π ψ = a !n dxex

Quantenchemische Modellsysteme,
Atom- und Molekülspektroskopie (PC 2)
Prof. Dr. Michael Gottfried
Susanne Schulze, Jakob Gunera
Wintersemester 2011/12
Übungsblatt 6 (zu bearbeiten bis 30.11.2011)
Aufgabe 1: Wasserstoffatom
(a) Die Wellenfunktion des ersten angeregten Zustands (2s-Zustand) des H-Atoms lautet:
r
⎛
r ⎞ −
ψ 2 s = N ⋅ ⎜⎜ 2 − ⎟⎟e 2a0
a0 ⎠
⎝
.
wobei a0 = 52.9 pm der BOHRsche Radius ist. Normieren Sie diese Wellenfunktion, d.h., berechnen Sie
den Normierungsfaktor N !
(b) Die normierte Wellenfunktion für den Grundzustand (1s-Zustand) des H-Atoms lautet:
r
1 − a0
ψ 1s =
⋅e
πa03
.
Berechnen Sie den Erwartungswert der potentiellen Energie V für diesen Zustand!
(c) Berechnen Sie für den 1s-Zustand den mittleren Abstand r des Elektrons vom Kern. Benutzen Sie
dabei das Integral:
∞
n − ax
∫ x e dx =
0
n!
a n. +1
(d) Nehmen Sie an, dass das Elektron in einem Bereich 2 r eingesperrt ist. Wie genau können Sie die
Geschwindigkeit des Elektrons angeben?
Aufgabe 2: Kugelkoordinaten und Kugelflächenfunktionen
(a) Skizzieren Sie ein kartesisches Koordinatensystem. Betrachten Sie einen Punkt im 1. Oktanten
(x, y, z positiv) an und berechnen sie, wie sich seine y-Koordinate durch Polarkoordinaten (r, ϑ , φ)
ausdrücken lässt.
(b) Skizzieren Sie in einem kartesischen Koordinatensystem die Kugelflächenfunktion für den pzZustand des Wasserstoffatoms. Beschreiben Sie anhand dieser Skizze, wie Sie den Wert der
Kugelflächenfunktion für vorgegebenes ϑ und φ ermitteln können.
Aufgabe 3: Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms
(a) Die reellen Eigenfunktionen der 2p-Zustände des Wasserstoffatoms lauten
ψ ( 2 p x ) = N ⋅ ρ ⋅ e − ρ / 2 ⋅ sin ϑ cos ϕ
ψ (2 p y ) = N ⋅ ρ ⋅ e − ρ / 2 ⋅ sin ϑ sin ϕ
ψ ( 2 p z ) = N ⋅ ρ ⋅ e − ρ / 2 ⋅ cos ϑ
mit ρ = r/a0. Was lässt sich über die Abhängigkeit der Summe der Wahrscheinlichkeitsdichten der drei
Zustände vom Polarwinkel ϑ und vom Azimutwinkel ϕ aussagen?
(b) Wieviel Knotenkugelflächen weist der 3s-Zustand
ψ ( 3s ) = N ⋅ ( 27 − 18ρ + 2 ρ 2 )e − ρ / 3
auf und
ψ = N ⋅ ρ 2 ⋅ e − ρ / 3 sin ϑ cos ϑ cos ϕ
als einen
bei welchen ρ-Werten liegen sie?
(c) Warum bezeichnet man die reelle 3d-Eigenfunktion
xz-Zustand?
Übungszettel und Skripte unter: http://www.uni-marburg.de/fb15/ag-gottfried/teaching