Tutorium Nr. 32 - GBI Tut Philipp Oppermann
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Grundbegriffe der Informatik Tutorium 1 Tutorium Nr. 32 Philipp Oppermann | 22. Januar 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Outline/Gliederung 1 Organisatorisches 2 Mengen und Alphabete 3 Relationen 4 Aussagenlogik 5 Wörter 6 Aufgaben Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 2/24 Organisatorisches: Tutorium Philipp Oppermann 3.Semester Informatik Email: [email protected] Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 3/24 Organisatorisches: GBI Vorlesung, Übung und Tutorium keine Anwesenheitspflicht Orientierungsprüfung Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 4/24 Organisatorisches: Übungsblätter http://gbi.ira.uka.de Übungsblätter Ausgabe am Mittwoch Abgabe am Freitag der nächsten Woche Übungsschein 50% der Übungspunkte Pflicht! Abschreiben gibt 0 Punkte für alle Beteiligten! Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 5/24 Mengen Reihenfolge ist egal Menge kann leer sein (dargestellt als ∅ oder {}) enthält keine Elemente mehrmals Beispiel {1, 2, 3, 4, 8, 0} = {0, 3, 2, 8, 4, 1} 5 ∈ {1, 5, 4} 3 1 3∈ / {1, 5, 4} Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 6/24 Besondere Mengen N+ Menge der positiven ganzen Zahlen: N+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} N0 Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Gn Gn = {i ∈ N0 | 0 ≤ i ∧ i < n} Menge der ganzen Zahlen von 0 bis n − 1 G5 = {0, 1, 2, 3, 4} G0 = {} Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 7/24 Mengenoperationen Teilmenge A ⊆ B ⇔ ∀a ∈ A : a ∈ B {1, 2} ⊆ N+ ∅ ⊆ {1, 2, 3} ⊆ {2, 1, 3} N0 * N+ Vereinigung A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B } Schnittmenge A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B } Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 8/24 Alphabete Definition Ein Alphabet ist eine endliche, nichtleere Menge von Zeichen. Beispiele A = {a, b, c , d , e, f , g , h, i , j , k , l , m, n, o, p, q , r , s, t , u , v , w , x , y , z } G5 = {0, 1, 2, 3, 4} Y = {♦, ♥, ♠, ♣} Keine Alphabete N0 , ∅ Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 9/24 Kartesisches Produkt Definition A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B } Beispiel {a, b, c } × {1, 2, 3} = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c , 1), (c , 2), (c , 3)} Achtung A × B 6= B × A Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 10/24 Relationen Definition Eine Teilmenge R ⊆ A × B heißt auch eine Relation. Beispiel A = B = {1, 2, 3} R≤ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} statt (1, 2) ∈ R≤ kann man auch 1 ≤ 2 schreiben Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 11/24 Linkstotal und Rechtstotal linkstotal ∀a ∈ A ∃b ∈ B : (a, b) ∈ R „von jedem Element aus A geht mindestens 1 Pfeil weg“ rechtstotal ∀b ∈ B ∃a ∈ A : (a, b) ∈ R „zu jedem Element aus B kommt mindestens 1 Pfeil“ Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 12/24 Rechtseindeutig und Linkseindeutig rechtseindeutig ∀a ∈ A, ∀b1 , b2 ∈ B : (a, b1 ) ∈ R ∧ (a, b2 ) ∈ R ⇒ b1 = b2 „von jeden Element aus A geht höchstens 1 Pfeil weg“ linkseindeutig ∀b ∈ B , ∀a1 , a2 ∈ A : (a1 , b) ∈ R ∧ (a2 , b) ∈ R ⇒ a1 = a2 „zu jedem Element aus B kommt höchstens 1 Pfeil“ Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 13/24 Funktion/Abbildung Definition Eine Funktion oder Abbildung ist eine linkstotale und rechtseindeutige Relation. f :A→B A heißt Definitionsbereich und B Zielbereich f (A) ⊆ B heißt das Bild von f statt (a, b) ∈ f schreiben wir f (a) = b besondere Funktionen eine linkseindeutige Abbildung heißt injektiv eine rechtstotale Abbildung heißt surjektiv eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 14/24 Aussagenlogik A falsch falsch wahr wahr Organisatorisches B falsch wahr falsch wahr Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 ¬A wahr wahr falsch falsch A∧B falsch falsch falsch wahr Relationen A∨B falsch wahr wahr wahr Aussagenlogik A⇒B wahr wahr falsch wahr Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 15/24 Wörter Definition Ein Wort ist eine surjektive Abbildung w : Gn → A. Beispiel Das wort w = hallo ist die Abbildung w : G5 → {a, h, l , o} mit w (0) = h, w (1) = a, w (2) = l , w (3) = l , w (4) = o Länge von w: |w | = 5 Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 16/24 Das leere Wort Definition ε : {} → {} (von G0 in das leere Alphabet) ε hat Länge 0 (ist aber trotzdem etwas) M = {ε} ist keine leere Menge und | {ε} | = 1 ε ist eindeutig Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 17/24 Konkatenation von Wörtern Feuerwehr · Auto = FeuerwehrAuto h · a · l · l · o = hallo ε·ε·w ·ε=w Definition w1 : Gm → A1 und w2 : Gn → A2 seien Wörter. Dann: w1 · w2 : Gm+n → A1 ∪ A2 ( i 7→ Organisatorisches w1 (i ) falls 0 ≤ i < m w2 (i − m) falls m ≤ i < m + n Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 18/24 Potenzen von Wörtern In der Mathematik: x k = x · x · x · · · x = xxx · · · x (k-mal) In GBI: w k = w · w · w · · · w = www · · · w (k-mal) Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 19/24 Potenzen von Wörtern Wörter mit Länge n Die Menge aller Wörter der Länge n über dem Alphabet A ist An . Beispiel A = {a , b } A2 = {aa, ab, ba, bb} A1 = {a, b} = A A0 = {ε} = 6 ∅ Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 20/24 Potenzen von Wörtern Wörter mit Länge n Die Menge aller Wörter der Länge n über dem Alphabet A ist An . Menge aller Wörter Die Menge aller Wörter über einem Alphabet A ist A∗ = ∞ S Ai . i =0 A∗ = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ · · · Achtung Wenn A = {}, dann ist A0 = {ε} {}∗ = {ε} Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 21/24 Induktive Definition der Potenz Definition w0 = ε ∀k ∈ N0 : w k +1 = w k · w Beispiel w 2 = w 1+1 = w 1 · w = w 0+1 · w = ε · w · w = w · w Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 22/24 Aufgaben Auf wie viele verschiedene Arten kann man abc als Konkatenation nichtleerer Wörter schreiben? Was ist ak bk und was (ab)k ? Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 23/24 Aufgaben 2 Was kann man über die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität folgender Abbildungen sagen? ( a) f1 : N0 → N0 : x 7→ 42 wenn x = 1 x −1 sonst b) f2 : A4 → B3 c) f2 : A4 → B4 d) f2 : A4 → B5 A4 enthält 4 Elemente, B3 , B4 , B4 3, 4, bzw. 5 Elemente. Organisatorisches Mengen und Alphabete Philipp Oppermann – GBI Tutorium Nr. 32 Relationen Aussagenlogik Wörter 22. Januar 2014 Aufgaben 24/24