Klasse 8 a 1. Schulaufgabe aus der Mathematik Gruppe 08. 11. 2000 A 1. Kürze vollständig und faktorisiere das Ergebnis! a) 36u2 − 48uv + 16v 2 24v − 36u b) 4 − (2 − x)2 4−x 2. Vereinfache so weit wie möglich und faktorisiere das Ergebnis! 14a − b 4b − a a) − 7a 2b 3 3y + 35x 4xy − 15x 25x3 + 24y 2 b) − − 15x2 y 12y 2 20y 2 x2 c) 6 2x 4x2 − + 2 x+3 x−3 x −9 3. Vervollständige jede der Aussagen durch den Namen eines speziellen Vierecks, so dass sie wahr wird. a) Jedes Parallelogramm ist ein(e) . . . . b) Jede Raute ist ein(e) . . . . c) Jede(s) . . . ist ein Drachenviereck. d) Jede(s) . . . ist sowohl Parallelogramm als auch Drachenviereck. 4. Konstruiere ein Drachenviereck mit den Diagonalenlängen 7 cm und 8 cm und zwei rechten Innenwinkeln. Planskizze – Konstruktion – Beschreibung. (Parallelen und Lote dürfen gezeichnet, Strecken und Winkel vom Geodreieck abgenommen werden.) Viel Erfolg ! Kink Klasse 8 a 1. Schulaufgabe aus der Mathematik Gruppe 08. 11. 2000 B 1. Kürze vollständig und faktorisiere das Ergebnis! a) 64u2 − 96uv + 36v 2 36v − 48u b) 16 − (4 − x)2 8−x 2. Vereinfache so weit wie möglich und faktorisiere das Ergebnis! 10a − b 6b − a a) − 5a 3b 2 3 3y + 35x 4xy − 15 25x2 + 24y 3 b) − − 15x2 y 12y 2 20x2 y 2 c) 6 3x 6x2 − + 2 x+2 x−2 x −4 3. Vervollständige jede der Aussagen durch den Namen eines speziellen Vierecks, so dass sie wahr wird. a) Jede(s) . . . ist ein Drachenviereck. b) Jede(s) . . . ist sowohl Parallelogramm als auch Drachenviereck. c) Jedes Parallelogramm ist ein(e) . . . . d) Jede Raute ist ein(e) . . . . 4. Konstruiere ein Drachenviereck mit den Diagonalenlängen 7 cm und 8 cm und zwei rechten Innenwinkeln. Planskizze – Konstruktion – Beschreibung. (Parallelen und Lote dürfen gezeichnet, Strecken und Winkel vom Geodreieck abgenommen werden.) Viel Erfolg ! Kink Klasse 8 a 1. Schulaufgabe aus der Mathematik – Musterlösung – Gruppe 1. 2. A a) 4 (3u − 2v)2 4 (3u − 2v)2 3u − 2v 2v − 3u 36u2 − 48uv + 16v 2 = = = = 24v − 36u 12 (2v − 3u) −12 (3u − 2v) −3 3 b) 4 − (2 − x)2 4 − 4 + 4x − x2 4x − x2 x (4 − x) = = = =x 4−x 4−x 4−x 4−x a) 14a − b 4b − a 2b (14a − b) − 7a (4b − a) 28ab − 2b2 − 28ab + 7a2 − = = 7a 2b 14ab 14ab = b) c) 3. 08. 11. 2000 7a2 − 2b2 14ab 3y + 35x3 4xy − 15x 25x3 + 24y 2 − − 15x2 y 12y 2 20y 2 x2 = 4y (3y + 35x3 ) − 5x2 (4xy − 15x) − 3 (25x3 + 24y 2 ) 60x2 y 2 = 12y 2 + 140yx3 − 20yx3 + 75x3 − 75x3 − 72y 2 120yx3 − 60y 2 2x3 − y = = 60x2 y 2 60x2 y 2 x2 y 6 2x 4x2 6 2x 4x2 − + 2 = − + x+3 x−3 x −9 x + 3 x − 3 (x − 3) (x + 3) = 6 (x − 3) − 2x (x + 3) + 4x2 6x − 18 − 2x2 − 6x + 4x2 = (x − 3) (x + 3) (x − 3) (x + 3) = 2x2 − 18 2 (x2 − 9) 2 (x − 3) (x + 3) = = =2 (x − 3) (x + 3) (x − 3) (x + 3) (x − 3) (x + 3) a) Jedes Parallelogramm ist ein(e) . . . . b) Jede Raute ist ein(e) . . . . Trapez Parallelogramm, Drachenviereck c) Jede(s) . . . ist ein Drachenviereck. Quadrat, Raute d) Jede(s) . . . ist sowohl Parallelogramm als auch Drachenviereck. Quadrat, Raute Klasse 8 a 1. Schulaufgabe aus der Mathematik – Musterlösung – Gruppe 1. 2. B a) 4 (4u − 3v)2 4 (4u − 3v)2 4u − 3v 3v − 4u 64u2 − 96uv + 36v 2 = = = = 36v − 48u 12 (3v − 4u) −12 (4u − 3v) −3 3 b) 16 − (4 − x)2 16 − 16 + 8x − x2 8x − x2 x (8 − x) = = = =x 8−x 8−x 8−x 8−x a) 10a − b 6b − a 3b (10a − b) − 5a (6b − a) 30ab − 3b2 − 30ab + 5a2 − = = 5a 3b 15ab 15ab = b) c) 3. 08. 11. 2000 5a2 − 3b2 15ab 3y 2 + 35x3 4xy − 15 25x2 + 24y 3 − − 15x2 y 12y 2 20x2 y 2 = 4y (3y 2 + 35x3 ) − 5x2 (4yx − 15) − 3 (25x2 + 24y 3 ) 60x2 y 2 = 12y 3 + 140yx3 − 20yx3 + 75x2 − 75x2 − 72y 3 120yx3 − 60y 3 2x3 − y 2 = = 60x2 y 2 60x2 y 2 x2 y 6 3x 6x2 6 3x 6x2 − + 2 = − + x+2 x−2 x −4 x + 2 x − 2 (x − 2) (x + 2) = 6 (x − 2) − 3x (x + 2) + 6x2 6x − 12 − 3x2 − 6x + 6x2 = (x − 2) (x + 2) (x − 2) (x + 2) = 3x2 − 12 3 (x2 − 4) 3 (x − 2) (x + 2) = = =3 (x − 2) (x + 2) (x − 2) (x + 2) (x − 2) (x + 2) a) Jede(s) . . . ist ein Drachenviereck. Quadrat, Raute b) Jede(s) . . . ist sowohl Parallelogramm als auch Drachenviereck. Quadrat, Raute c) Jedes Parallelogramm ist ein(e) . . . . d) Jede Raute ist ein(e) . . . . Trapez Parallelogramm, Drachenviereck Klasse 8 a 1. Schulaufgabe aus der Mathematik – Musterlösung – Gruppe 08. 11. 2000 A/B 4. (Planskizze siehe Konstruktion) Konstruktion: p k D A C B Strecke [AC] mit AC = 8 cm (längere Diagonale!) Thaleskreis k über [AC] Parallele p zu [AC] im Abstand 7 cm : 2 = 3, 5 cm. D ∈ k ∩ p. Spiegle D an AC auf den Punkt B. Zeichne ABCD.