1 Aufgabe 1) a) Gegeben sei f(x) := ln((x − 1) 2). (i) Bestimmen Sie

Analysis I, SoSe 2008
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08.09.2008 (Hinze/Kiani)
Aufgabe 1)
a) Gegeben sei
f (x) := ln ((x − 1)2 ) .
(i) Bestimmen Sie die Menge D ⊂ R derjenigen reellen Zahlen x, für die
f (x) ∈ R definiert ist.
(ii) Bestimmen Sie den Wertebereich W := f (D) der Funktion
f : D → R , f (x) := ln ((x − 1)2 ) .
(iii) Wird D durch f injektiv auf W abgebildet?
(iv) Bestimmen Sie alle Nullstellen und Extremwerte von f in D .
b) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und berechnen
Sie gegebenenfalls die Grenzwerte.
n
X
√
√ √
3k
an := 5 n ( n − n − 2 ) ,
Sn :=
2 k
n ∈ N.
5
k=0
Lösung zu Aufgabe 1)
a)
(i) Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, d.h.
(x − 1)2 > 0 ⇐⇒ x 6= 1 ⇐⇒ x ∈ D := R \ {1} [1P unkt]
(ii) D wird zunächst durch g(x) := (x − 1)2 auf (0, ∞) abgebildet und
(0, ∞) durch ln auf R = W . [1 Punkt]
(iii) f ist nicht injektiv. Es gilt z.B. f (0) = f (2) = 0 .[1 Punkt]
(iv) Nullstellen : [1 Punkt]
f (x) = 0 =⇒ (x − 1)2 = 1 −→ x = 0 ∨ x = 2
Extrema: [2 Punkte]
ln ist monoton steigend. Extrema von f müßten auch Extrema von
g(x) := (x − 1)2 sein. g nimmt auf D alle Werte aus (0, ∞) an. Es
gibt keine Extrema
2(x − 1)
2
=
6= 0
∀x ∈ D und D offen.
Alternativ: f ′ (x) =
2
(x − 1)
x−1
b)
(i) [2 Punkte]
√
√
√
√ √
5 n (n − (n − 2))
10 1
√
q
an := 5 n ( n − n − 2 ) = √
= √
n+ n−2
1+ 1−
lim an := lim
n→∞
n→∞
10
q
1+ 1−
(ii) lim Sn := 2 lim
n→∞
n→∞
2
n
=
10
= 5.
2
n
X
3k
2
=
k
5
1−
k=0
3
5
= 5 . [2 Punkte]
2
n
,
Analysis I, SoSe 2008
2
08.09.2008 (Hinze/Kiani)
Aufgabe 2)
Gegeben seien die Funktion
f : R → R,
1
f (x) := (x2 − 2)ex
4
und das Intervall I := [−1, 0] .
a) Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen f ′ , f ′′ von f .
b) Bestimmen Sie die Extremwerte von f ′ auf I .
c) Zeigen Sie, dass f das Intervall I in sich abbildet, das heißt, dass f (I) ⊂ I
gilt.
d) Zeigen Sie, dass f in I genau einen Fixpunkt x∗ besitzt.
e) Führen Sie einen Schritt des Fixpunkt-Verfahrens xn+1 = f (xn ) mit dem
Startwert x0 = 0 durch.
f) Geben Sie eine Iterationszahl n an, für die sicher
|xn − x∗ | ≤ 0.125
gilt.
Lösung zu Aufgabe 2)
a)
1
f ′ (x) = (x2 − 2 + 2x)ex ,
4
1
1
′′
f (x) = (x2 − 2 + 2x + 2x + 2)ex = x(x + 4)ex .
4
4
[2P unkte]
b) f ′′ hat Nullstellen in 0 ∈ I und −4 ∈
/ I . Damit hat f ′ Extrema in 0 und
an den Rändern von I :
f ′ (0) = −
1
2
f ′ (−1) =
−3
4e
[1P unkt]
c) Die Extrema von f ′ sind negativ. D.h. f ′ ist auf I negativ und damit ist
f auf I monoton. I wird abgebildet auf
1
1
[f (0), f (−1)] = [− , − ] ⊂ I .
2 4e
[2P unkte]
Analysis I, SoSe 2008
3
08.09.2008 (Hinze/Kiani)
d) I ist abgeschlossen und f ist selbstabbildend auf I . Es ist noch zu zeigen, dass f kontrahierend ist. Nach Teil b) rechnet man für die LipschitzKonstante
3
1
1
L = max |f ′ (x)| = max{|f ′(−1)|, |f ′(0)|} = max{ e−1 , } = < 1.
x∈[−1,0]
4
2
2
e)
1
x1 = f (x0 ) = f (0) = − .
2
[1P unkt]
f) Es gilt:
Lk
|xk − x | ≤
|x1 − x0 | =
1−L
∗
Ab Iteration 3 gilt sicher |xk − x∗ | ≤ 0.125.
1 k
2
1
2
1
=
2
k
1
.
2
[2P unkte]
[2P unkte]