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz hätte gleich
#N (B≤%0 ) = n0 = 1
gesagt. Analog findet man
#N (B≤%00 ) = #N (S%0 ) + #N (S%00 )
= (n0 − n0 ) + (n00 − n00 ) = (1 − 0) + (2 − 1) = 2.
Wieder hätte der Weierstraßsche Vorbereitungssatz die gleiche Antwort parat:
#N (B≤%00 ) = n00 = 2.
116
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
6
|a3 |p %3
|a2 |p %2
(2) Betrachtet man jetzt das
nächste Bild, in dem % = 0 ein
kritischer Radius und somit
0 eine Nullstelle ist. Es gilt
für die kleinsten und größten
konkurrierenden Indizes bei %0
und %00 :
n0 = 1
M% f
n0 = 2 = n00
³ |a1 |p %
³³
³
³³
³
³³
³
³³
n00 = 3
³
|a0 |p = 0
%0
%00
r
-
Abbildung 5.3: Der Radius % = 0 ist
ein kritischer Radius.
Wir erhalten hier, da auch die
0 mitgezählt werden muss
#N (B≤%0 ) = 1 + #N (S%0 )
= 1 + (n0 − n0 )
= 1 + (2 − 1) = 2.
Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz hätte sofort
#N (B≤%0 ) = n0 = 2
gesagt. Analog finden wir
#N (B≤%00 ) = 1 + #N (S%0 ) + #N (S%00 )
= 1 + (n0 − n0 ) + (n00 − n00 ) = 1 + (2 − 1) + (3 − 2) = 3.
Wieder dirket mit dem Weierstraßschen Vorbereitungssatz lautet die Antwort:
#N (B≤%00 ) = n00 = 3.
Erstaunlich ist, dass der Weierstraßsche Vorbereitungssatz die 0 sozusagen mit
berücksichtigt.
5.3. Nullstellen und Weierstraßscher Vorbereitungssatz
6
|a3 |p %3
117
(3) In der nächsten Abbildung
kreuzen sich gleich drei Monome bei %0 . Hier gilt für die
kleinsten und größten konkurrierenden Indizes:
n0 = 0
|a2 |p %2
n0 = 2 = n00
n00 = 3
M% (f )
³ |a1 |p %
³
³³
³
³³
³
³³
|a0 |p
³
³³
%0
%00
Wir bekommen jetzt
r
#N (B≤%0 ) = #N (S%0 )
= (n0 − n0 )
-
Abbildung 5.4: Am kritischen Radius %0 schneiden sich sogar drei Monomgraphen.
= 2 − 0 = 2.
Mit dem Weierstraßschen
Vorbereitungssatz
erhalten
wir wieder gleich
#N (B≤%0 ) = n0 = 2.
Analog finden wir
#N (B≤%00 ) = #N (S%0 ) + #N (S%00 )
= (n0 − n0 ) + (n00 − n00 ) = (2 − 0) + (3 − 2) = 3.
Wieder mit dem Weierstraßschen Vorbereitungssatz lautet die Antwort:
#N (B≤%00 ) = n00 = 3.
Lässt man sich diese Beispiele durch den Kopf gehen, dann hat man schon
viel verstanden.
Anderes Thema: Vorher hat man geschlossen, wenn x eine Nullstelle ist, so
ist |x|p = % eine kritische Sphäre. Jetzt kann man auch umgekehrt schließen:
Folgerung 5.3.19 % ist genau dann eine kritische Sphäre, wenn eine Nullstelle
x mit |x|p = % existiert.
So folgt: Falls eine Potenzreihe über Cp keine Nullstellen in einem offenen
Ball hat, so befinden sich dort auch keine kritischen Sphären.
Wir wollen noch ein paar Beispiele für Reihen, die wir schon vorher betrachtet haben, behandeln:
118
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
Beispiele 5.3.20
(1)
(2)
exp(X) hat nach 4.5.5 keine Nullstellen in B<p−1/(p−1) . Im Beispiel 5.1.9
(2) könnte man jetzt leichter sehen, dass sich dort also keine kritischen
Sphären
P n n befinden.
p X hat den Konvergenzbereich B<p (0) und dort keine Nullstellen,
da für x ∈ B<p (0) nach 4.6.4 (3)
X
pn xn =
1
1 − px
gilt. Somit gibt es dort auch keine kritischen Sphären (man kann dies
auch einfach direkt zeigen: für |x|p = % < p gilt für n ≥ 1
|pn |p %n < p−n pn = 1 = |p0 |p %0 ;
(3)
dies sagt, dass a0 das dominante Monom ist und die Anzahl der Nullstellen
alle Bälle B≤% (0) mit % < p gleich n = 0 ist).
P −n für
n
p X hat den Konvergenzbereich B<1/p (0) und dort keine Nullstellen, da für x ∈ B<1/p (0) analog
X
p−n xn =
1
1−
x
p
gilt. Und somit gibt es auch hier keine kritischen Sphären (auch könnte
man es wieder direkt zeigen; ganz wie eben).
Zum Schluss soll noch speziell für ganze Potenzreihen eine Nullstellenverteilung gegeben werden, die ganz ähnlich zum klassischen Fall verläuft:
Folgerung 5.3.21 (Verteilung der Nullstellen, Teil 2) Sei f (X)
=
P
an X n ∈ Cp [[X]] eine ganze Potenzreihe. Dann hat f (X) höchstens abzählbar
viele Nullstellen. Hat f (X) unendlich viele Nullstellen αi , so gilt
|αi |p → ∞.
Beweis. Dies ist klar, da die kritischen Radien diskret sind und sich auf jeder
kritischen Sphäre nur endlich viele Nullstellen befinden, q.e.d.
Aus dieser Folgerung möchte man vermuten, dass man ganze Potenzreihen
als
“f (X) = h(X)
∞
Y
(X − αi )”
i=0
mit unendlich vielen Nullstellen αi von f und einer ganzen nullstellenfreien
Potenzreihe h(X) darstellen kann (natürlich muss das unendliche Produkt konvergieren; hier sieht man schon, dass das so nicht klappt, aber, wie wir sehen
werden, genügt dazu eine einfache Umformung). Damit sind wir schon inmitten
unseres nächsten Themas.
5.4. Ganze Funktionen
5.4
119
Ganze Funktionen
Wir nannten eine Potenzreihe mit unendlichem Konvergenzradius eine ganze
Potenzreihe. Die Idee, sie so zu nennen, haben wir, wie bereits in 5.2 erwähnt,
von Weierstraß. Und so definieren wir:
Definition 5.4.1 Eine Funktion f heißt ganze Funktion, falls sie durch eine
ganze Potenzreihe dargestellt wird.
Eine weitere Anwendung des Weierstraßschen Vorbereitungssatz ist die Beschreibung dieser ganzen Potenzreihen oder ganzen Funktionen:
P
Hauptsatz 5.4.2 (ganze Funktionen) Sei f =
an X n eine ganze Funktion. Dann gilt:
(i) Falls f keine Nullstelle hat, so ist f = a0 .
(ii) Falls f endlich viele Nullstellen hat, so ist f ein Polynom.
(iii) Falls f 6= 0 unendlich viele Nullstellen hat, dann lässt sich f als konvergentes unendliches Produkt
f = am X
m
∞
Y
(1 − αn−1 X)
n=1
darstellen, wobei m = min{n : an 6= 0} (also die Vielfachheit der Nullstelle 0) und die αn die Nullstellen 6= 0 sind.
Beweis. (i) Falls f keine Nullstelle hat, dann ist a0 = f (0) 6= 0 und es ist
|f (x)|p = |a0 |p für alle |x|p kleiner als der erste kritische Radius. Aber f hat
keinen kritischen Radius, da es keine Nullstellen hat. Somit muss an = 0 für alle
n ≥ 1 sein (denn sonst würde ein Monom höheren Grades für großes |x|p = %
sich mit dem konstanten Monom a0 kreuzen). Daraus folgt dann
f = a0 .
(ii) Seien αk die endlich vielen Nullstellen. Man teilt f durch alle (X − αk )
und ist dann wieder in (i).
(iii) Unsere Idee ist jetzt folgende: Wir wenden den Weierstraßschen Vorbereitungssatz für immer größer werdende Bälle B≤% (0) an und erhalten dann
hoffentlich die gewollte Darstellung. Also los: Da f 6= 0, kann man, wenn
m := min{n : an 6= 0} definiert wird,
µ
¶
X
X am+n
n
m
n
f (X) =
an X = am X
1+
X
am
n≥m
n≥1
schreiben. Somit haben wir schon einen Teil der Darstellung. Wir betrachten
deshalb jetzt die rechte Reihe. Sie ist ohne Einschränkung vom Typ
X
f (X) = 1 +
an X n = 1 + a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 + . . . .
n≥1
120
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
Wir nummerieren die kritischen Radien %0 < %1 < %2 < . . . und zerlegen
jetzt f nach und nach auf allen Sphären B≤%i (0) nach dem Weierstraßschen
Vorbereitungssatz: Auf %0 bezeichne n0 den größten konkurrierenden Index und
wir erhalten
f (X) = g0 (X)h0 (X)
= (1 + b01 X + . . . + b0n0 X n0 ) + (1 + c01 X + c02 X 2 + . . .)
mit M%0 (h0 − 1) < 1. Man faktorisiert jetzt g0 (X) mit Hilfe der Nullstellen
α1 , . . . , αn0 und schreibt es folgendermaßen um:
g0 (X) = b0n0
n0
Y
(X − αn )
n=1
= −b0n0 (α1 · · · αn0 )
n0
Y
(1 −
αn−1 X)
=
n=1
n0
Y
(1 − αn−1 X)
n=1
Letzte Gleichung gilt wegen g0 (0) = 1. Warum wir g0 (X) so umschreiben, wird
später klar werden. Man erhält
f (X) = h0 (X)
n0
Y
(1 − αn−1 X).
n=1
Dies macht man jetzt für jedes i bzw. %i und erhält
f (X) = hi (X)
ni
Y
(1 − αn−1 X)
n=1
= (1 + ci1 X + ci2 X 2 + . . .)
ni
Y
(1 − αn−1 X)
n=1
mit M%i (hi − 1) < 1 (dabei ist wegen der unendlichen Anzahl der Nullstellen
ni > ni−1 ; nebenbei ist |αn |p = %i für ni−1 < n ≤ ni ).
Als nächstes kommt der Grenzübergang i → ∞. Wir müssen jetzt hi (X)
und das jetzt unendliche (ni → ∞ für i → ∞ wegen der unendlichen Anzahl
der Nullstellen) Produkt betrachten. Zuerst zum Produkt: Es gilt für jedes feste
x ∈ Cp für die Faktoren des Produkts
(1 − αn−1 x) → 1,
da nach 5.3.21 |αn |p → ∞ (deswegen auch die Umformulierung der gi (X)).
Nach dem Konvergenzkriterium für Produkte 1.3.12 konvergiert das Produkt
gegen
ni
∞
Y
Y
−1
lim
(1 − αn x) =
(1 − αn−1 x).
i→∞
n=1
n=1
Jetzt zu
hi (X) = 1 + ci1 X + ci2 X 2 + . . .
5.4. Ganze Funktionen
121
mit M%i (hi − 1) < 1. Es ist nach 5.3.21 auch %i → ∞ und somit gilt für beliebig
große %i
M%i (hi − 1) = max |cin |p %ni < 1.
n≥1
Insbesondere gilt für alle n ≥ 1
|cin |p <
1
→0
%ni
für i → ∞, woraus sich die Behauptung ergibt, q.e.d.
Wir sind also tatsächlich zu einer Darstellung, wie im vorigen Abschnitt
gehofft, gekommen:
h(X) = am 6= 0
ist nullstellenfrei und g(X) ist ein unendliches Produkt von Linearfaktoren,
wenn auch die Form der Linearfaktoren etwas anders, als erwartet, ist:
g(X) = X m (1 − α1−1 X)(1 − α2−1 X) · . . .
ManQ kann auch umgekehrt vorgehen: Jedes unendliche Produkt
am X m (1−αn−1 X), das für jedes x konvergiert (dafür muss der Faktor gegen 1
gehen; dies passiert für |αn |p → ∞) stellt eine ganze Funktion dar. Wir können
also eine ganze Funktion mit vorgegebenen Nullstellen αn 6= 0 mit |αn |p → ∞
und m-facher Nullstelle 0 durch
am X m
∞
Y
(1 − αn−1 X)
n=1
definieren.
Dieser Satz ist auch insofern interessant, da wir bereits wissen, dass die
Exponentialfunktion exp im p-adischen, wie im klassischen Kontext keine Nullstellen hat. Dies ist unabhängig vom Kontext, sondern hängt lediglich von der
Homomorphismus-Eigenschaft der exp-Funktion ab: wie wir im letzten Kapitel
sehen werden gilt stets
exp(x) exp(−x) = exp(0) = 1,
woraus
exp(x) 6= 0
folgt. Dagegen ist sie nur in der komplexen Analysis ganz. Diese Endlichkeit
der Nullstellen verhindert sozusagen ihre Ganzheit in der p-adischen Analysis
(sie ist ja kein Polynom oder gar konstant).
In der komplexen Analysis war jede ganze Funktion ohne Nullstellen von
der Form f (z) = exp(g(z)) für eine ganze Funktion g(z). Hier sind solche Funktionen nur die Konstanten. Das ist beeindruckend.
122
5.5
Kapitel 5. Sätze der p-adischen Funktionentheorie
Maximumprinzip
Zum Abschluss dieses Kapitels soll mit Hilfe der Theorie über die Nullstellen und kritischen Sphären noch ein Analogon zum Maximumprinzip aus der
Funktionentheorie gefunden werden:
Sei G ⊂ C ein beschränktes Gebiet und f eine stetige Funktion auf
dem Abschluss von G, welche im Innern von G analytisch ist, so
nimmt |f | sein Maximum auf dem Rand von G an.
Wie kann ein p-adisches Maximumprinzip ausschauen? Wir wissen schon,
den Begriff analytische Funktion durch Potenzreihe auszutauschen; das beschränkte Gebiet wird somit ein abgeschlossener Ball sein und der Rand wird
durch Sphäre ersetzt werden. Die ganzen anderen Begriffe, wie stetig, Inneres,
Abschluss werden wir gar nicht benötigen. Also hier ist der Satz:
P
Hauptsatz 5.5.1 (Maximumprinzip) Sei f (X) = an X n ∈ Cp {X}% , also
in B≤% (0) konvergent. Dann nimmt |f (X)|p sein Maximum auf der Sphäre S% (0)
an:
max |f (x)|p = M% f
|x|p =%
Dazu soll mit Hilfe der vorangegangenen Theorie über kritische Radien,
insbesondere der Existenz von Nullstellen auf kritischen Sphären, ein Satz bewiesen werden:
Satz 5.5.2 Sei % ein kritischer Radius von f (X) =
nimmt |f (X)|p auf der Sphäre S% (0) alle Werte in
P
an X n ∈ Cp {X}% . Dann
[0, M% f ] ∩ pQ
0
an.
Beweis. Wir suchen jetzt zu einem y mit |y|p ∈∈ [0, M% f ] ∩ pQ
0 ein x ∈ S% (0)
mit f (x) = y. Insbesonders ist dann |f (x)|p = |y|p .
1. Fall |y|p ∈ [0, M% f ) ∩ pQ
0 : Für y = 0 ist die Aussage klar, da f (X) eine
Nullstelle auf der kritischen Sphäre S% (0) besitzt. Für alle andere solche y ∈ Cp
betrachte man die Potenzreihe
X
f (X) − y = (a0 − y) +
an X n .
n≥1
Außer dem konstanten wird kein Monom verändert. Falls das konstante Monom a0 auf der Sphäre S% (0) konkurriert, dann konkurriert auch das konstante
Monom a0 − y, denn nach dem Satz über Dreiecke folgt |a0 − y|p = |a0 |p aus
|y|p < M% (f ) = |a0 |p .
Falls a0 auf der Sphäre S% (0) nicht konkurriert, so gibt es keinerlei Probleme
(|a0 − y|p ≤ max(|a0 |p , |y|p ) < M% (f ), d.h. a0 − y konkurriert dort auch nicht).
5.5. Maximumprinzip
123
Somit ist % in jedem Falle auch ein kritischer Radius von f (X) − y und wir
wissen um die Existenz von Nullstellen auf der Sphäre S% (0), d.h. eine Lösung
x der Gleichung f (X) = y mit |x|p = %. |f (x)|p = |y|p .
2. Fall |y|p = M% f : Ist a0 nicht konkurrierend auf S% (0), dann ist aber
immer noch |a0 − y|p ≤ M% f , d.h. % bleibt in jedem Fall kritisch und man kann
auch hier eine Nullstelle von f (X) − y finden.
Falls a0 auf der Sphäre S% (0) konkurriert, so stellt sich das Problem, dass
jetzt
|a0 − y|p < |a0 |p = M% f
sein kann, d.h. a0 − y konkurriert nicht mehr auf S% (0) und somit ist S% (0)
nicht unbedingt mehr eine kritische Sphäre für f (X) − y. Wir können aber y
so wählen, dass dies eben nicht eintritt, dass also
|a0 − y|p = M% f
gilt. Ist nämlich M% f = |a0 |p = p−r , so schreibt man nach Satz 2.6.5 a0 = pr ζu,
wobei ζ eine pk − 1-te Einheitswurzel ist. Dann definiert man y := pr ζ 0 u mit
einer dazu verschiedenen pl − 1-ten Einheitswurzel ζ 0 . Insbesondere gilt auch
|y|p = M% f . Weiter wissen wir |ζ −ζ 0 |p = 1 nach Lemma 2.5.3. Insgesamt haben
wir dann auch
|a0 − y|p = |pr (ζ − ζ 0 )u|p = p−r = M% f,
was nichts anderes heißt, als dass a0 − y konkurriert. Man kann hier also auch
eine Nullstelle von f (X) − y auf S% (0) finden, q.e.d.
Damit folgt jetzt das Maximumprinzip mit Leichtigkeit:
Beweis des Maximumprinzips. Für einen regulären Radius % ist es leicht:
das Wachstumsmodul ist konstant auf der Sphäre |x|p = % gleich
|f (x)|p = M% f.
Für einen kritischen Radius haben wir das Lemma, das besagt, dass |f (x)|p
auch insbesondere den Wert M% f annimmt, q.e.d.
Kapitel 6
Ausgewählte Funktionen
Zum Abschluss soll die gewonnene Theorie der Potenzreihen über Cp auf einige
Beispiele, die in der Funktionentheorie eine zentrale Rolle besitzen, angewandt
werden und wieder aufzuzeigen, wie gleich oder unterschiedlich sie sich im padischen Kontext verhalten. Es wurde schon vorher damit begonnen. Denn was
ist eine Theorie ohne ihre Anwendung? In diesem Sinne
Finis coronat opus.
6.1
Exponential- und Logarithmusfunktion
Die logarithmische Reihe wurde von Nicolaus Mercator (1620-1687) bei
1
der Quadratur (=gliedweise Integration der Reihe) der Hyperbel 1+x
in seinem Werk Logarithmotechnia von 1668 verwendet. Isaac Newton (1643-1727)
machte 1665-1666 die gleiche Entdeckung (er kam mit Mathematik zum ersten
mal im Alter von 21 in Berührung). Er verwendete Reihen in viel größerer Allgemeinheit und meinte, mit ihnen alle Quadraturen lösen zu können. Später
fand er durch Umkehrung der logarithmischen Reihe, die er nach dem 5. Glied
abbrach, die Exponentialreihe. Es sei an unsere Resultate 4.3.3 und 4.5.4 für
diese beiden Potenzreihen erinnert und man betrachte jetzt dahingehend die
Funktionen
exp : B<p−1/(p−1) (0) −→ Cp ,
x 7−→ exp(x) =
∞
X
xn
n=0
log : B<1 (1) −→ Cp ,
x 7−→ log(x) =
∞
X
(−1)n−1
n=1
n!
(x − 1)n
.
n
Es ist überraschend, dass exp einen kleineren Definitionsbereich als log(1 + X)
hat, was daran liegt, dass (n!) eine Nullfolge ist und (n) eben nicht. Analog zur
Funktionentheorie ist dagegen, dass sie sich in gewisser Weise invers zueinander
verhalten, wie schon in 4.5.4 herausgefunden. Es gilt sogar noch mehr, was jetzt
untersucht werden soll.
Zuerst halten wir fest, dass es sich bei diesen beiden wirklich um eine
Exponential- und eine Logarithmusfunktion handelt:
6.1. Exponential- und Logarithmusfunktion
125
Satz 6.1.1 (exp(X) und log(X), Teil 4)
(i)
Für x, y ∈ B<p−1/(p−1) (0) ist auch x + y ∈ B<p−1/(p−1) (0) und es gilt
exp(x + y) = exp(x) exp(y).
(ii)
Für x, y ∈ B<1 (1) ist auch xy ∈ B<1 (1) und es gilt
log(xy) = log(x) + log(y).
Beweis. (i) Es ist x + y ∈ B<p−1/(p−1) (0) als direkte Folgerung der verschärften
Dreiecksungleichung. Wegen 4.4.1 folgt aus der Konvergenz der Reihen exp(x)
und exp(y) die Konvergenz der Reihe exp(x) exp(y) mit
∞ X
∞
n µ ¶
n
X
X
1 X n n n−k
xk y n−k
exp(x) exp(y) =
=
x y
= exp(x + y).
k! (n − k)!
n!
k
n=0 k=0
n=0
k=0
(ii) Wegen |x − 1|p < 1 und |y − 1|p < 1 ist auch
|xy − 1|p = |(x − 1)(y − 1) + (x − 1) + (y − 1)|p
≤ max(|x − 1|p |y − 1|p , |x − 1|p , |y − 1|p ) < 1.
Wir fixieren ein y ∈ B<1 (1) und definieren
g(x) := log(xy).
Jetzt ist nach der Kettenregel 4.5.2
Dg(x) =
1
1
· y = = D log(x).
xy
x
Nach 4.6.3 existiert ein c ∈ Cp mit
g(x) = log(x) + c.
Wenn man hier x = 1 einsetzt, ergibt sich einerseits g(1) = c und andererseits
ist nach Definition g(1) = log(y), also insgesamt
log(xy) = g(x) = log(x) + log(y).
Dies kann man jetzt für jedes y ∈ B<1 (1) machen, q.e.d.
Jetzt kann man wegen −1 ∈ B<1 (1) in C2 (| − 1 − 1|2 = 12 ), wie schon vorher
in Beispiel 4.5.6 benötigt, log(−1) = 0 beweisen:
2 log(−1) = log((−1)2 ) = log(1) = 0
Dieses Ergebnis ist nicht trivial, denn schreibt man dies aus, so ist
−
∞
X
2n
n=1
n
=
∞
X
(−1)n−1
n=1
(−1 − 1)n
= 0.
n
126
Kapitel 6. Ausgewählte Funktionen
Dies besagt, dass eine beliebig hohe Potenz von 2 für ein genügend großes n die
Summe
22 23
2n
2+
+
+ ... +
2
3
n
teilt. Hier haben wir also mit analytischen Mitteln eine Aussage in der Zahlentheorie gezeigt!
Als direkte Folgerung von 4.5.4 und 6.1.1 erhält man nun folgendes Resultat:
Folgerung 6.1.2 (exp(X) und log(X), Teil 5) Die Funktionen exp und log
sind zueinander inverse Gruppenisomorphismen zwischen (B<p−1/(p−1) (0), +)
und (B<p−1/(p−1) (1), ·).
Als nächstes wissen wir, wie bereits oft in verschiedener Weise diskutiert
wurde, folgenden
Satz 6.1.3 (exp(X) und log(X), Teil 6)
(i)
(ii)
exp hat in seinem gesamten Definitionsbereich B<p−1/(p−1) (0) keine
Nullstellen.
log hat in B<p−1/(p−1) (1) nur die Nullstelle 1.
log ist aber auf B<1 (1) definiert! Was ist hier los? Bereits auf der Sphäre
Sp−1/(p−1) (0) hat log viele Nullstellen, z.B. wissen wir, dass eine p-te Einheitswurzel ζ 6= 1 wegen
|ζ − 1|p = p−1/(p−1)
(dies wurde in 2.3.7 gezeigt) auf dieser Sphäre sein muss. Jetzt muss eine solche
Einheitswurzel aber eine Nullstelle von log sein, denn
p log(ζ) = log(ζ p ) = log(1) = 0.
Somit sehen wir in 6.1.2, dass B<p−1/(p−1) (1) der größte Ball ist, auf dem log
injektiv ist (log(1) = 0 = log(ζ) und ζ 6= 1).
Außerdem ergibt sich daraus auch eine sehr interessante Formel, bei der
man sieht, wie schön Algebra und Analysis Hand in Hand gehen: Schreibt man
die logarithmische Reihe in ζ aus, so haben wir
∞
X
(−1)n−1
n=1
(ζ − 1)n
= 0.
n
Dies kann man leicht umschreiben in
∞
X
(1 − ζ)n
n=1
n
= 0,
was eine bemerkenswerte Gleichung ist.
Zuletzt möchte ich noch erwähnen, dass es möglich ist, eine Erweiterung
von log auf ganz Cp − {0} zu finden. Die Exponentialfunktion kann man wegen
6.2. Cosinus- und Sinusfunktion
127
1
dem gegen unendlich strebenden n!
nicht retten. Man kann aber die sogenannte
Artin-Hasse-Exponentialfunktion
Ã
!
2
Xp Xp
+ 2 + ...
Ep (X) := exp X +
p
p
definieren, die den besseren Konvergenzbereich B<1 (0) hat und sich in gewisser
Weise ähnlich zu exp verhält. Da schon so viel gesagt wurde, dass ich auch an
ein Ende zu kommen gedenken muss, will ich dies nicht näher auszuführen und
verweise auf [Kob84] Kap.IV.2 und [Rob00] Kap.7.
6.2
Cosinus- und Sinusfunktion
Auch kann man die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus definieren. Die Potenzreihen
sin(X) :=
cos(X) :=
∞
X
(−1)n
n=0
∞
X
(−1)n
n=0
X 2n+1
(2n + 1)!
X 2n
(2n)!
haben offensichtlich den gleichen Konvergenzradius wie exp(X) und ergeben
somit Funktionen
sin : B<p−1/(p−1) (0) −→ Cp ,
cos : B<p−1/(p−1) (0) −→ Cp ,
x 7−→ sin(x) =
x 7−→ cos(x) =
∞
X
(−1)n
n=0
∞
X
(−1)n
n=0
x2n+1
(2n + 1)!
x2n
.
(2n)!
Nach 4.5.5 gilt für ein |x|p < p−1/(p−1)
¯ n¯
¯x ¯
max ¯¯ ¯¯ < |x|p < 1,
n≥2 n! p
d.h. X bzw. 1 ist im gesamten B<p−1/(p−1) (0) von sin bzw. cos das dominante
Monom. Es gibt nur den kritischen Radius 0 bzw. keinen kritischen Radius.
Also hat sin nur die 0 als Nullstelle und cos ist nullstellenfrei. Man könnte auch
mit dem Satz über Dreiecke
|sin(x)|p = |x|p
und | cos(x)|p = 1
schließen, woran man auch das Nullstellenverhalten sieht.
Da Cp algebraisch abgeschlossen ist,1 existiert dort ein i mit i2 = −1 und
wie in C ergibt sich die Eulersche Formel 2
exp(ix) = cos(x) + i sin(x)
1
2
i existiert in Qp , falls p ≡ 1 (mod 4).
Leonhard Euler (1707-1783) hat sie 1748 für reelle Argumente angegeben.
128
Kapitel 6. Ausgewählte Funktionen
unmittelbar durch Grenzübergang aus der Gleichung
2m+1
X
n=0
m
m
n=0
n=0
X
x2n
x2n+1
(ix)n X
=
(−1)n
+i
(−1)n
.
n!
(2n)!
(2n + 1)!
Wie schon bereits in 5.3.4 erwähnt, können die trigonometrischen Funktionen im p-adische Kontext nicht periodisch sein, da sie sicherlich nicht konstant
sind.
6.3
Binomialfunktion
Eine weitere wichtige Reihe in der Funktionentheorie und in der reellen Analysis
ist die Binomialreihe, die für ein festes a ∈ Cp in 4.3 (1) definiert wurde:
∞ µ ¶
X
a
ba (X) =
Xn
n
n=0
mit den Binomialkoeffizienten
µ ¶
a(a − 1) · · · (a − n + 1)
a
a(a − 1) · · · (a − n + 1)
=
.
=
1 · 2···n
n!
n
Die Binomialreihe wurde ebenfalls von Newton gefunden: In seiner Arbeit De
analysi per aequationes numero terminorum infinitas aus
¢ n Jahre 1669 beP ¡adem
hauptete er, dass für jedes reelle a die binomische Reihe
n x für −1 < x < 1
das Binom (1 + x)a darstellt, und stellt fest, dass damit das Wurzelausziehen
wesentlich abgekürzt werden kann.
Diese Reihe ist nur interessant, wenn a 6= N ist (sonst ist sie lediglich eine
endliche Summe; es ergibt sich dann nämlich die binomische Formel). Zum
Beispiel ist sie für a = −1 die alternierende geometrische Reihe
¶
∞ µ
∞
X
X
−1
1
b−1 (X) =
Xn =
(−X)n =
.
n
1+X
n=0
n=0
Später im Jahre 1826 untersuchte Niels Henrik Abel (1802-1829) die
Reihe für ein beliebiges a ∈ C − N und x ∈ C, findet den Konvergenzradius 1
und dass sie dort wieder das Binom (1 + x)a darstellt.
Das Konvergenzverhalten für |x| = 1 hängt von a ab und ist ein bisschen
kompliziert. In Cp dagegen hängt sogar der Konvergenzradius stark von a ab.
Wir unterscheiden zwischen zwei Fällen:
1. Fall |a|p > 1. Dies ist einfach: Es folgt wegen |i|p ≤ 1 für i ∈ N aus dem
Satz über Dreiecke |a − i|p = |a|p . Also gilt
¯
¯µ ¶ ¯
¯
¯ a(a − 1) · · · (a − n + 1) n ¯
¯ a n¯
|ax|np
¯
¯
¯
¯ =
=
x
x
.
¯
¯
¯ n
¯
n!
|n!|p
p
p
Nach Diskussion der Exponentialreihe ist der Konvergenzradius
r=
p
1
− p−1
|a|p
6.3. Binomialfunktion
129
und der Konvergenzbereich B<p−1/(p−1) /|a|p (0).
2. Fall |a|p ∈ B≤1 − N. Dies ist komplizierter, weswegen wir uns nur
auf a ∈ Zp − N konzentrieren. In jedem Fall aber hat man wegen |a − i|p ≤
max(|a|p , |i|p ) ≤ 1
¯
¯µ ¶ ¯
¯
¯ a n¯
¯ a(a − 1) · · · (a − n + 1) n ¯
|x|np
¯
¯ =¯
¯ ≤
.
x
x
¯
¯ n
¯
¯
n!
|n!|p
p
p
So ist der Konvergenzradius
r≥p
1
− p−1
.
Sei ab jetzt aber a ∈ Zp . Es gilt folgendes
Lemma 6.3.1 Falls a ∈ Zp und n ∈ N so ist
¡a¢
n
∈ Zp .
Beweis. Für jedes n ∈ N betrachte man das Polynom
µ ¶
X
X(X − 1) · · · (X − n + 1)
∈ Q[X],
Pn (X) :=
=
n!
n
das wie jedes Polynom eine stetige Funktion
Pn : Cp −→ Cp
¡ ¢
induziert. Für a ∈ Z ist Pn (a) = na ∈ Z. Dies wiederum heißt: Pn definiert
eine Funktion
Pn : Z −→ Z.
P
i
Man erinnere sich, dass jedes Element ∞
i=0 ai p ∈ Zp der Grenzwert einer
Pk
Folge in N ⊂ Z ist, nämlich ( i=0 ai pi )k .
P
i
Nach Stetigkeit der Funktion Pn gilt nun für beliebiges a = ∞
i=0 ai p ∈ Zp
Ã∞
!
Ã k
!
X
X
Pn (a) = Pn
ai pi = lim Pn
ai pi ∈ Zp ,
k→∞
i=0
i=0
da Zp die Vervollständigung von Z ist. Wir haben jetzt die wohldefinierte
Funktion Pn : Zp −→ Zp , q.e.d.
Es ist für a ∈ Zp also
∞ µ ¶
X
a
ba (X) =
X n ∈ Zp [[X]].
n
n=0
Nun folgt direkt aus 4.3 (1)
Folgerung 6.3.2 Für a ∈ Zp und x ∈ B<1 (0) konvergiert die Binomialreihe
und definiert somit eine Funktion
∞ µ ¶
X
a n
x .
ba : B<1 (0) −→ Cp , x 7−→ ba (x) =
n
n=0
130
Kapitel 6. Ausgewählte Funktionen
¡ ¢
Auf der Sphäre S1 (0) konvergiert die Binomialreihe genau dann, wenn na
eine Nullfolge ist.
Die Bezeichnung der Binomialreihe ba (X) mit dem Binom (1 + X)a , wie in
der klassischen Analysis, macht im p-adischen Kontext auch Sinn (andererseits
ist dieser Sinn ein anderer). Dazu betrachte man folgendes:
Für a = rs ∈ Q ∩ Zp = { rs ∈ Q : p - s} gilt wegen der in Q[[X]] gültigen
formalen Identität
³r
´´s
¡
¢s ³
br/s (X) = exp
log(1 + X)
= exp(r log(1 + X)) = (1 + X)r .
s
So macht es auch wirklich Sinn für x ∈ B<1 (0)
r
br/s (x) = (1 + x) s
zu schreiben. Dies veranlasst einen zu folgender
Definition 6.3.3 Für a ∈ Zp und x ∈ B<1 (0) definiert man
(1 + x)a := ba (x).
Obwohl dies Sinn macht, müssen wir trotzdem (1 + x)a , bzw. die Binomialreihe im p-adischen Kontext, strikt von (1 + x)a , bzw. der Binomialreihe im
klassischen Kontext trennen, da die Topologie grundverschieden ist. Dazu soll
folgendes Beispiel mahnen, in dem rs und x rational sind und 1 + x eine s-te
Potenz in Q ist (also findet alles in Q statt und Q ist sowohl in C, als auch in
Cp enthalten!):
Beispiel 6.3.4
Sei p = 7, rs = 12 und x = 79 , also |x|7 = 17 , sodass x ∈ B<1 (0). Weiter ist
4 2
1 + x = 16
9 = ( 3 ) . In Q gilt bzgl. Konvergenz mit | . |
1
4
b1/2 (x) = (1 + x) 2 = .
3
Jetzt hat man bzgl. Konvergenz mit | . |7
¯∞ µ ¶ ¯
¯µ ¶ ¯
¯
¯X 1/2
¯
¯
¯ 1/2 n ¯
¯
¯
1
¯
¯
¯
n¯
¯
¯
2
x ¯ ≤ max ¯¯
x ¯¯
¯(1 + x) − 1¯ = b1/2 (x) − 1 7 = ¯
¯
¯
n≥1
n
n
7
7
n=1
7
1
1
≤ max |x|n7 = max n = < 1,
n≥1
n≥1 7
7
1
1
also (1 + x) 2 ∈ B<1 (1). Wenn man aber das obige Ergebnis (1 + x) 2 =
einsetzt, ergibt sich
¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯4
¯1¯
¯
1
¯
¯
¯
¯
2
¯(1 + x) − 1¯ = ¯ − 1¯ = ¯¯ ¯¯ = 1.
3
3 7
7
7
1
4
3
Folglich kann (1 + x) 2 , bzw. b1/2 (x) nicht das gleiche in C und C7 sein! Was
ist hier los? In Q hat 1 + x = 16/9 die zwei Quadratwurzeln ±4/3. Bzgl. | . |
6.3. Binomialfunktion
131
konvergiert die Reihe b1/2 ( 79 ) gegen die Wurzel + 43 , aber bzgl. | . |7 gegen den
negativen Wert, der kongruent 1 modulo 7 ist:
1
4
7
(1 + x) 2 = b1/2 (x) = − = 1 − ∈ B<1 (1).
3
3
Es bedeutet also, auch wenn man sich ganz auf Q beschränkt, dass (1 + x)a
und (1 + x)a nicht dasselbe sind!
Wann konvergiert die Reihe ba (x) im p-adischen, wie im archimedischen Fall
gegen denselben Grenzwert? Falls a ∈ Z und x ∈ Q, da es sich hier um eine
endliche Summe von rationalen Zahlen handelt.
Im obigen Beispiel konnte man aber sehen, dass dies im allgemeinen nicht
der Fall ist. Es ergibt sich folgender nicht gültiger Satz:
P
falscher Satz 6.3.5 Sei
an eine Reihe mit Gliedern in Q die bezüglich | . |∞
und | . |p gegen rationale Zahlen p und q konvergieren. Dann gilt p = q.
Dies war der letzte Satz meiner Arbeit und mit folgendem Satz möchte ich
diese Arbeit beschließen:
In magnis et voluisse sat est.
Literaturverzeichnis
[Ami75] Y. Amice. Les Nombres p-adiques. Presses Universitaires de France,
Paris, 1975.
[Bec71]
P. Beckmann. A History of π. St. Martin’s press, New York, 1971.
[BGR84] S. Bosch, U. Güntzer, and R. Remmert. Non-Archimedian Analysis.
Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1984.
[Bos01]
Siegfried Bosch. Algebra, vierte Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg,
2001.
[Bou90] Nicolas Bourbaki. Algebra 2. Springer, Berlin, Heidelberg, New York,
1990.
P
1
[BS96] Edward B. Burger and Thomas Struppeck. Does ∞
n=0 n! really converge? infinite series and p-adic analysis. Amer. Math. Monthly 103,
S.565-577, 1996.
[Cas86]
J. W. S. Cassels. Local Fields. Cambridge Universtity Press, Cambridge, 1986.
[E+ 92]
H.-D. Ebbinghaus et al. Zahlen. Grundwissen Mathematik. Springer,
Berlin, Heidelberg, New York, 1992.
[FB00]
Eberhard Freitag and Rolf Busam. Funktionentheorie 1, dritte Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, 2000.
[For20]
Otto Forster. Analysis 2, 5. Auflage. Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 1920.
[For01]
Otto Forster. Analysis 1, sechste Auflage. Vieweg, Braunschweig,
Wiesbaden, 2001.
[Gou00] Fernando Q. Gouvêa. p-adic Numbers, An Introduction, Second Edition. Universitext. Springer, Berlin, Heidelberg, 2000.
[Has80]
Helmut Hasse. Zahlentheorie. Universitext. Springer, Berlin, Heidelberg, 1980.
[Hen08] Kurt Hensel. Theorie der algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig,
Berlin, 1908.
Literaturverzeichnis
133
[Jac00]
Nathan Jacobson. Abstract Algebra III. Universitext. Springer, Berlin,
Heidelberg, 2000.
[Jän99]
Klaus Jänich. Funktionentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg, New
York, 1999.
[Jän01]
Klaus Jänich. Topologie, siebente Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, 2001.
[Kne02] Martin Kneser. Quadratische Formen. Springer, Berlin, Heidelberg,
New York, 2002.
[Kob80] Neal I. Koblitz. p-adic Analysis: a Short Course on Recent Work.
London Mathematical Society Lecture Note Series, 46. Cambridge
University Press, Cambridge, 1980.
[Kob84] Neal I. Koblitz. p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions,
Second Edition. Graduate Texts in Mathematics, 58. Springer, New
York, 1984.
[Neu02] Jürgen Neukirch. Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2002.
[PG03]
C. Perez-Garcia. Locally convex spaces over non-archimedean valued
fields. Amer. Math. Soc. 319, S.252-276, 2003.
[Rob00] Alain M. Robert. A Course in p-adic Analysis. Graduate Texts in
Mathematics, 198. Springer, New York, 2000.
[RS01]
R. Remmert and G. Schumacher. Funktionentheorie 1. Springer,
Berlin, Heidelberg, 2001.
[Rud98] Walter Rudin. Analysis. Oldenburg, München, 1998.
[Sch84]
W.H. Schikhof. Ultrametric Calculus. Cambridge University Press,
Cambridge, 1984.
[Sch02]
W. H. Schikhof. Ultrametric Functional Analysis. Contemporary
Mathematics. American Mathematical Society, New York, 2002.
[Sér73]
Jean-Paul Sérre. A Course in Arithmetic. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1973.
[Sin00]
Simon Singh. Fermats letzter Satz. dtv, München, 2000.
[SR70]
Michael Simon and Barry Reed. Functional Analysis. Universitext.
Springer, Berlin, Heidelberg, 1970.
[Wal01]
Wolfgang Walter. Analysis 1, 6. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg,
New York, 2001.
[ZS75]
O. Zariski and P. Samuel. Commutative Algebra. Springer, Berlin,
Heidelberg, New York, 1975.
Erklärung
135
Erklärung
Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit
selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen
Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.
München, den 15. Dezember 2004
Michael Helbig

Zugehörige Unterlagen

Analysis I für M, LaG/M, Ph

p-adische Funktionentheorie

Zugehörige Unterlagen

Dieses Dokument Sammlung (en)

Dieses Dokument gespeichert

Schlagen Sie uns vor, wie wir StudyLib verbessern können