Vorlesung Mathematik 1 1

Vorlesung Mathematik 1
1
B.Grabowski
2. Februar 2017
1
(C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 2016, Skript zur Vorlesung Mathematik 1
Zusammenfassung
Das vorliegende Papier umfasst den Inhalt der Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure und gibt
Hinweise zu weiterführender Literatur. Wir verweisen auch auf die übliche Mathematik-StandardLiteratur, z.B. [Pap01]. Zur Ergänzung der im Skript enthaltenen Übungsaufgaben, d.h. zum weiteren Üben und zum Durchführen von Selbst-Kontrollen (Klausuren) verweisen wir auf unseren
E-Learning-Tutor MathCoach.
(Bemerkung zu den im Skript enthaltenen externen Aufgaben-Links: Da sich einige Links geändert
haben, ist in dieser Version des Skriptes noch nicht jede Aufgabe korrekt verlinkt.)
Inhaltsverzeichnis
1 Algebra-Grundlagen
1.1 Zweiwertige mathematische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Aussagen und Boolsche Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1 Allquantor ∀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2 Existenzquantor ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.3 Verneinungen von Aussageformen . . . . . . . . .
1.1.3 Anwendung der Boolschen Funktionen in der Schaltalgebra
1.1.4 Übungs- und Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Beweisprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Mathematische Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Der direkte Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Der indirekte Beweis und der Widerspruchsbeweis . . . . .
1.2.4 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Übungs- und Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Darstellung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Mengenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Besondere Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.1 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.2 Intervalle reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.3 Kreuzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Übungs- und Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Rechnen mit reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Der Zahlenaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Brüche und Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.1 Regeln der Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.2 Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche . . . .
1.4.3 Das Summen- und das Produktzeichen . . . . . . . . . . . .
1.4.3.1 Rechnen mit dem Summen- und Produktzeichen .
1.4.3.2 Eigenschaften von Summen- und Produktzeichen .
1.4.3.3 Indexverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Der binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4.1 Fakultät und Binomialkoeffizient . . . . . . . . . .
1.4.4.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4.3 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4.4 Pascalsches Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen . . . . . . . . . . . . .
1.4.5.1 Das Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5.2 Das Wurzelziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4.5.3 Das Logarithmieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beträge, Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hausaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Einführung in die Vektorrechnung
2.1 Punkte und Vektoren in der Ebene . . . . . . . . . . . . .
2.2 Punkte und Vektoren im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Addition, Subtraktion und Vielfachbildung von Vektoren .
2.3.1 Grafische Addition von Vektoren . . . . . . . . . .
2.3.2 Grafische Subtraktion von Vektoren . . . . . . . .
2.3.3 Rechnerische Addition von Vektoren . . . . . . . .
2.3.4 Rechnerische Subtraktion von Vektoren . . . . . .
2.3.5 Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
2.3.6 Eigenschaften von +,-,*λ . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Der Betrag eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Hausaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Das Skalarprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Karthesische Definition des Skalarproduktes . . . .
2.5.2 Der Winkel zwischen 2 Vektoren . . . . . . . . . .
2.5.3 Eigenschaften des Skalarproduktes . . . . . . . . .
2.5.4 Die Vektorprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Hausaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Das Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Definition des Kreuzproduktes . . . . . . . . . . .
2.6.2 Eigenschaften des Kreuzproduktes . . . . . . . . .
2.6.3 Berechnung des Kreuzproduktes . . . . . . . . . .
2.7 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Definition des Spatproduktes . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Berechnung des Spatproduktes . . . . . . . . . . .
2.7.3 Eigenschaften des Spatproduktes . . . . . . . . . .
2.7.4 Hausaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
3.1 Definition von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Parameterdarstellung von Geraden - die Punkt-Richtungsform und die 2Punkteform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Nichtparametrische und parametrische Form von Geraden im R2 . . . . . .
3.2 Lagebeziehungen von Punkten und Geraden zu Geraden . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Abstand eines Punktes von einer Geraden in R3 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Lage zweier Geraden zueinander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Abstand zweier paralleler Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden . . . . .
3.3 Definition von Ebenen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Parametrische Darstellung der Ebene - die Punkt-Richtungs-Form und die
3-Punkte-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Die Normalform (nicht-parametrische Darstellung) von Ebenen . . . . . . .
3.4 Lage von Geraden und Ebenen zu Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Lage zwischen Gerade und Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Lage zweier Ebenen zueinander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen zu Ebenen . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Abstand einer parallelen Geraden zu einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Abstand zweier paralleler Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Übungs- und Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Vektorräume und affine Räume
4.1 Einleitende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der n-dimensionale reelle Vektorraum Rn und seine Unterräume . . . .
4.2.1 Linearkombinationen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren . . . . .
4.2.3 Der Vektorraum (Rn , +, ·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Unterräume des (Rn , +, ·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Erzeugendensystem, Basis und Dimension eines Vektorraumes im
4.3 Allgemeine (axiomatische) Definition eines Vektorraums . . . . . . . . .
4.3.1 Axiomatische Definition eines Vektorraumes . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Erzeugendensystem, Basis und Dimension eines Vektorraumes . .
4.4 Affine Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Hausaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Matrizen
5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Was sind Matrizen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Gleichheit zweier Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Die Addition und Subtraktion von Matrizen, die Multiplikation einer Matrix
mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Die Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Eigenschaften der arithmetischen Rechenoperationen mit Matrizen . . . . .
5.4 Der Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Was ist der Rang einer Matrix? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Eigenschaften des Ranges einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Der Gaussche Algorithmus zur Rangbestimmung . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Lineare Gleichungssysteme
6.1 Was sind Lineare Gleichungssysteme? . . . . . . . . . . . .
6.2 Lösung hmogener linearer Gleichungssysteme mittels GA .
6.2.1 Eindeutige Lösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Unendlich viele Lösungen . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Lösung inhmogener linearer Gleichungssysteme mittels GA
6.3.1 Eindeutige Lösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Keine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Unendlich viele Lösungen . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Zusammenfassung und Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Determinanten und Inverse Matrizen
7.1 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 2x2- und 3x3-Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 n x n-Determinanten und der Laplace’sche Entwicklungssatz .
7.1.3 Eigenschaften von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Der Gaussche Algorithmus zur Berechnung von Determinanten
7.2 Die Cramersche Regel zur Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . .
7.2.1 Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Definition einer Inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Der Gaussche Algorithmus zur Berechnung der Inversen . . . .
7.3.3 Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kapitel 1
Algebra-Grundlagen
In diesem Kapitel werden grundlegenden Bezeichnungen, Definitionen und Sätze aus der mathematischen Logik, der Technik des mathematischen Beweisens, der Mengenlehre und des Rechnen
mit reellen Zahlen eingeführt. Ergänzend verweise ich auf das Mathe-Brückenlursskript der HTW
und das Lehrbuch [Pap01]. Zum zusätzlichen interaktiven rechner-(web-)basierten Üben und zur
Klausurvorbereitung sei auf unseren E-Learning-Tutor MathCoach verwiesen.
1.1
Zweiwertige mathematische Logik
1.1.1
Aussagen und Boolsche Funktionen
Gegenstand mathematischer Betrachtungen sind Aussagen.
Definition 1.1 Eine Zusammenfassung von Worten heißt Aussage (der 2-wertigen Logik), wenn
dieser eindeutig der Wahrheitswert “wahr” (W,1), oder “falsch” (F,0) zugeordnet werden kann.
In der Mathematik geht es darum, den Wahrheitswert (W,F) von Aussagen zu ermitteln.
Beispiele
(1) “Ich lüge jetzt” -> Weder W noch F -> keine Aussage
(2) “Ich würfele gleich eine 6” -> Weder W noch F, Chance
1
6
-> keine Aussage
(3) “4 ist eine ungerade Zahl” -> F -> Aussage
Wir bezeichnen Aussagen im folgenden allgemein durch kleine Buchstaben: a,b,c,...p,q,r,... .
Aussagen können durch logische Operatoren miteinander verknüpft werden.
Definition 1.2 Verknüpft man Aussagen durch logische Operatoren (auch Junktoren genannt),
so entstehen sogenannte logische Ausdrücke.
Logische Operatoren sind:
∧ (Und; Konjunktion)
∨ (Oder; Disjunktion)
⇒ (Wenn.... so....; Implikation)
⇔ (genau dann, wenn; Äquivalenz)
¬ (Nicht; Negation)
4
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
5
Beispiele:
(1) a=“Das Objekt ist ein Quadrat.”
b=“Das Objekt ist ein Viereck.”
a ⇒ b Lies: “Ist das Objekt ein Quadrat, so ist es auch ein Viereck.”
(2) ¬(4 < 0) Lies: “4 ist nicht kleiner 0.”
(3) ¬(4 < 0)⇐⇒ 4 ≥ 0 Lies: 4 ist nicht kleiner als 0 genau dann, wenn 4 größer oder gleich 0
ist. Bzw. das Relationszeichen dreht sich bei Negation um!
Definition 1.3 Eine Funktion, die jeweils k Aussagen a1 , ..., ak einen Ausdruck A(a1 , ..., ak )
zuordnet, heißt k-stellige Boolsche Funktion.
k
Schreibweise: A: (a1 , . . . , ak ) ∈ {W, F } → {W, F }
Beispiele:
(1) A(a) = ¬a → Einstellige Boolsche Funktion,
A: a {W, F } → {W, F }
(2) A(a, b) = a ∨ b → Zweistellige Boolsche Funktion,
2
A: (a, b) {W, F } → {W, F }
(3) A(a, b, c) = a ∧ b ∧ c → Dreistellige Boolsche Funktion,
3
A:(a, b, c) {W, F } → {W, F }
Boolsche Funktionen haben nur endlich viele Werte in ihrem Definitions- und Wertebereich. Deshalb können wir sie vollständig durch ihre Wertetabellen beschreiben, die auch als
Wahrheitswerttabellen bezeichnet werden.
Beispiele:
(1) A(a) = ¬a
a A(a) = ¬a
W
F
F
W
(2) A(a, b) = a ∨ b
a
b A(a, b) = a ∨ b
W W
W
W F
W
F W
W
F
F
F
(3) A(a, b, c) = a ∧ b ∧ c
a
W
W
W
W
F
F
F
F
b
W
W
F
F
W
W
F
F
c
W
F
W
F
W
F
W
F
A(a, b, c) = a ∧ b ∧ c
W
F
F
F
F
F
F
F
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
6
Die Boolsche Funktion in Beispiel (3) ist z.B. nur dann wahr, falls alle ihre Argumente a,b,c wahr
sind.
Die Beispiele zeigen, dass es genau 2k mögliche Werte-Kombinationen der Argumente a1 , a2 , ..., ak
der k-stelligen Boolschen Funktion gibt. Diese bestimmen die Zeilenzahl der Wahrheitswerttabellen, bei einstelligen Boolschen Funktionen (Beipiel 1) ist das 21 = 2, bei zweistelligen (Beispiel 2)
ist das s2 = 4 und bei dreistelligen (Beispiel 3) 23 = 8.
Im folgenden werden die Boolschen Grundfunktionen ¬, ∨, ∧ ⇒, ⇔, ⊕ durch ihre Wahrheitswerttabellen definiert.
Definition 1.4 Wahrheitswerttabellen von ¬, ∨, ∧, ⇒, ⇐⇒, ⊕.
A(a) =qa
a
W
F
qa
F
W
Negation
A(a, b) = a ∨ b
a
W
W
F
F
b
W
F
W
F
a∨b
W
W
W
F
Disjunktion
A(a, b) = a ∧ b
a
W
W
F
F
b
W
F
W
F
a∧b
W
F
F
F
Konjunktion
A(a, b) = a ⇒ b
a
W
W
F
F
a
W
W
F
F
A(a, b) = a ⇐⇒ b
A(a, b) = a ⊕ b
b
W
F
W
F
a
W
W
F
F
b
W
F
W
F
b
W
F
W
F
a⇒b
W
F
W
W
a ⇐⇒ b
W
F
F
W
a⊕b
F
W
W
F
Implikation
Äquivalenz
Kontravalenz (bzw. Antivalenz)
Wir sehen folgenes: Die Disjunktion ist nur falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind. Die
Konjunktion ist nur wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. Die Äquivalenz ist nur wahr, wenn
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7
beide Teilaussagen den gleichen Wahrheitswert haben. Die Kontravalenz ist nur wahr, wenn beide
Teilaussagen unterschiedliche Wahrheitswerte haben. Die Implikation ist nur dann falsch, wenn
aus einer wahren Aussage a eine falsche Aussage b folgen soll. Dass es sinnvoll ist, die Implikation
als Wahr zu definieren, wenn aus etwas Falschem etwas Falsches folgt, zeigt folgendes Beispiel:
Wenn der 23.12.2010 ein Dienstag ist, so ist der 23.12.2010 ein Mittwoch. Beide Teilaussagen sind
falsch, d.h. der 23.12.2010 ist kein Dienstag und der 24.12.2010 kein Mittwoch. Trotzdem ist die
Implikation eine wahre Aussage.
Aus diesen Tabellen für die Boolschen Grundfunktionen kann man die Wahrheitswerttabellen
(Funktionstabellen) für alle anderen Boolschen Funktionen ermitteln.
Beispiele: Stellen Sie die jeweilige Wahrheitswerttabelle auf!
(1) A(a, b) = ¬b ⇒ ¬a
Lösung:
a
b ¬b ¬a
W W F
F
W F W
F
F W F
W
F
F W W
¬b ⇒ ¬a
W
F
W
W
(2) A(a, b) = ¬ [(¬a) ∧ (¬b)]
Lösung:
a
b ¬a ¬b ¬a ∧ ¬b
W W F
F
F
W F
F
W
F
F W W
F
F
F
F W W
W
A(a, b)
W
W
W
F
Aufgabe 1.1
Stellen Sie die Wahrheitswerttabelle für (a ∧ b) ⊕ (a ∨ b) auf!
Aufgabe 1.1
Geben Sie die Wahrheitswerttabellen an!
Wenn wir uns die Tabelle (1) und die Definitionen der Boolschen Grundfunktion (a ⇒ b) genau
ansehen, so erkennen wir, dass (¬b ⇒ ¬a) die gleiche Wahrheitswerttabelle wie (a ⇒ b) besitzt.
D.h. es gilt: (a ⇒ b) ⇐⇒ (¬b ⇒ ¬a).
Ebenso erkennen wir, dass ¬ [(¬a) ∧ (¬b)] die gleiche Wahrheitswerttabelle wie (a ∨ b) besitzt, d.h. es ist ¬ [(¬a) ∧ (¬b)] ⇐⇒ (a ∨ b).
Definition 1.5 Zwei k-stellige Boolsche Funktionen A(a1 , ..., ak )und B(a1 , ..., bk ) heißen
äquivalent, falls ihre Wahrheitswerttabellen übereinstimmen.
Schreibweise: A(a1 , ..., ak ) ⇐⇒ B(a1 , ..., ak )
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
8
Satz 1.1 Es gelten die folgenden Äquivalenzen:
1. ¬(¬a) ⇐⇒ a
2. a ∧ b ⇐⇒ b ∧ a
3. a ∨ b ⇐⇒ b ∨ a
4. (a ⇒ b) ⇐⇒ [(¬b) ⇒ (¬a)]
Kontraposition
5. (a ⇒ b) ⇐⇒ (b ∨ (¬a))
6. (a ⇐⇒ b) ⇐⇒ (a ⇒ b) ∧ (b ⇒ a)
7. (a ⇐⇒ b) ⇐⇒ (b ∨ ¬a) ∧ (a ∨ ¬b)
8. ¬(a ∧ b) ⇐⇒ ¬a ∨ ¬b
de Morgan’sche Regeln
9. ¬(a ∨ b) ⇐⇒ ¬a ∧ ¬b
10. (a ∨ b) ∧ c ⇐⇒ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c)
Distributivität
11. (a ∧ b) ∨ c ⇐⇒ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c)
12. (a ∧ b) ∧ c ⇐⇒ a ∧ (b ∧ c)
13. (a ∨ b) ∨ c ⇐⇒ a ∨ (b ∨ c)
14. (a ⊕ b) ⇐⇒ ¬(a ⇔ b)
Bemerkung: Wie beim Rechnen mit reellen Zahlen sind bei der Darstellung logischer Ausdrücke
Klammerregeln zu beachten!
Beweis: zu 10.)
Seien A(a, b, c) = (a ∨ b) ∧ c, B(a, b, c) = (a ∧ c) ∨ (b ∧ a)
Wir zeigen, dass die Wahrheitswerttabellen von A und B übereinstimmen.
a
W
W
W
W
F
F
F
F
q.e.d
b
W
W
F
F
W
W
F
F
c
W
F
W
F
W
F
W
F
a∨b
W
W
W
W
W
W
F
F
a∧c
W
F
W
F
F
F
F
F
Beweis: zu 9.)
A(a, b) =¬a ∧ ¬b
a
W
W
F
F
q.e.d
b
W
F
W
F
¬a
F
F
W
W
¬b
F
W
F
W
A(a, b)
F
F
F
W
b∧c
W
F
F
F
W
F
F
F
A(a, b, c)
W
F
W
F
W
F
F
F
B(a, b, c)
W
F
W
F
W
F
F
F
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
9
Aufgabe 1.2
Weisen Sie die folgende Äquivalenz nach: (a ⇒ b) ⇐⇒ (b ∨ (¬a))
Wie wir aus Satz 1.1 erkennen können, lässt sich jede andere Boolesche Funktion mit zwei oder
mehr Argumenten (Eingängen) mit den Funktionen UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion)
und NICHT (Negation) realisieren. So kann man z.B. a ⇒ b äquivalent durch b ∨ (¬a) darstellen.
In der Praxis der digitalen Schaltungstechnik wird das auch so gehandhabt. Deshalb sind diese
drei Boolesche Funktionen ¬, ∨, ∧ die wichtigsten Grundfunktionen. Manchmal werden auch nur
sie als Grundfunktionen bezeichnet.
1.1.2
Aussageformen
Definition 1.6 Ersetzt man in einer Aussage a eine Konstante durch eine Variable x, so entsteht
eine sogenannte Aussageform a(x).
Beispiele:
(1) a(x) : x2 ≥ 0
(2) a(m) : m2 gerade ⇒ m gerade
Bei Aussageformen wird durch Quantoren angegeben, auf welche Werte für die enthaltene
Variable x (oder m) sich die Aussageform bezieht.
1.1.2.1
Allquantor ∀
∀ x ∈ M : a(x)
1.1.2.2
man liest das so: “Für alle x aus der Menge M gilt a(x)”
Existenzquantor ∃
∃ x ∈ M : a(x)
man liest das so: ”Es existiert ein x aus der Menge M, für welches a(x) gilt”
Beispiel: Sei N = {1, 2, ...} die Menge der natürlichen Zahlen.
“Die Menge N besitzt ein kleinstes Element” kann wie folgt als logische Aussageform formuliert
werden:
∃ m ∈ N∀ n ∈ N : n ≥ m
(d.h.: es existiert eine nat. Zahl m, die kleiner oder gleich jeder anderen nat. Zahl ist)
Weitere Beispiele
Logische Darstellung
∀ x ∈ R: x2 ≥ 0
∀ x ∈ R∀ y ∈ R : x < y ⇒ (∃ z ∈ R : x < z < y)
∀ n ∈ N∃ m ∈ N : m > n
Bedeutung
Das Quadrat jeder reellen Zahl ist ≥ 0
Zwischen je 2 reellen Zahlen liegt eine dritte
Zu jeder nat. Zahl gibt es eine größere nat. Zahl
Bemerkung: In der Klausur sollten Sie logische Aussagen als Boolsche Funktionen (logische Darstellung) darstellen können und ihre Bedeutung in Worten erklären können!
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
10
Beispiel:
Wir verwenden folgende Bezeichnungen:
x= Student x
G= Menge der Studenten an der HTW
e(x) = x ist im ersten Semester
m(x) = x besucht die Mathe-Vorlesung
Aufgabe: Stellen Sie folgende Sätze als logische Ausdrücke bzw. Aussageformen dar!
(1) Jeder Student der HTW, der die Mathe-Vorlesung besucht, ist im 1. Semester.
Lösung: ∀ x ∈ G : m(x) ⇒ e(x)
(2) Nur Studenten des 1. Semesters (HTW) besuchen die Mathe-Vorlesung.
Lösung: ∀ x ∈ G : m(x) ⇒ e(x)
(3) Alle Studenten des 1. Semesters besuchen die Mathe-Vorlesung.
Lösung: ∀ x ∈ G : e(x) ⇒ m(x)
(4) Alle Studenten des 1. Semesters besuchen die Mathe-Vorlesung und kein anderer Student der
HTW.
Lösung: ∀ x ∈ G : m(x) ⇔ e(x)
Aufgabe 1.3
Formulieren Sie in Ergänzung des Beispiels folgende Aussage als Aussageform:
Es gibt einen Studenten der HTW, der im ersten Semester ist, aber die Mathevorlesung nicht
besucht.
1.1.2.3
Verneinungen von Aussageformen
Definition 1.7 Existenz- und Allquantor werden wie folgt negiert (verneint):
¬(∀ x ∈ M : a(x)) ⇔ ∃ x ∈ M : ¬a(x)
¬(∃ x ∈ M : a(x)) ⇔ ∀ x ∈ M : ¬a(x)
Bei der Verneinung drehen sich die Quantoren um (aus ∀ wird ∃ und umgekehrt) und das
Negationszeichen wird hinter den Quantor gezogen.
Beispiel:
Verneinen Sie: ∀ n ∈ N∃ k ∈ N : n < k
Lösung:
¬(∀ n ∈ N∃ k ∈ N : n < k)
⇔ ∃ n ∈ N ¬(∃ k ∈ N : n < k)
⇔ ∃nN∀kN : ¬(n < k)
⇔ ∃ n ∈ N∀ k ∈ N : n ≥ k
Bedeutung dieser Aussage: “N besitzt ein Maximum”
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
11
Aufgabe 1.4
Formulieren Sie folgende Aussage als Boolsche Funktionen bzw. Aussageformen:
(a) Die Menge der natürlichen Zahlen hat ein Minimum.
(b) Die Menge der natürlichen Zahlen hat kein Maximum.
(c) Für je zwei reelle Zahlen gilt: Ist a > b, so ist auch a2 > b2
(d) Negieren Sie die Aussage in (c)!
(e) Bilden Sie die Negation der Aussage: Zwischen je zwei natürlichen Zahlen liegt ein Bruch.
(f) Bilden Sie die Kontraposition der Aussage: m2 > 0 =⇒ m > 0.
Aufgabe 1.5
Was bedeutet die folgende Aussageformen:
∀ > 0 ∃ no ∈ N ∀ n ∈ N : n > no =⇒
1
<
n
Was meinen Sie? Ist diese Aussageform wahr oder falsch?
1.1.3
Anwendung der Boolschen Funktionen in der Schaltalgebra
In der Schaltungstechnik verwendet man Boolsche Funktionen zur Beschreibung von Schaltungen.
Begründet wurde diese als Schaltalgebra bezeichnete Vorgehensweise hauptsächlich von Claude
Shannon in seiner Master-Abschlussarbeit A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits
von 1937. Die Schaltnetze, die man mithilfe der Schaltalgebra beschreibt, wurden früher hauptsächlich in Relais-Technik oder ähnlichen elektromechanischen Bauweisen hergestellt und die
Boolschen Funktionen wurden zur Beschreibung der Zusammenhänge zwischen den Zuständen von
Schaltern im Innern einer Schaltanordnung verwendet. In der Regel wird hierbei dem Schalterzustand ”aus” eine logische Null zugeordnet, dem Schalterzustand ”ein” entsprechend eine logische
Eins. Die Darstellung von ∧ erfolgt durch eine Parallelschaltung, bei der die Lampe nur brennt,
wenn beide Schalter geschlossen sind. Die Darstellung von ∨ erfolgt durch eine Reihenschaltung,
bei der die Lampe brennt, wenn mindestens einer der beiden Schalter geschlossen ist, siehe
Abbildung 1.1.
In der heutigen Digitaltechnik werden k-stellige Boolsche Funktionen nicht durch Schalter bzw.
Relais, sondern durch elektronischen Bauelemente (Gatter) aufgebaut. Die Werte der Argumente
der Boolschen Funktion sind die Eingänge des jeweiligen Gatters, der Wert der Boolschen Funktion
der Ausgang des Gatters. Hierbei werden die logischen Werte der Eingänge durch unterschiedliche
Spannungspegel realisiert. Im Normalfall bedeutet hier der höhere Pegel die logische Eins (bzw. W)
und der niedrigere Pegel die logische Null (bzw. F), siehe Abbildung . Dabei reichen 3 Grundgatter,
das AND-, OR-, und NOT-Gatter, zur Darstellung aller Boolschen Schaltungen aus (siehe auch
Satz 1.1 über die Äquivalenz von Boolschen Funktionen). Zusätzlich wird manchmal das XORGatter verwendet.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
12
Abbildung 1.1: Darstellung Boolscher Grundfunktionen durch Schaltungen und Gatter
Man kann aus den in Abbildung 1.1 aufgeführten Grundschaltungen und Gatter komplexere Schaltungen und Gatter zusammenbauen, siehe Abbildung 1.2.
Abbildung 1.2: Darstellung komplexerer Boolscher Funktionen durch Schaltungen und Gatter
Beispiele:
(1) Konstruieren Sie ein Gatter mit zwei Eingängen und einem Ausgang, das nur dann am
Ausgang eine 1 hat, wenn beide Eingänge den gleichen Zustand (entweder beide 1 oder beide
0) haben. Alternativ lautet die Aufgabe: Konstruieren Sie eine Schaltung mit zwei Schaltern,
bei der die Lampe nur brennt, wenn beide Schalter offen oder beide gedrückt sind.
Lösung:
Zunächst beschreiben wir die gewünschte Schaltung durch die passende Boolsche Funktion.
Das ist offensichtlich A(a,b) = a ⇔ b.
a ⇔ b wird nun durch Verwendung der Grundfunktionen ∧, ∨, ¬ dargestellt. Es ist
(a ⇔ b) ⇔ [(a ∧ b) ∨ (¬a ∧ ¬b)], siehe Satz 1.1 über die Äquivalenz von Boolschen Funktionen.
Die gesuchte Boolsche Funktion kann durch die folgende Schaltung bzw. Gatter unter
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
13
Verwendung von AND-, OR-, und NOT dargestellt werden:
Abbildung 1.3: Darstellung der Boolschen Funktion A(a, b) = a ⇔ b durch Schaltung und Gatter
(2) Vereinfachen Sie folgende Schaltung:
Abbildung 1.4: Zu vereinfachende Schaltung
Lösung:
Wir beschreiben die Schaltung zunächst durch eine Boolsche Funktion, offensichtlich lässt
sie sich durch die folgende Boolsche Funktion darstellen: (a ∨ c) ∧ (b ∨ c).
Diese Funktion können wir durch Anwendung des Distributivgesetzes (siehe Satz 1.1)
vereinfachen:
(a ∨ c) ∧ (b ∨ c) ⇔ (a ∧ b) ∨ c
Daraus ergibt sich die folgende Vereinfachung der Schaltung:
Abbildung 1.5: Äquivalente vereinfachte Schaltung
Aufgabe 1.6
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
14
Konstruieren Sie ein Gatter mit drei Eingängen a, b und c und einem Ausgang, das nur dann am
Ausgang den Wert 1 hat (die Lampe brennt), wenn alle drei Eingänge das gleiche Eingangssignal
besitzen (a=b=c=1 oder a=b=c=0). Wie sieht die dazugehörige Schaltung aus?
Aufgabe 1.7
Vereinfachen Sie den folgenden boolschen Ausdruck und stellen Sie ihn als Schaltung und als Gatter
nur unter Verwendung von AND, OR und NOT dar!
(¬(a ∧ b) ∨ b) ⇒ c
1.1.4
Übungs- und Hausaufgaben
Hausaufgabe 1 : Übungsblatt 1
1.2
1.2.1
Beweisprinzipien
Mathematische Sätze
Gegenstand mathematischer Betrachtungen sind Aussagen, die als Lehrsätze formuliert werden.
Ein mathematischer Satz hat folgende Gestalt:
Satz
Voraussetzung: a (wird als W angesehen)
Behauptung: b
Kurzform:
Satz Es gilt: a ⇒ b.
Bezeichnungen: In dieser Implikation wird a als hinreichend für b und b als notwendig für a
bezeichnet.
Beispiele:
• Satz Es gilt: A ist ein Quadrat ⇒ A ist ein Viereck
• Satz Beh.: Wenn m2 eine gerade natürliche Zahl ist, so ist auch m eine gerade natürliche
Zahl.
• Satz Die Menge N der natürlichen Zahlen hat kein Maximum.
Bei der Formulierung eines Satzes wird oft die Angabe von ”Es gilt:” oder ”Behauptung: (Beh.:)”
weggelassen. Zu jedem Satz gehört ein Beweis. Ein Beweis ist der Nachweis, dass die Behauptung
des Satzes, also b, Wahr ist, bzw. dass aus a=W folgt, dass b=W ist. Dazu wenden wir die Prinzipien
der mathematischen Logik an. Wir unterscheiden 3 verschiedene Techniken des Beweisens:
• der direkte Beweis
• der indirekte Beweis und der Widerspruchsbeweis
• das Prinzip der Vollständigen Induktion
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
1.2.2
15
Der direkte Beweis
Satz Behauptung: a ⇒ b
Um die Aussage des Satzes zu beweisen, leiten wir ausgehend von der Voraussetzung, dass a = W
ist, Schritt für Schritt her, dass b = W ist. Am Ende eines erfolgreichen Beweises steht q.e.d (quot
erra demonstrandum) als Zeichen dafür, dass der Beweis zu Ende ist.
Allgemein sieht dann ein direkter Beweis zum obigen Satz wie folgt aus:
Beweis: Sei a = W. Daraus folgt a1 = W, daraus folgt a2 = W,..., daraus folgt b = W .
q.e.d.
Wir werden das Prinzip des direkten Beweises nun an 3 Beispielen demonstrieren.
Satz 1.2
Vor.: m ∈ N und m ist durch 2 teilbar (gerade).
Beh.: m2 ist durch 2 teilbar (gerade)
Beweis: Sei m eine gerade natürliche Zahl.
⇒ ∃k ∈ N : m = 2 ∗ k
⇒ m2 = (2k)2 = 4 ∗ k ∗ k = 2 ∗ (2 ∗ k ∗ k)
⇒ m2 = 2 ∗ r und r(= 2 ∗ k ∗ k) ∈ N
⇒ m2 ist gerade.
q.e.d.
Satz 1.3
Vor.: Sei n ∈ N = {1, 2, ...}
Pn
Beh.: i=1 i = 1 + 2 + 3 + ... + n =
n∗(n+1)
2
Beweis: Es ist
1
n
⇒ (n + 1)
+
2
+
3
+ ... +
+ (n − 1) + (n − 2) + ... +
+ (n + 1) + (n + 1) + ... +
n
= S
1
= S
(n + 1) = 2S
und
⇒ n ∗ (n + 1) = 2S
⇒ S = n∗(n+1)
2
q.e.d.
Satz 1.4
Vor.: n ∈ N
Beh.: ∀ n ∈ N:
n3 +2
n5 +n
>
1
n2
Beweis: Wir formen die Behauptung solange äquivalent um, bis man sieht, ob sie wahr ist oder
falsch.
n3 +2
n5 +n2
3
> n12
k ∗ n2 ∗ (n5 + n2 )
⇔ (n + 2) ∗ n2 > 1 ∗ (n5 + n2 )
⇔ n5 + 2n2 > n5 + n2
k − (n5 + n2 )
2
⇔n >0
Das ist offensichtlich für alle n ∈ N der Fall.
q.e.d.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
16
Aufgabe 1.8
Beweisen Sie folgende Sätze mittels ”direktem Beweis”.
(a) Satz Ist m ∈ N ungerade so ist auch m2 ungerade.
(b) Satz
Vor.: Seien f(x) und g(x) zwei punktsymmetrische Funktionen, d.h. es gilt:
−f (x) = f (−x) und − g(x) = g(−x)
Beh.: Dann ist die Funktion h(x) = f (x)∗g(x) achsensymmetrisch, d.h. es gilt: h(x) = h(−x).
(c) Satz Sei n ∈ N und q ∈ R, | q |< 1. Dann gilt:
n
X
i=1
1.2.3
qi =
1 − qn
1−q
Der indirekte Beweis und der Widerspruchsbeweis
Grundlage als indirekten Beweis ist die Kontraposition (a ⇒ b) ⇔ (¬b ⇒ ¬a).
Statt:
Satz Es gilt: a ⇒ b
zeigen wir die äquivalente Kontraposition:
Satz Es gilt: ¬b ⇒ ¬a
Diese zeigen wir durch den direkten Beweis.
Beispiel:
Satz 1.5 ∀ m ∈ N gilt: Wenn m2 gerade (a), so ist m gerade (b).
Beweis: Durch direkten Beweis lässt sich diese Aussage nicht nachweisen.
Wir verwenden den indirekten Beweis und zeigen die Kontraposition:
m ist ungerade (¬b) ⇒ m2 ist ungerade (¬a)
Diese zeigen wir durch den direkten Beweis:
Sei m ungerade (¬b) ⇒ ∃ k ∈ No : m = 2k + 1 (2k+1 ist allgemeine Darstellung ungerader (d.h. nicht durch 2 teilbarer) Zahlen für k ∈ No = {0, 1, 2, ...} )
⇒ m2 = (2k + 1)2 = (2k)2 + 4k + 1
⇒ 4k 2 + 4k + 1
⇒ 2 ∗ (2k 2 + 2k) + 1
⇒ m2 = 2r + 1, r ∈ N
⇒ m2 ist ungerade.
q.e.d.
Eine andere spezielle Form des indirekten Beweises ist der Wiederspruchsbeweis.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
17
Satz:
(Vor.: wird nicht explizit hingeschrieben, es gilt das gesamte bisherige Vorwissen als Voraussetzung)
Beh: b
Bew: indirekt: Wir nehmen an, dass gilt ¬b = W . Hieraus leiten wir Schritt für Schritt auf direktem
Wege ⇒ a1 = W ⇒ a2 = W ⇒ a3 = W... ⇒ .... einen Wiederspruch zu unserem bisherigen Wissen,
oder zu ¬b = W ab.
Demzufolge kann die Annahme ¬b = W nicht stimmen, d.h.es muss ¬b = F sein und folglich ist
b = W.
q.e.d.
Wir demonstrieren dieses Beweisprinzip an einem Beispiel.
Satz 1.6 Beh: Die Menge aller reellen Zahlen x mit 0 < x < 1 ist nicht durchnummerierbar.
Bew.:(Cantorsches Diagonalverfahren)
Annahme: Die reellen Zahlen x mit 0 < x < 1 sind durchnummerierbar.
Nummerierung:
x1 = 0, x11 x12 x13 ...
x2 = 0x21 x22 x23 ...
xi = 0, xi1 xi2 xi3 ... xii ...
wobei (xij ∈ {0, 1, ..., 9})
Mit dieser Nummerierung sind dann alle Zahlen x mit 0 < x < 1 erfasst, der erste Index i
charakterisiert die Nummer der Zahl in der Durchnumerierung und der zweite Index j die Position
der Nachkommastelle der Zahl.
Wir konstruieren nun eine neue Zahl:
x∗ = 0, x∗11 x∗22 x∗33 ... x∗ii ...
xii + 1 falls xii < 9
mit x∗ii =
0
falls xii = 9
Offensichtlich ist
x∗ 6= x1 ,weil die 1. Ziffer hinterm Komma nicht stimmt
x∗ 6= x2 ,weil die 2. Ziffer hinterm Komma nicht stimmt
x∗ 6= xi , weil die i.te Ziffer hinterm Komma nicht stimmt
usw. usf..
D.h. x∗ ist eine Zahl, die auch zwischen 0 und 1 liegt, aber nicht durch unsere Nummerierung
erfasst werden konnte. D.h. man benötigt mehr Zahlen als natürliche Zahlen existieren, um alle
Zahlen aus (0,1) zu erfassen bzw. durch zu numerieren.
=⇒ Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass sich alle reellen Zahlen ∈ (0, 1) (durch die Menge
N) nummerieren lassen.
q.e.d.
Aufgabe 1.9
Beweisen Sie folgende Sätze mittels ”indirektem Beweis”.
(a) Satz Ist m2 für m ∈ N ungerade, so ist auch m ungerade.
(b) Satz Ist m2 für m ∈ N durch 5 teilbar, so ist auch m durch 5 teilbar.
(c) Satz Die Menge der natürlichen Zahlen hat kein Maimum.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
1.2.4
18
Vollständige Induktion
Siehe hierzu auch diesen Link.
Diese Technik wird auf Behauptungen der folgenden Form angewendet:
Satz Beh: ∀ natürlichen Zahlen n ≥ n0 gilt a(n).
Kurzschreibweise: ∀n ≥ n0 : a(n).
Beispiele:
a)Satz ∀ n ≥ 4 : 2n ≤ n! (n0 = 4)
Pn
(n0 = 1)
b)Satz ∀ n ≥ 1 : i=1 i = n(n+1)
2
n3 +2n2
1
c)Satz ∀ n ∈ N : n5 +n2 ≥ n2 (n0 = 1)
Allgemeine Beweistechnik der vollständigen Induktion:
Beweis:
(a) I.A. (Induktionsanfang) n = n0
Wir zeigen, dass a(n0 ) gilt (d.h. a(n) = W für den Startwert n = n0 )
(b) I.S. (Induktionsschritt)
Vor: a(n)
Beh: a(n + 1)
D.h. wir zeigen, wenn a(n) für irgendein beliebiges festes n Wahr ist, so ist a(n + 1), -d.h. die
Aussage auch für den Nachfolger von a(n)- Wahr. Damit gilt a(n) für alle n ≥ n0 , denn es gilt:
a(n0 ) = W → a(n0 + 1) = W → a(n0 + 1 + 1) = W → ....
I.A.
I.S.
I.S.
I.S.
Wir demonstrieren das Beweisprinzip der Vollständigen Induktion an 3 Beispielen.
Satz 1.7 ∀ n ≥ 1 :
Pn
i=1
i=
n(n+1)
2
Beweis: V.I.
(a) I.A. n0 = 1
P1
LS (linke Seite): i=1 i = 1
=1
RS (rechte Seite): 1∗(1+1)
2
⇒ LS=RS ⇒ a(n0 ) = W
q.e.d.
(b) I.S.
P1
Vor: Für ein festes beliebiges n gilt: a(n) :
i=
i=1
Pn+1
Beh: a(n + 1) : i=1 i = (n+1)(n+2)
2
n(n+1)
2
Bew:
Die Beweistechnik für den Induktionsschritt I.S. kann man wie folgt allgemein beschreiben. Wir
gehen von der linken Seite (LS) der Behauptung aus, zerlegen sie so, dass die linke Seite der
Voraussetzung darin vorkommt, ersetzen dann die linke Seite der Vorausstzung durch die rechte
Seite der Voraussetzung und formen dann den entstehenden Ausdruck solange um, bis die rechte
Seite (RS) der Behauptung da steht.
LSBeh =
Pn+1
i=1
i = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) =
Pn
i=1
i + (n + 1)
(Zerlegung)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
=
n(n+1)
2
=
n(n+1)=+2(n+1)
2
+ (n + 1)
(Ersetzung)
=
(n+1)(n+2)
2
(Umformen)
= RSBeh
q.e.d.
Satz 1.8 ∀n ≥ 1 :
Pn
i=1
i3 = 13 + 23 + ... + n3 =
(n+1)2 ∗(n)2
4
Bew: V.I.
(a) I.A. Wir zeigen, dass a(n) für n = n0 = 1 gilt.
P1
n0 = 1 : LS = i=1 i3 = 13 = 1
2
2
RS = (1+1)4 ∗(1) = 1
=⇒ LS = RS
q.e.d.
(b) I.S.
2
2
Pn
Vor: i=1 i3 = (n+1)4 ∗n
2
2
Pn+1 3
Beh:
i = (n+2) ∗(n+1)
4
i=1
Bew:
LSP
Beh
n+1
= Pi=1 i3 = 13 + 23 + ... + n3 + (n + 1)3
n
= i=1 i3 + (n + 1)3 (Zerlegung)
=
=
=
=
=
(n+1)2 ∗n2
+ (n + 1)3 (Ersetzung)
4
(n+1)2 ∗n2 +4(n+1)3
(Umformung)
4
(n+1)2 (n2 +4∗(n+1))
4
(n+1)2 (n+2)2
4
RSBeh
q.e.d.
Satz 1.9 ∀n ≥ 4 : 2n < n!
Bew: V.I.
(a) I.A. n0 = 4: LS=24 = 16, RS=4! = 24 ⇒ LS < RS.
q.e.d.
(b) I.S.
Vor: 2n < n!
Beh: 2(n+1) < (n + 1)!
Bew:
LSBeh
= 2(n+1) = 2n ∗ 2
< n! ∗ 2
≤ n! ∗ (n + 1)
= (n + 1)!
= RSBeh
q.e.d.
(Zerlegung)
(Ersetzung)
(Umformung)
19
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
20
Aufgabe 1.10
Beweisen Sie folgende Sätze mittels ”Vollständiger Induktion”.
(a) Satz Ist m2 für m ∈ N ungerade, so ist auch m ungerade.
(b) Satz Ist m2 für m ∈ N durch 5 teilbar, so ist auch m durch 5 teilbar.
(c) Satz Die Menge der natürlichen Zahlen hat kein Maimum.
1.2.5
Übungs- und Hausaufgaben
Hausaufgabe 2 : Übungsblatt 2, Aufgabe 1
1.3
Mengenlehre
Definition 1.8 Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohl unterschiedener Objekte, die hinsichtlich einer oder mehrerer Eigenschaften als gleichartig angesehen werden können, zu einer
Gesamtheit.
Schreibweisen:
• A,B,C,...M = Mengen
• M={o1 , o2 , ..., ok }, oi = Elemente der Menge
• {}=leere Menge
• x ∈ M: x ist Element von M
• x∈
/ M: x ist kein Element von M
1.3.1
Darstellung von Mengen
1. M={a1 , a2 , a3 , a4 } ⇒ Aufzählen aller Elemente der Menge. Bsp.: M={3, 6, 9}
2. Durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft: M={(x ∈ D) | E(x)}
(E(x) = definierende Eigenschaft).
Beispiel:
• M={n ∈ N |
n
3
∈ N ∧ 3 ≤ n ≤ 12}
• M={x ∈ R | x ≥ 0} =Menge der nicht negativen reellen Zahlen.
n
• Q = {m
| n ∈ Z ∧ m ∈ N} =Menge der Brüche = Menge der rationalen Zahlen
• Z = {n | n ∈ N ∨ n = 0 ∨ −n ∈ N} =Menge der ganzen Zahlen
3. Induktive Definition einer Menge
n0 ∈ M ∧ n ∈ M ⇒ f (n) ∈ M
(f(n) ist eine gegebene Funktion)
Beispiel:
• N : 1 ∈ N ∧ n ∈ N ⇒ n + 1 ∈ N ⇔ N = {1, 2, 3, ...}
• Menge aller durch 2 teilbaren nat. Zahlen: A : 2 ∈ A ∧ (n ∈ A ⇒ n + 2 ∈ A)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
1.3.2
21
Mengenrelationen
Definition 1.9
1. A ⊆ B heißt: Die Menge A ist in B enthalten.
(A ⊆ B ⇔ x ∈ A ⇒ x ∈ B)
2. A = B heißt: A und B sind identisch, d.h. enthalten genau die gleichen Elemente.
3. A ⊂ B heißt: Die Menge A ist in B echt enthalten.
(A ⊂ B ⇔ A ⊆ B und A 6= B.)
Venn-Diagramme:
Die grafische Darstellung von Mengenrelationen und Operationen erfolgt durch sogenannte
Venn-Diagramme.
Abbildung 1.6: Darstellung der Relation A ⊂ B im Venn-Diagramm
Beispiele:
1. {2, 4, 6} ⊂ N
2. {n ∈ N |
n
2
∈ N} = {n ∈ N | ∃ k ∈ N : n = 2k}
Definition 1.10 Die Menge P = {A | A ⊆ M } aller Teilmengen einer Menge M heißt Potenzmenge von M.
Beispiel:
Sei M = {1, 2, 3}. Die Potenzmenge von M ist dann P = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, M }.
1.3.3
Mengenoperationen
Definition 1.11
1. A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
sprich: A vereinigt B
2. A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
sprich: A geschnitten B
3. A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
sprich: ”A minus B” bzw. “A ohne B”
Beispiel:
Seien A = {2, 3, 4} und B = {2, 4, 8}. Dann ist:
A ∪ B = {2, 3, 4, 8}
A ∩ B = {2, 4}
A \ B = {3}
B \ A = {8}.
Auch die Mengenoperationen kann man im Venn-Diagramm verdeutlichen, siehe Abbildung 1.7.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
22
Abbildung 1.7: Darstellung der Mengenoperationen ∪, ∩, \ im Venn-Diagramm
Aufgabe 1.11
Definition 1.12 Zwei Mengen A und B heißen disjunkt (durchschnittsfremd), falls gilt:
A ∩ B = {}
.
Beispiel: Die Mengen A = {1, 2, 3} und B = {2, 4, 6} sind disjunkt.
Definition 1.13 Sei A ⊆ M . Dann heißt M Obermenge von A und A¯M = {x ∈ M | x ∈
/ A}heißt
Komplement (bzw. Komplementärmenge) von A bzgl M.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
Abbildung 1.8: Darstellung des Mengen-Komplements im Venn-Diagramm
Offensichtlich gilt: A¯M = M \ A.
Beispiele:
• M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}. Dann ist A¯M = {1, 3, 5}
• A = {n ∈ N | n2 ∈ N} ist die Menge der geraden nat. Zahlen. Dann ist
/ N} = {n ∈ N | ∃ k ∈ N : n = 2k − 1}
A¯N = {n ∈ N | n2 ∈
die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen.
Aufgabe 1.12
Verwenden Sie die richtigen Symbole!
Aufgabe 1.2
Berechnen Sie folgende Mengen!
Aufgabe 1.3
Veranschaulichen Sie Mengenoperationen im Venn-Diagramm!
Für die Mengenoperationen gelten folgende Rechenregeln.
Satz 1.10 (Eigenschaften von Mengenoperationen)
Beh.: Es gilt:
1. Ā¯ = A
2. A ∩ B = B ∩ A Kommutativität
3. A ∪ B = B ∪ A Kommutativität
4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Assoziativität
5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Assoziativität
6. (A ∩ B) ∪ C = (C ∪ B) ∩ (C ∪ A) Distributivität
7. (A ∪ B) ∩ C = (C ∩ B) ∪ (C ∩ A) Distributivität
23
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
24
8. A ∪ B = Ā ∩ B̄ De Morgansche Regel
9. A ∩ B = Ā ∪ B̄ De Morgansche Regel
10. (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A
11. A ∩ A = A ∪ A = A
12. A ∩ {} = {}, A ∪ {} = A
Beweisen kann man diese Rechenregeln auf sehr anschauliche Weise mittels Venn-Diagrammen.
Dazu stellt man die linke und die rechte Seite der entsprechenden zu beweisenden Gleichung im
Venn-Diagramm dar und prüft, ob die Grafiken, die die Mengen beider Seiten darstellen, identisch
sind. Wir demonstrieren das an einem Beispiel.
Beweis zu 8. A ∪ B = Ā ∩ B̄ (De Morgansche Regel):
Wir stellen die linke Seite und die rechte Seite dieser Gleichung im Venn-Diagramm dar, siehe
Abbildung 1.9.
Abbildung 1.9: Darstellung der De Morganschen Regel im Venn-Diagramm
Wie wir an dieser Abbildung sehen, sind die linke und die rechte Seite der Gleichung 8. identisch.
q.e.d.
Aufgabe 1.13
Beweisen Sie die Beziehungen 7. und 10. des Satzes 1.10 mittels Venn-Diagrammen!
Aufgabe 1.4
Welche Mengen sind gleich? Geben Sie die richtigen Mengenoperationen an!
1.3.4
Besondere Mengen
1.3.4.1
Zahlenmengen
In der Mathematik unterscheiden wir Mengen von Zahlen. So zum Beispiel die natürlichen
Zahlen, die ganzen Zahlen und die reellen Zahlen. Die Bezeichnungen der uns bisher bekannten
Zahlenbereiche listen wir im folgenden auf.
• Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, ...}.
(Induktive Definition: 1 ∈ N, n ∈ N ⇒ (n + 1) ∈ N )
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
25
• Menge der natürlichen Zahlen mit der Null: N0 = {0, 1, 2, ...} = N ∪ {0}.
• Menge der ganzen Zahlen: Z = {z | z ∈ N ∨ −z ∈ N ∨ z = 0}.
• Menge der rationalen Zahlen (Brüche): Q = { m
n | m ∈ Z ∨ n ∈ N}.
Die Brüche kann man als periodische oder endliche Dezimalzalen darstellen, so z.B. ist
0, 5 eine endliche Dezimalzahl und 13 = 0, 333... eine periodische Dezimalzahl.
1
2
=
• Menge der irrationalen Zahlen:
I = Menge aller
√ nicht endlichen und nicht periodischen Dezimalzahlen.
So z.B. sind 2 und die Eulersche Zahl e und die Zahl π irrationale Zahlen.
• Menge der reellen Zahlen: R = Q ∪ I.
1.3.4.2
Intervalle reeller Zahlen
Für a ≤ b unterscheiden wir folgende Intervalle:
• [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
geschlossenes Intervall von a bis b.
• (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
(linksseitig) halboffenes Intervall von a bis b.
• [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
(rechtsseitig) halboffenes Intervall von a bis b.
• (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
offenes Intervall von a bis b.
• (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b} und (−∞, b) = {x ∈ R | x < b}.
• [a, ∞) = {x ∈ R | x ≥ a} und (a, ∞) = {x ∈ R | x > a}.
• (−∞, ∞) = R.
Aufgabe 1.14
Geben Sie folgende Menge als Intervall an!
((−2, 4] ∩ [−3, 1)) ∪ [0, 5]
1.3.4.3
Kreuzmengen
Definition 1.14 Das Gebilde (x1 , x2 , ..., xn ) für xi ∈ R, i = 1...n, n ∈ N heißt n-Tupel.
Bezeichnungen:
n = 2: (x1 , x2 ) geordnetes Paar
n = 3: (x1 , x2 , x3 ) Tripel
n = 4 (x1 , x2 , x3 , x4 ) Quadrupel
Achtung
Tupel unterscheiden sich von Mengen dadurch, dass die Reihenfolge der Elemente bei Tupeln eine
Rolle spielt und bei Mengen nicht. Es ist M={1, 2, 3}={3, 2, 1} und (1, 2, 3) 6= (3, 2, 1)
Beispiel
EineParabel wird durch eine
Menge von Punkten dargestellt:
f = (x, y) | x ∈ R ∧ y = x2 . Kurzschreibweise: y = x2 , x ∈ R.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
26
Definition 1.15
A = {(x1 , ...xn ) | x1 ∈ A1 ∧ x2 ∈ A2 ∧ ...xn ∈ An } = A1 × A2 × A3 × ... × An heißt Kreuzmenge
von A1 , ...An
Bezeichnung für Kreuzmengen aus n identischen Mengen: B × B × ... × B = B n
Beispiele:
Rechteck der Seitenlängen 3 und 2:
A = {(x, y) | x ∈ [−1, 2] ∧ y ∈ [−1, 1]} = [−1, 2] × [−1, 1]
Dreidimensionaler Würfel der Kantenlänge 1:
3
W = {(x, y, z) | x ∈ [0, 1] ∧ y ∈ [0, 1] ∧ z ∈ [0, 1]} = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] = [0, 1]
Quadrat der Seitenlänge 2:
2
A = [−1, 1]
Die reelle Zahlenebene:
R2 = {(x, y) | x ∈ R ∧ y ∈ R}
Der n-dimensionale reelle Raum:
Rn =Menge aller n-Tupel mit xi ∈ R ∀ i = 1...n.
Weitere Beispiele:
Seien A = {1, 2, 3} und B = {1, 2}.
Dann ist:
AxB = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2)}
BxA = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
Wir sehen, dass das Kreuzprodukt × nicht kommutativ ist, d.h. es gilt i.A. A × B 6= B × A.
(AxB) \ (BxA) = {(3, 1), (3, 2)}
(BxA) \ (AxB) = {(1, 3), (2, 3)}
(AxB) ∩ (BxA) = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1)}
Wir sehen, dass in unserem Beispiel (AxB) ∩ (BxA) = (A ∩ B) × (A ∩ B) ist. Das kann man auch
allgemein für beliebige Mengen A und B nachweisen.
Aufgabe 1.15 Zeigen Sie dass für beliebige Mengen A und B folgende Behauptung
stimmt:
Satz: Es gilt (AxB) ∩ (BxA) = (A ∩ B)2
1.3.5
Mächtigkeit von Mengen
Definition 1.16 Sei M eine Menge. Dann ist | M | gleich der Anzahl der Elemente in M.
Beispiele
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
27
M={1, 2, 3, 4, 5, 7, 13} ⇒| M |= 7
| {} |= 0
| p(A) |= 2|A|
Definition 1.17
a) Eine Menge M mit | M |= k ∈ N heißt endlich.
b) Eine Menge M mit | M |=| N | heißt abzählbar ∞
c) Eine Menge M mit | M |>| N | heißt überabzählbar ∞
Definition 1.18 2 Mengen A,B heißen gleichmächtig, falls gilt: | A |=| B |
Satz 1.11 Es gilt
| M |=| N |
⇔
Es existiert bijektive Abbildung von f M ↔ N , die jedes Element aus M genau ein Element aus N
zuordnet und umgekehrt.
⇔
Alle Elemente von M sind durchnummerierbar.
Beispiel
Sei N = {1, 2, 3, ...} die Menge der natürlichen Zahlen und Z = {−..., −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} die
Menge der ganzen Zahlen.
Behauptung: | Z |=| N |
Beweis: Wir definieren eine bijektive Zuordnung Z ↔ N der natürlichen zu den ganzen Zahlen
wie folgt, d.h. wir numerieren die ganzen Zahlen wie folgt durch:
Wir ordnen der ganzen Zahl 0 die natürliche Zahl 1 zu, den positiven ganzen Zahlen die geraden
natürlichen Zahlen und den negativen ganzen Zahlen die ungeraden natürlichen Zahlen:
Z↔N
......
−3 ↔ 7
−2 ↔ 5
−1 ↔ 3
0↔1
1↔2
2↔4
.....
q.e.d
Für den Nachweis, dass auch die Menge Q der Brüche abzählbar unendlich ist, benötigen wir eine
bijektive Abbildung zwischen Q und N. Diese lässt sich nicht so leicht konstruieren. Wir verwenden
hier den folgenden Satz.
Satz 1.12
a) Seien Ai , i = 1, ..., k k endliche Mengen. Dann ist ∪ki=1 Ai = A1 ∪ A2 ...Ak auch endlich.
b) Seien Ai , i = 1, 2..., k k abzählbare ∞ Mengen. Dann ist ∪ki=1 Ai abzählbar ∞.
c) Seien Ai , i = 1, 2... abzählbar unendlich viele abzählbare ∞ Mengen. Dann ist ∪∞
i=1 Ai abzählbar
∞.
Mit Hilfe dieses Satzes können wir leicht zeigen, dass die Menge der Brüche ebenfalls abzählbar
unendlich ist, d.h. es gibt genauso viele Brüche, wie natürliche Zahlen.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
28
Satz 1.13 Es gilt: | Q |=| N |
n
Beweis: Sei Qn = m
| m ∈ N = n1 , n2 , n3 , n4 , ... ⇒| Qn |=| N | ⇒ Qn ist für jedes feste n ∈ Z
abzählbar ∞.
Weiterhin ist Q = ∪n∈Z Qn
und folglich ist Q die Vereinigung von abzählbar viewlen abzählbar ∞ Mengen Qn . Nach Satz 1.12
c) ist damit Q abzählbar ∞, also gilt | Q |=| N |.
q.e.d.
Satz 1.14
Es gilt:
• | (0, 1) | > | N |
• | R |>| N |
• Jedes relle Zahlenintervall (a, b) ist überabzählbar ∞.
1.3.6
Übungs- und Hausaufgaben
Hausaufgabe 3 : Übungsblatt 2, Aufgaben 2 bis 8
1.4
Rechnen mit reellen Zahlen
1.4.1
Der Zahlenaufbau
N= Natürliche Zahlen
erlaubte Operationen: <,>, =, 6=, +, * (Abkürzung für +).
Problem: Die Lösung x von x + 7 = 2 führt aus N heraus, es ist x = −5.
Z = {z | z ∈ N ∨ −z ∈ N ∨ z = 0} = Ganze Zahlen
erlaubte Operationen: <,>, =, 6=, +, -, * (Abkürzung für +).
Problem: Die Lösung x von x ∗ 7 = 2 führt aus Z heraus, es ist x = 27 .
Q = {m
n | m ∈ Z ∧ n ∈ N} = Rationale Zahlen
Besonderheit: Menge der rationalen Zahlen = Menge der endlichen oder periodischen Dezimalzahlen. Z.B. 25 = 0, 4 , 37 = 2, 6666.
erlaubte Operationen: <,>, =, 6=, +, -, * , / .
Problem: Die Diagonale d in einem Quadrat der Seitenlänge
1 ergibt sich nach Pythagoras
√
als Lösung der Gleichung d2 = 2 . Diese Lösung d = 2 ist kein Bruch, d.h. die Lösung dieser
Gleichung führt aus Q heraus.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
29
Ir = Irrationale Zahlen = Menge der nichtendlichen und nichtperiodischen Dezimalzahlen.
√
Besonderheit: Zur Menge der irrationalen Zahlen gehören Z.B. 2 = 1, 4142135..., π =
3, 1415926... und die Eulersche Zahl e = 2, 7182818... .
Bei praktischen Rechnungen muss man irrationale Zahlen runden, dabei entstehen Runddungsfehler, die sich zu sehr großen Fehlern fortpflanzen können.
Besser ist es, bei Rechnungen so lange wie möglich das entsprechende Zahlensymbol e, π,
√
2 usw. zu verwenden und erst zu runden, wenn der Term nicht weiter vereinfacht werden
kann. Das machen z.B. Mathematik-Softwaresysteme, die als Computeralgebrasysteme (CAS)
bezeichnet werden. Mathematik-Software, die nicht mit Symbolen rechnen kann, bezeichnet
man demgegenüber als numerische Software.
Irrationale Zahlen kann man in berechenbare und nichtberechenbare Zahlen unterscheiden.
Eine Zahl heißt berechenbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der sie mit jeder beliebigen
vorgegebenen Genauigkeit (= Stellenzahl
nach dem Komma) ermitteln kann. Andernfalls
√
heisst sie nicht berechenbar. Z.B. ist 2 berechenbar, π ist nicht berechenbar.
erlaubte Operationen: <, >, =, 6=, +, -, * , / , Potenzieren,
√
, loga ().
R = Q ∪ Ir = Reelle Zahlen = Alle Dezimalzahlen.
Besonderheit: Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine dritte. Die reellen Zahlen kann man
nicht mehr durchnumerieren (abzählen), d.h. R ist überabzählbar unendlich, bzw. | R |>| N |.
erlaubte Operationen: < , >, =, 6=, +, -, * , / , Potenzieren,
√
, loga ().
Problem: √
Die Lösungen x der Gleichung x2 + 4 = 0 führen aus R heraus, es ist x =
oder x = −1 ∗ 2.
C = {x +
√
−1 ∗ 2
√
−1 ∗ y | x ∈ R ∧ y ∈ R} = Komplexe Zahlen.
√
Besonderheit: Die neue Zahl j = −1 wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
√
erlaubte Operationen: =, 6=, +, -, * , / , Potenzieren, , loga (). Es sind alle arithmetischen
Operationen möglich, es treten keine Probleme mehr auf. Aber in C gibt es keine Ordnung
mehr, man kann komplexe Zahlen nicht anordnen, < und > sind nicht mehr erlaubt.
Mit komplexen Zahlen werden wir uns im Sommersemester befassen. In den folgenden Abschnitten
beschäftigen wir uns mit reellen Zahlen.
1.4.2
Brüche und Dezimalzahlen
1.4.2.1
Regeln der Bruchrechnung
Sie müssen die Regeln der Bruchrechnung perfekt beherrschen.
Dazu verweisen wir auf das Brückenkursskript, Kapitel 1.4.
Aufgabe 1.16
Lesen Sie sich das Kapitel 1.4. in diesem Brückenkursskript durch!
Link:
http://www.htw-saarland.de/Members/grabowski/uebersicht/vl/Material_mathe_1_MST_KI/ws07-08/Brueckenkurs-07-08
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
30
Lösen Sie anschließend folgende Übungsaufgaben!
Aufgabe 1.17 Vereinfachen Sie folgende Terme!
a)
3 1
−
4 3
f)
b)
7 8
+
2 3
g)
c)
d)
1
4
−
1
3
6 · 4
5
1
3 − 4
+
2
3
h)
3x
2y
2x + y
+
−
x+y x+y
x+y
i)
a
b
c
e)
+ −
xy x y
3x
: (4 + y)
4−y
x
+
x2 −9
x−2
7−x
x2 −6x+9
x−1
3−x
2x + 1
+
x2 − 4 x2 − 4x + 4
3
x+3
x−2
+
x−102
x−4
x+3
Aufgabe 1.5
Lösen Sie diese Aufgaben zur Bruchrechnung in MathCoach!
1. Dividieren Sie Brüche!
2. Kürzen Sie Brüche!
3. Bilden Sie den Hauptnenner!
4. Vereinfachen Sie Terme!
5. Ordnen Sie Brüche an!
1.4.2.2
Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche
Brüche sind endliche oder periodische Dezimalzahlen.
Beispiele:
1
5
= 0.2 und
1
3
= 0.333
Die Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen erfolgt einfach durch schriftliche Division.
Beispiel:
3
11 = 3 : 11 = 0, 207207207...
Die Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche erfolgt so:
Endliche Dezimalzahlen mit k Nachkommastellen werden mit 10k erweitert, d.h. die Zahl wird
mit 10k multipliziert, das ergibt den Zähler des Bruches; und anschließend durch 10k dividiert.
Das Ergebnis kann man dann noch kürzen.
Beispiel:
3
21.345 = 21.345∗10
=
103
21345
1000
=
4269
200
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
31
Nicht endliche, aber periodische Dezimalzahlen p, bei denen die Periode in der k.ten Nachkommastelle beginnt und m Ziffern die Periode bilden, werden wie folgt umgerechnet:
1. Sie werden mit 10m multipliziert, wir erhalten 10m ∗ p
2. Die Differenz q = 10m ∗ p − p ist immer eine endliche Dezimalzahl
3. Diese endliche Dezimalzahl q wird wie oben beschrieben als Bruch dargestellt
4. Anschließend wird q = 10m ∗ p − p nach p umgestellt, wir erhalten das Ergebnis: p = 10mq −1
Beispiele
1. p = 0.3 ist umzurechnen.
Es ist m = 1, nur eine Ziffer (die 3) ist an der Periode beteiligt, und wir erhalten
10 ∗ p − p = 3.3 − 0.3 = 3
Daraus folgt
3
p = 10−1
= 93 = 13
2. p = 21.123 ist umzurechnen.
Es ist m = 1 (nur die Ziffer 3 ist an der Periode beteiligt) und wir erhalten
10 ∗ p − p = 211.23 − 21.123 = 211.233 − 21.123 = 211.23 − 21.12 = 190.11 =
Daraus folgt
19011
6337
100
= 19011
p = 10−1
900 = 300
19011
100
3. p = 21.12345 ist umzurechnen.
Es ist nun m = 3, denn die drei Ziffern 345 sind an der Periode beteiligt, und wir erhalten
103 ∗ p − p = 21123.45345 − 21.12345 = 21123.45 − 21.12 = 21101.88 = 2110188
100
Daraus folgt
2110188
2110188
527547
p = 10100
3 −1 =
99900 = 24975
Aufgabe 1.18 Rechnen Sie folgende Dezimalzahlen in Brüche um!
a) 0.24
c) 341.901123
b) 12.12
d) −1.287
1.4.3
Das Summen- und das Produktzeichen
1.4.3.1
Rechnen mit dem Summen- und Produktzeichen
Möchte man das Quadrat aller Zahlen von 1 bis 10 addieren, so müsste man schreiben: 1P
+4+9+
10
16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100. Wir verwenden dafür eine abkürzende Schreibweise: i=1 i2 .
Die abkürzende Schreibweise lohnt sich, wenn man viele Summanden addieren
P1000 möchte. Für die
Summe der Quadrate aller Zahlen von 1 bis 1000 schreiben wir dann z.B. i=1 i2 .
P
heißt Summenzeichen. Im folgenden
Q beschäftigen wir uns mit diesem Summenzeichen
außerdem mit dem Produktzeichen .
P
und
Definition 1.19 (Summen- und Produktzeichen) Wir verwenden für die Summe von n reellen Zahlen folgende abkürzende Schreibweise:
a1 + a2 + ... + an =
n
X
ai
i=1
Der erste Summand wird gebildet durch die Zuordnung i = 1 zu ai und man erhält a1 . Im folgenden
wird der Laufindex i jeweils um 1 erhöht und man erhält den nächsten Summanden. Der letzte
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
32
Summand an ergibt sich dann für i = n. Diese Schreibweise lässt sich verallgemeinern, für m ≤ n
ist:
n
X
am + am+1 + ... + an =
ai
i=m
i heißt Summationsindex , m und n sind die Summationsgrenzen und am , · · · , an sind die
Summanden.
Analog definieren wir das Produkt von reellen Zahlen:
a1 · . . . · an =
n
Y
ai
und
am · . . . · an =
i=1
n
Y
ai
i=m
Beispiel 1.1 Beispiele zum Summen- und Produktzeichen.
P4
a) 4 + 8 + 16 = i=2 2i
P4
b) 1 − 12 + 13 − 14 = i=1 (−1)i+1 · 1i
P4
c) −x + x2 − x3 + x4 = i=1 (−1)i · xi
Q5
d) 12 · 13 · 14 · 15 = i=2 1i
Q3
e) 12 · 22 · 32 = i=1 i2
Aufgabe 1.19 Stellen Sie den Term mittels Summen- bzw. Produktzeichen dar!
a) 2 − 4 + 6 − 8 + 10
b)
1
3
·
2
4
·
3
5
·
4
6
Aufgabe 1.20 Berechnen Sie den Wert der Summen und Produkte!
a)
P4
2i
b)
P4
(−1)i+1 ·
i=2
i=1
c)
P4
d)
Q4
i=1
1.4.3.2
1
i
e)
Q4
f)
P2
g)
P5
2i + 3i2 − 4
(−1)i · i
i
i=1 i+1
i=1
(−1)i+1 ·
i=−1
i=1
i+1
i
2
(2i) − i
Eigenschaften von Summen- und Produktzeichen
Für das Summen- und Produktzeichen gelten natürlich die gleichen Regeln wie für das Addieren
und Multiplizieren von reellen Zahlen. Zum Beispiel gelten folgende Eigenschaften:
Satz 1.15 Es ist:
Pn
Pn
Pn
1.
i=1 ai +
i=1 bi =
i=1 (ai + bi )
Pn
Pn
2.
i=1 c · ai = c ·
i=1 ai
Pn
3.
i=1 c = n · c
P
4.
i=kn c=(n−k+1)·c
Analog gilt für das Produktzeichen:
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
33
Satz 1.16 Es ist:
Qn
Qn
n
1. i=1 (ai )n = ( i=1 ai )
Qn
Qn
Qn
2. i=1 ai · bi = i=1 ai · i=1 bi
Qn
3. i=1 c = cn
Qn
4. i=k c = c(n−k+1)
Aufgabe 1.21 Die Summe
n
1X
xi
n i=1
x=
bezeichnet man als arithmetisches Mittel der Zahlen x1 , . . . , xn . Rechnen Sie die Summen auf der
linken Seite der folgenden Gleichungen aus und weisen Sie dadurch nach, dass sie gleich der rechten
Seite sind!
Pn
a)
i=1 (xi − x) = 0
Pn
Pn
2
2
2
b)
i=1 (xi − x) =
i=1 xi − n · (x)
1.4.3.3
Indexverschiebung
Die Darstellung einer Summe von Zahlen durch ein Summenzeichen ist nicht eindeutig. Z.B. Kann
man leicht prüfen, dass gilt:
10
X
i=1
i=
20
X
30
X
(i − 10) =
(i − 20) =
(i + 10)
i=−9
i=21
i=11
0
X
Oft ist es sinnvoll, den Laufindex i von einem anderen Startwert als 1 anfangen zu lassen. Damit
sich der Wert der Summe nicht verändert, ist folgende Regel zu beachten:
Wenn wir die Summationsgrenzen unter und über dem Summenzeichen um eine konstante Zahl c
erhöhen, so müssen wir in den Summanden ai die Indexvariable i um diese Konstante c veringern!
Wenn wir die Summationsgrenzen unter und über dem Summenzeichen um eine konstante Zahl c
veringern, so müssen wir in den Summanden ai die Indexvariable i um diese Konstante c erhöhen!
Diesen Vorgang nennt man Indexverschiebung.
Satz 1.17 (Indexverschiebung) Es gilt für jede Zahl c ≥ 0:
m
X
ai =
i=n
m+c
X
ai−c =
i=n+c
m−c
X
ai+c
i=n−c
Analog gilt:
m
Y
i=n
ai =
m+c
Y
i=n+c
ai−c =
m−c
Y
ai+c
i=n−c
Aufgabe 1.22 Füllen Sie die richtigen Werte in die leeren Felder (Kästchen) ein!
a)
P4
i=2
2i =
P5
i=3
P4
P
1
(−1)i+1 · 1i = i= (−1)i · i−1
Q5
Q
i
c) i=0 i+1
= i=−10 Q4
Q
i−8
d) i=1 (−1)i+1 · i+1
·
i=10 (−1)
i =
b)
i=1
i−8
i−9
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
1.4.4
Der binomische Lehrsatz
1.4.4.1
Fakultät und Binomialkoeffizient
34
Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 3 Symbole auf 3 Felder zu legen, so dass in jedem
Feld ein Symbol liegt?
Offensichtlich sind das folgende 6 Möglichkeiten:
Wir haben 3 Möglichkeiten, den 1. Platz zu belegen (1. Spalte der Grafik). Ist der 1.Platz belegt, so
haben wir noch 2 Möglichkeiten, für den 2.Platz (das wird durch die Zeilen der Grafik dargestellt).
Für den 3. Platz verbleibt dann nur noch eine Möglichkeit. Insgesamt sind das 3 · 2·1 Möglichkeiten.
In Verallgemeinerung dieser Tatsache kann man zeigen, dass es genau
k · (k − 1) · . . . · 2 · 1 Möglichkeiten gibt, k Objekte auf k Plätzen anzuordnen.
Die Anzahl verschiedener Layouts einer Tastatur mit 50 Zeichen ist dann zum Beispiel gleich
50 · 49 · . . . · 2 · 1.
Die Kenntnis dieser Anzahl ist dann von praktischem Interesse, wenn man unter allen Varianten die beste finden möchte. Das Gebiet, welches sich mit derartigen Fragen befasst, nennt man
kombinatorische Optimierung.
Das Produkt k · (k − 1) · . . . · 1 der ersten k natürlichen Zahlen kommt auch in vielen anderen
mathematischen Fragestellungen vor. Deshalb führt man eine abkürzende Schreibweise dafür ein:
k! = k · (k − 1) · . . . · 1. k! bezeichnet man als k Fakultät.
Die Fakultät und auch der sogenannte Binomialkoeffizient, die wir im folgenden erläutern
werden, sind abkürzende Schreibweisen für zwei mathematische Ausdrücke, die häufig in mathematischen Rechnungen vorkommen. Sie finden vor allem in der Kombinatorik Anwendung.
Auch können Binomische Formeln leicht unter Verwendung der Binomialkoeffizienten
ausgerechnet werden.
Definition 1.20 (Die Fakultät) Für n ∈ N0 definiert man n! (sprich n Fakultät) als:
0! = 1 und n! = 1 · 2 · . . . · n für n > 0
Die Fakultät n! ist für n > 0 folglich das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen.
Beispiel 1.2
a) 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
b) 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
35
Definition 1.21 (Der Binomialkoeffizient)
Für n ∈ N0 , k ∈ N0 , n ≥ k, definiert man den
n
Binomialkoeffizienten
(sprich n über k ) als:
k
n
n!
(k + 1) · (k + 2) · . . . · n
=
=
k
(n − k)! · k!
1 · 2 · . . . · (n − k)
Beispiel 1.3
a)
5
5!
1·2·3·4·5
4·5
=
=
=
= 10
2
3! · 2!
1·2·3·1·2
1·2
1·2·3·4·5
5
5
5!
=
=
= 5
b)
=
1! · 4!
1·1·2·3·4
1
4
Aufgabe 1.6
1.4.4.2
Berechnen Sie Fakultät und Binomialkoefizient!
Kombinatorik
Satz 1.18 (Kombinatorische Bedeutung von Fakultät und Binomialkoeffizient) Es gilt:
1. Kombinatorische Bedeutung von n!
n! ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, n verschiedene Objekte auf n Plätze anzuordnen.
n
2. Kombinatorische Bedeutung von
k
n
ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, aus n verschiedenen Objekten genau k (k ≤ n)
k
auszuwählen.
Beispiel 1.4 Wieviele Worte ergeben sich aus den 3 Buchstaben A,B,C?
Es ergeben sich die folgenden n! = 1 · 2 · 3 = 6 Möglichkeiten: (A,B,C) (A,C,B) (B,A,C) (B,C,A)
(C,A,B) (C,B,A).
Beispiel 1.5 Wieviele Wortkombinationen mit genau zwei der 3 Buchstaben A,B,C kann man
bilden?
Es
sind alle Paare aus den Buchstaben A,B,C zu bilden, deshalb ist k=2 und n=3 und es gibt genau
3
= 3 solche Paare: (A,B) (A,C) (B,C).
2
Beispiel 1.6 Zahlenlotto „6 aus 49 “:
Wieviele mögliche verschiedene Tipps gibt es beim Zahlenlotto „6 aus 49“?
Die Anzahl der verschiedenen Tipp-Möglichkeiten ist gleich der Anzahl, 6 verschiedene Zahlen aus
49 Zahlen auszuwählen, also gleich
n
49!
44 · 45 · 46 · 47 · 48 · 49
=
=
= 13983816.
k
(49 − 6)! · 6!
1·2·3·4·5·6
Die Chance, beim Lotto „6 aus 49“6 Richtige zu ziehen ist also 1 zu ca. 14 Millionen.
Aufgabe 1.23 Auf einer Feier erhalten 10 Personen ein Glas Wein, je zwei stoßen miteinander an. Wie oft erklingen die Gläser?
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
36
Aufgabe 1.24 Am Ende eines Skiwochenendes fahren alle 30 Teilnehmer in einer langen
Schlange den Berg hinunter. Auf wieviele Arten können sie sich zu einer Schlange formieren?
Aufgabe 1.25 5 Bücher sollen auf 5 Regalpl¨’atze verteilt werden. Dabei stammen 2
vom gleichen Autor Peter Meier, die anderen 3 von 3 anderen Autoren.
1. Wieviele Möglichkeiten gibt es, die 5 Bücher in die 5 Regalplätze einzuordnen?
2. Bei wieviel Anordnungen stehen die beiden Bücher von Peter Meier nebeneinander?
1.4.4.3
Binomischer Lehrsatz
n
Ausdrücke der Form (a + b) bezeichnet man als Binomische Formeln.
Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten lassen sich die Binomischen Formeln ausmultiplizieren.
Satz 1.19 (Der Binomische Lehrsatz) Für alle a ∈ R, b ∈ R, n ∈ N0 gilt:
n X
n
n
(a + b) =
· an−k · bk
k
k=0
Beispiel 1.7 zum Binomischen Lehrsatz:
0 X
0
0
(a + b)0 =
· a0−k · bk =
· a0 · b0 = 1
k
0
k=0
1 X
1
1
1
(a + b)1 =
· a1−k · bk =
· a1 · b0 +
· a0 · b1 = a + b
k
0
1
k=0
2 X
2
2
2
2
· a2−k · bk =
· a2 · b0 +
· a1 · b1 +
· a0 · b2
(a + b)2 =
k
0
1
2
k=0
= a2 + 2 · a · b + b2
3 X
3
3
(a + b) =
· a3−k · bk
k
k=0
3
3
3
3
=
· a3 · b0 +
· a2 · b1 +
· a1 · b2 +
· a0 · b3
0
1
2
3
= a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
Aufgabe 1.26 Rechnen Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes die Binomische Formel
(a + b)4 aus!
1.4.4.4
Pascalsches Dreieck
Die Berechnung der Koeffizienten nk beim Ausrechnen der Binomischen Formel ist recht mühseh-
n
lig. Mit Hilfe des sogenannten Pascalschen Dreiecks können wir die Binomialkoeffizienten
k
n
relativ leicht ermitteln. Im Pascalschen Dreieck ordnen wir die Binomialkoeffizienten k in Form
eines Deieckes an.
In der ersten Zeile steht 00 .
In der 2. Zeile stehen 10 , 11 .
In der 3. Zeile stehen 20 , 21 , 22 .
Und in der n+1.ten Zeile stehen alle Koeffizienten
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
n
0
,
n
1
, ...
n
n−1
37
n
n
,
.
Wir erhalten dann das Dreieck:
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
3
0
2
2
3
1
3
2
3
3
usw. usf.
Rechnen wir alle Binomialkoeffizienten in diesem Dreieck aus, so ergeben sich folgende Zahlen:
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
usw. usf.
Wir erkennen folgende Gesetzmäßigkeiten im Dreieck:
• Die Ränder des Dreiecks n0 und nn sind für jedes n=0,1,. . ., gleich 1.
• Das Dreieck ist symmetrisch um die vertikale Mittelachse.
• Jeder Binomialkoeffizient nk der nicht am Rand steht, ist die Summe der beiden Koeffizienten
n−1
( n−1
k−1 ,
k ) der vorhergehenden Reihe, in dessen Mitte er steht.
Wenn wir also die 5. Reihe berechnen wollen, so müssen wir nur folgende Zeile anfügen:
1
1
1
1
2
1
1
1
3
3
4
6
usw. usf.
1
4
1
Es ist also
4
0
= 1,
4
1
= 4,
4
2
= 6,
4
3
= 4 und
4
4
= 1.
Nach Binomischen Lehrsatz würde sich dann z.B. ergeben:
4
(a + b) = a4 + 4 · a3 · b + 6 · a2 · b2 + 4 · a · b3 + b4 .
Satz 1.20 (Eigenschaften des Binomialkoeffizienten) Für Binomialkoeffizienten gelten folgende nützliche Eigenschaften:
1. Symmetrie:
Für alle n ∈ N0 , k ∈ N0 , n ≥ k, gilt:
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
n
0
n
1
n
k
(a)
(b)
(c)
=
n
n
=
n
n−1
n
n−k
=
38
= 1
= n
2. Rekursivität:
Für alle n ∈ N0 , k ∈ N0 , n ≥ k, gilt:
n+1
n
= nk + k−1
k
Aufgabe 1.27
Beweisen Sie Rekursivität des Binomialkoeffizienten:
Für alle
nn∈
N0 , nk ∈
N0 , n ≥ k, gilt:
n+1
=
+
k
k
k−1
Aufgabe 1.28
Multiplizieren Sie mittels Pascalschem Dreieck das Polynom (x + y)6
aus!
Aufgabe 1.7
Rechnen Sie mit den Gesetzmäßigkeiten im Pascalschen Dreieck!
1.4.5
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Soll eine Zahl a n mal mit sich selbst multipliziert werden, so schreibt man abkürzend:
an = a · a · ... · a. Der Term an wird “a hoch n” gelesen. Berechnet man das Produkt x = an , so
sprechen wir vom Potenzieren. a heißt Basis und n heißt Exponent.
√
Die Gleichung x = an kann man nach a und nach n umstellen. Es ist a = n x und n = loga (x). Die
erste Operation nennt man Wurzelziehen, die zweite Operation heißt Logarithmieren. Das heißt,
das Logarithmieren und das Wurzelziehen sind die beiden Umkehroperationen des Potenzierens.
1.4.5.1
Das Potenzieren
Für das Potenzieren gelten Rechengesetze. Die grundlegenden Potenzgesetze sind die folgenden:
1. a0 = 1
2. an · am = a(n+m)
3. an · bn = (a · b)n
4. a(−n) =
1
an
5.
an
am
= an · a(−m) = a(n−m)
6.
an
bn
= ( ab )n
7. (an )m = a(n·m)
m
8. an = a(n
Beispiele:
m
)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
39
−1
1
x3
= (x3 · x3 )−1 = (x6 )−1 = 6
a)
−3
x
x
2 −2
x
· 3x2 · a−4
b)
a3
3 2
a 2
a
a6
a2
= 2
· 3 · x2 · a−4 = 4 · 3 · x2 · a−4 = 3 · 2 = 3 ·
x
x
x
x
Aufgabe 1.29 Berechnen Sie folgende Potenzen und vereinfachen Sie dabei so weit wie
möglich!
(15 · x)2
5 · x−3
2 −1 2 2
x
3a
b)
·
· 5xa−4
a3
4x3
c) (a8 − 1) · (a4 + 1)−1
a)
d) 27 · 3−6
e) (a − b)3 + 3(b − a)3
Aufgabe 1.8 Rechnen Sie mit Potenzen!
1.4.5.2
Das Wurzelziehen
Definition 1.22 (Rechenregeln für das Wurzelziehen)√Die Gleichung
x = an kann man nach a und nach n umstellen. Es ist a = n x (“n-te Wurzel aus x”).
Diese Operation nennt man Wurzelziehen, d.h., das Wurzelziehen ist eine Umkehroperation des
Potenzierens.
a heißt Wurzel, x heißt Radikand und n Radikator.
Aus den Potenzgesetzen, die für die Ausgangsgleichung x = an gelten,
entsprechende Gesetze
√ folgen
1
für die Wurzel. Dazu muss man sich nur klarmachen, dass gilt: n x = x n .
Wurzelgesetze sind damit z.B. die folgenden:
√ √
1
1
1
√
1. n x · n y = x n · y n = (x · y) n = n x · y
2.
p
√
n m
1 n1
1
= x m·n =
x = xm
√
n·m
x
√
√ n
n
xn = x m = ( m x)
q
1
1
−1
= 1 = x n = n x1
4. √
n
x
xn
3.
m
usw., usf..
Beispiel:
3
√
2− 2
=
=
=
√ !
2+ 2
√
2+ 2
√
3 · (2 + 2)
√
√
(2 − 2) · (2 + 2)
√
√
3 · (2 + 2)
3
= · (2 + 2)
4−2
2
3
√ ·
2− 2
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
40
Aufgabe 1.30 Vereinfachen Sie folgende Terme!
p
a) 3 x6 (2y)12
√ √
x· 3y
b) √
√
3
x· y
√ √
x· 3y
c) p
√
3
x· y
d)
q√
4
x·
√
3
y
Aufgabe 1.31 Erweitern Sie den Nenner mit Hilfe der Binomischen Formeln so, das
keine Wurzeln mehr im Nenner vorhanden sind!
√
√
6 − 14 2
2+3 5
√
√
b)
a)
4 − 15
4−3 2
Aufgabe 1.9
1.4.5.3
√
1− 2
√
√
c) √
6−2 3+ 2
Rechnen Sie mit Wurzeln!
Das Logarithmieren
Definition 1.23 (Rechenregeln für das Logarithmieren) Die Gleichung
x = an kann man nach n umstellen. Es ist n = loga (x). a bezeichnet man als Basis des Logarithmus und n heißt Logarithmus von x zur Basis a. Diese Operation nennt man Logarithmieren.
D.h., das Logarithmieren ist eine Umkehroperation des Potenzierens.
Spezielle Logarithmen:
Ist die Basis gleich der Eulerschen Zahle e=2,718..., so sprechen wir vom natà 14 rlichen Logarithmus und schreiben kurz loge (x) = ln(x).
Ist die Basis a = 10, so sprechen wir vom dekadischen Logarithmus und schreiben kurz
log10 (x) = lg(x).
Aus den Potenzgesetzen, die für die Ausgangsgleichung x = an gelten, folgen entsprechende Gesetze
für den Logarithmus.
Die grundlegenden Logarithmengesetze sind die folgenden:
1. 1-Regel: loga (a) = 1
2. 0-Regel: loga (1) = 0
3. Potenzregel: loga (xn ) = n · loga (x)
4. Produktregel: loga (x · y) = loga (x) + loga (y)
5. Quotientenregel: loga ( xy ) = loga (x) − loga (y)
6. Reziproke Regel: loga (x) =
1
logx (a)
7. Logarithmen-Umrechnung: loga (x) =
logb (x)
logb (a)
=
ln(x)
ln(a)
Daraus lassen sich weitere Regeln ableiten, wie zum Beispiel:
8. aloga (x) = x insbesondere eln(x) = x
9. Potenzregel: logax (b) =
1
x
· loga (b)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
41
Beispiel:
Vereinfachen Sie 4 log256 (16) − 2 log4 (64)!
Es ist:
4 log256 (16) − 2 log4 (64)
1
− 2 · log4 (43 )
= 4·
log16 (256)
1
= 4·
− 2 · log4 (43 )
log16 (162 )
1
= 4·
− 2 · 3 · log4 (4)
2 · log16 (16)
1
= 4· −2·3
2
= −4
Aufgabe 1.32 Vereinfachen Sie folgende Terme ohne Taschenrechner!
a) lg(4) + 2 · lg(5)
d) log5 (625)
f) lg
√
3
a4 b2
b) e5·ln(2)
c) log(a+b) (a + b)2
e) lg
a3 b
c2
Aufgabe 1.33 Berechnen Sie folgende Logarithmen ohne Taschenrechner!
a) − log125 (625) + 5 · log125 (5)
b) 2 · log16 41 + 20 · log16 (4)
1.4.6
c) 5 · log125
1
5
+ 16 · log125 (5)
d) log27 (81) + 14 · log27 (27)
Aufgabe 1.10
Berechnen Sie Logarithmen!
Aufgabe 1.11
Rechnen Sie mit Logarithmen!
Aufgabe 1.12
Vereinfachen Sie Terme!
Beträge, Gleichungen und Ungleichungen
Sie müssen die Regeln des Rechnens mit Beträgen, und die Methoden zum Auflösen von Gleichungen und Ungleichungen beherrschen. Sie sollten Gleichungen und Ungleichungen lösen können,
gerade in den Fällen, bei denen es sich um quadratische Gleichungen und Ungleichungen handelt,
oder diese Beträge enthalten. Wir verweisen dazu auf das Brückenkursskript.
Aufgabe 1.34
Lesen Sie sich das Kapitel 1.7. in diesem Brückenkursskript durch!
Link:
http://www.htw-saarland.de/Members/grabowski/uebersicht/vl/Material_mathe_1_MST_KI/ws07-08/Brueckenkurs-07-08
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.1 Algebra-Grundlagen
Lösen Sie folgende Übungsaufgaben!
Aufgabe 1.35 Lösen Sie die folgenden Ungleichungen grafisch und analytisch!
a)
x−2
x+1
≤ 2, x 6= −1
d) |x − 2| > 5
b) x2 ≥ 20
e) |x − 2| < x + 1
c) −x2 > 16 − 8x
f) |x − 2| < |x + 1|
Aufgabe 1.36 Lösen Sie die folgenden Gleichungen!
a)
x−2
x+1
= 2, x 6= −1
d) |x − 2| = 5
b) x2 = 20
e) |x − 2| = x + 1
c) −x2 = 16 − 8x
f) |x − 2| = |x + 1|
1.4.7
Hausaufgabe
Hausaufgabe 4 : Übungsblatt 3
42
Kapitel 2
Einführung in die Vektorrechnung
In der Physik und der Technik werden viele Größen nicht nur durch einen Zahlenwert, sondern
auch durch eine Richtung beschrieben. Dazu gehören Kräfte, Wege, Geschwindigkeiten und viele
weitere Größen.
Anschaulich kann man diese Größen durch Pfeile darstellen, wobei die Information über die Größe
in der Länge des Pfeiles steckt und die Richtung durch die Lage des Pfeils und seine Pfeilspitze
charakterisiert wird.
Solche Objekte nennt man in der Mathematik Vektoren und kennzeichnet sie durch einen Buchstaben und durch einen symbolischen Pfeil über dem Buchstaben.
Beispiele: ~a, ~b, ~r, F~ .
Ein Vektor ~a beschreibt alle Pfeile, die gleiche Länge und gleiche Richtung besitzen. D.h., zwei
Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Richtung und die gleiche Länge besitzen.
~a
In der Mathematik werden Vektoren verwendet, um die gerichtete Strecke (Verbindung) zwischen
2 Punkten im Rn darzustellen. Die Richtung eines Vektors kann durch die Angabe von Winkeln
zu den Koordinatenachsen beschrieben werden.
Alternativ zur Angabe von Länge und Richtung lässt sich ein Vektor eindeutig durch Koordinaten
im rechtwinklige kartesische Koordinatensystem beschreiben.
In den folgenden Abschnitten beschäftigen wir uns mit der Darstellung von Vektoren im ndimensionalen reellen Raum Rn und mit Rechenoperationen zum Rechnen mit Vektoren, sowie
der physikalischen bzw. geometrischen Bedeutung dieser Operationen.
2.1
Punkte und Vektoren in der Ebene
Ein Punkt in der Ebene wird durch seine Koordinaten P = (p1 , p2 ) eindeutig charakterisiert.
Durch einen Vektor kann man 2 Punkte P und Q miteinander verbinden; durch Abtragen des
−−→
Vektors ~v an den Punkt P = (p1 , p2 ) gelangt man zum Punkt Q = (q1 , q2 ). Man schreibt ~v = P Q
oder P + ~v = Q, wobei die Operation + das Abtragen des Vektors ~v an den Punkt P bedeutet.
43
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
44
Wir können den Vektor ~v mathematisch endeutig durch die 2 Komponenten v1 und v2 darstellen,
die
Ausdehnung in x- und y-Richtung beschreiben. Mathematisch wird ~v als geordnetes Paar
seine
v1
dargestellt, wobei seine Komponenten untereinander geschrieben werden, um ihn von einem
v2
Punkt (v1 , v2 ) mit gleichen Koordinaten zu unterscheiden.
Wir sehen an der Grafik, dass die Komponenten v1 , v2 des Vektors ~v mit den Koordinaten der
beiden Punkte P und Q, die ~v miteinander verbindet, zusammenhängen. Es ist vi = qi − pi die
Differenz der i-ten Koordinate der beiden Punkte Q und P, die der Vektor verbindet.
v
Andererseits sehen wir, dass die Operation Abtragen von ~v = 1 an den Punkt P = (p1 , p2 ) im
v2
Ergebnis den Punkt Q = P + ~v = (p1 + v1 , p2 + v2 = (q1 , q2 ) liefert, dessen Koordinaten sich aus
der Addition der Kordinaten von P und ~v ergeben.
Aufgabe 2.1
a) Welcher Vektor ~v führt vom Punkt P = (1, −1) zum Punkt Q = (3, 0)?
b) Wie lauten die Koordinaten
des Punktes Q, der entsteht, wenn man an den Punkt P = (3, 1)
1
den Vektor ~v =
abträgt?
−2
Da zwei Vektoren gleich sind, wenn sie die gleiche Richtung und die gleiche Länge besitzen, sind
zwei Vektoren gleich, wenn ihre Koordinaten vi übereinstimmen. Folgendes Bild zeigt mehrere
identische Vektoren ~v . Sie unterscheiden sich lediglich durch die Lage ihres Anfangspunktes, an
dem sie abgetragen werden (dadurch unterscheidet sich dann auch der Endpunkt).
−→
Der Vektor 0P , der den Koordinatenursprung 0 mit dem Punkt P verbindet, wird als Ortsvektor
−→
des Punktes P bezeichnet. Der Ortsvektor 0P von P hat offensichtlich die gleichen Koordinaten
wie der Punkt P .
Um Vektoren und Punkte voneinander zu unterscheiden, verwendet man zur Darstellung eines
Punktes die Zeilenschreibweise und zur Darstellung eines Vektors die Spaltenschreibweise, bei der
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
45
die einzelnen
untereinander angeordnet sind:
Komponenten
−−→
x
~v = OP =
, x und y bilden hierbei die Koordinaten des Punktes P = (x, y).
y
Der Vektor v~1 , der genauso lang wie ~v ist, aber in die entgegengesetzte Richtung zeigt, wird als
Gegenvektor zu ~v bezeichnet; wir schreiben v~1 = −~v . Wir erhalten den Gegenvektor zu einem
Vektor ~v , indem wir Pfeilspitze und Anfangspunkt von ~v vertauschen. Offensichtlich erhalten wir
die Koordinaten des Gegenvektors zu einem Vektor ~v , indem wir einen Vorzeichenwechsel
in allen
1
Koordinaten von ~v durchführen; so ist zum Beispiel der Gegenvektor zu ~v =
der Vektor
−2
−1
v~1 = −~v =
.
2
Aufgabe 2.2
1
a) Zeichnen Sie den Vektor ~v =
auf mindestens 3 verschiedene Weisen in ein Koordinaten2
system ein!
b) Zeichnen Sie den Ortsvektor zum Punkt P = (1, 2) ein!
−1
c) Zeichnen Sie den Vektor v~1 =
in das Koordinatensystem ein! Was stellen Sie fest
−2
bezüglich Länge und Richtung von ~v und v~1 ?
−3
d) Zeichnen Sie den Vektor ~v =
und seinen Gegenvektor −~v in ein Koordinatensystem
4
ein!
2.2
Punkte und Vektoren im Rn
Im dreidimensionalen Anschauungsraum kommt eine 3. Angabe, die Höhe zur Lagebeschreibung
eines Punktes und damit als Koordinate eines Vektors hinzu. Jeder Punkt im Raum wird durch
die Angabe der Koordinaten P = (x, y, z) beschrieben, wobei die Reihenfolge vorgeschrieben ist.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
46
z1
P = (x1 , y1 , z1 )
y1
x1
−→
Der Vektor0P ,der vom Ursprung des Koordinatensystems ausgeht und am Punkt P endet, ist
x1
−−→
~v = OP =  y1 , x1 , y1 und z1 bilden hierbei die Koordinaten des Punktes P .
z1
Die Koordinaten von Vektoren, die nicht im Koordinatenursprung beginnen, können auch im
dreidimensionalen Raum als Differenzen der Koordinaten des Endpunktes und des Anfangspunktes beschrieben werden. So hat ein Vektor von einem Punkt A = (xa , ya , za ) zu einem Punkt
B = (xb , yb , zb ) die Vektordarstellung:


xb − xa
−−→
~v = AB =  yb − ya 
zb − za
Beispiel 2.1
z
2
Q = (0, 2, 2)
2
2
y
P = (2, 2, 0)
x
Der Vektor ~v , der den Punkt P = (2, 2, 0) mit dem Punkt Q = (0, 2, 2) verbindet ist

  
0−2
−2
−−→ 
~v = P Q = 2 − 2 =  0 
2−0
2
Aufgabe 2.3
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
47
z
2
A
2
2
y
B
a) x
−−→
Welcher Vektor AB verbindet im oben gezeichneten Würfel die Eckpunkte A und B miteinander?
b) Welcher Vektor ~v führt vom Punkt P = (1, −1, 2) zum Punkt Q = (−3, 0, 5)?
c) Wie lauten die Koordinaten
des Punktes Q, der entsteht, wenn man an den Punkt P =
 
1
(3, 1, 4) den Vektor ~v = −2 abträgt?
2
 
−3
d) Wie lauten die Koordinaten des Gegenvektors zum Vektor ~v =  1 
−1
Aufgabe 2.1
Stelle Vektoren und Ortsvektoren grafisch dar!
Aufgabe 2.2
Berechne Punkte und Vektoren!
Wir wollen unsere Erkenntnisse nun auf den Rn verallgemeinern.
Definition 2.1 Rn = Rx...xR = {(x1 , ..., xn ) | xi,n ∈ R∀i = 1, ..., n} heißt n-dimensionaler reeller
Punktraum.
−
Definition 2.2 Seien P und Q zwei Punkte aus dem Rn . Das Gebilde →
v für welches gilt:
→
−
v ist die gerichtete Strecke zwischen P und Q und heißt Vektor zwischen P und Q.
−−→
−
Schreibweise: →
v = P Q.
−
Wir bezeichnen mit P + →
v = Q das Abtragen eines Vektors an einen Punkt.
−−→
Satz 2.1 Seien P = (p1 , · · · , pn ) und Q = (q1 , · · · , qn ) zwei Punkte im Rn und ~v = P Q der
Vektor, der P und Q miteinander verbindet. Dann gilt für die Koordinaten vi von ~v
vi =
qi −pi bzw. es
 ist

v1
q1 − p1
~v =  :  = ~v =  :  .
vn
qn − pn
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
48
Andererseits gilt für die Koordinaten qi des Endpunktes Q der Abtrageoperation:
−
Q=P +→
v = (p1 + v1 , · · · , pn + vn )
Bemerkung: Wir schreiben die Koordinaten eines Vektors stets untereinander im Unterschied zu
einem Punkt, dessen Koordinaten nebeneinander geschrieben werden.
n
−−→o
−
−
Definition 2.3 V n = →
v | ∃P∈ Rn ∃Q ∈ Rn : →
v = PQ
 

 v1

=  :  | vi ∈ R∀i = 1...n = Rn heißt n-dimensionaler reeller Vektorraum.


vn
−−→
Definition 2.4
• Der Vektor ~v = OP , der den Ursprungspunkt O mit einem Punkt P verbindet, hat die gleichen Koordinaten wie P und heißt Ortsvektor von P .


 
−v1
v1
 −v2 
 v2 

 
• Der Vektor −~v = 
 :  heißt Gegenvektor zu ~v =  : .
−vn
vn
Bemerkung: Der Gegenvektor −~v zu ~v hat die gleiche Länge wie ~v und zeigt in die entgegengesetzte Richtung (d.h. Pfeilspitze und Vektor-Fuss sind vertauscht).
Wir verwenden folgende abkürzende Schreibweisen für besondere Lagen von zwei Vektoren
zueinander:
→
− −
→
−
→
−
a k b ⇒→
a parallel zu b
→
−
→
−
a ↑↑ b ⇒ in gleiche Richtung
→
−
→
−
a ↑↓ b ⇒ in verschiedener Richtung
→
−
→
−
a ⊥ b ⇒ senkrecht
2.3
2.3.1
Addition, Subtraktion und Vielfachbildung von Vektoren
Grafische Addition von Vektoren
Wir addieren ~a + ~b, indem wir den Vektor ~b am Vektor ~a abtragen, oder umgekehrt, indem wir ~a
an ~b abtragen. Der Vektor ~c = ~a + ~b wird als Resultierende von ~a und ~b bezeichnet. ~c verbindet
den Anfang von ~a mit dem Ende von ~b.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
2.3.2
49
Grafische Subtraktion von Vektoren
Die Differenz zweier Vektoren lässt sich durch den „Gegenvektor“ einfach erklären.
Wir subtrahieren ~a − ~b, indem wir an den Vektor ~a den Vektor −~b, d.h. den Gegenvektor zu ~b
abtragen. Das geschieht praktisch, indem wir den Vektor ~b mit der Spitze zuerst an ~a abtragen.
Der der Resultierenden ~c = ~a + ~b zweier Kräfte entgegengesetze Vektor d~ = −~c heißt Gegenkraft
zu ~c. Es gilt offensichtlich: ~a + ~b + d~ = 0 bzw. ~a + ~b − ~c = 0.
Vektorkette:
Es oft notwendig, einen unbekannten Vektor durch andere bekannte darzustellen. Dabei hilft das
Bilden einer Vektorkette. Von einem beliebigen Startpunkt wählt man einen geschlossenen Weg
über beliebig viele Wege und addiert dabei alle betroffenen Vektoren, die im Umlaufsinn liegen
und addiert den Gegenvektor beim Durchlaufen gegen den Umlaufsinn. Die so gebildete Summe
wird immer ~0.
d~
~c
~a
~b
Beispiel 2.2 A
Vom Punkt A aus würde eine Vektorkette so aussehen: ~b + ~c + d~ − ~a = ~0. Diese Vektorgleichung
kann nach jedem Vektor umgestellt werden.
Aufgabe 2.3
Grafische Addition und Subtraktion von Vektoren
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
2.3.3
50
Rechnerische Addition von Vektoren
Zwei Vektoren werden addiert, indem man die Komponenten addiert.


 
a1
b1
Definition 2.5 Seien ~a =  :  und ~b =  :  zwei Vektoren im Rn . Dann ist
bn
     an

a1
b1
a 1 + b1
~a + ~b =  :  +  :  =  : .
an
bn
an + bn
Beispiel. 

 
−2
1
Seien ~a =  5  und ~b =  3 .
1
−4
    
  
1
−2
1 + (−2)
−1
Dann ist ~c = ~a + ~b =  5  +  3  =  5 + 3  =  8 .
−4
1
−4 + 1
−3
2.3.4
Rechnerische Subtraktion von Vektoren
Wir erinnern daran, dass jede Komponente des Gegenvektors −~a einen Vorzeichenwechsel bzgl. ~a
erhält.
 
 
2
−2
Beispiel Ist ~a =  3  so ist −~a = −3.
1
−1
Die Differenz zweier Vektoren kann auf die Addition mit dem Gegenvektor zurückgeführt werden.
Deshalb werden zwei Vektoren subtrahiert, indem man ihre Koordinaten subtrahiert.


 
a1
b1
Definition 2.6 Seien ~a =  :  und ~b =  :  zwei Vektoren im Rn . Dann ist
an   bn 
  
a1
−b1
a 1 − b1
~a − ~b = ~a + (−~b) =  :  +  :  =  : .
an
−bn
an − bn
Beispiel 

 
1
−2
Seien ~a =  5  und ~b =  3 .
−4
1
    
  
1
−2
1 − (−2)
3
Dann ist d~ = ~a − ~b =  5  −  3  =  5 − 3  =  2 .
−4
1
−4 − 1
−5
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
51
d~ zeigt von der Pfeilspitze von ~b zur Pfeilspitze von ~a.
d~
~a
~b
2.3.5
Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar


2a1
Addieren wir ~a mit sich selbst, so entsteht der Vektor ~a +~a =  :  = 2~a. D.h., 2~a ist der Vektor,
2an
den man erhält, wenn man die Koordinaten von ~a komponentenweise mit 2 multipliziert. 2~a ist
offensichtlich doppelt so lang wie ~a. Das können wir verallgemeinern.
Definition 2.7 Bei der Multiplikation eines Vektors ~v mit einer Zahl λ (Skalar genannt) wird
diese Zahl als Faktor mit jeder Komponente des Vektors multipliziert.
  

v1
λ · v1
w
~ = λ · ~v = λ ·  :  =  : 
vn
λ · vn
Der so gebildete Vektor bleibt in der Richtung gleich oder nimmt bei negativem Wert von λ die
Gegenrichtung an, in seiner Länge ändert sich der Vektor um das λ–fache. Für λ = 0 erhält man
den Nullvektor.
Folgende Bilder zeigen die Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.
Allgemein gilt:
1. λ · ~a ist |λ| mal so lang wie ~a.
2. Ist |λ| > 1, so wird ~a verlängert, ist |λ| < 1, so wird ~a verkürzt.
3. Ist λ > 0 , so hat λ · ~a die gleiche Richtung wie ~a.
4. Ist λ < 0 , so ist die Richtung von ~a entgegengesetzt zu ~a.
2.3.6
Eigenschaften von +,-,*λ
Fassen wir die Definitionen von Addition, Multiplikation mit Skalar und Subtraktion zusammen,
so gilt:


 
a1
b1
Satz 2.2 Seien ~a =  :  und ~b =  :  zwei Vektoren und λ ∈ R und µ ∈ R. Dann gilt:
an
bn


λ · a1 + µ · b1

:
λ · ~a + µ · ~b = 
λ · an + µ · bn
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
52
.
Beispiel


 
  
  
−1
1
0
2 · (−1) − 3 · 1 + 4 · 0
−5
2 ·  0  − 3 · 2 + 4 · 1 =  2 · 0 − 3 · 2 + 4 · 1  = −2
4
3
3
2·4−3·3+4·3
11
.
→
− −
−
Satz 2.3 Seien →
a , b ,→
c ∈ Rn , λ, µ ∈ R.
Dann gilt:
→
−
→
− −
−
1. →
a + b = b +→
a (kommutativ)
→
− −
→
−
−
−
−c (assoziativ)
2. →
a +(b +→
c ) = (→
a + b)+→
→
−
→
−
−
−
3. λ ∗ (→
a + b)=λ∗→
a + λ ∗ b (distributiv)
−
−
−
4. (λ + µ) ∗ →
a =λ∗→
a +µ∗→
a (distributiv)
 

 
3
1
−1
Seien F~1 =  0 , F~2 = 2 und F~3 = 1.
0
1
1

Aufgabe 2.4
a) Berechnen Sie die Resultierende Kraft F~ = 2 · F~1 + F~2 − F~3 !
b) Berechnen Sie die Gegenkraft −F~ zu F~ !
Aufgabe 2.4
Addition und Subtraktion von Vektoren und Multiplikation mit einem Skalar
2.4
Der Betrag eines Vektors
Der Betrag eines Vektors ~a oder in Kurzschreibweise |~a| ist seine Länge. Ist der Vektor in
Komponentenschreibweise gegeben, so lässt sich seine Länge durch Anwenden des Satzes von
Pythagoras berechnen.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
53
Abbildung 2.1: Die Länge (der Betrag) eines Vektors
In der Ebene erhalten wir:
q
a |~a| = x = a2x + a2y
ay
Das können wir auf den Rn verallgemeinern.


a1
Definition 2.8 Sei ~a =  : . Dann ist die Länge von ~a gleich
an
 
a1 q
|~a| =  :  = a21 + a22 + · · · + a2n
an |~a| wird auch als Betrag von ~a bezeichnet.
 
1
Beispiel Ist ~a =  5  so ist der Betrag:
−4
|~a| =
q
2
12 + 52 + (−4) =
√
42.
Aufgabe 2.5


 
 
1
2
−3
Gegeben sind die Vektoren: ~a =  5 , ~b =  3  und ~c =  4 
−4
−1
6
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
54
Bestimmen Sie die folgenden Vektoren: a. d~ = ~a − 2~b + 3~c b. ~e = |~a| · ~b + ~b · ~a
Bestimmen Sie die Längen folgender Vektoren:
c. f~ = ~b − ~a
d. ~g = ~c + 3~a
e. |~a~a|
Definition 2.9 Ein Vektor ~a mit der Länge |~a| = 1 heißt normiert(er Vektor).
Satz 2.4 Sei ~a ein Vektor und λ ∈ R ein Skalar. Dann gilt:
1. |λ · ~a| = |λ| · |~a|
2.
~
a
|~
a|
hat die Länge 1
Bemerkung:
1. bedeutet: Die Länge von λ · ~a ist das |λ| fache der Länge von ~a.
2. bedeutet: Wollen wir einen Vektor normieren, so multiplizieren wir ihn mit dem Reziproken
seines Betrages.
Aufgabe 2.6
−
Sei →
a = ( 34 )
−
1. Welche Länge hat →
a?
→
−
→
− −
−
2. Geben Sie den Vektor b an, der in die gleiche Richtung zeigt wie →
a, d.h. b ↑↑→
a und für den
→
−
gilt: | b |= 1.
3. Geben Sie den Punkt Q an, der 10 Längeneinheiten von P = 11 in Richtung des Vektors
→
−
a entfernt ist.
Aufgabe 2.5
Betrag eines Vektors
2.4.1
Hausaufgabe
Hausaufgabe 5 : Übungsblatt 4, Aufgaben 1-3
2.5
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
In den folgenden Abschnitten führen wir 3 verschiedene Produkte von Vektoren ein. Wir beginnen
mit dem sogenannten Skalarprodukt zweier Vektoren. Das Skalarprodukt zweier Vektoren darf
auf keinen Fall verwechselt werden mit der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Beim
Skalarprodukt handelt es sich um eine spezielle Multiplikation, die viele Anwendungen gerade bei
physikalischen Themen hat.
Zum Beispiel gilt für die mechanische Arbeit (W ) die Beziehung:
Arbeit = Kraft · Weg
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
55
Wenn man nur die reinen Zahlenwerte einsetzt, gilt diese Formel bekanntlich nur dann, wenn Kraft
und Weg in gleicher Richtung liegen. In jedem anderen Fall muss der zwischen der Kraft und dem
Weg liegende Winkel berücksichtigt werden, denn es leistet nur die Komponente der Kraft einen
Anteil zur Arbeit, die in Richtung des Weges zeigt. Die so beschriebene Produktbildung entspricht
mathematisch dem Skalarprodukt der Vektoren „Kraft“ (F~ ) und „Weg“ (~s).
W = F~ · ~s = F~ · |~s| · cos (γ) ,
wobei γ der zwischen den Vektoren liegende Winkel ist.
Beachte: Das Ergebnis der Skalarmultiplikation zweier Vektoren ist ein Skalar, kein Vektor.
2.5.1
Karthesische Definition des Skalarproduktes
Wir definieren das Skalarprodukt zunächst als komponentenweise Multiplikation.
Definition 2.10 Das Skalarprodukt zweier Vektoren ~a und ~b ist definiert als:
   
a1
b1
~a · ~b =  :  ·  :  = a1 · b1 + a2 · b2 + · · · + an · bn
an
bn
Aufgabe 2.7
Ein Schrägaufzug
wird
 durch ein Drahtseil bewegt. Die auf das Seil wirkende Kraft lässt sich durch
6
den Vektor F~ = 2 kN ausdrücken. Der tiefste Punkt liegt bei Pu (550; 300; 150), der höchste
3
Punkt bei Po = (670; 350; 200). Die Angaben der Punkte sind in Meter und beziehen sich auf einen
Vermessungspunkt. Welche Arbeit wird für eine Aufzugsfahrt verrichtet?
2.5.2
Der Winkel zwischen 2 Vektoren
Wie hängt die o.g. Definition des Skalarproduktes mit der obigen Formel für die Arbeit W
zusammen, in der Beträge und eingeschlossener Winkel der Vektoren vorkommen?
Das wollen wir uns im zweidimensionalen Fall verdeutlichen.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
56
a1
b
und ~b = 1 . Wir zeichnen diese in ein Koordinatensystem ein und erkennen 2
a2
b2
(grün gezeichnete) rechtwinkligen Dreiecke. Aus den Gesetzmäßigkeiten in rechtwinkligen Dreiecken
wissen wir, dass gilt:
Seien ~a =
a1 = |~a| · cos(α), a2 = |~a| · sin(α), b1 = |~b| · cos(β), b2 = |~b| · sin(β).
Wir erhalten folglich für das Skalarprodukt von ~a mit ~b :
~a · ~b =
=
=
=
=
a1
b
· 1
a2
b2
a1 b1 + a2 b2
|~a| · cos(α) · |~b| · cos(β) + |~a| · sin(α) · |~b| · sin(β)
|~a||~b|(cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β))
|~a||~b|cos(γ)
γ = β − α ist dabei der von ~a und ~b eingeschlossene Winkel.
Die letzte Gleichung folgt aus den sogenannten Additionstheoremen für die cosinus- und sinusFunktion:
cos(β − α) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β).
Dieses Ergebnis können wir auf den Rn verallgemeinern.
Satz 2.5 Seien ~a und ~b zwei Vektoren und γ der durch ~a und ~b eingeschlossene Winkel (0 ≤ γ ≤
90◦ ). Dann gilt für das Skalarprodukt
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos(γ)
Wir erhalten damit eine Möglichkeit, den Winkel, den 2 Vektoren miteinander einschließen, zu
berechnen:
~a · ~b
cos(γ) =
|~a| · |~b|
Beispiel
 
3
~a =  2  ;
−5
 
−1
~b =  3 , gesucht ist der eingeschlossene Winkel γ:
4
   
3
−1
 2 · 3 
−5
4
3 · (−1) + 2 · 3 + (−5) · 4
q
cos (γ) =     = √
2
2 + 22 + 52 ·
3 −1 3
(−1) + 32 + 42
 2  ·  3 
−5 4 −3 + 6 − 20
√
= √
≈ −0, 541
38 · 26
γ = arccos(−0, 541) = 122, 7◦ .
Beispiel


3
Berechnen Sie den Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor ~a =  2 !
−5
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
57
Lösung:
 
1
Die x-Achse kann durch den Einheits-Vektor e~x = 0 dargestellt werden, der in die gleiche
0
Richtung wie die x-Achse zeigt und auf die Länge 1 normiert ist. Dann erhalten wir für den
gesuchten Winkel γx :

  
3
1
 2  · 0
−5
0
3
√
cos (γx ) =     = √
1
3
38 · 12
 2  · 0
−5 0 ≈ 0, 48666
γx = arccos(0, 48666) ≈ 60, 9◦ .
Aufgabe 2.8
 
1
1. Bestimmen Sie den Winkel des Vektors ~a = 1 zu allen 3 Koordinatenachsen!
1
2. Bestimmen
Seitenlängen und Innen-Winkel des Dreiecks, welches durch die Vektoren
  Siealle 
1
−1
~a = 0 ~a =  1  und ~a + ~b aufgespannt wird!
1
−2
Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, so ist γ = 90◦ und cos(γ) = 0. Daraus folgt eine
weitere oft benötigte Eigenschaft des Skalarproduktes, die besagt, dass es immer dann Null wird,
wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Satz 2.6 Seien ~a und ~b zwei Vektoren mit |~a| 6= 0 und |~b| 6= 0 und sei γ der durch ~a und ~b
eingeschlossene Winkel (0 ≤ γ ≤ 90◦ ). Dann gilt:
~a · ~b = 0 ⇐⇒ cos(γ) = 0 ⇐⇒ ~a und ~b stehen senkrecht aufeinander.
Beispiel
Gegeben ist der Vektor ~a =
3
. Bestimmen Sie einen Vektor der x, y–Ebene, der auf ~a
−2
senkrecht steht.
Lösung:
Es gibt unendlich viele Vektoren mit dieser Eigenschaft, weil der Betrag bzw. die Länge des Vektors
nicht zu berücksichtigen ist. Der gesuchte Vektor muss die Bedingung erfüllen, dass das Skalarprodukt null wird. Daraus erhält man den Ansatz:
~b = bx und ~a · ~b = 3 · bx = 0.
by
−2
by
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
58
Jede Lösung der Gleichung 3 · bx + (−2) · by = 0 liefert eine Lösung. Da in der Gleichung 2 Variablen
stehen, kann eine davon beliebig gewählt werden und die zweite ergibt sich in Abhängigkeit
der
2
2
gewählten ersten: bx = 3 by . Wählt man by = 3 erhält man bx = 2 und den Vektor ~b =
.
3
Jeder Vektor λ · ~b mit λ 6= 0 steht ebenfalls senkrecht auf ~a.
Bei Vektoren der Ebene findet man immer einen orthogonalen Vektor, indem man die Komponenten vertauscht und eines der beiden Komponentenvorzeichen ändert.
Bemerkung: 2 senkrecht aufeinanderstehende Vektoren werden auch als orthogonal bezeichnet.
Aufgabe 2.9
Bestimmen Sie die Zahl k so, dass die Vektoren orthogonal sind
 
 
3
k
~r = 2 und ~s = 2k 
k
1
2.5.3
Eigenschaften des Skalarproduktes
In der Literatur wird häufig auch die Bezeichnung ~a, ~b für das Skalarprodukt verwendet, d.h.
es ist ~a, ~b = ~a · ~b.
Im folgenden Satz und den darauffolgenden Betrachtungen zum Satz von Pythagoras werden wir
diese Schreibweise verwenden.
Satz 2.7 Das Skalarprodukt besitzt folgende Eigenschaften:
Seien ~a und ~b zwei Vektoren im Rn und seien λ und µ zwei reelle Zahlen. Dann gilt:
1. ~a, ~b = ~b, ~a (kommutativ)
2. λ · ~a + µ · ~b, ~c = λ · (~a, ~c) + µ · ~b, ~c (linear)
3. (~a, ~a) = |~a|2
Mit Hilfe dieser Eigenschaften lassen sich viele Eigenschaften aus der Geometrie beweisen.
Wir beweisen im folgenden den Satz von Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.
Satz 2.8 Sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, wobei die Seitenlängen der senkrecht aufeinander
stehenden Seiten a und b betragen und die dritte Seite die Länge c besitzt.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
59
Dann gilt: c2 = a2 + b2 .
Beweis:
Wir betrachten die Seiten des Dreiecks als Vektoren.
Dann gilt:
1. ~a und ~b stehen senkrecht aufeinander, d.h. es gilt ~a, ~b = 0.
2. ~c = ~a + ~b.
2
2
2
3. (~a, ~a) = |~a| , ~b, ~b = ~b , (~c, ~c) = |~c| .
Aus den im obigen Satz genannten Eigenschaften des Skalarproduktes folgt dann die Behauptung
des Satzes von Phytagoras:
c2 = |~c| = (~
c, ~c)
=
~a + ~b, ~a + ~b
= (~a, ~a) + 2 · ~a, ~b + ~b, ~b
= (~a, ~a) + ~b, ~b
2
2
= |~a| + ~b
= a 2 + b2 .
q.e.d
Aufgabe 2.10
Zwei Vektoren ~a und ~b haben folgende Eigenschaften:
|~a| = 4, ~b = 3, ~a und ~b stehen senkrecht aufeinander. Weiterhin sei ~v = 2 · ~b − 3 · ~a.
1. Wie groß ist das Skalarprodukt zwischen ~b und dem Vektor ~v ?
2. Wie groß ist der Winkel zwischen ~b und ~v ?
2.5.4
Die Vektorprojektion
Mit Hilfe des Skalarprodukts lässt sich die sogenannte Vektorprojektion einführen. Unter dem
Projektionsvektor pr
~ eines Vektors ~b auf einen Vektor ~a versteht man die Senkrechtprojektion von
~b auf ~a, siehe Grafik.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
60
Offensichtlich gilt für den Projektionsvektor pr:
~
1. pr
~ = λ · ~a (pr
~ ist parallel zu ~a).
2. ~b − pr,
~ ~a = 0 (~b − pr
~ und ~a stehen senkrecht aufeinander).
Daraus läst sich der Projektionsvektor ermitteln:
Es ist ~b − pr,
~ ~a
⇐⇒ ~b, ~a − (pr,
~ ~a)
⇐⇒ ~b, ~a − (λ · ~a, ~a)
⇐⇒ ~b, ~a − λ · (~a, ~a)
(~b,~a)
⇐⇒ (~a,~a)
(~b,~a)
⇐⇒ |~a|2
=
0
=
0
=
0
=
0
= λ
= λ
und für den Projektionsvektor ergibt sich:
pr
~ = λ · ~a =
(~b,~a)
|~
a |2
· ~a.
Aufgabe 2.11
 
 
5
4
1. Seien ~a = 0 und ~b = 2.
0
0
Berechnen Sie die Projektion von ~b auf ~a, sowie die Projektion von ~b auf ~a! Skizzieren Sie
beide Projektionsvektoren, sowie ~a und ~b im Koordinatensystem!
 
 
3
1
2. Seien ~a = 2 und ~b = 2. Berechnen Sie die Projektion von ~a auf ~b!
3
1
2.5.5
Hausaufgabe
Hausaufgabe 6 : Übungsblatt 4, Aufgaben 4-8
2.6
2.6.1
Das Kreuzprodukt
Definition des Kreuzproduktes
Ein weiteres wichtiges Produkt von Vektoren ist das sogenannte Kreuzprodukt. Im Gegensatz
zum Skalarprodukt ist dieses nur für Vektoren im dreidimensionalen reellen Raum R3 definiert und
liefert als Ergebnis wieder einen Vektor. Alternative Bezeichnungen für das Kreuzprodukt sind
Vekorprodukt oder äußeres Produkt.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
61
Schreibweise: ~a × ~b = ~c
Das Kreuzprodukt ~c ist zunächst über seine Richtung und Länge definiert.
Definition 2.11 Das Kreuzprodukt ~c = ~a × ~b hat folgende Richtung und Länge:
1. Richtung: Der Ergebnisvektor ~c steht senkrecht zu beiden Vektoren ~a und ~b, aus denen er
gebildet wird, d. h. er steht senkrecht auf der Ebene, die von den beiden Vektoren aufgespannt
wird. Seine Orientierung ergibt sich durch die sogenannte Rechte-Hand-Regel. Dabei zeigt der
Daumen der rechten Hand auf den Vektor ~a, der Zeigefinger der rechten Hand auf ~b. Die
Richtung von ~c ergibt sich dann automatisch aus der Richtung des Mittelfingers der rechten
Hand, wie bei einer rechtsdrehenden Schraube.
2. Länge: Die Länge |~c| von ~c ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogrammes, das von ~a
und ~b aufgespannt wird. D.h., es ist:
|~c| = ~a × ~b = |~a| · ~b · sin (γ)
2.6.2
Eigenschaften des Kreuzproduktes
Die zweite Eigenschaft der Länge des Kreuzproduktes kann man verwenden, um zu überprüfen,
ob 2 Vektoren in gleicher Richtung verlaufen (kollinear sind). In diesem Fall wird nämlich kein
Parallelogramm aufgespannt, es ist also γ = 0◦ und damit sin(γ) = 0 und folglich ist der Betrag
des Vektorproduktes |~c| gleich 0 bzw. ~c gleich dem Nullvektor ~0.
Satz 2.9 Es gilt: ~a und ~b sind parallel ⇐⇒ ~c = ~a × ~b = ~0
Schauen wir uns nun die 1. Eigenschaft, d.h. die Richtung des Kreuzproduktes an.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
62
Aufgabe 2.12 Zeichnen Sie in folgende Grafiken den Vektor ~c = ~ax~b ein!
 
 
 
1
0
0
Aufgabe 2.13 Seien e~x = 0, e~y = 1 und e~y = 0 die Einheitsvektoren in
0
0
1
einem karthesischen Koordinatensystem, wobei die 3 Vektoren wie im Bild eingezeichnet liegen.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
63
Welchen Zusammenhang gibt es zwischen
1. e~x × e~y und e~y × e~x ?
2. e~x × e~y und e~z ?
Offensichtlich gilt:
1. e~x × e~x = e~y × e~y = e~z × e~z = ~0.
2. e~x × e~y = e~z , e~y × e~x = −e~z .
3. e~x × e~z = −e~y , e~z × e~x = e~y .
4. e~y × e~z = e~x , e~z × e~y = −e~x .
Diese Eigenschaften lassen sich verallgemeinern.
Satz 2.10 Seien ~a, ~b ∈ R3 und λ, µ ∈ R. Dann gilt:
1. ~a × ~a = ~0
2. ~a × ~b = −~b × ~a
3.
λ · ~a × µ · ~b × ~c = λ · (~a × ~c) + µ ~b × ~c
2.6.3
Berechnung des Kreuzproduktes
Wir haben das Vektorprodukt bisher nur geometrisch durch Richtung und Länge definiert. Unter
Verwendung der 3 Eigenschaften des Skalarproduktes, die insbesondere für die Einheitsvektoren
e~x , e~y , e~z gelten, kann man die Komponentenschreibweise des Vektorproduktes herleiten.
Satz 2.11 Es gilt
    

ax
bx
ay bz − az by
~a × ~b = ay  × by  = az bx − ax bz 
az
bz
ax by − ay bx
Beweis:


 
 
 
ax
1
0
0
Es sind ~a = ay  = ax · 0 + ay · 1 az · 0 = ax e~x + ay e~y + az e~z
az
0
0
1
~
und analog b = bx e~x + by e~y + bz e~z .
Daraus ergibt sich unter Verwendung der o.g. Eigenschaften 1-3 des Kreuzproduktes
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
64
~a × ~b = (ax e~x + ay e~y + az e~z ) × (bx e~x + by e~y + bz e~z )
= ax bx (e~x × e~x ) + ax by (e~x × e~y ) + ax bz (e~x × e~z )
+ay bx (e~y × e~x ) + ay by (e~y × e~y ) + ay bz (e~y × e~z )
+az bx (e~z × e~x ) + az by (e~z × e~y ) + az bz (e~z × e~z )
= ax by e~z − ax bz e~y
−ay bx e~z + ay bz e~x
+az bx e~y − az by e~x
= 
(ay bz− a
~x + (a
z by )e
y + (ax by − ay bz )e~z

z bx − ax bz )e~
ax
bx
ay bz − az by
= ay  × by  = az bx − ax bz 
az
bz
ax by − ay bx
q.e.d
Die Komponentenschreibweise sieht zunächst kompliziert aus, lässt sich aber mit Hilfe von Eselsbrücken einprägen. In jeder Zeile stehen nur Komponenten, die die Eckpunkte eines Rechtecks
bilden, das man sich über das Vektorprodukt legen kann.
 


bx
ax
 


~a × ~b =  ay  ×  by 
az
bz
Die durch die Diagonale verbundenen Komponenten werden multipliziert, wobei man oben links beginnt und dann subtrahiert man die durch Multiplikation verbundenen Komponenten der anderen
Diagonalen. Das Rechteck wird anschließend um eins nach unten verschoben, wobei die fehlenden
Zahlenwerte ergänzt werden.
Am besten Schreibt man sich beide Vektoren doppelt untereinander und streicht jeweils die erste
und letzte Zeile, weil die nicht benötigt werden. Dann verschiebt man das Rechteck der Reihe nach
dreimal und notiert die jeweils entstehenden Differenzausdrücke.


 
3
−1
Beispiel Zu bilden ist das Vektorprodukt der Vektoren: ~a =  2  und ~b =  3 
−5
4
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
65
Aufgabe 2.14 (Quelle: Abitur 2005, Mathe 3./4. Fach Aufgabe 2.1, 2.2)
Gegeben sind die drei Punkte A = (2, 4, −1), B = (−5, −6, 1) und C(14, 20, −4). Liegen die drei
Punkte A, B und C auf einer Geraden?
 
 
 
2
−2
0
Aufgabe 2.15 Gegeben sind die Vektoren: ~u = 1, ~v =  5 , w
~ = 1
4
0
3
a) Berechnen Sie ~u × ~v und ~v × ~u, was fällt auf?
b) Berechnen Sie ~v × w
~
c) Berechnen Sie die Fläche, des von den Vektoren ~u und w
~ aufgespannten Parallelogramms
d) Berechnen Sie (~u × ~v ) × (~v × ~u)
e) Berechnen Sie ~u × (~v × w)
~ und (~u × ~v ) × w.
~ Was fällt auf?
f) A = (1, 3, 4), B = (−2, 2, 5) und C = (4, 6, 3) bilden die Punkte eines Dreiecks im Raum.
– Drücken Sie die Seiten des Dreiecks durch Vektoren aus.
– Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit Hilfe des Vektorproduktes.
Aufgabe 2.16 Seien ~a, ~b, ~c drei Vektoren im R3 mit folgenden Eigenschaften
1. ~bk (~a × ~c)
2. ~b = 5
Wie groß ist das Skalarprodukt zwischen ~b und ~v = 2 · ~b − 3 · ~a?
2.7
2.7.1
Das Spatprodukt
Definition des Spatproduktes
Das dritte Produkt von Vektoren ist das Spatprodukt. Dieses wird aus 3 Vektoren im R3 gebildet
und ist gleich dem Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt der ersten beiden Vektoren mit dem
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
66
dritten Vektor. Wie bei Vektorprodukt kommt es hier auf die Reihenfolge der drei Vektoren des
Spatproduktes an!
 
 
 
ax
bx
cx
Definition 2.12 Seien ~a = ay , ~b = by  und ~c = cy  drei Vektoren. Dann heißt
az
bz
cz
h
i ~a, ~b, ~c = ~a × ~b · ~c
Spatprodukt von ~a, ~b und ~c.
Auch das Spatprodukt hat eine geometrische Bedeutung. Man kann zeigen, dass der Betrag des
Spatproduktes gleich dem Volumen des durch ~a, ~b und ~c aufgespannten Körpers ist, den man auch
als Spat bezeichnet.
~c
~b
~a
~
2.12
Satz
h
i Sei V das Volumen des durch die 3 Vektoren ~a, b und ~c aufgespannten Spats. Dann gilt:
~ ~a, b, ~c = V .
2.7.2
Berechnung des Spatproduktes
Die Berechnung des Spatproduktes ergibt folgende Formel:
h
i ~a, ~b, ~c = ~a × ~b · ~c

  
ay bz − az by
cx
= az bx − ax bz  · cy 
ax by − ay bx
cz
= ax by bz + bx cy az + cx ay bz − az by cx − bz cy ax − cz ay bx
Auch für diese Formel gibt es eine Eselsbrücke, mit deren Hilfe sich die Formel leicht merken, bzw. aufstellen lässt. Dazu schreiben wir die 3 Vektoren spaltenweise nebeneinander und
rechts daneben nocheinmal die ersten beiden Spalten ~a und ~b. Wir können nun jeweils 3 Diagonalen
von links oben nach rechts unten (durchgehende Linie) und 3 Diagonalen von rechts unten nach
links oben (gestrichelte Linie) bilden. Die Produkte der 3 Zahlen der Diagonalen von links oben
nach rechts unten (durchgehende Linien) werden im Spatprodukt addiert und davon die Produkte
der 3 Zahlen der Diagonalen von rechts unten nach links oben (gestrichelte Linien) subtrahiert.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.2 Vektorrechnung
67
Beispiel
 
 
 
1
2
0
Wie groß ist das Volumen V des durch die 3 Vektoren ~a = 3 , ~b = −1 , ~c = 0
0
1
1
aufgespannten Spats? Dazu berechnen wir zunächst das Spatprodukt der drei Vektoren:
Folglich ist das Volumen V = 7.
 
 
 
0
−2
2
Aufgabe 2.17 Gegeben sind die Vektoren: ~u = 1, ~v =  5 , w
~ = 1
3
0
4
a) Wie groß ist das Volumen, des durch diese 3 Vektoren aufgespannten Spats?
b) Berechnen Sie [~u, ~v , w]
~ und [~v , ~u, w]
~ . Was fällt Ihnen auf, wenn man 2 Vektoren im Spatprodukt vertauscht?
h
i
c) Wie groß ist das Spatprodukt ~a, ~b, ~a + ~b für beliebige Vektoren ~a und ~b, die beide ungleich
dem Nullvektor sind? Begründen Sie Ihre Antwort!
2.7.3
Eigenschaften des Spatproduktes
Satz 2.13 Seien ~a, ~b, ~c ∈ R3 3 Vektoren im R3 . Dann gilt
1.
h
i
h
i
h
i
~a, ~b, ~c = − ~a, ~c, ~b = ~c, ~a, ~b = usw.
d.h. die Vertauschung zweier Vektoren im Spatprodukt bewirkt eine Vorzeichenänderung!
h
i
h
i
h
i
2. λ · a~1 + µ · a~2 , ~b, ~c = λ a~1 , ~b, ~c + µ a~2 , ~b, ~c (Linearität)
Definition 2.13 3 Vektoren im R3 heißen komplanar, falls sie in einer Ebene liegen.
Offensichtlich können wir mit Hilfe des Spatproduktes herausfinden, ob 3 Vektoren komplanar sind.
Da sie in diesem Falle kein Volumen aufspannen, ist ihr Spatprodukt gleich 0.
Satz 2.14 Seien ~a, ~b, ~c ∈ R3 . Dann gilt
h
i
~a, ~b, ~c sind komplanar ⇐⇒ ~a, ~b, ~c = 0.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
68
Aufgabe 2.18 ( Quelle: Abitur 2006 Mathe 1./2. Fach Aufgabe 2.2)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkteschar Ak = (k, 0, −2k), k ∈ R, und die
beiden Punkte B = (0, 1, 2) und C = (2, 2, 0) gegeben.
1. Bestimmen Sie k so, dass Ak , B und C auf einer Geraden liegen.
2. Für k 6= −2 bildet jeder Punkt Ak mit den Punkten B und C ein Dreieck. Zeigen Sie, dass
dass Dreieck 4Ak BC einen Flächeninhalt von 23 |k + 2| hat.
3. Ermitteln Sie alle k ∈ R, so dass das Dreieck 4Ak BC einen Flächeninhalt von 4,5 hat.
4. Weisen Sie nach: Die Höhe ha des Dreiecks 4A−5 BC liegt außerhalb des Dreiecks.
2.7.4
Hausaufgabe
Hausaufgabe 7 : Übungsblatt 5
Kapitel 3
Geometrie von Geraden und Ebenen
im R3
3.1
3.1.1
Definition von Geraden
Parameterdarstellung von Geraden - die Punkt-Richtungsform
und die 2-Punkteform
Ist ein Punkt Po ∈ R3 und ein Vektor a ∈ R3 gegeben, so bilden alle Punkte, die man durch
Abtragen eines Vielfachen λ · ~a von ~a an den Punkt Po erhält, eine Gerade.
Abbildung 3.1: Darstellung von Geraden durch Punkte und Vektoren
Definition 3.1 Gegeben seien ein Punkt Po ∈ R3 und ein Vektor ~a ∈ R3 . Dann bildet die wie
folgt definierte Menge aller Punkte
g = P ∈ R3 |P = Po + λ · ~a, λ ∈ R
eine Gerade, wir schreiben kurz: g : P = Po + λ · ~a , λ ∈ R.
Diese Darstellung einer Geraden heißt Punkt-Richtungsform der Geraden g. Po heißt Aufpunkt und ~a heißt Richtungsvektor der Geraden g.
Eine weitere Möglichkeit eine Gerade eindeutig zu charakterisieren besteht darin, zwei Punkte,
z.B. Po und P1 festzulegen, durch die diese Gerade verläuft. Po kann dann als Aufpunkt und
−−−→
Po P1 als Richtungsvektor verwendet werden. Wir erhalten so die sogenannte 2-Punkteform einer
Geraden.
69
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
70
Definition 3.2 Sind Po und P1 zwei Punkte im R3 . Dann bildet die wie folgt definierte Menge
aller Punkte
n
o
−−−→
g = P ∈ R3 |P = Po + λ · Po P1 , λ ∈ R
−−−→
eine Gerade, wir schreiben kurz: g : P = Po + λ · Po P1 , λ ∈ R.
Diese Darstellung einer Geraden heißt 2-Punkteform der Geraden g.
Bemerkung: Die Punkt-Richtungsform und die 2-Punkteform heißen Parameterformen der
Geraden. Der Parameter ist λ ∈ R. Im Unterschied dazu gibt es die nichtparametrische Darstellung
einer Geraden, die wir für den R2 im nächsten Abschnitt darstellen werden.
Beispiel:
Seien A = (3, 2, 0) und B = (2, 2, 1) zwei Punkte im R3 .
a) Geben Sie die Gerade g an, die durch die beiden Punkte verläuft!
b) Liegt C = (3, 2, 2) auf der Geraden g?
c) Bestimmen Sie für den Punkt D = (2, 2, k) die Variable k so, dass D auf der Geraden g liegt!
Lösung:
Wir schreiben im folgenden aus optischen Gründen sowohl Punkt- als auch Vektorkoordinaten
senkrecht auf!
Zu a)
 

  
 
3
2−3
3
−1
g : P = 2 + λ ∗ 2 − 2 = 2 + λ ∗  0  , λ ∈ R.
0
1−0
0
1
Zu b)
Wenn
aufder Geraden
 g liegt, so muss es ein λ ∈ R geben, so dass gilt:
  C
3
−1
3
2 = 2 + λ ∗  0 .
0
1
2
Dieses ist nur erfüllt, wenn die Gleichheit komponentenweise gilt:
3 = 3−λ
2 = 2
2 = λ
Wir sehen, dass es keine Zahl λ gibt, die alle drei Gleichungen erfüllt. Um die 1. Gleichung zu
erfüllen, muss λ = 0 sein, die 3. Gleichung ist aber nur für λ = 2 erfüllt.
Demzufolge liegt C nicht auf der Geraden g.
Zu c)
Wenn
  Daufder Geraden
 g liegen soll, muss k so festgelegt werden, dass für irgendein λ ∈ R gilt:
2
3
−1
2 = 2 + λ ∗  0 .
k
0
1
Dieses ist nur erfüllt, wenn die Gleichheit komponentenweise gilt:
2 = 3−λ
2 = 2
k = λ
Aus der 1. Gleichung folgt λ = 1 und folglich ist wegen der 3. Gleichung k = 1. D.h., D = (2, 2, 1)
liegt auf der Geraden g.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
71
Aufgabe 3.1 Seien A = (1, 1, 1) und B = (0, −1, 1) zwei Punkte im R3 .
a) Geben Sie die Gerade g an, die durch die beiden Punkte verläuft!
b) Liegt C = (1, 2, 1) auf der Geraden g?
c) Bestimmen Sie für den Punkt D = (1, 2, k) die Variable k so, dass D auf der Geraden g liegt!
3.1.2
Nichtparametrische und parametrische Form von Geraden im R2
Im R2 haben wir Geraden bisher durch eine Funktion der Gestalt y = m · x + b, x ∈ R dargestellt.
Diese Gestalt heißt Normalform der Geraden. Wir bezeichnen die Normalform auch als nichtparameterische Form der Geraden.
Wie erhalten wir aus der Normalform die Punkt-Richtungsform? Dazu schauen wir uns die
geometrische Bedeutung der beiden Geradenparameter m und b an.
Abbildung 3.2: Darstellung einer Gerade im R2
Für die Darstellung der Geraden in Punkt-Richtungsform benötigen wir einen Aufpunkt P o
und einen Richtungsvektor ~a. Wie wir der Grafik
entnehmen können, ist ein Aufpunkt durch
1
P o = (0, b) und ein Richtungsvektor durch ~a =
gegeben, und folglich ist:
m
x
0
1
g:P =
=
+λ·
, λ ∈ R.
y
b
m
Wie kommen wir umgekehrt von der Parameterdarstellung einer Geraden
x
xo
a
g:P =
=
+λ· x , λ∈R
y
yo
ay
zur nichtparametrischen Form y = mx + b?
Aus der Parameterdarstellung folgt:
x = xo + λ · ax
y = yo + λ · ay
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
72
Um den Zusammenhang zwischen x und y zu erhalten, stellen wir die erste Gleichung nach λ um
und setzen dieses λ in die zweite Gleichung ein.
Es ist λ =
x−xo
ax
und folglich y = yo +
ay
ax
· (x − xo ).
Die letzte Gleichung ergibt die Beziehung zwischen x und y. Wir stellen diese nun noch so um,
dass die Form y = mx + b entsteht:
y=
Es ist also m =
ay
ax
und b = (yo −
ay
ax
ay
ax
· x + (yo −
ay
ax
· xo ).
· xo ).
Aufgabe 3.2
3
a) Durch g : P = 21 + λ · −2
, λ ∈ R ist eine Gerade in Punkt-Richtungsform gegeben. Wie
lautet die Normalform y = m · x + b ?
b) Durch 2x+3y = 7 ist eine Gerade in Normalform in R2 gegeben. Wie lautet die Parameterform?
c) Geben Sie die Normalform und die Punkt-Richtungsform der Geraden an, die durch die beiden
Punkte P1 = (1, 2) und P2 = (−1, 3) verläuft!
3.2
3.2.1
Lagebeziehungen von Punkten und Geraden zu Geraden
Abstand eines Punktes von einer Geraden in R3
Der Abstand d = dist(Q, g) eines Punktes Q von einer Geraden g ist der kleinste Abstand, den Q
−→
zu einem Punkt der Geraden erreichen kann. Damit ist der Abstand die Länge des Vektors QL,
wobei dieser senkrecht auf der Geraden steht.
Definition 3.3 Der Abstand dist(Q, g) eines Punktes Q von einer Geraden g ist wie folgt definiert:
−−→
−→
dist(Q, g) = minP ∈g |P Q| = |LQ|. L heißt Lotpunkt.
Im folgenden wollen wir eine Formel zur Berechnung dieses Abstandes dist(Q, g) herleiten. Sei
−
g : P = Po + λ · →
a , λ ∈ R.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
73
Abbildung 3.3: Abstand eines Punktes Q von einer Geraden g
Wir sehen, dass gilt:
−→
−−→ −−→
• Der Abstand ist d = dist(Q, g) = |LQ| = |P oQ − P oL|.
−−→
• Der Lotpunkt ist L = P o + P oL.
−−→
−−→
• Der für Abstand und Lotpunkt
Vektor P oL ist die Projektion von P oQ auf den
−−→benötigte
P oQ,~
a
−−→
Vektor ~a, d.h. es ist P oL = |~a|2 · ~a.
Damit erhalten wir folgendes Ergebnis.
Satz 3.1 Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden g mit dem Aufpunkt Po und dem
Richtungsvektor ~a ist
−−→
d = dist(Q, g) = |P oQ −
−−→ P oQ,~
a
|~
a |2
· ~a|.
Der Lotpunkt L der bei Fällen des Lots von Q auf g entsteht, ist:
L = Po +
−−→ P oQ,~
a
|~
a|2
· ~a.
Man kann den Abstand auch durch folgende einfachere Formel berechnen.
Satz 3.2 Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden g mit dem Aufpunkt Po und dem
Richtungsvektor ~a ist
d = dist(Q, g) =
−−→
|P oQ⊗~
a|
.
|~
a|
Aufgabe 3.3
Weisen Sie nach, dass sich der Abstand dist(Q, g) entsprechend der Formel im o.g. Satz berechnen
lässt.
−→
−−→
Überlegen Sie sich dazu, wie die Höhe |LQ| im Dreieck (Po , L, Q) mit der Fläche |P oQ ⊗ ~a| des
−−→
durch P0 Q und ~a aufgespannten Parallelogramms und |~a| zusammenhängt!
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
74
Aufgabe 3.4
Berechnen Sie den Abstand des Punktes
 Q
 = (1, 1, 1) von der Geraden mit dem Aufpunkt Po =
1
(1, 3, 2) und dem Richtungsvektor ~a = 0! Geben Sie den Lotpunkt L an!
0
3.2.2
Lage zweier Geraden zueinander
Zwei Geraden können
• gleich sein
• sich schneiden
• senkrecht aufeinander stehen
• parallel zueienander liegen
• windschief zueinander sein
In diesem Abschnitt wollen wir Kriterien aufstellen, anhand derer wir die Lage zweier Geraden
zueinander erkennen können.
Zu Beginn wollen wir zunächst wiederholen, wie wir die Lage von Vektoren zueinander mit Hilfe
der Vektorprodukte ermitteln können.
Aufgabe 3.5
Geben Sie unter Verwendung der 3 Vektorprodukte (Skalar-, Kreuz-, Spatprodukt) Gleichungen
an, die erfüllt sein müssen, wenn die Vektoren ~a, ~b und ~c folgende Lagen zueinander besitzen:
a) ~a k ~b.
b) ~a, ~b, ~c sind komplanar.
c) ~a ⊥ ~b.
Gegeben seien zwei Geraden im R3
−
g1 : P = P1 + λ · →
a1 , λ ∈ R
−
g2 : P = P2 + µ · →
a2 , µ ∈ R
Folgende Abbildung zeigt, wie für die verschiedenen Lagen der Geraden die Aufpunkte und Richtungsvektoren der beiden Geraden zueienander liegen.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
75
Abbildung 3.4: Lagen zweier Geraden zueinander
Aufgabe 3.6
Geben Sie unter Verwendung der 3 Vektorprodukte (Skalar-, Kreuz-, Spatprodukt) Gleichungen
−−−→
−
−
für →
a1 , →
a2 und P1 P2 an, die erfüllt sein müssen, wenn die beiden Geraden folgende Lagen zueinander
besitzen:
a) g1 k g2 ∧ g1 6= g2 (g1 parallel zu g2 )
b) g1 = g2 (g1 identisch zu g2 )
c) g1 ×g2 (g1 schneidet g2 )
d) g1 ⊥ g2 (g1 steht senkrecht auf g2 )
e) g1 windschief zu g2
Satz 3.3
Es gilt:
a) g1 k g2 ∧ g1 6= g2
b) g1 = g2
(g1 parallel zu g2 )
(g1 identisch zu g2 )
⇐⇒
⇐⇒
c)
g1 ⊥ g2
(g1 steht senkrecht auf g2 ) ⇐⇒
d)
g1 × g2
(g1 schneidet g2 )
e)
g1 windschief zu g2
⇐⇒
⇐⇒
−−−→ − ~
→
−
−
a1 ⊗ →
a2 = ~0 ∧ P1 P2 ⊗ →
a2 6= 0
−−−→ →
→
−
−
−
a1 ⊗ →
a2 = ~0 ∧ P
P
⊗
a2 = i~0
1 2
h−
−−→ →
→
−
→
−
−
−
(a1 , a2 ) = 0 ∧ P1 P2 , a1 , →
a2 = 0
h−−−→
i
→
−
−
−
−
a1 ⊗ →
a2 6= ~0 ∧ P1 P2 , →
a1 , →
a2 = 0
h−−−→
i
→
−
−
−
−
a ⊗→
a 6= ~0 ∧ P P , →
a ,→
a 6= 0
1
2
1 2
1
2
Aufgabe 3.7
 
1
−
Gegeben seien die beiden Geraden g1 : mit Aufpunkt P1 = (4, 2, 3) und Richtungsvektor →
a1 = 2
3
und g2 : mit den 2 Punkten P21 = (1, 0, 2) und P22 = (4, 2, 3).
Welche Lage haben g1 und g2 zueinander?
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
76
Aufgabe 3.8
 
−1
Sei g eine Gerade mit dem Aufpunkt Po = (2, 1, 3) und dem Richtungsvektor ~a =  1  .
−1
a) Geben Sie Aufpunkt und Richtungsvektor einer Geraden h an, die parallel zu g im Abstand 2
verläuft!
b) Geben Sie Aufpunkt und Richtungsvektor einer Geraden l an, die senkrecht auf g steht und g
im Punkt Po schneidet!
 
2
c) Ist die Gerade mit dem Aufpunkt P1 = (3, 0, 4) und dem Richtungsvektor a~1 = −2 iden2
tisch zu g?
3.2.3
Abstand zweier paralleler Geraden
Gegeben sind die Geraden:
−
g1 : P = P1 + λ · →
a1
−
g2 : P = P2 + µ · →
a2
Der Abstand der beiden Geraden voneinander wird als kleinster Abstand zwischen je zwei Punkten
der beiden Geraden definiert.
Man kann zeigen, dasss dieser Abstand gerade gleich dem Abstand des Aufpunktes P1 von der
Geraden g2 bzw. gleich dem Abstand des Aufpunktes P2 von der Geraden g1 ist.
Abbildung 3.5: Abstand zweier paralleler Geraden
Definition 3.4 Der Abstand dist(g1 , g2 ) zweier Geraden ist wie folgt definiert:
−−−→
dist(g1 , g2 ) = minQ1 ∈g1 ,Q2 ∈g2 |Q1 Q2 | = dist(P1 , g2 ) = dist(P2 , g1 ).
Damit lässt sich dieser Abstand gemäß folgender Formel berechnen.
Satz 3.4 Der Abstand zweier Geraden voneinander ist
dist(g1 , g2 ) =
−−→
→ ⊗−
|−
a
1 P1 P2 |
−
→
|a1 |
=
−−→
→ ⊗−
|−
a
2 P1 P2 |
−
→
|a2 |
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
77
Aufgabe 3.9
Berechnen Sie
denAbstand der Geraden g1 mit dem Aufpunkt P1 = (1, 1, 1) und dem Richtungs−1
−
vektor →
a1 =  2  von der Geraden mit dem Aufpunkt P2 = (1, 3, 2) und dem Richtungsvektor
1
 
1
→
−
a2 = 0!
0
3.2.4
Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden
−
−
Gegeben sind die Geraden g1 : P = P1 + λ · →
a1 und g2 : P = P2 + µ · →
a2 .
Der Schnittwinkel ist definiert als Winkel zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden.
−
→
a
(a→1 ,−
2)
→
−
→
−
Definition 3.5 Winkel(g1 , g2 ) = W inkel(a1 , a2 ) = arccos |−
→||−
→
a
1 a2 |
Abbildung 3.6: Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden
Der Schnittpunkt S liegt auf beiden Geraden, d.h. es gilt:
−
−
S = P1 + λS · →
a1 und S = P2 + µS · →
a2 .
Wir setzen beide Graden gleich
−
−
P1 + λS · →
a1 = P2 + µS · →
a2 .
und erhalten die zum Schnittpunkt S gehörenden Werte für λS und µS .
Diese Werte setzen wir in die entsprechende Formel für S ein und erhalten so den Schnittpunkt S.
Beispiel:
 
1
−
Gegeben seien die beiden Geraden g1 mit Aufpunkt P1 = (4, 2, 3) und Richtungsvektor →
a1 = 2
3
 
3
−
und g2 mit Aufpunkt P2 = (1, 0, 2) und Richtungsvektor →
a2 = 2.
1
Für den Schnittwinkel α der Geraden ergibt sich:
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
1
cos(α) =
78
3
( 2 )·( 2 )
3 1 1 3 ( 2 )( 2 )
3 1 =
√ 10√
14∗ 14
=
5
7
⇒ α = arccos
5
7
= 44, 4◦ .
Für
setzen wir die beiden Geraden gleich:
4 den Schnittpunkt
1
1
3
2 = 3 +µ 2
2
+
λ
∗
0
2
1
3
und lösen diese Gleichungen nach λ und µ auf.
Wir erhalten λ = 0, µ = 1.
Setzen wir diese Werte in die jeweils
  passende Schnittpunktformel ein, so ergibt sich:
1
−
S = P1 + λ · →
a1 = (4, 2, 3) + λ · 2 = (4, 2, 3)
3
und analog
 
3
−
S = P2 + λ · →
a2 = (1, 0, 2) + µ · 2 = (4, 2, 3).
1
Hausaufgabe 8 : Übungsblatt 6, Aufgaben 1,2 und 3
3.3
3.3.1
Definition von Ebenen im R3
Parametrische Darstellung der Ebene - die Punkt-Richtungs-Form
und die 3-Punkte-Form
→
−
→
−
→
−
−
Zwei nichtparalelle Vektoren →
a 6= 0 und b 6= 0 spannen eine Ebene auf. Durch diese Vektoren
und einen Aufpunkt Po kann man alle Punkte P der Ebene erreichen.
Abbildung 3.7: Darstellung einer Ebene durch Punkte und Vektoren
Definition 3.6 Gegeben seien ein Punkt Po ∈ R3 und zwei nichtparallele Vektoren ~a, ~b ∈ R3 .
Dann bildet die wie folgt definierte Menge aller Punkte
n
o
E = P ∈ R3 |P = Po + λ · ~a + µ · ~b, λ, µ ∈ R
eine Ebene, wir schreiben kurz: E : P = Po + λ · ~a + µ · ~b , λ, µ ∈ R.
Diese Darstellung einer Ebene heißt Punkt-Richtungsform der Ebene E. Po heißt Aufpunkt
und ~a, ~b heißen Richtungsvektoren der Ebene E.
Eine weitere Möglichkeit eine Ebene eindeutig zu charakterisieren besteht darin, drei Punkte,
−−−→
z.B. Po , P1 und P2 festzulegen, die in der Ebene liegen. Po kann dann als Aufpunkt und Po P1
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
79
−−−→
und Po P2 als Richtungsvektoren verwendet werden. Wir erhalten so die sogenannte 3-Punkteform
einer Ebene.
Definition 3.7 Sind Po , P1 und P2 drei Punkte im R3 , die nicht auf einer Geraden liegen. Dann
bildet die wie folgt definierte Menge aller Punkte
n
o
−−−→
−−−→
E = P ∈ R3 |P = Po + λ · Po P1 + µ · Po P2 , λ, µ ∈ R
−−−→
−−−→
eine Ebene, wir schreiben kurz: g : P = Po + λ · Po P1 + µ · Po P2 , λ, µ ∈ R.
Diese Darstellung einer Ebene heißt 3-Punkteform der Ebene g.
Bemerkung: Die Punkt-Richtungsform und die 3-Punkteform heißen Parameterformen
der Ebene. Die Parameter sind λ und µ. Im Unterschied dazu gibt es die nichtparametrische
Darstellung bzw. Normalform einer Ebene, die wir im nächsten Abschnitt darstellen werden.
Aufgabe 3.10 Seien A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 3) und C = (0, −1, 1) drei Punkte im R3 .
a) Geben Sie die Ebene E an, in der alle drei Punkte liegen!
b) Liegt D = (1, 2, 1) in der Ebene E?
3.3.2
Die Normalform (nicht-parametrische Darstellung) von Ebenen
Definition 3.8 Das Kreuzprodukt ~n = ~a ⊗ ~b der beiden Richtungsvektoren der Ebene heißt Normalenvektor der Ebene.
Abbildung 3.8: Der Normalenvektor einer Ebene
Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene, d.h. für jeden Punkt P stehen der zugehörige
−−→
Vektor Po P zwischen P und dem Aufpunkt der Ebene und der Normalenvektor senkrecht aufeienander. Diese Eigenschaft der Ebenenpunkte P liefert eine weitere, die sogenannte Normalform
oder nichtparametrische Definition der Ebene.
Definition 3.9
Gegeben seien ein Punkt Po ∈ R3 und ein Vektor ~n ∈ R3 . Dann bildet die wie folgt definierte Menge
aller Punkte
E = P ∈ R3 | (Po P , ~n) = 0
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
80
eine Ebene, wir schreiben kurz: E : (Po P , ~n) = 0.
Diese Darstellung einer Ebene heißt Normalform oder nichtparametrische Form der Ebene
E. ~n heißt Normalenvektor der Ebene E.
Schauen wir uns die Normalform der Ebene genauer
  an.
nx
−
Seien Po = (xo , yo , zo ), P = (x, y, z) und →
n = ny . Dann gilt
nz
−−→ Po P , ~n = 0
⇐⇒ nx · (x − xo ) + ny · (y − yo ) + nz · (z − zo ) = 0
⇐⇒ nx · x + ny · y + nz · z = d mit d = nx · xo + ny · yo + nz · zo .
D.h., die Normalform einer Ebene ist eine Gleichung der Form
a·x+b·y+c·z =d
 
a
Diese Gleichung heißt Normalengleichung der Ebene. Der Koeffizientenvektor  b  ist dabei
c
der Normalenvektor.
Man kann die Ebenengleichung auch umstellen: z = a · x + b · y + d und erhält damit die direkte
Verallgemeinerung einer Geradengleichung y = a · x + b im R2 .
Beispiele für Ebenen:
• 2x + y − z = 3
• z = 2x + 3y − 1
• 3x + y = 1
Aufgabe 3.11
a) Geben Sie zu den drei o.g. Beispielebenen den Normalenvektor ~n und einen Aufpunkt Po an!
b) Skizzieren Sie alle 3 Ebenen im R3 , indem Sie jeweils die 3 Schnittpunkte mit den 3 Koordinatenachsen einzeichnen!
Ist eine Ebene in Normalform gegeben, so kann man durch Einsetzen von geeigneten Werten für
x, y, z in die Ebenengleichung 3 Punkte finden, die in der Ebene liegen und erhält damit die 3 Punkte-Form der Ebene und daraus auch die Punkt-Richtungsform der Ebene.
Umgekehrt, ist eine Ebene in Punkt-Richtungsform gegeben, so erhält man die Normalform,
indem man ~n = ~a ⊗ ~b bildet und die Normalengleichung der Ebene aufstellt.
Beispiel:
Seien P1 = (1, 1, 1), P2 = (0, −1, 2) und P3 = (−1, 0, 1) drei Punkte, die eine Ebene definieren.
Geben Sie die Ebene in Normalform, d.h. die Normalengleichung der Ebene an!
Lösung:
Aus den 3 Punkten berechnen wir
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
81
den Aufpunkt: P1 = (1, 1, 1),
 
 
−1
−2
−−−→   ~ −−−→  
die Richtungsvektoren: ~a = P1 P2 = −2 , b = P1 P3 = −1 ,
0
 1
1
den Normalenvektor: ~n = ~a ⊗ ~b = −2,
−3
und die Normalengleichung: x − 2y − 3z = d, wobei d = x0 − 2yo − 3zo = 1 − 2 − 3 = −4 ist.
Die Ebenengleichung in Normalform lautet folglich x − 2y − 3z = −4.
Aufgabe 3.12
a) Geben Sie die Ebene E1 : 3x + y + z = 5 in Punkt-Richtungsform an!
2
3
b) Geben Sie die Ebene E2 : P = Po + λ 01 + µ 12 ,
mit Po = (1, 1, −1), λ, µ ∈ R, in
Normalform an!
c) Liegt P = (2, 1, 0) in E2 ?
d) Für welche Werte k der Punkt P = (−1, −1, k) in der Ebene E2 ?
Aufgabe 3.13
Gegeben sei folgende Ebene E1 : 3x + y + z = 5.
a) Geben Sie eine Ebene E2 in Normalform an, die parallel zu E1 im Abstand 3 verläuft!
b) Geben Sie eine Ebene E3 in Normalform an, die senkrecht auf E1 steht!
3.4
3.4.1
Lage von Geraden und Ebenen zu Ebenen
Lage zwischen Gerade und Ebene
Gegeben sei die Gerade g : P = Pg + λ~a und die Ebene E mit dem Aufpunkt PE und dem
Normalenvektor ~n.
Folgende Abbildung zeigt, wie für die verschiedenen Lagen der Geraden und der Ebenen die Aufpunkte, der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueienander liegen.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
82
Abbildung 3.9: Lagen zwischen Gerade und Ebene
Aufgabe 3.14
Geben Sie unter Verwendung der 3 Vektorprodukte (Skalar-, Kreuz-, Spatprodukt) Gleichungen
für ~a, ~n und Pg , sowie PE an, die erfüllt sein müssen, wenn Gerade und Ebene folgende Lagen
zueinander besitzen:
a) g k E ∧ g ∈
/ E (g parallel zu E)
b) g ∈ E (g liegt in E)
c) g × E (g schneidet E)
d) g ⊥ E (g schneidet E senkrecht)
Satz 3.5
Es gilt:
a) g k E ∧ g ∈
/E
(g parallel zu E)
⇐⇒
⇐⇒
b)
g∈E
(g liegt in E)
c)
d)
g⊥E
g×E
(g schneidet E senkrecht) ⇐⇒
(g schneidet E)
⇐⇒
−−−→ (~n, ~a) = 0 ∧ Pg PE , ~n 6= 0
−−−→ (~n, ~a) = 0 ∧ Pg PE , ~n = 0
(~a ⊗ ~n) = ~0
(~n, ~a) 6= 0
Aufgabe 3.15
 
−1
Sei E eine Ebene mit dem Aufpunkt PE = (2, 1, 3) und dem Normalenvektor ~n =  1  .
−1
a) Geben Sie Aufpunkt und Richtungsvektor einer Geraden g1 an, die parallel zu E im Abstand
2 verläuft!
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
83
b) Geben Sie Aufpunkt und Richtungsvektor einer Geraden g2 an, die E senkrecht im Punkt PE
schneidet!
Aufgabe 3.16
 
0
Gegeben seien eine Ebene E mit dem Aufpunkt PE = (1, 2, 1) und dem Normalenvektor ~n = 2
1
und eine Gerade g mit dem Aufpunkt Pg = (1, 1, 3) und dem Richtungsvektor ~a = 1, −1, 2 .
Welche Lage hat g zu E?
Aufgabe 3.1
Lage von Geraden zu Ebenen
3.4.2
Lage zweier Ebenen zueinander
→ und die Ebene E
Gegeben sind die Ebene E1 mit dem Aufpunkt P1 und dem Normalenvektor −
n
1
2
−
→
mit dem Aufpunkt P2 und dem Normalenvektor n2 .
Folgende Abbildung zeigt, wie für die verschiedenen Lagen der beiden Ebenen die Aufpunkte und
Normalenvektoren zueienander liegen.
Abbildung 3.10: Lagen zweier Ebenen zueinander
Aufgabe 3.17
Geben Sie unter Verwendung der 3 Vektorprodukte (Skalar-, Kreuz-, Spatprodukt) Gleichungen
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
84
→, −
→
für −
n
1 n2 und P1 sowie P2 an, die erfüllt sein müssen, wenn die beiden Ebenen folgende Lagen
zueinander besitzen:
a) E1 k E2 ∧ E1 6= E2 (E1 parallel zu E2 )
b) E1 = E2 (E1 identisch zu E2 )
c) E1 ×E2 (E1 schneidet E2 )
d) E1 ⊥ E2 (E1 schneidet E2 senkrecht)
Satz 3.6
Es gilt:
a) E1 k E2 ∧ E1 6= E2
b)
c)
d)
E1 = E2
E1 ⊥ E2
E1 × E2
(E1 parallel zu E2 )
⇐⇒
(E1 identisch zuE2 )
⇐⇒
(E1 schneidet E2 senkrecht) ⇐⇒
(E1 schneidet E2 )
⇐⇒
−−→ −
→⊗−
→ = ~0 ∧ −
→ 6= 0
n
n
P1 P2 , −
n
1
2
1
−−−→
−
→⊗−
→ = ~0 ∧ P P , −
→
n
n
1
2
1 2 n1 = 0
−
→
−
→
(n1 , n2 ) = 0
−
→⊗−
→ 6= ~0
n
n
1
2
Aufgabe 3.18
Aufgabe 3.19
 
−1
Sei E eine Ebene mit dem Aufpunkt PE = (2, 1, 3) und dem Normalenvektor ~n =  1  .
−1
a) Geben Sie eine Ebene E1 in Normalform und Parameterform an, die parallel zu E im Abstand
2 verläuft!
b) Geben Sie eine Ebene E2 in Normalform und Parameterform an, die E senkrecht schneidet
und für die gilt, dass PE ∈ E2 ist!
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
3.5
3.5.1
85
Abstände von Punkten, Geraden und Ebenen zu Ebenen
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Gegeben sei der Punkt Q und eine Ebene E mit dem Aufpunkt Po und dem Normalenvektor ~n.
Der Abstand von Q zur Ebene E ist der kleinstmögliche Abstand von Q zu einem Punkt der Ebene
−→
E. Damit ist der Abstand von Q gleich der Länge des Vektors LQ, den man erhält, wenn man das
Lot von Q auf die Ebene fällt. Der Punkt L heißt Lotpunkt.
Abbildung 3.11: Abstand eines Punktes Q von einer Ebene
−→
Den Vektor LQ bzw. einen dazu gleich langen, parallelen Vektor, erhält man durch Projektion von
−−→
Po Q auf den Vektor ~n
−→
LQ =
−−→ Po Q,~
n
|~
n| 2
· ~n.
Der Abstand von Q zur Ebene E ist dann die Länge dieses Projektionsvektors.
Satz 3.7 Seien ein Punkt Q und eine Ebene E mit dem Aufpunkt Po und dem Normalenvektor ~n
gegeben. Dann ist der Abstand von Q zur Ebene E
−→
dist(Q, E) = LQ =
−−→ n Po Q,~
|~
n|
.
Aufgabe 3.20 Wie können Sie den Lotpunkt L ermitteln?
3.5.2
Abstand einer parallelen Geraden zu einer Ebene
Gegeben sei eine Gerade g mit dem Aufpunkt Pg und dem Richtungsvektor ~a und eine Ebene E
mit dem Aufpunkt PE und dem Normalenvektor ~n. Liegt die Gerade parallel zur Ebene, so kann
man ihren Abstand von der Ebene durch den Abstand des Aufpunktes Pg der Geraden zur Ebene
E definieren.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.3 Geometrie von Geraden und Ebenen im R3
86
Abbildung 3.12: Abstand einer Geraden von einer Ebene
Definition 3.10
Sei g eine Gerade mit dem Aufpunkt Pg und dem Richtungsvektor ~a und E eine Ebene mit dem
Aufpunkt PE und dem Normalenvektor ~n. g liege parallel zu E. Dann ist der Abstand von g zu E
gleich dem Abstand des Aufpunktes Pg der Geraden zur Ebene E:
−−→
dist(g, E) = dist(Pg , E) = Pg L =
−−−→ n PE Pg ,~
|~
n|
.
Aufgabe 3.21


1
Gegeben seien eine Gerade g mit dem Aufpunkt Pg = (1, 2, 3) und dem Richtungsvektor ~a =  0 
−1
und eine E : −x + 2y + z = 3.
a) Weisen Sie nach, dass g||E ist!
b) Berechnen Sie den Abstand dist(g, E)!
3.5.3
Abstand zweier paralleler Ebenen
→
Gegeben seien zwei Ebenen E1 und E2 mit den Aufpunkten P1 , P2 und den Normalenvektoren −
n
1
−
→
bzw. n2 .
Liegen beide Ebenen parallel zueinander, so kann man ihren Abstand durch den Abstand des
Aufpunktes der einen Ebene zur anderen Ebene definieren.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
87
Abbildung 3.13: Abstand zweier paralleler Ebenen
Definition 3.11
→ bzw. −
→.
Seien E1 und E2 zwei Ebenen mit den Aufpunkten P1 , P2 und den Normalenvektoren −
n
n
1
2
E1 liege parallel zu E2 . Dann ist der Abstand zwischen E1 und E2 als Abstand des Aufpunktes der
einen Ebene zur anderen Ebene definiert:
dist(E1 , E2 )
= dist(P1 , E2 ) =
= dist(P2 , E1 ) =
−−−→ −
→ P1 P2 ,n
2
.
−
→
n
|
|
2
−−−→
−
→
P1 P2 ,n1 .
−
→
n
| 1|
Aufgabe 3.22
Gegeben seien eine Ebenen E1 : x + z 
= 2 und
E2 mit dem Aufpunkt P2 = (1, 2, 3)
 eine Ebene
 
1
−1
und den beiden Richtungsvektoren ~a =  0  und ~b =  2 .
−1
1
a) Weisen Sie nach, dass die beiden Ebenen parallel sind!
b) Berechnen Sie den Abstand zwischen beiden Ebenen!
3.6
Übungs- und Hausaufgaben
Aufgabe 3.2
Geraden und Ebenen
Aufgabe 3.3
Geraden und Ebenen
Hausaufgabe 9 : Übungsblatt 6, Aufgaben 5-11
Kapitel 4
Vektorräume und affine Räume
4.1
Einleitende Beispiele
Wir betrachten zunächst folgende einleitende Beispiele.
Beispiel 4.1
Geben Sie die Menge V1 aller Vektoren im R2 an, die parallel zur Geraden y = x verlaufen!
− →
Lösung: V1 = →
v |−
v =λ·
1
1
,λ∈R .
V
enthält offensichtlich unendlich viele Vektoren. Wir benötigen aber nur einen Referenzvektor
1 1
, um alle Vektoren in V1 darzustellen.
1
Die Darstellung der Menge V1 ist nicht eindeutig. So gilt z.B.
88
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
89
− →
v |−
v · λ · 11 , λ ∈ R
V1 = →
→
−
v |→
v = λ · 22 , λ ∈ R
= −
→
−
= −
v |→
v = λ · 22 + µ · 11 , λ, µ ∈ R .
In jedem Fall lässt sich die Menge V1 , die unendlich viele Vektoren enthält, durch wenige
Referenzvektoren, sogenannte erzeugende Vektoren, darstellen. Eine Menge V1 erzeugender
Referenzvektoren werden wir als Erzeugendensystem von V1 bezeichnen, ein kleinstmögliches
Erzeugendensystem bezeichen wir als Basis von V1 .
Erzeugendensystem und Basis sind nicht eindeutig. In unserem Beispiel sind 11 , 22 und
1 2
1
2
Erzeugendensysteme und 1 , sowie 2 Basen von V1 . Wir benötigen mindestens
1 , 2
einen erzeugenden Vektor zur Darstellung von V1 , eine Basis von V1 umfasst stets nur einen Vektor.
V1 hat eine besondere Eigenschaft. Wenn wir 2 Vektoren aus V1 addieren oder einen Vektor aus
V1 mit einer reellen Zahl multiplizieren, so erhalten wir wieder einen Vektor aus V1 , d.h. die
Operationen + und · führen nicht aus V1 heraus. Weiterhin ist der Nullvektor ~0 in V1 enthalten
und zu jedem Vektor ~v aus V1 liegt auch der um 180◦ gedrehte Vektor −~v in V1 .
Eine solche Menge von Vektoren wird als Vektorraum bezeichnet und die Anzahl der Basisvektoren als Dimension des Vektorraumes. D.h., V1 ist ein Vektorraum der Dimension 1.
Aufgabe 4.1
a) Geben Sie die Menge V aller Vektoren im R2 an, die parallel zur Geraden y = 2x + 1 verlaufen!
b) Geben Sie mindestens 3 verschiedene Erzeugendensysteme und 2 Basen von V an!
Beispiel 4.2
Geben Sie die Menge V2 aller Vektoren im R2 an, die in der x-y-Ebene liegen.
Lösung: Ofensichtlich ist V2 = R2 . V2 können wir zum Beispiel wie folgt darstellen:
− →
V2 = →
v |−
v =λ·
1
0
+µ·
0
1
, λ, µ ∈ R .
Die Menge V2 , die unendlich viele Vektoren enthält, können wir durch 2 Vektoren erzeugen,
0
und
.
1
1
0
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
90
Auch hier ist die Darstellung von V2 nicht eindeutig, es ist
− →
V2 = →
v |−
v = λ · 10 + µ · 01 , λ, µ ∈ R
→
−
v |→
v = λ · 11 + µ · 01 , λ, µ ∈ R
= −
→
−
v |→
v = λ · 10 + µ · 01 + α · 11 , λ, µ, α ∈ R .
= −
Wir benötigen zur Darstellung von V2 mindestens 2 erzeugenden Vektoren, d.h. ein Erzeugendensystem von V2 umfasst mindestens zwei Vektoren, eine Basis von V2 genau 2 Vektoren. Diese dürfen
nicht parallel sein. Zwei Vektoren, die nicht parallel sind, werden wir als linear unabhängig
bezeichnen. Das heißt, eine Basis von V2 besteht aus 2 linear unabhängigen Vektoren.
1
0
1
0
1
0
1
,
,
,
,
,
,
sind Erzeugendensysteme von V2 , Basen sind
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
,
und
,
.
0
1
1
1
Auch V2 ist abgeschlossen bzgl. + und ·, enthält den Nullvektor ~0 und zu jedem Vektor ~v ∈ V2
liegt auch sein um 180◦ gedrehter sogenannter inverser Vektor −~v in V2 . V2 ist demzufolge ein
Vektorraum der Dimension 2.
Da V1 ⊂ V2 ist und beide Räume Vektorräume sind, bezeichnet man V1 auch als Unterraum von
V2 .
Mit diesen beiden Beispielen haben wir wesentliche Begriffe - Erzeugendensystem, Basis, lineare
Unabhängigkeit, Vektorraum, Dimension, Unterraum - intuitiv erläutert, die wir in den folgenden
Abschnitten genauer mathematisch definieren und untersuchen werden.
Aufgabe 4.2
a) Geben Sie die Menge V aller Vektoren im R3 an, die parallel zur x − z−Ebene verlaufen!
b) Geben Sie mindestens 3 verschiedene Erzeugendensysteme und 2 Basen von V an!
Aufgabe 4.3
a) Geben Sie die Menge V aller Vektoren im
R3an, dieparallel
zur Ebene E mit dem Aufpunkt

0
1
Po = (1, 2, 1) und den Richtungsvektoren 2 und 1 verlaufen!
1
1
b) Geben Sie mindestens 3 verschiedene Erzeugendensysteme und 2 Basen von V an! Wie groß
wird die Dimension von V sein?
4.2
4.2.1
Der n-dimensionale reelle Vektorraum Rn und seine Unterräume
Linearkombinationen im Rn
Wir hatten die Addition zweier Vektoren aus dem Rn und die Multiplikation eines Vektors aus
dem Rn mit einer reellen Zahl λ ∈ R komponentenweise definiert:
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
91

  

   
λa1
a1
a 1 + b1
b1
a1
.  . 
 ..   ..   .. 
 .  +  .  =  .  und λ ·  ..  =  .. 

an
bn
an + bn
an
λan
Anschaulich bedeuteten die Vektoraddition das Hintereinanderabtragen zweier Vektoren und die
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar seine Verlängerung oder Verkürzung und/oder Richtungsänderung um 180◦ .
Auf der Basis der Operationen + und · definieren wir den Begriff der Linearkombination von
Vektoren im Rn .
−
→ ∈ Rn und k Zahlen λ , λ , · · · , λ ∈ R gegeben.
Definition 4.1 Seien k Vektoren →
a1 , · · · , −
a
k
1
2
k
Der durch Vektoraddition gebildete neue Vektor
→
−
−
−
→ = Pk λ →
−
v = λ1 →
a1 + λ2 →
a2 ... + λk −
a
k
i=1 i ai
−
→. Man sagt: →
−
−
→ erzeugt.
heißt Linearkombination (LK) von →
a1 , ..., −
a
v wird aus →
a1 , ..., −
a
k
k
Beispiele:
−
−
−
−
−
−
−
• Seien →
a1 = 10 und →
a2 = 01 . Dann ist →
v = 3→
a1 + 2→
a2 = 32 eine LK von →
a1 und →
a2 .
 
 
 
−1
1
0
• Der ~0 = 0-Vektor ist eine LK aus den Vektoren ~a =  2  und ~b = −2.
4
−4
0
Aufgabe 4.4
4
1
0
−
−
aus →
a1 =
und →
a2 =
als LK erzeugt werden?
−2
0
1
4
1
0
−
−
b) Auf welche Weise kann ~v =
aus →
a1 =
und →
a2 =
als LK erzeugt werden?
−2
1
1
4
1 →
1
0
→
−
−
→
−
c) Auf welche Weise kann ~v =
aus a1 =
, a2 =
und a2 =
als LK erzeugt
−2
1
0
1
werden?
a) Auf welche Weise kann ~v =
Aufgabe 4.5
 
 
1
−3
→
−
→
−
a) Geben Sie mindestens 2 LK’s an, die aus den Vektoren a1 = 0, a2 =  1  und
2
−2
 
1
→
−
a3 =  1  gebildet werden können!
−1
 
 
 
1
−3
1
−
−
−
b) Stellen Sie ~0 ∈ R3 als LK der Vektoren →
a1 = 0, →
a2 =  1  und →
a3 =  1  und
2
−2
−1
 
1
→
−
a4 = −1 dar!
0
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
92
 
 
 
1
−3
0
−
−
−
c) Stellen Sie ~0 ∈ R3 als LK der Vektoren →
a1 = 0, →
a2 =  1  und →
a3 =  1  dar!
2
0
−1
Worin besteht der Unterschied zu Aufgabe b)?
 
 
 
4
1
−3
−
−
d) Auf welche Weise kann ~v = −2 aus →
a1 = 0 und →
a2 =  1  als LK erzeugt werden?
0
2
−2
Bemerkung:
−
Wenn sich der Nullvektor ~0 als LK von k Vektoren →
ai so darstellen lässt
Pk
→
−
~0 =
i=1 λi ai , wobei mindestens ein λi 6= 0 ist,
so sprechen wir von einer nicht trivialen Darstellung von ~0.
Andererseits heißt die Darstellung
P
−
~0 = k λi →
ai , mit λi = 0, ∀i = 1, · · · , k
i=1
triviale Darstellung des ~0-Vektors.
4.2.2
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
Auf der Basis von Linearkombinationen definieren wir den Begriff der Linearen Abhängigkeit von
Vektoren.
Definition 4.2 (Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von k Vektoren in Rn )
−
→ k von ~0 verschiedene Vektoren im Rn .
Seien →
a1 , ..., −
a
k
−
→ heißen linear abhängig, falls sich mindestens einer der k-Vektoren als Linearkoma) →
a1 , ..., −
a
k
bination der anderen darstellen lässt.
−
→ heißen linear unabhängig, falls sie nicht linear abhängig sind.
b) →
a , ..., −
a
1
k
Beispiel:
2
1
0
2
1
0
1.
,
und
sind linear abhängig, weil gilt
=2·
+3·
.
3
0
1
3
0
1
1
0
2.
und
sind linear unabhängig, weil sich keiner der beiden durch den anderen darstellen
0
1
lässt.
Bemerkung:
Im 2. Fall der linear unabhängigen Vektoren kann man den Nullvektor nur auf triviale Weise
darstellen:
~0 = 0 · 1 + 0 · 0 .
0
1
Im 1. Fall der linear abhängigen Vektoren lässt sich der Nullvektor ~0 auch auf nichttriviale Weise
darstellen:
~0 = −1 · 2 + 2 · 1 + 3 · 0 .
3
0
1
Damit haben wir ein Kriterium zum Prüfen der linearen Abhängigkeit bzw. linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Wir werden weiter unter darauf noch einmal genauer eingehen.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
93
Beispiel:
1. Zwei Vektoren ~a und ~b sind linear abhängig, wenn gilt:
~b = λ · ~a mit λ 6= 0,
d.h., wenn ~a und ~b parallel sind.
2. Drei Vektoren ~a, ~b und ~c sind linear abhängig, wenn gilt:
~c = λa · ~a + λb · ~b, wobei λa 6= 0 oder λb 6= 0,
d.h. wenn sie alle drei in einer Ebene liegen.
Im R3 können wir die lineare Abhängigkeit von 2 und von 3 Vektoren leicht durch Vektorprodukte
überprüfen. Ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren aus dem R3 gleich ~0, so liegen sie parallel und
sind folglich linear abhängig. Ist das Spatprodukt von 3 Vektoren aus dem R3 gleich 0, so liegen sie
in einer Ebene und folglich muss einer als Resultierende bzw. LK der beiden anderen darstellbar
sein.
Satz 4.1 Es gilt:
a) 2 von ~0 verschiedene Vektoren ~a, ~b ∈ R3 sind linear abhängig ⇐⇒ ~a ⊗ ~b = ~0.
h
i
b) 3 von ~0 verschiedene Vektoren Vektoren ~a, ~b, ~c ∈ R3 sind linear abhängig ⇐⇒ ~a, ~b, ~c = 0.
Auch für den allgemeinen Fall von k Vektoren im Rn können wir ein Kriterium zur Prüfung der
linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit formulieren.
−
→ ∈ Rn sind linear abhängig, wenn sich einer, z.B. −
→, durch
k von ~0 verschiedene Vektoren →
a1 , ..., −
a
a
k
k
Linearkombination aus den anderen ergibt:
−
→ = Pk−1 λ · →
−
a
k
i=1 i ai .
Daraus folgt durch Umstellung, dass man den Nullvektor ~0 auf nichttriviale Weise (durch eine
Vektorkette) durch die k Vektoren darstellen kann, es gilt
~0 =
Pk
i=1
−
λi · →
ai , wobei mindestens ein λi 6= 0 ist.
Im Umkehrschluss ist bei k linear unabhängigen Vektoren der Nullvektor ~0 nur auf triviale Weise
erzeugbar, es gilt
Pk
i=1
−
λi · →
ai = ~0 ist nur für λ1 = · · · = λk = 0 möglich.
Satz 4.2
−
→ k von ~0 verschiedene Vektoren im Rn . Dann gilt:
Seien →
a1 , ..., −
a
k
−
→ sind linear abhängig, falls sich der ~0 - Vektor auf nichttriviale Weise darstellen lässt.
a) →
a1 , ..., −
a
k
D.h., es gilt
P
−
~0 = k λi · →
ai , wobei mindestens für ein λi gilt: λi 6= 0.
i=1
→
−
−
→
b) a1 , ..., ak sind linear unabhängig, falls sich der ~0 - Vektor nur auf triviale Weise darstellen
lässt. D.h. es gilt:
Aus ~0 =
Pk
i=1
−
λi · →
ai folgt λ1 = λ2 = · · · = λk = 0.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
Beispiel 1.
−
Behauptung: →
a1 =
Beweis:
Sei λ1 10 + λ2 01 =
q.e.d.
→
,−
a2 =
1
0
0
0
⇒
λ1
λ2
0
1
=
94
sind linear unabhängig.
0
0
⇒ λ1 = 0 ∧ λ2 = 0.
Beispiel 2.
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
Seien →
a1 , →
a2 linear unabhängig. Sind dann auch b1 = →
a1 + →
a2 und b2 = →
a1 − →
a2 linear unabhängig?
Lösung:
→
−
→
−
→
−
Sei λ1 b1 + λ2 b2 = 0
→
−
−
−
−
−
⇒ λ1 (→
a1 + →
a2 ) + λ2 (→
a1 − →
a2 ) = 0
→
−
−
−
⇒ (λ1 + λ2 )→
a1 + (λ1 − λ2 )→
a2 = 0
−
−
⇒ wegen der linearen Unabhängigkeit von →
a1 , →
a2 ist
λ1 + λ2
λ1 − λ2
= 0 und
= 0
Wir stellen die erste Gleichung nach λ1 um und setzen dieses in die 2. Gleichung ein:
⇒
λ1
−2λ2
= −λ2
= 0
⇒ λ1 = λ2 = 0.
→
−
→
−
Daraus folgt, dass b1 und b2 linear unabhängig sind.
Beispiel
3.
Sind 10 , 01 ,
1
1
linear unabhängig?
Nein,
der 1Nullvektor
läst sich
z.B. wie folgt darstellen:
0
0
1
=
1
·
+
1
·
−
1
·
0
0
1
1 .
1
D.h., z.B. lässt sich 1 als LK der beiden anderen Vektoren darstellen:
1
1
=1·
1
0
+1·
Aufgabe 4.6
 
 
 
−3
3
3
a) Sind ~a = −1 , ~b =  1  , ~c =  1  linear unabhängig?
3
−3
−3
 
 
 
−3
3
3
b) Für welches µ sind ~a = −1 , ~b =  1  , ~c =  1  nicht linear unabhängig?
µ
−3
−3
c) Warum sind 4 Vektoren im R3 immer linear abhängig?
 
 
 
 
0
0
0
3
3
0
0
1
 ~  
  ~  
d) Sind ~a = 
 1  , b =  1  , ~c =  0  , d = −3 linear unabhängig?
−3
−3
−3
2
0
1
.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
95
−
Aufgabe 4.7 Zeigen Sie, dass n Vektoren →
ai ∈ Rn der Form


 
 
 
a1n
a1i
a12
a11
 a2n 
a2i 
a22 
 0 


 
 
 
 .. 
 .. 
 0 
 0 
 . 
 . 
 
 

 
 .. 
 ..  →
−
→ 
→
−
→
−


 
 
 −
a1 = 
 .  , a2 =  .  , · · · , ai =  aii  , · · · , an =  ain ,
a(i+1)n 
0
 0 
 0 


 
 
 
 . 
 . 
 . 
 . 
 .. 
 .. 
 .. 
 .. 
ann
0
0
0
mit aii 6= 0 ∀ i = 1, · · · , n, stets linear unabhängig sind.
Aufgabe 4.8
−
Seien ~a, ~b, ~c linear unabhängig. Sind dann ~v = 2~a − 3~c und →
w = −2~b + 2~c auch linear unabhängig?
4.2.3
Der Vektorraum (Rn , +, ·)
Sei V = Rn die Menge aller Vektoren im Rn . Im folgenden stellen wir typische Eigenschaften auf,
die in V für die komponentenweise Vektoraddition + und die komponentenweise Multiplikation ·
eines Vektors mit einer reellen Zahl gelten.
Für das Tripel (V, +, ·) gilt:
I) Die Vektoraddition + erfüllt folgende Eigenschaften:
(a) Wenn ~a, ~b ∈ V dann ~a + ~b ∈ V
(D.h., die Vektoraddition führt nicht aus V heraus)
→
−
→
− −
−
(b) →
a + b = b +→
a (+ ist kommutativ)
→
−
→
− −
−
−c = →
−
(c) (→
a + b)+→
a +(b +→
c)
(+ ist assoziativ)
(d) Es gibt in V einen Vektor (den Vektor ~0), der bei Addition zu einem anderen Vektor diesen
nicht ändert. Es gilt:
→
−
→
− −
→
−
−
a + 0 = 0 +→
a =→
a
(Man sagt, ~0 ist der neutrale bzw. Nullvektor bzgl. der Operation +)
(e) Zu jedem Vektor ~v in V existiert ein anderer Vektor (−~v ) in V, der zu diesem addiert den
Nullvektor ergibt. Es gilt:
→
−
−
−
−
−
∀→
a ∈ V ∃(−→
a)∈V : →
a + (−→
a)= 0
−
−
(Man sagt, −→
a ist der inverse Vektor zu →
a bzgl. der Operation +)
II) Die Multiplikation · eines Vektors mit einem Skalar erfüllt folgende Eigenschaften:
−
(a) Wenn λ ∈ R und ~a ∈ V dann λ · →
a ∈V
−
(D.h., die Multiplikation eines Vektors →
a ∈ V mit einer beliebigen reellen Zahl λ ∈ R führt
nicht aus V heraus)
−
−
(b) λ · →
a =→
a · λ (· ist kommutativ)
→
−
→
−
−
−
(c) λ · (→
a + b ) = λ→
a +λb
(· ist distributiv bzgl. der Vektoraddition +)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
96
−
−
−
(d) (λ + µ) · →
a =λ·→
a +µ·→
a
(· ist distributiv bzgl. der Addition reeller Zahlen)
Definition 4.3 Sei V ⊆ Rn eine Teilmenge aller Vektoren aus dem Rn und seien + und · die
komponentenweise Vektoraddition bzw. die komponentenweisen Multiplikation eines Vektors aus V
mit einem Skalar. Das Tripel (V, +, ·) heißt Vektorraum, wenn es die Eigenschaften I)a)-e) und
II)a)-d) erfüllt.
Offensichtlich ist das Tripel (V, +, ·) mit V = Rn ein Vektorraum.
Bemerkung:
Stehen die Rechenoperationen + und · fest, so bezeichnet man auch kurz nur V anstelle des Tripels
(V, +, ·) als Vektorraum.
4.2.4
Unterräume des (Rn , +, ·)
(Rn , +, ·) ist nicht das einzige Tripel, welches die Eigenschaften I)a)-e) und II)a)-d) erfüllt und
damit nicht der einzige Vektorraum.
Auch in ganz bestimmten Teilmengen des Rn , die wesentlich weniger Vektoren enthalten als der
Rn , sind die Eigenschaften I)a)-e) und II)a)-d) erfüllt.
Betrachten wir dazu folgendes Beispiel.
Beispiel 4.3
Sei V1 die im Beispiel 4.1 hergeleitete Menge aller Vektoren des R2 , die parallel zur Geraden y = x
verlaufen:
− →
V1 = →
v |−
v =λ·
1
1
,λ∈R .
V1 ist abgeschlossen bzgl der komponentenweise definierten Operationen + und ·. D.h., diese
führen nicht aus V1 heraus.
Denn es gilt für zwei beliebige Vektoren ~a ∈ V1 , ~b ∈ V1 :
~a = λa · 11 und ~b = λb 11 ⇒ ~a + ~b = λa ·
~a + ~b ∈ V1 .
1
1
+ λb
1
1
= (λa + λb ) ·
1
1
= λ·
1
1
mit λ = λa + λb ⇒
Analog gilt für einen beliebigen Vektor ~a ∈ V1 und eine
beliebige Zahl c ∈ R:
~a = λa · 11 ⇒ c · ~a = c · λa · 11 = (c · λa ) · 11 = λ · 11 mit λ = cλa ⇒ c · ~a ∈ V1 .
Weiterhin liegen in V1 der Nullvektor ~0 = 00 bzgl. der Addition +. Und zu jedem Vektor ~a liegt
auch der zugeörige inverse Vektor −~a = −λa · ~a = λ · ~a in V1 .
Die Eigenschaften I) b) und c) der Kommutativität und Assoziativität von +, sowie II) b) c)
und d) der Kommutativität und Distributivität von · sind trivialerweise in V1 erfüllt, weil sie im
gesamten R2 gelten und V1 ⊆ R2 ist.
Damit erfüllt das Tripel (V1 , +, ·) alle o.g. Eigenschaften I)a)-e) und II) a)-d) und ist damit ein
Vektorraum.
Bemerkung:
Obwohl V1 nur eine Teilmenge von Vektoren des R2 enthält, ist V1 trotzdem ein Vektorraum.
Man bezeichnet (V1 , +, ·) auch als Unterraum des (R2 , +, ·) bzw. kurz V1 als Unterraum von R2 .
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
97
Allgemeiner definieren wir den Begriff Unterraum wie folgt:
Definition 4.4
Seien (U, +, ·) und (V, +·) zwei Vektorräume. Gilt U ⊂ V , so bezeichnet man (U, +, ·) als Unterraum von (V, +, ·) bzw. kurz U als Unterraum von V .
Beispiele:
• V1 ist eine Unterraum des R2 .
• R2 und R3 (mit den Operationen + und ·) sind offensichtlich zwei Vektorräume.
Wir ”blähen” den Raum R2 zu einer Teilmenge des R3 auf:
 

 x

x
U = y  |
∈ R2
y


0
und erhalten so einen Unterraum U des Vektorraumes R3 .
Aufgabe 4.9 Geben Sie 2 weitere Unterräume des R3 an!
Wir haben am Beispiel 4.3 gesehen, dass die Eigenschaften I)b) und c), sowie II)b) - d) trivialerweise für beliebige Teilmengen V ⊆ Rn und die Operationen + und · erfüllt sind. Daraus resultiert
folgender Satz, der besagt, dass man bei dem Nachweis, dass eine Menge V ein Vektorraum ist,
auf den Nachweis dieser Eigendschaften I)b),c) und II)b)-d) verzichten kann.
Satz 4.3
Sei V ⊆ Rn eine beliebige Teilmenge im Rn . Dann ist das Tripel (V, +, ·) ein Vektorraum bzw.
Unterraum des (Rn , +, ·), wenn
1. V den Nullvektor ~0 enthält,
2. V zu allen seinen Vektoren ~v auch die inversen Vektoren −~v enthält,
3. die Operationen + und · nicht aus V herausführen, d.h. wenn V abgeschlossen bzgl. + und · ist
bzw. die Eigendschaften I)a) und II) a) gelten.
Beispiele
1
1. Warum ist V = ~v | ~v = λ ·
, λ > 0 kein Vektorraum?
1
Antwort: V ist kein Vektorraum, weil der Nullvektor ~0 nicht in V liegt, d.h. es gibt keinen Vektor
→
−
−
−
in V , der die Eigenschaft Id) erfüllt: →
v + 0 =→
v.
1
1
−1
2. Warum ist V = ~v | ~v = λ1 ·
+ λ2 ·
+ λ3 ·
, λ1 , λ2 , λ3 ∈ R mit der kompo1
−1
1
nentenweise definierten Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar ein Vektorraum?
Antwort: Weil - wie man leicht überprüfen kann - alle Eigenschaften des o.g. Satzes 4.3 erfüllt
sind.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
98
Aufgabe 4.10
a)
b)
c)
d)




0


Sei V die Menge aller Vektoren V = ~v | ~v =  t  , t ∈ R . Zeigen Sie, dass (V,+,·) ein


−3t
Unterraum von (R3 , +, ·) ist!


1
Sei V die Menge aller Vektoren  t  mit t ∈ R. Warum ist (V, +, ·) kein Vektorraum?
−3t
     
−1
0 
 1
Sei V = 2 , −2 , 0 . Ist (V, +, ·) ein Vektorraum?


3
−3
0
 
 0 
Sei V = 0 . Ist (V, +, ·) ein Vektorraum?


0
Alle bisher betrachteten Vektorräume, inklusive V1 und V2 aus den beiden eingangs genannten
Beispielen 4.1 und 4.2, ließen sich durch wenige Vektoren erzeugen. D.h., sie enhalten alle Vektoren,
die sich als Linearkombination von wenigen Erzeugendenvektoren darstellen lassen.
−
→} von
Betrachtet man die Menge aller Linearkombinationen, die aus einer Menge M = {→
a1 , ..., −
a
k
n
n
k Vektoren des R gebildet werden können, so erhalten wir eine Menge H ⊆ R , die wir als
sogenannte Lineare Hülle bezeichnen. Wir können zeigen, dass Lineare Hüllen Vektorräume sind.
−
→} ⊆ Rn eine Teilmenge von k Vektoren des Rn .
Definition 4.5 Sei M = {→
a1 , ..., −
a
k
→
−
−
→
Die Menge aller aus a1 , ..., ak bildbaren Linearkombinationen
n
o
Pk
−
−
−
v |→
v = i=1 λi →
H(M ) = →
ai , λi ∈ R, ∀i = 1...k heißt Lineare Hülle von M.
−
→} ⊆ Rn eine Teilmenge von k Vektoren des Rn und seien + die komSatz 4.4 Sei M = {→
a1 , ..., −
a
k
ponentenweise Addition zweier Vektoren und · die komponentenweise Multiplikation eines Vektors
mit einer reellen Zahl.
Dann ist (H(M ), +, ·) ein Vektorraum bzw. Unterraum des (Rn , +, ·).
Beispiele


  
 
0


 0 
a) V = ~v | ~v = t ·  1  , t ∈ R ist die lineare Hülle von M =  1  und damit ist V




−3
−3
3
3
wegen V ⊂ R Unterraum des R .
b) Es gilt:


 
 
   
0
0
0 


 0
V = ~v | ~v = λ1 ·  1  + λ2 · 0 , λ1 , λ2 ∈ R = H   1  , 0 




−3
1
−3
1
3
3
und folglich ist V wegen V ⊂ R Unterraum des R .
1
c) Analog ist V = ~v | ~v = t ·
, t ∈ R Unterraum des R2 und
−3
1
d) V = ~v | ~v = t ·
, t ∈ R ebenfalls Unterraum des R2 .
1
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
99
Aufgabe 4.11
Beweisen Sie Satz 4.4!
Aufgabe 4.12 Geben Sie unter Verwendung des Begriffes der Linearen Hülle jeweils 2
verschiedene Unterräume
a) des R2
b) des R3
an!
Fassen wir dieses Kapitel zusammen:
Wenn wir nachweisen wollen, dass (V, +, ·) mit V ⊆ Rn ein Vektorraum ist, so müssen wir zeigen,
• entweder dass (V, +, ·) alle Eigenschaften des Satzes 4.3 erfüllt
• oder (gemäß Satz 4.4) dass V die Lineare Hülle endlich vieler Vektoren aus dem Rn ist.
Wenn wir nachweisen wollen, dass (V, +, ·) mit V ⊆ Rn ein Unterraum des Rn ist, so müssen wir
zeigen,
• dass (V, +, ·) ein Vektorraum ist und V ⊂ Rn gilt.
Wenn wir nachweisen wollen, dass (V, +, ·) mit V ⊆ Rn kein Vektorraum ist, so müssen wir zeigen,
• dass eine der Eigenschaften 1.,2.,3. des Satzes 4.3 verletzt ist.
Aufgabe 4.13




t+s


a) Sei V die Menge aller Vektoren V = ~v | ~v =  −t  , t, s ∈ R .


2t + 3s
3
Zeigen Sie, dass (V,+,·) ein Unterraum von (R , +, ·) ist!


 
x


b) Zeigen Sie, dass (V,+,·) mit V = ~v =  0  | x, y ∈ R ein Unterraum von (R3 , +, ·) ist!


z
      
1
0 
 −1
c) Warum ist (V, +, ·) mit V =  0  ,  0  , 0 kein Vektorraum?


3
−3
0
4.2.5
Erzeugendensystem, Basis und Dimension eines Vektorraumes im
Rn
Definition 4.6 Sei (V, +, ·) ein Vektorraum bzw. Unterraum des (Rn , +, ·) und M ⊆ V .
M heißt Erzeugendensystem (EZS) von V, falls V = H(M) ist.
→
−
→} stets EZS des Vektorraumes
Damit
· ,−
a
k
n ist M = {a1 , · ·P
o
k
→
−
−
−
n →
V = v ∈R | v =
λ→
a , λ ∈ R, ∀i = 1...k .
i=1
i i
i
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
100
Beispiele:
1. M = 11 ist EZS von
→
−
v |→
v = λ · 11 , λ ∈ R .
V1 = −
2. M = 10 , 01 , 11 ist EZS von
− →
v |−
v = λ1 10 + λ2 01 + λ3 11 , λ1 , λ2 , λ3 ∈ R .
V2 = →
Die Anzahl und Art der Erzeugenden-Vektoren sind nicht eindeutig. Wie wir im einleitenden
Beispiel 4.2 gesehen haben, sind z.B. folgende Vektormengen EZS von V2 :
1
0,
2
0,
1
1,
1
0 ,
0
1 ,
0
2,
0
1 , 0
1
1 , 1 .
Demgegenüber erzeugt
1
0
V2 nicht.
Definition 4.7
Sei V ⊆ Rn ein Vektorraum.
−
→} von k Vektoren heißt Basis von V, falls gilt:
Eine Menge {→
a1 , ..., −
a
k
−
→} ist ein EZS von V,
1. {→
a1 , ..., −
a
k
−
→ sind linear unabhängig.
2. →
a , ..., −
a
1
k
Satz 4.5 Sei V ⊆ Rn ein Vektorraum mit einem endlichen EZS M und sei k die maximale Anzahl
linear unabhängiger Vektoren in M. Dann gilt:
1. Die Basis ist nicht eindeutig bestimmt: jede Teilmenge von k linear unabhängigen Vektoren aus
M ist Basis von V.
2. Die Anzahl der Basisvektoren ist eindeutig bestimmt und gleich k.
Definition 4.8 Die Anzahl k der Basisvektoren eines Vektorraumes heißt Dimension von V,
wir schreiben: dim(V ) = k.
Beispiel 1
Wir betrachten den Vektorraum V2 = R2 aus unserem einleitenden Beispiel 2.
1 0 1 0
•
,
sind Basen von V2 = R2 , es ist dim(V2 ) = 2.
0 , 1
1 , 1
1 1 0
•
ist zwar ein EZS aber keine Basis des R2 , weil die 3 Vektoren nicht linear unab0 , 1 , 1
hängig sind.
1
•
ist keine Basis des R2 , weil dieser eine Vektor kein EZS von R2 ist!
0
Beispiel2

 
 
 
 
v1
1
0
1














v
1
1
0
2
→
−
−
4 →







Sei V = v =   ∈ R | v = λ1   + λ2   + λ3   , λ1 , λ2 , λ3 ∈ R .
v3
0
0
0






v4
0
0
0
a) Geben Sieein Erzeugendensystem
  von Van!
 
1
0
1 




1 →
1 →
0
→
−
−
−






Antwort: a1 =   , a2 =   , a3 =   .
0
0
0 





0
0
0
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
101
b) Wie groß ist die Dimension von V?
−
−
−
Antwort: Die 3 Vektoren →
a1 , →
a2 , →
a3 des EZS von V sind linear abhängig und bilden deshalb keine Basis. Aber jeweils 2 Vektoren des EZS sind linear unabhängig und folglich sind
−
−
−
−
−
−
{→
a1 , →
a2 }, {→
a1 , →
a3 } , {→
a2 , →
a3 } Basen von V. Die Dimension von V ist demzufolge dim(V ) = 2.
Beispiel 3
Geben Sie einen 3-dimensionalen Vektorraum V ⊆ R5 an!
Antwort:
     
0
0
1
0 1 0
     
5
    
Die 3 Vektoren 
0 , 0 , 1 sind linear unabhängige Vektoren im R . Demzufolge ist die
0 0 0
0
0
0
Menge
LK’s
aus
diesen
3
Vektoren

 V aller
 
 
 
 
0
0
v1
1






0

1
v2 
0











→
−
→
−
5








1
0
v
0
V = v =  3  ∈ R | v = λ1   + λ2   + λ3   , λi ∈ R




0
0
v4 
0






0
0
0
v5
ein 3-dimensionaler Vektorraum im R5 .
Bemerkung:
Die Basis

 von V istnicht
 eindeutig.
  Es ist

 auch
0
1
1







1
0
1









→
−
→
−
 + λ2 2 + λ3 1 , λi ∈ R .
1
V = v | v = λ1 










0
0
0






0
0
0
Es gibt viele 3-dimensionale Unterräume im R5 . Ein anderer 3-dimensionale Vektorraum im R5 ist
z.B. 

 
 
 
0
0
0







0
0
0









→
−
→
−
∗
 + λ2 0 + λ3 0 , λi ∈ R .
1
V = v | v = λ1 
 
 
 




0
1
0






1
0
0
Aufgabe 4.14
Welche
 Dimension hat der

 Vektorraum

 
 
 
1
−1
−1
−1


−
−
v ∈ R3 | →
v = λ1 3 + λ2  1  + λ3  1  + λ4  5  , λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ∈ R ?
V = →


1
−1
3
3
Aufgabe 4.15



 0

Welche Dimension besitzt der Vektorraum V =  t  , t ∈ R ? Begründen Sie Ihre Antwort


−3t
und geben Sie eine Basis von V an!
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
102
Aufgabe 4.16
Geben Sie zwei verschiedene 2-dimensionale Vektorräume im R4 an! Begründen Sie Ihre Antwort
und geben Sie die Basen der Vektorräume an!
4.3
4.3.1
Allgemeine (axiomatische) Definition eines Vektorraums
Axiomatische Definition eines Vektorraumes
Nicht nur der Raum Rn und seine Unterräume bilden mit der komponentenweisen Vektoraddition
+ und der skalaren Multiplikation · einen Vektorraum. Der Begriff des Vektorraumes ist sehr
allgemein definiert. Wir werden im Folgenden sehen, dass auch ganz andere Mengen von Objekten,
wie zum Beispiel Mengen von Funktionen, z.B. Polynomen oder Schwingungen, mit völlig anders
definierten Operationen + und · Vektorräume sind.
Definition 4.9 Bezeichne V eine Menge von beliebigen Objekten (Elementen) und ⊕ die “Addition” zweier Elemente von V und * die “Multiplikation” eines Elementes von V mit einem Skalar
(reelle Zahl).
Das Tripel (V, ⊕, ∗) heißt Vektorraum, falls V und die Operatoren ⊕ und * folgende Eigenschaften
erfüllen:
I) Eigenschaften von “⊕”:
(a) ⊕ : V x V → V (bzw. v1 , v2 ∈ V ⇒ v1 ⊕ v2 ∈ V )
(d.h. die Addition ⊕ führt nicht aus V heraus).
(b) v1 , v2 ∈ V ⇒ v1 ⊕ v2 = v2 ⊕ v1 (⊕ ist kommutativ)
(c) v1 , v2 , v3 ∈ V ⇒ (v1 ⊕ v2 ) ⊕ v3 = v1 ⊕ (v2 ⊕ v3 ) (⊕ ist assoziativ)
(d) ∃0 ∈ V ∀v ∈ V : v ⊕ 0 = 0 ⊕ v = v (d.h., es gibt ein Nullelement in V bzgl. der Operation ⊕)
(e) ∀v ∈ V ∃v∗ ∈ V mit v ⊕ v∗ = 0 (d.h., es gibt zu jedem v in V einen inversen Vektor v∗ in V
bzgl. der Operation ⊕)
II. Eigenschaften von “*” :
(a) *: R x V → V (bzw. λ ∈ R, v ∈ V ⇒ λ · v ∈ V )
(d.h., die Multiplikation eines Elementes v ∈ V mit einer beliebigen reellen Zahl λ ∈ R führt
nicht aus V heraus)
(b) ∀λ ∈ R, v ∈ V : λ ∗ v = v ∗ λ (∗ ist kommutativ)
(c) ∀λ ∈ R, v, w ∈ V : λ ∗ (v ⊕ w) = λ ∗ v ⊕ λ ∗ w
(∗ ist distributiv bzgl. ⊕)
(d) ∀λ, µ ∈ R, ∀v ∈ V : (λ + µ) ∗ v = λ ∗ v ⊕ µ ∗ v
(* ist distributiv bzgl. der Addition + reeller Zahlen)
Die Elemente eines beliebigen Vektorraums V werden als Vektoren bezeichnet.
Beispiel 4.4 Sei V die Menge aller Polynome bis zur 2. Ordnung
V = f : R → R, f (x) := c0 + c1 x + c2 x2 | c0 , c1 , c2 ∈ R
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
103
und seien die Operationen ⊕ und * wie folgt definiert:
⊕ : (f1 ⊕ f2 )(x) := f1 (x) + f2 (x) ∀x ∈ R
(2 Funktionen werden addiert, indem man ihre Funktionswerte addiert)
∗ : (λ ∗ f )(x) := λf (x) ∀x ∈ R
(eine Funktionen wird mit einer reellen Zahl multipliziert, indem man ihre Funktionswerte mit
dieser Zahl multipliziert).
Behauptung: (V, ⊕, ∗) ist ein Vektorraum.
Beweis: Wir müssen alle Eigenschaften I) a)- e), II) a)- d) nachweisen.
I) (⊕)
a) f1 ⊕ f2 ∈ V ?
Seien f1: f1 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 und f2: f2 (x) = b0 + b1 x + b2 x2 .
⇒ f1 ⊕ f2 : f1 (x) + f2 (x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2
= c0
+ c1 x
+ c2 x2
⇒ f1 ⊕ f2 ∈ V .
b) ist erfüllt, weil gilt (f1 ⊕ f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x) = f2 (x) + f1 (x) = (f2 ⊕ f1 )(x) ∀x ∈ R.
c) ist erfüllt, weil gilt ((f1 ⊕ f2 ) ⊕ f3 )(x) = (f1 (x) + f2 (x)) + f3 (x) = f1 (x) + (f2 (x) + f3 (x)) =
(f1 ⊕ (f2 ⊕ f3 )(x) ∀x ∈ R.
d) Das Nullelement bzgl. ⊕ ist f0 : f0 (x) = 0 + 0x + 0x2 ⇒ f0 ∈ V .
e) Sei f ∈ V ⇒ f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 .
Wir definieren f ∗ : f ∗ (x) = (−a0 ) + (−a1 )x + (−a2 )x2 = c0 + c1 x + c2 x2 .
Offensichtlich ist f ∗ ∈ V und es gilt: (f + f ∗ )(x) = f (x) + f ∗ (x) = f0 (x) = 0.
Damit existiert zu jedem Element f ∈ V ein inverses Element f ∗ ∈ V .
II) (*)
Man kann leicht zeigen, dass die Eigenschaften II)a)-d) für die Operation * ebenfalls gelten.
Demzufolge ist die Menge V aller Polynome bis zur Ordnung 2 und der bildweise definierten
Addition ⊕ und der bildweisen Definition der Multiplikation * eines Polynoms mit einem Skalar
ein Vektorraum.
q.e.d.
Aufgabe 4.17
Weisen Sie für (V, ⊕, ∗) aus Beispiel 4.4 die Eigenschaften II) a)-d) für die Operation * nach!
Aufgabe 4.18
Sei V die Menge aller Polynome bis zur 3. Ordnung
V= f : R → R, f (x) := c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 | c0 , c1 , c2 , c3 ∈ R
und seien die Operationen ⊕ und * wie folgt definiert:
⊕ : (f1 + f2 )(x) := f1 (x) + f2 (x) ∀x ∈ R
(2 Funktionen werden addiert, indem man ihre Funktionswerte addiert).
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
104
∗ : (λ ∗ f )(x) := λf (x) ∀x ∈ R
(eine Funktionen wird mit einer reellen Zahl multipliziert, indem man ihre Funktionswerte mit
dieser Zahl multipliziert).
Zeigen Sie, dass (V, ⊕, ∗) ein Vektorraum ist.
Aufgabe 4.19
Seien V = f : x ∈ R → f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 | a0 > 0, a1 ∈ R, a2 ∈ R und ⊕ und * wie oben
bildweise definiert. Warum ist V kein Vektorraum? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 4.20
Zeigen Sie dass die Menge von Schwingungen
V = {f : x ∈ R → f (x) = a · sin(x) + b · cos(x) | a, b ∈ R}
mit der wie oben im Beispiel 4.4 definierten bildweisen Addition ⊕ und Multiplikation * ein Vektorraum ist!
4.3.2
Erzeugendensystem, Basis und Dimension eines Vektorraumes
Definition 4.10
Sei (V, ⊕, ∗) ein Vektorraum, v1 , · · · , vk k Elemente des Vektorraumes und λ1 , · · · , λk ∈ R.
1. Dann heißt v = (λ1 ∗ v1 ) ⊕ (λ2 ∗ v2 ) ⊕ · · · ⊕ (λk ∗ vk ) Linearkombination (LK) von v1 , · · · , vk .
2. Eine Menge M ⊆ V heißt Erzeugendensystem (EZS) des Vektorraumes (V, ⊕, ∗) (kurz EZS von
V ), falls V gleich der Menge aller LK’s von Elementen aus M ist!
Beispiel 4.5
Seien ⊕ und ∗ die in Beispiel 4.4 definierte bildweise Addition zweier Funktionen und bildweise
definierte Multiplikation einer Funktion mit einem Skalar.
Sei V = f : x ∈ R → f (x) = a + bx + cx2 | a, b, c ∈ R die Menge aller Polynome bis zur 2.
Ordnung. Dann ist (V, ⊕, ∗) einen Vektorraum.
Erzeugendensystem von (V, ⊕, ∗) ist offensichtlich die Menge M = {f1 , f2 , f3 }, die die 3 Funktionen
f1 : x ∈ R → 1, f2 : x ∈ R → x ∈ R, f3 : x ∈ R → x2 ∈ R enthält.
Das EZS ist nicht eindeutig. Ein anderes EZS M1 enthält z.B. zusätzlich noch eine Funktion
f4 : x ∈ R → 7−3x+4x2 ∈ R bzw. f4 = (7∗f1 )⊕((−3)∗f2 )⊕(4∗f3 ) d.h. es ist M1 = {f1 , f2 , f3 , f4 }.
Weitere EZS erhält man stets, indem man zu M beliebige LK’s von f1 ,f2 ,f3 dazunimmt.
Beispiel 4.6
Sei V = {f : x ∈ R → f (x) = a · sin(x) + b · cos(x) | a, b ∈ R} eine Menge von Schwingungen. Wie
man leicht nachweisen kann, ist (V, ⊕, ∗) einen Vektorraum.
Erzeugendensystem von (V, ⊕, ∗) ist offensichtlich die Menge M = {f1 = sin, f2 = cos}, die die
beiden Funktionen sin(x) und cos(x) enthält.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
105
Das EZS ist nicht eindeutig. Ein anderes EZS ist z.B.
M1 = {f1 = sin, f2 = cos, f3 = (sin ⊕ cos)}.
Wir sehen an den beiden Beispielen, dass wir für die Darstellung von V eine minimal notwendige
Anzahl von erzeugenden Funktionen benötigen, wir benötigen mindestens 3 Stück zur Darstellung
aller Polynome bis zur 2. Ordnung und mindestens 2 Stück zur Darstellung aller Schwingungen.
Unterschreiten wir diese Anzahl, so lassen sich nicht alle Funktionen in V erzeugen. Wir können
die Anzahl aber beliebig durch LK’s aus den minimal notwendigen erzeugenden Vektoren überschreiten.
Zur Charakterisierung der minimal notwendigen Anzahl von erzeugenden Vektoren definieren
wir wieder die Begriffe der linearen Unabhängigkeit und linearen Abhängigkeit von Vektoren,
und darauf aufbauend den Begriff der Basis und der Dimension eines Vektorraumes, nun auf
allgemeinere Weise.
Definition 4.11 Sei (V, ⊕, ∗) ein Vektorraum und M ⊆ V , wobei M nicht den Nullvektor bzgl. ⊕
von V enthält.
1. M heißt linear abhängig, falls es ein Element w ∈ M gibt, welches sich als LK verschiedener
anderer Elemente aus M darstellen lässt:
w = (a1 ∗ v1 ) ⊕ · · · ⊕ (ak ∗ vk ), ai ∈ R und vi ∈ M .
2. M heißt linear unabhängig, falls M nicht linear abhängig ist.
Auch im allgemeinen Fall können wir die lineare Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit an der möglichen Art der Darstellung des Nullvektors in V bzgl ⊕ überprüfen. Es gilt folgender Satz.
Satz 4.6 Sei (V, ⊕, ∗) ein Vektorraum und M ⊆ V . M enthalte nicht den Nullvektor bzgl. ⊕ von
V . Dann gilt:
a) M ist linear abhängig, falls sich der Null-Vektor bzgl. ⊕ in V (wir bezeichnen ihn im folgenden
einfach mit 0) als nichttriviale LK von Elementen v1 , · · · , vk ∈ M darstellen lässt:
0 = (a1 ∗ v1 ) ⊕ · · · ⊕ (ak ∗ vk ), wobei nicht alle a1 , · · · , ak gleich 0 sind.
b) M ist linear unabhängig, falls sich der Nullvektor nur auf die triviale Weise darstellen lässt, d.h.
es gilt: ist 0 = (a1 ∗ v1 ) ⊕ · · · ⊕ (ak ∗ vk ), so sind a1 = · · · = ak = 0.
Satz 4.7 Eine Menge M ⊆ V von Elementen eines Vektorraumes (V, ⊕, ∗) heißt Basis des Vektorraums V, falls sie
1. Erzeugendensystem von V ist und
2. linear unabhängig ist.
Folgender Satz besagt, dass eine Basis nicht eindeutig ist, wohl aber die Anzahl der Basiselemente.
Satz 4.8 Sei (V, ⊕, ∗) ein Vektorraum. Dann gilt:
1. Die Basis von V ist nicht eindeutig.
2. Sei M eine endliche Basis von V mit k Basiselementen, |M|= k. Dann besteht jede Basis von V
aus genau k Elementen.
Da die Anzahl der Basiselemente eindeutig ist, kann man darauf aufbauend den Begriff der Dimension eines Vektorraumes definieren.
Definition 4.12 Sei (V, ⊕, ∗) ein Vektorraum und M eine endliche Basis von V mit k Basiselementen, |M|= k. Dann heißt k Dimension von V, wir schreiben dim(V ) = k.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
106
Zu Beispiel 4.5.
Betrachten wir nocheinmal Beispiel 4.5.
Seien ⊕ und ∗ die bildweise definierte Addition
zweier Funktionen und Multiplikation einer
Funktion mit einem Skalar und sei V = f : x ∈ R → f (x) = a + bx + cx2 | a, b, c ∈ R der
Vektorraum aller Polynome bis zur 2. Ordnung.
Wir behaupten, dass die 3 Funktionen f1 : x ∈ R → 1, f2 : x ∈ R → x ∈ R, f3 : x ∈ R → x2 ∈ R
eine Basis in V bilden.
Wie wir im Beispiel 4.5 gesehen haben, ist {f1 , f2 , f3 } EZS von V .
Wir müssen nun nur noch zeigen, dass {f1 , f2 , f3 } linear unabhängig ist.
Beweis:
Der Nullvektor in V ist die Funktion f0 : x ∈ R → 0.
Sei f0 = (a1 ∗ f1 ) ⊕ (a2 ∗ f2 ) ⊕ (a3 ∗ f3 ).
Daraus folgt ∀x ∈ R : 0 = a1 + a2 x + a3 x2 .
Daraus folgt speziell auch für die 3 verschiedenen x-Werte:
x=0:
0 = a1
x=1:
0 = a1 + a2 + a3
x = −1 : 0 = a1 − a2 + a3
Aus der ersten Gleichung folgt sofort a1 = 0 und unser Gleichungssystem reduziert sich zu :
0 = +a2 + a3
0 = −a2 + a3
Stellen wir die 1. Gleichung nach a2 um, erhalten wir a2 = −a3 . Setzen wir dieses a2 in die 3.
Gleichung ein, so erhalten wir 0 = 2a3 und folglich ist a3 = 0 und damit ist auch a2 = 0.
Wir haben also aus dem Ansatz f0 = (a1 ∗ f1 ) ⊕ (a2 ∗ f2 ) ⊕ (a3 ∗ f3 ) abgeleitet, dass dann
a1 = a2 = a3 = 0 sind. Damit sind f1 , f2 , f3 linear unabhängig.
q.e.d
Damit bildet {f1 , f2 , f3 } mit
x ∈ R, f3: x ∈ R → x2 ∈ R eine
f1 : x ∈ R → 1, f2 : x ∈ R →
2
Basis im Vektorraum V = f : x ∈ R → f (x) = a + bx + cx | a, b, c ∈ R aller Polynome bis zur
2. Ordung. Die Dimension von V ist damit dim(V ) = 3.
Aufgabe 4.21
Geben Sie eine Basis im Vektorraum V = f : x ∈ R → f (x) = a + bx + cx2 + dx3 | a, b, c, d ∈ R
aller Polynome bis zur 3. Ordung an!
Wie groß ist die Dimension von V ?
Aufgabe 4.22
Zeigen Sie, dass M = {f1 = sin, f2 = cos} eine Basis in der im Beispiel 4.6 definierten Menge V
aller Schwingungen bildet. Wie groß ist die Dimension von V ?
Aufgabe 4.23
a) Zeigen Sie, dass die Menge aller aus den beiden e-Funktionen eµ1 x und eµ2 x , µ1 6= µ2 , erzeugten
Funktionen
V = f : x → f (x) | f (x) = λ1 ∗ eµ1 x + λ2 ∗ eµ2 x , λ1 , λ2 ∈ R}
zusammen mit den bildweise definierten Operationen ⊕ und * ein Vektorraum ist!
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
107
b) Zeigen Sie, dass die Funktionen b1 (x) = eµ1 x und b1 (x) = eµ2 x für µ1 6= µ2 linear unabhängig
sind!
c) Wie groß ist die Dimension von V ?
4.4
Affine Räume
Ein weiterer mathematischer Raum ist der sogenannte Affine Raum. Affine Räume ergeben sich
in Verallgemeinerung der in Kapitel 3 eingeführten Geraden und Ebenen im R3 . Geraden und
Ebenen sind Mengen von Punkten, die man durch Abtragen von allen Vektoren -wie wir jetzt
wissen- eines Vektorraumes (R2 oder R3 ) an einen Aufpunkt erhält. Die Abtrageoperation wurde
bisher als komponentenweise Addition definiert und durch + bezeichnet. Diese Abtrageoperation
erfüllt gewisse Eigenschaften, z.B. ist
Punkt + Vektor = Punkt (im Gegensatz zur Vektoraddition: Vektor + Vektor = Vektor),
oder P + ~0 = P , d.h. das Abtragen des Nullvektors ändert den Punkt P nicht.
Wie der Begriff des Vektorraumes ist auch der Begriff des Affinen Raumes allgemein definiert.
Definition 4.13
Sei A eine beliebige Menge von Objekten (als Punkte bezeichnet), (V, ⊕, ∗) ein Vektorraum mit
der Vektoraddition ⊕ und der Multiplikation * eines Vektors aus V mit einem Skalar und sei +
die Operation Abtragen eines Vektors an einem Punkt.
Dann heißt das Tripel (A, (V, ⊕, ∗), +) (kurz A) Affiner Raum, falls die Abtrageoperation +
zusammen mit den Vektorraumoperationen ⊕, ∗ folgende Eigenschaften erfüllt:
a) ∀P ∈ A ∀v ∈ V : P +v ∈ A
(d.h. die Abtrageoperation führt nicht aus A herraus).
b) ∀P ∈ A ∀v, w ∈ V : (P +v)+w = P +(v ⊕ w)
(d.h. das hintereinander Abtragen von 2 Vektoren kann durch vorherige Vektoraddition und das
Abtragen des resultierenden Vektors erfolgen).
c) Ist v0 der Nullvektor in V bzgl. ⊕, so gilt ∀P ∈ A : P +v0 = P
(d.h. der Nullvektor bzgl. ⊕ ist auch der Nullvektor bzgl. +).
Die Elemente P eines Affinen Raumes werden als Punkte bezeichnet.
Wir können zeigen, dass sich jeder Affine Raum wie folgt darstellen lässt.
Satz 4.9
Sei (A, (V, ⊕, ∗), +) ein Affiner Raum und sei Po ∈ A ein beliebiger Punkt aus A. Dann kann
man A als Menge aller Punkte darstellen, die man erhält, wenn man an Po alle Vektoren des
Vektorraumes V abträgt: A = {P | P = P0 +v, v ∈ V }.
Wir scheiben für den Affinen Raum kurz A = Po +V . Dabei wird Po als Aufpunkt bezeichnet.
Satz 4.10 Sei (A, (V, ⊕, ∗), +) ein Affiner Raum mit V = {v | v = λ1 ∗ v1 ⊕ · · · ⊕ λk ∗ vk , λi ∈ R}.
Dann gilt:
A = {P | P = P0 +(λ1 ∗ v1 ⊕ · · · ⊕ λk ∗ vk ), λi ∈ R}.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.4 Vektorräume und Affine Räume
108
Definition 4.14
Sei (A, (V, ⊕, ∗), +) ein Affiner Raum mit V = {v | v = λ1 ∗ v1 ⊕ · · · ⊕ λk ∗ vk , λi ∈ R} und sei
M = {v1 , · · · , vk } ⊆ V eine Basis von V . Dann ist
A = {P | P = P0 +(λ1 ∗ v1 ⊕ · · · ⊕ λk ∗ vk ), λi ∈ R}
und wir nennen
• {Po , v1 , · · · , vk } Koordinatensystem des Affinen Raumes, Po Koordinatenursprung und
• die Anzahl k der Basisvektoren des Koordinatensystems Dimension des Affinen Raumes, d.h.
es ist dim(A) = dim(V ) = k.
Beispiele
 
vx
Seien Punkte P = (x, y, z) und Vektoren ~v = vy  als Tripel im R3 definiert und seien + = +
vz
als komponentenweise Addition eines Vektors zu einem Punkt (Abtragen), ⊕ = + als komponentenweise Addition zweier Vektoren und ∗ = · als komponentenweise Multiplikation eines Vektors
mit einem Skalar definiert.
3
~
1. Sei E eine Ebene im R
n , die durch den Aufpunkt Po und die obeiden Richtungsvektoren ~a, b
gegeben ist, d.h., E = P ∈ R3 | P = Po + λ · ~a + µ · ~b, λ, µ ∈ R .
Dann ist (E, (V, +, ·), +) ein Affiner Raum der Dimension dim(E) = 2. Ein Koordinatensystem
der Ebene ist durch
n
o
Po , ~a, ~b gegeben.
Bemerkung: Da Aufpunkt und die Richtungsvektoren der Ebene nicht eindeutig bestimmt sind,
ist auch das Koordinatensystem der Ebene nicht eindeutig bestimmt; die Ebene E hat unendlich
viele mögliche Koordinatensysteme!
2. Sei g eine Gerade im R3 mit dem Aufpunkt Po und dem Richtungsvektor ~a. Dann ist
(g, (H({~a}), +, ·), +) ein Affiner Raum der Dimension 1. Ein Koordinatensystem von g ist {Po , ~a}.
Aufgabe 4.24
Sei A ⊆ R3 eine Menge von Punkten, V ⊆ R3 eine Menge von Vektoren und +, ⊕ als komponentenweise Additionen und * als komponentenweise Multiplikation eines Vektors mit einer reellen
Zahl definiert. Geben Sie je einen Affinen Raum A ⊆ R3 der Dimension 1, 2 und 3 an!
Affine Räume können auch wieder ganz andere Räume, z.B. Räume von Funktionen, sein.
Aufgabe 4.25
Seien für Funktionen fi : x ∈ R → fi (x) ∈ R die Operationen +,⊕ und * wie folgt bildweise
definiert:
+ : (f1 +f2 ) : x ∈ R → f1 (x) + f2 (x)
⊕ : (f1 ⊕ f2 ) : x ∈ R → f1 (x) + f2 (x)
∗ : (λ ∗ f1 ) : x ∈ R → λf1 (x)
Sei V = {f : x → f (x) | f (x) = λ1 eµ1 x + λ2 eµ2 x , λ1 , λ2 ∈ R}, mit µ1 6= µ2 .
Man kann zeigen, dass (V, ⊕, ∗) ein Vektorraum ist.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
109
Zeigen Sie, dass dann (A, (V, ⊕, ∗), +) ein Affiner Raum ist, für
A = {f : x → f (x) | f (x) = x + λ1 ∗ eµ1 x + λ2 ∗ eµ2 x , λ1 , λ2 ∈ R} µ1 6= µ2 .
Geben Sie einen Aufpunkt des Affinen Raumes und eine Basis des zugehörigen Vektorraumes an!
Wie groß ist die Dimension des Affinen Raumes?
4.5
Hausaufgabe
Hausaufgabe 10 : Übungsblatt 7
Kapitel 5
Matrizen
5.1
Einleitung
Beispiel 5.1
Angenommen, wir möchten die Parabel y = ax2 + bx + c finden, die genau durch die 3 Messpunkte
P1 = (1, 2), P2 = (3, 5) und P2 = (−1, 4) verläuft.
Diese Aufgabe können wir z.B. wie folgt lösen. Die 3 Punkte müssen die Parabelgleichung erfüllen,
d.h. es muss gelten:
a
9a
a
+ b
+ c =
+ 3b + c =
− b
+ c =
2
5
4
Dieses System von 3 Gleichungen nennt man lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen
und den 3 Unbekannten a, b und c.
Wir können dieses Gleichungssystem auflösen, indem wir eine Gleichung, z.B. die 1., nach einer der
Unbekannten, z.B. a, umstellen, dieses a in die 2. Gleichung einsetzen, diese wiederum nach der
Unbekannten b umstellen, dieses b in die 3. Gleichung einsetzen und diese dann nach c auflösen.
Anschließend wird mit diesem c b ermittelt und dann mit diesen beiden Werten auch a.
Dieses Verfahre nennen wir Einsetzverfahren.
Nun stellen Sie sich einmal vor, wir hätten es nicht mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten, sondern
mit z.B. 10 Gleichungen und 10 Unbekannten zu tun. Der Aufwand beim Einsetzverfahren wäre
110
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
111
enorm und wir würden schnell den Überblick verlieren.
Mit Hilfe der sogenannten Matrizenrechnung lassen sich lineare Gleichungssysteme eleganter
und effizienter lösen und man kann darüber hinaus erkennen, ob ein Gleichungssystem überhaupt
eine Lösung hat und wenn ja, wie viele.
Die linken Seiten unseres Gleichungsystems kann
 man
 als Skalarprodukte auffassen, 
a
a
die linke Seite der 1. Zeile ist z.B. (1, 1, 1) ·  b , die der 2. Zeile ist (9, 3, 1) ·  b  und die
c
c
 
a
der 3. Zeile ist (1, −1, 1) ·  b . Die Zeilenvektoren, die die Koeffizienten vor den 3 Unbekannten
c
darstellen, kann man in einer sogenannten Matrix, der Koeffizientenmatrix, zusammenfassen
und wir erhalten die Matrizenschreibweise des obigen linearen Gleichungssystems:

    
1 1
1
a
2
 9 3
1  ·  b  = 5.
1 −1 1
c
4
Die Koeffizientenmatrix unseres Gleichungssystems ist eine sogenannt 3x3-Matrix, wobei die erste
3 für die Anzahl der Zeilen und die zweite 3 für die Anzahl der Spalten steht.
Nicht jedes Gleichungssystem ist lösbar. Wie wir in den folgenden Abschnitten begründen werden,
können wir an der Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems ablesen, ob es genau eine Lösung
für a, b und c besitzt. Dabei spielt die sogenannte Determinante der Koeffizientenmatrix eine
besondere Rolle, die ihren Namen bekommen hat, weil sie bestimmt (determiniert), ob das
Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht; ist die Determinante der Koeffizientenmatrix
ungleich 0, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, andernfalls nicht.
Die Determinante einer Matrix A bezeichnen wir mit |A|, d.h., die Determinante einer Matrix hat
nicht runde Klammern, sondern Betragsstriche.
Für eine 3x3-Matrix ist die Determinante als Spatprodukt der 3 Spaltenvektoren der Matrix
definiert. Dieses hatten wir mit Hilfe der Sarrus’schen Regel (siehe Abschnitt 2.7.2) berechnet.
Für unser Beispiel ist das Spatprodukt der 3 Spaltenvektoren bzw. die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich
Folglich ist unser Gleichungssystem eindeutig lösbar.
Wir können auf der Basis der Matrizenschreibweise auch die Lösung des Gleichungssystems elegant
ermitteln. Dafür gibt es mehrere Verfahren, die wir in den folgenden Abschnitten ausführlich
erläutern werden.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
112
Eines davon ist zum Beispiel die sogenannte Cramerschen Regel. Die Unbekannten a, b und c
sind nach dieser Regel Brüche von Spatprodukten bzw. Determinanten, wobei im Nenner stets
die Determinante der Koeffizientenmatrix steht und im Zähler die Determinante der Matrix, die
entsteht, wenn man in der Koeffizientenmatrix die erste, zweite bzw. dritte Spalte durch den
Vektor der rechten Seite des Gleichungssystems ersetzt:
a=
2
5
4
1
9
1
1
3
−1
1
3
−1
1
1
1
1
1
1
=
−10
−16
= 85 , b =
1 2 1 9 5 1 1 4 1 =
1 1
1 9 3
1 1 −1 1 Die beste Parabel ist folglich y = 85 x2 − x +
16
−16
= −1, c =
1 1
2
9 3
5
1 −1 4
1 1
1
9 3
1
1 −1 1
=
−38
−16
=
19
8 .
19
8 .
Aufgabe 5.1
a) Welche Gesetzmäßigkeit besteht zwischen den Unbekannten und der Zählerdeterminanten?
b) Rechnen Sie die Ergebnisse für die Parameter a, b, c der gesuchten Parabel nach!
c) Skizzieren Sie die Parabel und die Punkte P1 , P2 , P3 in einem Koordinatensystem und überzeugen
Sie sich von der Richtigkeit des Ergebnisses! Verläuft die Parabel durch die 3 gegebenen Punkte?
Aufgabe 5.2
Bestimmen Sie die Parabel y = ax2 + bx + c, die durch die 3 Punkte P1 = (1, 1), P2 = (−1, 0) und
P3 = (2, 2) verläuft!
a) Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf!
b) Geben Sie das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise an!
c) Berechnen Sie die Parameter a, b, c der gesuchten Parabel nach der Cramerschen Regel!
d) Überzeugen Sie sich von der Richtigkeit des Ergebnisses, d.h. verläuft die Parabel durch die 3
gegebenen Punkte?
Aufgabe 5.3
Schreiben Sie folgendes Gleichungssystem in Matrizenschreibweise!
x
+ y = 1
−x + y = 3
Beispiel 5.2
Wollen wir die Gerade y = ax + b bestimmen, die durch die beiden Punkte P1 = (1, 1) und
P2 = (−1, 3) verläuft, so müssen wir das lineare Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den
beiden Unbekannten a und b lösen:
a
+ b = 1
1
1
a
1
bzw. in Matrizenschreibweise
·
=
.
−a + b = 3
−1 1
b
3
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
113
Auch im Fall eines Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten wird die Lösbarkeit
durch die Determinante der Koeffizientenmatrix bestimmt. Diese ist für eine 2x2-Matrix als
Differenz des Produktes zweier Diagonalen definiert:
a1
a3
a2 = a1 · a4 − a3 · a4 .
a4 Ist die Determinate der Koeffizientenmatrix ungleich 0, so ist unser Gleichungssystem eindeutig
lösbar, andernfalls nicht.
In unserem Beispiel ist
1
−1
1 = 1 · 1 − (−1) · 1 = 2 6= 0,
1 folglich ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.
Im Fall zweier Gleichungen mit 2 Unbekannten gilt ebenfalls die Cramerschen Regel. Die
Unbekannten a und b sind nach dieser Regel wieder gleich dem Bruch zweier Determinanten, wobei
im Nenner stets die Determinante der Koeffizientenmatrix steht und im Zähler die Determinante
der Matrix, die entsteht, wenn man in der Koeffizientenmatrix die erste bzw. zweite Spalte durch
den Vektor der rechten Seite des Gleichungssystems ersetzt:
a=
1 1 3 1 =
1
1 −1 1 −2
2
= −1, b =
1
1
−1 3
1
1
−1 1
=
4
2
= 2.
Damit ist die beste Gerade gleich y = −x + 2.
Aufgabe 5.4
Lösen Sie folgende Gleichungssysteme mittels Cramerscher Regel! Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse,
indem Sie die Probe machen!
a)
2x − 4y
−x + 2y
=
=
1
3
b)
5x
2x
+ 3y
− 3y
=
=
7
1
Aufgabe 5.5
Welche Gerade verläuft durch die beiden Punkte P1 = (7, −2) und P2 = (3, 3)?
Aufgabe 5.6
Schreiben Sie folgendes Gleichungssystem in Matrizenschreibweise!
2x +
−x +
x
+
3y
y
2y
y
− z
+ 3z
+ 9z
= 0
= 1
= −1
= 2
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
5.2
114
Was sind Matrizen?
Bevor wir uns in den weiteren Kapiteln 6 und 7 mit Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme befassen, wollen wir uns in diesem Kapitel zunächst genauer mit Matrizen und ihren
Eigenschaften vertraut machen.
Definition 5.1 Ein Zahlenschema

a11 a12 · · · a1j · · ·
 a21 a22 · · · a2j · · ·

 ..
..
..
 .
.
···
.
···
A=
 ai1 ai2 · · · aij · · ·

 .
..
..
 ..
.
···
.
···
am1 am2 · · · amj · · ·
aus reellen Zahlen aij der Gestalt:

a1n
a2n 

.. 
. 
 = ((aij ))j=1,...,n
i=1,...,m
ain 

.. 
. 
amn
heißt m x n - Matrix.
m x n wird als Typ der Matrix A bezeichnet,
aij ist das i, j-te Element der Matrix A,
i heißt Zeilenindex und j Spaltenindex der Matrix A.
Wir können Matrizen also als Auflistung von n Spaltenvektoren der Länge m oder Auflistung von
m Zeilenvektoren der Länge n auffassen.
Beispiele:

1 2
1. A= 3 −1
4 −7

1 0
2. B= 2 −1
1 1


1
 2 

3. C=
 −1 ,
4
4. D= 1

,
Typ: 3x2, a31 = 4, a22 = −1.

3 5
4 7 , Typ: 3x4, a23 = 4.
1 1
Typ: 4x1, a31 = −1.
2 −1
4 , Typ: 1x4, a13 = −1.
Wir sehen, dass Vektoren Spezialfälle von Matrizen sind, wobei sich unterschiedliche Matrizen
ergeben, wenn man den Vektor als Spaltenvektor oder Zeilenvektor schreibt.
Definition 5.2


a11 · · · a1n
 ..
i=1,··· ,n
..
.. .
Sei A=((aij))i=1,···
,m = 
.
.
. 
am1 · · · amn
Die Matrix, die entsteht, wenn man die Zeilen und Spalten von A vertauscht ist


a11 a21 · · · am1
 ..
,m
..
..
.. 
AT = ((aji )i=1,···
j=1,··· ,n = 
.
.
.
. 
a1n a2n · · · amn
und heißt Transponierte (oder transponierte Matrix) von A.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
115
Beispiele:
a) A =
c) A =

1
1 2 3
⇒ AT =  2
4 5 6
3
 
1
1 2 3 ⇒ AT = 2
3


4
5 
6
b) B =
1
4
2
5
3
6
4
−1
 
0
d) ~v = 3 ⇒ ~v T =
7
0
1

2
⇒ AT = 
 3
4
3
7

4
5 

6 
−1
Definition 5.3
a) Eine Matrix vom Typ n x n heißt quadratisch.
b) Eine quadratische Matrix A für die gilt AT = A heißt symmetrisch.
Beispiele für

1
a) A =  2
3
symmetrische Matrizen:


2 3
10
5 6 
b) B =  0
6 −1
0

0
0 
−1
0
5
0
Bezeichnungen für besondere quadratische Matrizen:
1. Eine quadratische nxn - Matrix
 der Form

a1 0 · · · 0

.. 
 0 a2 . . .
. 
,
A := diag(a1 , a2 , · · · , an ) = 
 . .

.. ... 0 
 ..
0 ···
0 an
die außerhalb der sogenannten Hauptdiagonalen nur 0-Elemente enthält, wird als Diagonalmatrix bezeichnet.
Beispiele:

10
a) diag(10, 5, 3) =  0
0

10 0 0 0
 0 5 0 0 

b) diag(10, 5, 0, 3) = 
 0 0 0 0 
0 0 0 3


0 0
5 0 
0 3
2. Die quadratische Diagonalmatrix vom Typ nxn


1 0 ··· 0

. 
..
 0 1
. .. 
,
En = diag(1, 1, · · · , 1) = 
 . .

.. ... 0 
 ..
0 ···
0 1
die nur Einsen in der Hauptdiagonalen enthält und ansonnsten nur aus 0-Elementen besteht,
heißt n-dimensionale Einheitsmatrix.
Beispiele:
1

0
a) E3 =
0
0
1
0

0
0 
1
b) E2 =
1
0
0
1
3. Je nach Anordnung von 0-Elementen unterscheiden wir zwischen
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
116
Aufgabe 5.7
a) Geben Sie den Typ und die Transponierteder
1
1 2 3 0
a1 ) A =
a2 ) B =  4
4 5 6 −1
0
folgenden
Matrizen an!

2
5 
a3 ) C = 1 2
3
b) Welche der
Matrizen

 folgenden quadratischen

1 0 3
7
1

 0 5 4
0 

0
b
)
B
=
b1 ) A = 
 3 4 8 −1  2
3
7 0 −2 10
sind symmetrisch?

0 3
1
5 4  b3 ) C =
2
4 8
3
4
0
0
a4 ) ~v =
3
b4 ) D =
1
2
2
4
c) Geben Sie je eine weitere symmetrische Matrix vom Typ 4 x 4 und 5 x 5 an!
d) Geben Sie je ein Beispiel für 4 x 4 - Matrizen von folgendem Typ an: Einheitsmatrix, Diagonalmatrix, obere und untere Dreiecksmatrix, Bandmatrix!
5.3
5.3.1
Rechnen mit Matrizen
Gleichheit zweier Matrizen
Definition 5.4
,n
j=1,··· ,n
Zwei Matrizen A = ((aij ))j=1,···
i=1,··· ,m und B = ((bij ))i=1,··· ,m vom gleichen Typ n x m sind identisch, wenn ihre Elemente übereinstimmen, d.h. wenn gilt:
aij = bij , ∀ i = 1, · · · , m und ∀ j = 1, · · · , n.
5.3.2
Die Addition und Subtraktion von Matrizen, die Multiplikation
einer Matrix mit einem Skalar
Die Addition zweier Matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar sind wie bei
Vektoren im Rn komponentenweise definiert.
Definition 
5.5
a11
 ..
Seien A =  .



a1n
b11 · · · b1n
..  und B =  ..
..
..  zwei Matrizen vom gleichen
 .
. 
.
. 
am1 · · · amn
bm1 · · · bmn
Typ m x n und sei λ ∈ R eine beliebige reelle Zahl. Dann definieren wir
···
..
.
,n
a) λ · A = ((λ · aij ))j=1,···
i=1··· ,m (elementweise Multiplikation)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
117
,n
b) A + B = ((aij + bij ))j=1,···
i=1,··· ,m (elementweise Addition)
,n
c) A − B = ((aij − bij ))j=1,···
i=1,··· ,m (elementweise Subtraktion)
Bespiel:
1 0
1
3·(
)−4·
2 4
2
2
0
=
−1
−2
−8
12
Aufgabe 5.8
1
Berechnen Sie die Matrix −2 · (
2
5.3.3
0
4

1
4
)+5· 2
0
3
T
2
0  .
0
Die Matrizenmultiplikation


ai1
 
−
Wir verwenden im folgenden die Vektoren →
ai =  ...  ∈ Rs , i = 1, · · · , m ,
ais
 
b1j
→
−
→
−
 
−
und bj =  ...  ∈ Rs , j = 1, · · · , n. Das Skalarprodukt von →
ai und bj ist dann gleich
bsj
Ps
→
−
→
−
ai T · bj = k=1 aik · bkj .

3
Beispiel: (2, 3, 7) · −1 = 2 · 3 + 3 · (−1) + 7 · (−2) = −11.
−2

Auf der Basis dieser Skalarprodukte ist das Produkt zweier Matrizen A und B definiert, bei denen
die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt.
Definition 5.6 

Seien A



b11
 ..
B= .
bs1
=
···
..
.
···
a11 · · · a1s
 ..
..
..
 .
.
.
am1 · · · ams

b1n
−
..  = →

b1 , · · ·
.
=
→

−
a1 T
 .. 
 .  eine Matrix vom Typ m x s und
−
a→T
m
→
−
, bn eine Matrix vom Typ s x n.
bsn
D.h., die Spaltenzahl von A sei gleich der Zeilenzahl von B. Dann ist das Matrizenprodukt
wie folgt definiert:
Ps
→
−
,n
−
ai T · bj .
C = A · B = ((cij ))j=1,···
mit cij = k=1 aik · bkj = →
i=1,··· ,m ,
D.h., das ij-te Element cij der Produktmatrix C ist gleich dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von
A mit der j-ten Spalte von B.
Bemerkung: Das Produkt A · B zweier Matrizen A und B ist nur dann definiert, wenn die
Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Für andere Typen von Matrizen ist
das Matrizenprodukt nicht definiert. Die Ergebnismatrix C ist vom Typ mxn:
mxs
A
· sxn =
· B
=
mxn
C
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
118
Beispiele:

1. Seien A =
1
4
2
5
−1
0
3
6
Dann ist C = A · B =

1
4

0
2
1 2 3


−1 1
2.
·
4 5 6
1 −2
 

1
3.  2  · 1 2 3 = 
3

0
2
 −1 1 

und B = 
 1 −2 .
0
1


0
2
 −1 1 
2 3 −1
1
=
·
 1 −2 
5 6 0
1
0
1


8
10 12
3
3 .
= 3
−7 −8 −9


1 2 3
1
2 4 6  und
1 2 3 · 2
3 6 9
3
−7
1
.

 = (14).
Aufgabe 5.9
Berechnen Sie A · B und C · A für A =
C = E2 =
5.3.4
1
0
0
1
1
4
2
5
3
6

, B = E3
1
=  0
0
0
1
0

0
0  und
1
. Was stellen Sie fest?
Eigenschaften der arithmetischen Rechenoperationen mit Matrizen
Satz 5.1 Es gilt:
a) A + B = B + A
(d.h., die Matrizenaddition ist kommuntativ).
b) A · B ist nicht kommutativ, d.h es gilt nicht immer A · B = B · A.
c) Sei A eine mxn-Matrix. Dann gilt
A · En = Em · A = A
(d.h., die Einheitsmatrix ist das neutrale Element (’1’ - Element) der Multiplikation).
d) Sei A eine mxs Matrix und B eine sxn-Matrix. Dann gilt
(A · B)T = B T · AT
Aufgabe 5.10


0
2
a) Seien A =
und B =  −1 1 .
1 −2
Prüfen Sie mit diesen beiden Matrizen die Eigenschaft d) aus Satz 5.1 nach!


0
2
 −1 1 
1 2 3 1
0 2
 und C =
b) Seien A =
, B=
.
 1 −2 
4 5 6 0
−1 1
1
0
T
Berechnen Sie die Matrix 2 · (3 · A · B)T − 4 · C .
1
4
2
5
3
6
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
119
Definition 5.7 Sei A eine quadratische nxn-Matrix. Dann heißt die Matrix A−1 , für die gilt
A · A−1 = A−1 · A = En
Inverse (bzw. inverse Matrix) zu A.
Satz 5.2
a
Sei A =
c
b
d
. Dann ist A−1 =
1
ad−bc
·
d −b
−c a
.
Bemerkung:
Mit Hilfe der Inversen können wir ebenfalls lineare Gleichungssysteme lösen, und zwar solche,
die genauso viele Gleichungen wie Unbekannte besitzen. Sei unser Gleichungssystem in Matrizenschreibweise von folgender Gestalt:
A · ~x = ~b,
wobei A die Koeffizientenmatrix vom Typ nxn, ~x ∈ Rn der Vektor der n Unbekannten und ~b ∈ Rn
der Vektor der rechten Seiten des Gleichungssystems sind. Dann gilt
A · ~x = ~b ⇐⇒ A−1 · A · ~x = A−1 · ~b ⇐⇒ En · ~x = A−1 · ~b ⇐⇒ ~x = A−1 · ~b.
Aufgabe 5.11
a) Weisen Sie Satz 5.2 nach, indem Sie zeigen, dass gilt A−1 · A = E2 .
x1
b) Lösen Sie folgendes Gleichungssystem nach ~x =
mit Hilfe der inversen Koefffizientenmatrix
x2
auf!
2x1
x1
5.4
5.4.1
−
+
3x2
x2
= 1
= 0
Der Rang einer Matrix
Was ist der Rang einer Matrix?
,n
Definition 5.8 Sei A = ((aij ))j=1,···
i=1,··· ,m eine m x n - Matrix. D.h., A besteht aus n Spaltenvektoren
bzw. m Zeilenvektoren und 
wir können
 A wie folgt schreiben:
a1j
 .. 
−
→
−
m
A = (→
a1 , · · · , −
a→
bzw.
n ) mit aj = 
. ∈R
 →
−T
b1
 .

A =  ..
−
→
bm T
amj


−T
 mit →
bi = bi1 , · · · , bin ∈ Rn .

1. Die Zahl k der maximal linear unabhängigen Spaltenvektoren von A heißt Spaltenrang von A,
Schreibweise: srg(A) = k.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
120
2. Die Zahl l der maximal linear unabhängigen Zeilenvektoren von A heißt Zeilenrang von A.
Schreibweise: zrg(A) = l.
Satz 5.3 Sei A eine n x m-Matrix. Dann gilt stets: srg(A) = zrg(A) ≤ min{n, m}.
D.h., es ist stets Spaltenrang=Zeilenrang. Wir sprechen deshalb nur vom Rang einer Matrix
und schreiben dafür rg(A)(= zrg(A) = srg(A)). Der Rang einer Matrix überschreitet Zeilen- und
Spaltenzahl der Matrix nicht.
Ist A eine mxn-Matrix und ist rg(A) = min{m, n}, so sagt man: A besitzt vollen Rang.
Beispiele:
1. A = 10 21 ⇒ rg(A) = 2, denn beide Spaltenvektoren sind nicht parallel und damit linear
unabhängig.


1 2
2. A =  0 1  ⇒ rg(A) = 2, denn beide Spaltenvektoren sind nicht parallel und damit linear
0 3
unabhängig.


1 2 4
3. A =  0 1 2  Behauptung: rg(A) = 3.
0 0 3
Beweis: Wir zeigen, dass die 3 Spaltenvektoren linear unabhängig sind.
 
 
   
1
2
4
0
Sei λ1 · 0 + λ2 · 1 + λ3 · 2 = 0
0
0
3
0
λ1 + 2λ2 + 4λ3 = 0
λ2
+ 2λ3 = 0
=⇒
→ λ2 = 0 %
3λ3 = 0
→ λ3 = 0 %
q.e.d.
→ λ1 = 0
.
Wir sehen, dass der Rang einer quadratischen oberen Dreiecksmatrix gleich der Anzahl der Zeilen
bzw. Spalten ist, die Matrix A in diesem Fall also vollen Rang besitzt. Dieses Ergebnis werden
wir im nächsten Abschnitt verallgemeinern.
Aufgabe 5.12
Wie groß sind Zeilenrang, Spaltenrang und Rang der folgenden





4
4 2 3
4 0 0
 0
a) A =  0 1 0  b) B =  0 1 −1  c) C = 
 0
0 0 7
0 0 7
0
5.4.2
Matrizen?


2 3
4
1 −1 
 d)D =  0
0 7 
0
0 0
2
1
0
3
−1
7
Eigenschaften des Ranges einer Matrix
Wenn eine Matrix A in Diagonal- oder Dreiecksform vorliegt, so können wir den Rang sofort
ablesen. Es gilt folgender Satz.

1
2 
3
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
Satz 5.4 Es gilt:

a11
 0

1. Wenn A= .
 ..
0
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
···
0
ann
121



 eine obere Dreiecksmatrix vom Typ n x n ist mit

aii 6= 0 ∀ i = 1, · · · , n, so gilt rg(A) = n.

a11
0
..
.





2. Wenn A=
 0
 0

 .
 ..
0
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
···
···
0
0
..
.
ann
0
..
.
0
0
···
···






 eine mxn -Matrix mit m > n und aii 6= 0 ∀ i = 1, · · · , n,





ist, so gilt rg(A) = n.



3. Wenn A=

a11
0
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1m
a2m
..
.
a1(m+1)
a2(m+1)
..
.
0
···
0
amm
am(m+1)
···
···
···
···
a1n
a2n
..
.



 eine mxn -Matrix mit m < n

amn
und aii 6= 0 ∀ i = 1, · · · , m, ist, so gilt rg(A) = m.

a11
0
..
.





4. Wenn A=
 0
 0

 .
 ..
0
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1r
a2r
..
.
a1(r+1)
a2(r+1)
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
arr
0
..
.
ar(r+1)
0
..
.
···
···
···
..
.
···
0
0
0
···
aii 6= 0 ∀ i = 1, · · · , r, so gilt rg(A) = r.
Beispiele

4
 0
1. A = 
 0
0

4
 0
2. B = 
 0
0

4
3. C =  0
0
2
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0

6
0 
 =⇒ rg(A) = 4.
0 
1

3 7
−1 6 
 =⇒ rg(B) = 3.
7 5 
0 0

3 1 7
−1 2 0  =⇒ rg(C) = 3.
7 3 6
3
−1
7
0
···
···
a1n
a2n
..
.






arn 
 eine mxn -Matrix ist mit
0 

.. 
. 
0
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
122
Wenn eine Matrix A nicht in Dreiecksform vorliegt, so können wir sie durch geschickte Anwendung
von 3 Operationen, die den Rang nicht verändern, in eine der Dreiecksformen 1-4 des Satzes 5.4
bringen.
Die 3 Operationen, die den Rang nicht verändern, basieren auf dem Erhalt der Linearen Unabhängigkeit zweier Vektoren bei Anwendung bestimmter Operationen.
Operationen, die den Rang einer Matrix nicht verändern:
→
−
→
− −
−
(1) →
a , b linear unabhängig ⇔ b , →
a linear unabhängig.
D.h., die Vertauschung von Zeilen oder Spalten einer Matrix ändert ihren Rang
nicht.
→
−
→
−
−
−
(2) →
a , b linear unabhängig ⇔ λ · →
a , b linear unabhängig.
D.h., die Multiplikation einer Zeile oder Spalte einer Matrix mit einer reellen Zahl
λ ∈ R, λ 6= 0 ändert ihren Rang nicht.
→
−
→
−
−
−
−
(3) →
a , b linear unabhängig ⇔ →
a, b +λ·→
a , λ 6= 0 linear unabhängig.
D.h., der Rang einer Matrix A ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile oder
Spalte von A das Vielfache einer anderen Zeile oder Spalte von A dazu addiert.
Beispiele:

1.
1
A= 0
0
2
0
0

1
2 
3

Z3 − 32 Z2
1 2 1
⇒ 0 0 2
0 0 0

1 1
⇒ 0 2
0 0



2
0 
0
S2 ↔ S3
⇒ rg(A) = 2.
Dabei bedeutet Z3 − 23 Z2, dass im ersten Schritt von Zeile 3 der Matrix A das 1, 5 fache der
2. Zeile abgezogen wird. Im 2. Schritt werden dann noch die Spalten 2 und 3 miteinander
vertauscht (S2 ↔ S3) und wir erhalten eine Matrix in Dreiecksgestalt, die den gleichen Rang
wie A besitzt. Diesen können wir gemäß Satz 5.4 ablesen, es ist rg(A) = 2.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen

2.
1
A= 2
1
5.4.3
4
3
4

5
1 
6

Z2 − 2Z1
Z3 − Z1
1
⇒ 0
0
123
4
−5
0

5
−9 
1
⇒ rg(A) = 3.
Der Gaussche Algorithmus zur Rangbestimmung
Wenden wir die 3 Operationen zur Rangbestimmung in einer bestimmten vorgeschriebenen
Reihenfolge an, so entsteht ein Algorithmus, den man als Gausschen Algorithmus (GA)
bezeichnet.
Der Gaussche Algorithmus zur Rangbestimmung
1. Schritt: Stelle eine Zeile der Matrix A an die Stelle der 1. Zeile, die als 1. Element keine 0
hat. Am günstigsten ist es, wenn das erste Element der ersten Zeile gleich 1 ist.


a11 · · · a1j · · · a1n
 ..
..
.. 
 .
···
.
···
. 



a
·
·
·
a
·
·
·
a
A =⇒ A1 = 
ij
in  wobei a11 6= 0 ist.
 i1
 .

.
.
..
.. 
 ..
···
···
am1 · · · amj · · · amn
(Wenn alle Elemente der ersten Spalte von A gleich 0 sind, so lösche die erste Spalte in A, sie
hat keinen Einfluss auf den Rang von A.)
2. Schritt: Die erste Zeile von A1 bleibt unberührt, wir bezeichnen Sie als Pivot-Zeile und das
erste Element a11 dieser Zeile als Pivotelement.
Von jeder der anderen Zeilen 2 bis m wird nun ein solches Vielfaches der ersten Zeile abgezogen,
dass unterhalb von a11 in der ersten Spalte nur noch Nullen stehen.

a11
a21
a31
..
.





A1 = 

 ai1

 .
 ..
am1
a12
a22
a32
..
.
ai2
..
.
am2
···
···
···
···
···
···
···
a1n
a2n
a3n
..
.
ain
..
.
amn












Pivotzeile
· Z1
Z2 − aa21
11
Z3 − aa31
· Z1
11
..
.
i1
Zi − aa11
· Z1
..
.
Zm − aam1
· Z1
11

a11
0
0
..
.





=⇒ A2 = 

 0

 .
 ..
0
a12
a∗22
a∗32
..
.
ai2 ∗
..
.
am2 ∗
···
···
···
···
···
···
···
a1n
a2n ∗
a∗3n
..
.
a∗in
..
.
a∗mn












3. Schritt: Wir streichen die 1. Zeile und 1. Spalte der Matrix A2 und wiederholen Schritt 1 und
Schritt 2 des Algorithmusses für die verbleibende * Matrix.
D.h., im nächsten Schritt stellen wir eine Zeile an die Stelle der 2. Zeile von A2 , deren 1.
Element 6= 0 ist. Das wird unsere neue Pivotzeile. Ist bereits a∗22 6= 0, so wären die 2. Zeile von
A2 unsere nächste Pivotzeile und a∗22 das Pivotelement und der 3. Schritt der folgende:
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen

a1n
a2n ∗
a∗3n
..
.
ai2 ∗
..
.
a13 · · ·
a23 ∗ · · ·
a33 ∗ · · ·
..
.
···
a∗i3 · · ·
..
.
···
am2 ∗
a∗m3
a∗mn
a11
0
0
..
.





A2 = 

 0

 .
 ..
0

a12
a∗22
a∗32
..
.
···
a∗in
..
.
124

Pivotzeile
Z3∗ − aa31∗ ∗ · Z2∗
22
..
.
a∗
Zi∗ − a∗i1 · Z2∗
22
...
a∗
Zm∗ − am1
· Z2∗
∗











22
a11
0
0
..
.





=⇒ A3 = 

 0

 .
 ..
0
a12
a∗22
0
..
.
a13
a∗23
a∗∗
33
..
.
0
..
.
a∗∗
i3
..
.
0
a∗∗
m3
···
···
···
···
···
···
···
a1n
a2n ∗
a∗∗
3n
..
.
a∗∗
in
..
.
a∗∗
mn












Wir wenden nun Schritt 1 und Schritt 2 des Algorithmus auf die
den Vorgang so lange, bis aus A eine Matrix der Form


ã11 ã12 · · · ã1r ã1(r+1) · · · ã1n
 0 ã22 · · · ã2r ã2(r+1) · · · ã2n 


 ..
..
..
.. 
..
..
 .
.
.
.
.
···
. 



0 ãrr ãr(r+1) · · · ãrn 
à =  0 · · ·

 0 ···
0
0
0
···
0 


 .
..
..
..
.. 
 ..
···
.
.
.
···
. 
0
···
0
0
0
···
∗∗
Matrix an und wiederholen
0
entsteht, mit ãii 6= 0 ∀ i = 1, ·, r. Nach Satz 5.4 ist dann rg(A) = rg(Ã) = r.
Bemerkungen:
Wir dividieren in jedem Schritt 2 durch das jeweilige Pivotelement a11 , a∗22 , a∗∗
33 usw., bzw.
a∗
i1
wir ziehen von einer Zeile i das aa11
- bzw. a∗i2 - usw. -fache der jeweiligen Pivotzeile ab. Um
22
Bruchrechnung zu vermeiden, kann man vor Anwendung von Schritt 2 zunächst die Pivotzeile
mit dem ersten Element der i.ten Zeile und die i.te Zeile mit dem Pivotelement, d.h., dem ersten
Element der Pivotzeile, multiplizieren. Dabei ändert sich, wie wir wissen, der Rang von A nicht.
Zusätzlich zu den beiden Schritten des GA kann es neben der Multiplikation von Zeilen (oder
Spalten) der Matrix A auch notwendig sein, Zeilen oder Spalten zu vertauschen, um zu der Form
à zu gelangen.
Wir demonstrieren dieses Vorgehen beim Gausschen Algorithmus an einigen Beispielen.
Beispiel1
2
Sei A =  1
3
2
2
3

0
1 .
4
Das erste Element der ersten Zeile ist zwar ungleich 0, aber in der 2. Zeile finden wir eine 1 an der
ersten Stelle. Wir vertauschen deshalb die erste und zweite Zeile und beginnen mit der Matrix A1 :


1 2 1
A =⇒ A1 =  2 2 0 .
3 3 4
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.5 Matrizen
125
Die erste Zeile dieser Matrix ist unsere Pivotzeile, 1 ist das Pivotelement.
Die weiteren Schritte können dann wie folgt aussehen:
• Schritt 2 des

1
A1 =  2
3
GA mit Zeile 1 von A1 als Pivotzeile:


2 1
Pivotzeile
1
2 0 
Z2 − 2Z1
=⇒ A2 =  0
3 4
Z3 − 3Z1
0
2
−2
−3

1
−2 
1
Wir sehen, wenn 1 das Pivotelement ist, so ergeben sich in A2 keine Brüche.
• Vorzeichenänderung, 2. Zeile mal (-3), 3. Zeile mal



1 2
1
1
·(−3)
A2 =  0 −2 −2 
=⇒ A3 =  0
0 −3 1
·(−2)
0
(-2):
2
6
6

1
6 
−2
Wir multiplizieren die 2, Zeile mit (-3) und die 3. Zeile mit (-2), damit das erste Element der
2. und 3. Zeile identisch sind. Damit werden Brüche im nächsten Schritt (Schritt 2 des GA)
vermieden.
• Anwendung

1
A3 =  0
0
des Schrittes 2 des GA mit Zeile 2 von A3


1
2 1
6 6  Pivotzeile
=⇒ A4 =  0
0
6 −2
Z3 − Z2
als Pivotzeile:

2 1
6 6  .
0 −8
Wir sind nun fertig und können aus A4 ablesen: rg(A4 ) = rg(A) = 3.
Beispiel2
2
 5

Sei A = 
6
3
4
2
3
3
6
7
9
7

3
0 
.
5 
0
Das erste Element der ersten Zeile ist ungleich 0, d.h. die erste Zeile ist unsere Pivotzeile.
Die weiteren Schritte können dann wie folgt aussehen:
• Schritt 2 des GA mit Zeile 1 von A als Pivotzeile:



2
Pivotzeile
2 4 6 3
 0
 5 2 7 0  Z2 − 5 Z1
2

=⇒ A1 = 
A=
 0
 6 3 9 5 
Z3 − 3Z1
3 3 7 0
Z4 − 32 Z1
0
4
−8
−9
−3
• Eleminieren

2
 0
A1 = 
 0
0
2
0
0
0
von Brüchen und Vorzeichenänderung:


4
6
−6
 ·(−2)

−8 −8 − 15
2 
=⇒ A2 = 


−9 −9 −4
·(−1)
9
·(−2)
−3 −2 − 2
6
−8
−9
−2
4
16
9
6
6
16
9
4

3

− 15
2 
−4 
− 29

−6
15 

4 
9
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
• Anwendung des Schrittes 2 des


2 4
6 −6
 0 16 16 15 

A2 = 
 0 9
9
4 
0 6
4
9
126
GA mit Zeile 2 von A2 als Pivotzeile:

2 4
6
 0 16 16
Pivotzeile
=⇒ A3 = 
9
 0 0
Z3 − 16
0
Z2
0 0 −2
Z4 − 38 Z2

−6
15 

71 
− 16
− 27
8
• Vertauschung von Zeile 3 mit Zeile 4 von A3 :


2 4
6
−6
 0 16 16
15 

A3 : Z3 ↔ Z4 =⇒ A4 = 
 0 0 −2 − 27 
8
71
0 0
0 − 16
Wir sind nun fertig und können aus A4 ablesen: rg(A4 ) = rg(A) = 4.
Aufgabe 5.13
Bestimmen Sie die Ränge folgender Matrizen:



0 4 3
0 4 3 3
 2 2 1

 2 2 1 0 


a)A = 
 2 6 4 3  b)B =  2 6 4
 4 8 5
4 8 5 3
1 0 0
3
0
3
3
0
1
0
1
0
0







2
 2
c)C = 
 −3
5

4 3
2 1 

6 4 
0 0
Aufgabe 5.14
Prüfen Sie mit Hilfe des Ranges, ob die folgenden 4 Vektoren linear abhängig sind!
 
 
 
 
1
3
0
1
−7
1
1
4
  ~  
 ~  
~a = 
−1 , b = −1 , ~c = −1 , d =  0 
−1
2
1
2
5.5
Hausaufgaben
Hausaufgabe 11 :"Ubungsblatt 8 (Rechnen mit Matrizen)
Hausaufgabe 12 :"Ubungsblatt 9 (Rangberechnung)



d)D = 


2
2
−3
5
4
4
2
2
0
4






Kapitel 6
Lineare Gleichungssysteme
6.1
Was sind Lineare Gleichungssysteme?
Definition 6.1

b1


j=1,··· ,n
Seien A = ((aij ))i=1,··· ,m eine vorgegebene mxn-Matrix reeller Zahlen, ~b =  ...  ∈ Rm ein
bm


x1


vorgegebener Vektor reeller Zahlen und ~x =  ...  ∈ Rn ein Vektor von Variablen.

xn
Dann heißt das System von Gleichungen
a11 x1
a21 x1
..
.
+ a12 x2
+ a22 x2
..
.
am1 x1
+ am2 x2
+ ···
+ ···
···
+ ···
+ a1n xn
+ a2n xn
..
.
=
=
b1
b2
..
.
+
amn xn
=
bm





b1
b2
..
.
|
bm
{z }
bzw. in Matrizenschreibweise





a11
a21
..
.
am1
|
···
···
a12
a22
..
.
···
am2 · · ·
{z
A
a1n
a2n
..
.






·




|
xn
{z }
amn
}
·

x1
x2
..
.




=
~x
=





~b
lineares Gleichungssystem (lineares GS) mit m Gleichungen und n Unbekannten
x1 , · · · , xn .
A heißt Koeffizientenmatrix des linearen GS.
→
− →
→
−
−
→
−
Ist b = 0 , so heißt das GS homogen, ist b =
6 0 , so heißt das GS inhomogen.
127
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
128
Beispiele:
1.
x1
x1
x1
+ x2
− x2
− x3
+ x3
+ 2x2
= 7
= 1
= 0

⇐⇒
1
 1
1
1
0
−1
 
 

−1
x1
7
1  ·  x2  =  1 
2
x3
0
ist ein inhomogenes lineares GS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten.
2.
x1
x1
x1
x1
+ x2
− x2
+ x2
− x3
+ x3
+ 2x2
= 0
= 0
= 0
= 0

⇐⇒
1
 1

 1
1
1
0
−1
1




−1
x
1

1 
 ·  x2  = 


2
x3
0

0
0 

0 
0
ist ein homogenes lineares GS mit 4 Gleichungen und 3 Unbekannten.
3.
x1
√
x1
+ x22
− x1 · x2
= 5
= 7
ist kein lineares GS.
Bemerkungen:
• Wir können ein inhomogenes lineares GS A · ~x = ~b
charakterisieren. So ist z.B.

x1
+ x2 + 2x3 = 0
1
−x1
+ x3
= 1 ⇐⇒  −1
2x1 − x2
= 2
2
auch eindeutig nur durch die Matrix A | ~b
1
0
−1

2 | 0
1 | 1  .
0 | 2
• Ein homogenes lineares GS A · ~x = ~0 können wir eindeutig nur durch die Matrix A charakterisieren. So ist z.B.


1
1 2
x1
+ x2 + 2x3 = 0
−x1
+ x3
= 0 ⇐⇒  −1 0 1  .
2 −1 0
2x1 − x2
= 0
Aufgabe 6.1

4
a) Wie lautet das lineare GS A | ~b =  −1
0
1
0
−1

2 6
1 −1
0 1
2
1
b) Wie lautet das homogene lineare GS mit A =  −1 0
0 −1
6.2

3
−1  in ausgeschriebener Form?
3

2 0
1 −1  in ausgeschriebener Form?
0 1
|
|
|
Lösung hmogener linearer Gleichungssysteme mittels GA
Sei A · ~x = ~0 ein lineares GS. Offensichtlich ist dieses GS immer lösbar, denn eine Lösung ist
immer die sogenannte triviale Lösung ~x = ~0.
Wir werden im Folgenden sehen, dass es genau zwei unterschiedliche Lösungsfälle für unser
homogenes GS gibt, den Fall, dass ~0 die einzige Lösung des GS ist und den Fall, dass das GS
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
129
unendlich viele Lösungen besitzt.
Welche der beiden Varianten vorliegt, hängt von der Gestalt der Koeffizientenmatrix, bzw. von
ihrem Rang ab.
Ist zum Beispiel die Koeffizientenmatrix A vom Typ nxn und hat Dreiecksgestalt und vollen Rang
rg(A) = n, so können wir das lineare GS von ’unten nach oben’ auflösen und es ergibt sich als
einzige Lösung nur die triviale Lösung.
Beispiel:

    
1 1
1
x1
0
 0 −1 −1  · x2  = 0
0 0
3
x3
0
x1
⇐⇒
+ x2
−x2
+ 2x3
− x3
3x3
= 0
= 0
= 0
⇒
↑
↑
x1
x2
x3
= 0 − x2 − 2x3 = 0
= 0 − x3 = 0
= 0
Hat A die Dreiecksgestalt nicht, so können wir durch sogenannte äquivalente Umformungen
das GS A · ~x = ~0 in ein lineares GS A∗ · ~x = ~0 überführen, bei dem die Koeffizientenmatrix
A∗ die gewünschte Dreiecksform besitzt. Diese Umformungen werden deshalb als äquivalente
Umformungen bezeichnet, weil sich dabei die Lösungsmenge des GS nicht ändert.
Umformungen, die das leisten, sind gerade die Operationen
des GA zur Rangbestimmung, die wir
auf beide Seiten des GS, d.h. auf die Matrix A | ~0 anwenden. Da die 3 Operationen des GA
die rechte Seite ~0 nicht ändern, reicht es aus, die Operationen des GA auf die das homogene GS
eindeutig beschreibende Koeffizientenmatrix A anzuwenden.
Satz 6.1
→
−
Sei A · ~x = 0 ein lineares GS. Die Operationen des GA
1. Vertauschung von Zeilen von A
2. Multiplikation einer Zeile von A mit λ ∈ R, λ 6= 0
3. Addition des Vielfachen einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A
ändern die Lösungsmenge des linearen GS nicht.
Je nach Rang der sich ergebenden Matrix A∗ ergibt sich dann einer der beiden o.g. Lösungsfälle.
Das wollen wir im Folgenden genauer untersuchen.
Unser Ausgangspunkt ist dabei ein homogenes lineares Gleichungssystem der Form
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
am1 x1
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+ ···
+ ···
···
+ ···
+
+
+
a1n xn
a2n xn
..
.
= 0
= 0
..
.
amn xn
=
0
(6.1)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
6.2.1
130
Eindeutige Lösbarkeit
Fall 1: Eindeutige Lösbarkeit; m ≥ n und rg(A) = n.
Wir wollen das Gleichungssystem 6.1 lösen.
Angenommen, durch Anwendung des GA auf die Koeffizientenmatrix A des GS ergibt sich
 ∗



a11 a∗12 · · · a∗1n
a11 a12 · · · a1n
∗
∗
 0 a22 · · · a2n 


 a21 a22 · · · a2n 
 ..


.. 
..
..
 .
 ..
..
.. 
.
.
. 


 .
.
···
. 
∗
∗



0 · · · ann 
⇔ 0
A=
=A ,

a
a
·
·
·
a
n2
nn 
 0

 n1
0 ···
0 

 .
..
.. 
 .
 ..
.
.. 
.
···
. 
..
 ..
···
. 
am1 am2 · · · amn
0
0 ···
0
mit a∗11 6= 0, a∗22 6= 0, · · · , a∗nn 6= 0.
In diesem Fall ist offensichtlich
rg(A∗ ) = rg(A) = n.
Unser GS (6.1) haben wir äquivalent in das GS
a11∗ x1
+
a∗12 x2
a∗22 x2
+
+
..
.
+ a∗1(n−1) xn−1
+ a∗2(n−1) xn−1
..
.
a∗(n−1)(n−1) xn−1
···
···
+ a∗1n xn
+ a∗2n xn
..
.
+ a∗(n−1)n xn
a∗nn xn
=
=
0
0
..
.
= 0
= 0
(6.2)
umgeformt. Dieses können wir eindeutig von unten nach oben auflösen, wir erhalten:
xn
=
0
xn−1
..
.
x1
=
0−
=
0−
und
a∗
(n−1)n
xn
a∗
nn
a∗
k1
xk
k=2 a∗
11
Pn
=
0
(6.3)
=
0
Satz 6.2 (Eindeutige Lösbarkeit von A · ~x = ~0)
→
−
−
Sei A→
x = 0 ein homogenes lineares Gleichungssystem

mit m Gleichungen und n Unbekannten
x1


−
mit m ≥ n. D.h., A ist vom Typ mxn und →
x =  ...  ∈ Rn .
xn
→
−
−
Ist rg(A) = n, so besitzt A→
x = 0 genau eine Lösung, und zwar die
~
triviale Lösung ~x = 0.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
131
Beispiel 6.1
Gesucht ist die Lösung x1 , x2 , x3 des GS
x1
−x1
2x1
+ x2
+
+
2x3
x3
=
=
=
− x2
Wir wenden

1
A =  −1
2
0
0
0
den GA zur Rangbestimmung auf

1 2
0 1  an.
−1 0
Es ist

A=

1
⇔ 0
0

1
1 2
−1 0 1 
2 −1 0

1 2
1 3  = A∗
0 5
Pivotzeile
Z2 + Z1
Z3 − 2Z1

1
⇔ 0
0
1
1
−3

2
3 
−4
Pivotzeile
Z3 + 3Z2
Wir haben also unser obiges GS äquivalent in das GS
x1
+
x2
x2
+ 2x3
+ 3x3
5x3
= 0
= 0
= 0
umgeformt, welches eine Dreiecksgestalt besitzt. Dieses lösen von unten nach oben auf und erhalten
5x3 = 0 ⇒ x3 = 0
x2 + 3x3 = 0 ⇒ x2 = 1 − 3x3 = 0
x1 + x2 + 2x3 = 0 ⇒ x1 = 0 − x2 − 2x3 = 0

  
0 
 x1
Unser GS hat also genau eine Lösung, die Lösungsmenge ist L =  x2  =  0  .


x3
0
Bemerkung:
In der Darstellung A enthält die erste Spalte von A die Koeffizienten von x1 , die zweite Spalte
von A die Koeffizienten von x2 u.s.w. . Vertauschen wir in der Matrix A während des Prozesses
der Dreiecksformerstellung zwei Spalten i und j von A, müssen dann auch die zugehörigen
Unbekannten xi und xj des GS vertauscht werden.
Aufgabe 6.2
Berechnen Sie die Lösung
2x1 − x2
+ x3
x1
+ x2
+ 3x3
x1
− 3x2
x2
− 2x3
x1 , x2 , x3 des GS
= 0
= 0
= 0
= 0
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
6.2.2
132
Unendlich viele Lösungen
Fall 2: Unendlich viele Lösungen; rg(A) = r < n.
Nicht immer kann man nach Anwendung des GA auf A eine exakte Dreiecksgestalt erhalten. Das
hängt vom Rang rg(A) ab. Allgemein gilt, dass wir eine exakte Dreiecksgestalt nur dann erhalten,
wenn die Matrix A vollen Rang besitzt, d.h. wenn gilt rg(A) = Anzahl der Unbekannten. In
unserem Beispiel 6.1 war rg(A) = 3 = Anzahl der Unbekannten.
Ist diese Bedingung verletzt, so erhalten wir keine exakte Dreiecksform und unser GS ist nicht
mehr eindeutig lösbar.
Angenommen, durch Anwendung des GA auf A

x1
∗

a


 11
a11 a12 · · · a1n
 0

 a21 a22 · · · a2n 
 .


 .
 ..
..
.. 
 .

 .
.
·
·
·
.


⇔ 0
A=
 an1 an2 · · · ann 



 −

 .
.
.

..
.. 
 ..
 0
···

 ..
am1 am2 · · · amn
 .
0
ergibt sich
x2
a∗12
a∗22
..
.
0
−
0
..
.
0
· · · xr
· · · a∗1r
· · · a∗2r
..
..
.
.
· · · a∗rr
−− −
···
0
..
···
.
···
0
|
|
|
|
−
|
|
|
xr+1
a∗1(r+1)
a∗2(r+1)
..
.
a∗r(r+1)
−
0
..
.
0
···
···
···
xn
a∗1n
a∗2n
..
···
.
· · · a∗rn
−− −
···
0
···
···









 = A∗ ,






0 
0
mit a∗11 6= 0, a∗22 6= 0, · · · , a∗rr 6= 0.
In diesem Fall ist offensichtlich
rg(A∗ ) = rg(A) = r < n.
Unser GS hat in diesem Fall keine exakte Dreiecksgestalt, die rot gekennzeichneten n − r Variablen
xr+1 , · · · , xn stören.
Wir haben in dem entstehenden linearen GS A∗ mehr Variablen als Gleichungen, d.h. wir haben
n − r Variablen ’ zu viel’. Wir können deshalb das GS nicht mehr eindeutig auflösen.
Die Variablen xr+1 , · · · , xn können beliebig gewählt werden
xr+i = λi , λi ∈ R, i = 1, · · · , n − r.
(6.4)
Dann werden sie auf die rechte Seite des GS gebracht, d.h. wir stellen unser GS wie folgt äquivalent
um:
 ∗

a11 a∗12 · · · a∗1r | −a∗1(r+1) · λ1 − · · · − a∗1n · λn−r
 0 a∗
· · · a∗2r | −a∗2(r+1) · λ1 − · · · − a∗2n · λn−r 


22
 .

..
..
..
..
 .

.
.
 .

.
|
.


∗
∗
∗
 0
0
· · · arr | −ar(r+1) · λ1 − · · · − arn · λn−r 


 −
− −− − − − − − − − − − − − − − − − 


 0

0
···
0
|
0


 ..

..
..
..
 .

.
···
.
|
.
0
0
···
0
|
0
Die letzte Spalte der Matrix hinter der blauen gestrichelten Linie ist nun die rechte Seite unseres
Gleichungssystems. Unser homogenes GS (6.1) haben wir damit äquivalent in ein inhomogenes
GS von exakter Dreiecksgestalt überführt:
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
a∗11 x1
+ a∗12 x2
a∗22 x2
+ ···
+ ···
..
.
+
+
a∗1(r−1) xr−1
a∗2(r−1) xr−1
..
.
a∗(r−1)(r−1) xr−1
+
+
..
.
+
a∗1r xr
a∗2r xr
..
.
a∗(r−1)r xr
a∗rr xr
133
=
−a∗1(r+1) · λ1 − · · · − a∗1n · λn−r
=
−a∗2(r+1) · λ1 − · · · − a∗2n · λn−r
..
..
.
.
= −a∗(r−1)(r+1) · λ1 − · · · − a∗(r−1)n · λn−r
=
−a∗r(r+1) · λ1 − · · · − a∗rn · λn−r
Dieses können wir nun eindeutig nach x1 , · · · , xr ’von unten nach oben’ auflösen.
Die letzte Zeile des GS ist
a∗rr · xr = −a∗r(r+1) · λ1 − · · · − a∗rn · λn−r .
Daraus folgt
xr = −
a∗
r(r+1)
a∗
rr
· λ1 − · · · −
a∗
rn
a∗
rr
· λn−r .
Die vorletzte Zeile des GS lautet
a∗(r−1)(r−1) · xr−1 + a∗(r−1)r · xr = −a∗(r−1)(r+1) · λ1 − · · · − a∗(r−1)n · λn−r .
Daraus folgt
a∗
(r−1)r
a∗
a∗
xr − a∗(r−1)(r+1) · λ1 − · · · − a∗ (r−1)n · λn−r
(r−1)(r−1)
(r−1)(r−1)
(r−1)(r−1)
a∗
a∗
∗
a∗
a
= − a∗ (r−1)r
− r(r+1)
· λ1 − · · · − arn
· λn−r − a∗(r−1)(r+1) · λ1 − · · · −
∗
a∗
xr−1 = − a∗
(r−1)(r−1)
rr
rr
(r−1)(r−1)
a∗
(r−1)n
a∗
(r−1)(r−1)
· λn−r .
Fassen wir die Koeffizienten, die zu einem λk gehören zu einem Ausdruck g(r−1)k zusammen, so
ergibt sich die Gestalt
xr−1
=
Pn−r
k=1
g(r−1)k · λk
usw. usf..
Die Lösungen x1 , · · · , xr und xr+1 , · · · , xn haben dann folgende allgemeine Gestalt:
xr+i
= λi ∈ R beliebig, i = 1, · · · , n − r
xi
=
(6.5)
Pn−r
k=1 gik · λk , i = 1, · · · , r.
Bemerkung:
Da die Unbekannten (Variablen) xr+1 , · · · , xn frei wählbar sind, bezeichnet man sie auch als unabhängige Variablen. Demgegenüber werden x1 , · · · , xr als abhängige Variablen bezeichnet.
Fassen wir die Lösungen 6.5 in Vektorschreibweise zusammen, so erhalten wir die Lösungsmenge
unseres GS:
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme

x1




 ..


 .





 xr



 −
L= 
 xr+1




 xr+2




 .


 ..



xn
 
 

g12
g11
x1
 .. 
 .. 
  .. 
 . 
 . 
  . 
 
 

 
gr2 
gr1 
  xr 
 
 

 
 
−
  − 
 = λ1   + λ2  −  + · · ·
|
 0 
 1 
 xr+1 
 
 

 
 1 
 0 
 xr+2 
 
 

 
 . 
 . 
  . 
 .. 
 .. 
  .. 
0
0
xn



g1(n−r)


 .. 


 . 






gr(n−r) 





 − 


, λi ∈ R für i = 1, · · · , n − r
· · · + λn−r 



 0 


 0 





 . 



 .. 

134
 
1












,
(6.6)











die wir auch als allgemeine Lösung des homogenen GS A · ~x = ~0 bezeichnen.
L ist offensichtlich ein Vektorraum der Dimension n − r, die n − r Vektoren, die L erzeugen, bilden
eine Basis von L.
Satz 6.3 (Unendlich viele Lösungen)
→
−
−
Sei A→
x = 0 ein homogenes lineares
mit m Gleichungen und n Unbekannten.
 Gleichungssystem

x1


−
D.h., A ist vom Typ mxn und →
x =  ...  ∈ Rn .
xn
→
−
→
−
Ist rg(A) = r < n, so hat A x = 0 unendlich viele Lösungen.
Die Lösungsmenge hat die Gestalt (6.6) und ist ein Vektorraum der Dimension dim(L) = n−rg(A).
Bemerkung:
Sei A~x = ~0.
Sei die Anzahl der Unbekannten unseres GS n = 3. Dann gilt:
Ist rg(A) = 3, so ist das GS eindeutig lösbar und hat nur die triviale Lösung ~0.
Ist rg(A) = 2, so ist die Lösungsmenge ein Unterraum der Dimension 1 des Vektorraumes R3 .
Ist rg(A) = 1, so ist die Lösungsmenge ein Unterraum der Dimension 2 des Vektorraumes R3 .
Beispiel 6.2
Zu lösen ist das lineare GS
x1
−x1
2x1
Wir wenden den GA an und erhalten
+ x2
+ 2x2
3x2
+ 2x2
+ 2x3
+ x3
+ 3x3
+ 4x3
= 0
= 0
= 0
= 0
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme


A=


⇔







1
−1
0
2
x1
1
0
−
0
0
1
2
3
2
x2
1
3
−
0
0

2
1 

3 
4
|
|
−
|
|

Z2 + Z1
x3
2
3
−
0
0
1
 0

 0
0
⇔
Z4 − 2Z1

1
3
3
0

2
3 

3 
0
135
Z3 − Z2







Es ist folglich rg(A) = 2 < n = 3 und wir haben eine unabhängige, d.h. frei wählbare Variable x3 .
Die Matrix entspricht (von unten nach oben) dem GS:
3x2 + 3x3
x1 + x2 + 2x3
= 0
3x2
bzw.
= 0
x1 + x2
= −3x3
= −2x3
Wählen wir x3 = λ, λ ∈ R beliebig, so ergibt sich daraus das inhomogene GS:
x3
3x2
x1 + x2
=
=
=
λ, λ ∈ R beliebig
−3λ
−2λ
welches wir der Reihe nach auflösen können
Wir erhalten damit folgende Lösungen:
x3
3x2 = −3λ
x1 + x2 = −2λ
=
⇒ x2
⇒ x1
=
=
λ, λ ∈ R beliebig
−λ
−x2 − 2λ = λ − 2λ = −λ
In der sortierten Reihenfolge ist also
x1 = −λ
x2 = −λ
x3 = λ,
λ ∈ R.
Die Lösungsmenge ist


 



x1
−1
 x1

L =  x2  |  x2  = λ ·  −1  , λ ∈ R .


x3
x3
1
L ist ein Vektorraum (Unterraum
des R3
), wie in Satz 6.3 behauptet, ist dim(L) = n − rg(A) =
−1
3 − 2 = 1 und der Basisvektor ist  −1 .
1
Beispiel 6.3
Für welche a∈ R ist die Lösungsmenge des GS
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
ax1
x1
x1
+
+
+
x2
ax2
x2
+ x3
+ x3
+ ax3
136
= 0
= 0
= 0
eine Vektorraum der Dimension 1?
Lösung:




a 1 1
1 a 1
 1 a 1  Z2 ↔ Z1 ⇒  a 1 1  Z2 − a · Z1
1 1 a
1 1 a
Z3 − Z1




1
a
1
1
1
a
⇒  0 1 − a2 1 − a  S3 ↔ S2 ⇒  0 1 − a 1 − a2 
0 1−a a−1
0 a−1 1−a
Z3 + Z2


1
1
a
1 − a2  .
⇒ 0 1−a
0
0
2 − a − a2
Offensichtlich ist rg(A) = rg(A∗ ).
Die Lösungsmenge ist ein Vektorraum der Dimension 1, wenn n − rg(A) = 1, also rg(A) = 2 ist.
Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: Fall 1 für 1 − a 6= 0 ∧ 2 − a − a2 = 0 und Fall 2 für
1 − a = 0 ∧ 2 − a − a2 6= 0.
Wegen
q
2 − a − a2 = 0 ⇐⇒ a2 + a − 2 = 0 ⇐⇒ a1,2 = − 12 ± 14 + 2 = − 21 ±
kommt der Fall 2 nicht vor und Fall 1 ist nur möglich für a = −2.
3
2
= {1, −2}
Damit erhalten wir folgendes Ergebnis:
Die Lösungsmenge des GS ist ein Vektorraum der Dimension 1 für a = −2.
Aufgabe 6.3
Für welche Werte von a ∈ R ist das homogene lineare GS
ax1
x1
x1
+
+
+
x2
ax2
x2
+ x3
+ x3
+ ax3
= 0
= 0
= 0
a) eindeutig lösbar?
b) mehrdeutig lösbar?
c) Geben Sie im Falle der mehrdeutigen Lösbarkeit die Lösungsmenge an!
Aufgabe 6.4
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
2x1
x1
−3x1
6x1
6.3
+ x2
− 3x2
+ 2x2
− 4x2
+
+
−
+
x3
x3
2x3
4x3
137
= 0
= 0
= 0
= 0
Lösung inhmogener linearer Gleichungssysteme mittels
GA
Sei A · ~x = ~b ein lineares GS. Hat die Koeffizientenmatrix A bzw
können wir das lineare GS von ’unten nach oben’ auflösen.
A | ~b
Dreiecksgestalt, so
Beispiel:

    
1 1
1
x1
1
 0 −1 −1  · x2  = 2
0 0
3
x3
6
x1
+
⇐⇒
x2
−x2
+ 2x3
− x3
3x3
= 1
= 2
= 6
x1
↑ x2
⇒ ↑ x3
= 1 − x2 − 2x3 = 1 + 4 − 4 = 1
= −2 − x3 = −2 − 2 = −4
= 63 = 2
Hat A die Dreiecksgestalt nicht, so können wir durch sogenannte äquivalente Umformungen
das GS A · ~x = ~b in ein lineares GS A∗ · ~x = ~b∗ überführen, bei dem die Koeffizientenmatrix
A∗ die gewünschte Dreiecksform besitzt. Diese Umformungen werden deshalb als äquivalente
Umformungen bezeichnet, weil sich dabei die Lösungsmenge des GS nicht ändert.
Umformungen, die das leisten, sind gerade die Operationen
des GA zur Rangbestimmung, die wir
auf beide Seiten des GS, d.h. auf die Matrix A | ~b anwenden.
Satz 6.4
→
−
Sei A · ~x = b ein lineares GS. Die Operationen des GA
→
−
1. Vertauschung von Zeilen von (A | b )
→
−
2. Multiplikation einer Zeile von (A | b ) mit λ ∈ R, λ 6= 0
→
−
→
−
3. Addition des Vielfachen einer Zeile von (A | b ) zu einer anderen Zeile von (A | b )
ändern die Lösungsmenge des linearen GS nicht.
Beispiel 6.4
Gesucht ist die Lösung x1 , x2 , x3 des GS
x1
−x1
2x1
+ x2
− x2
+ 2x3
+ x3
=
=
=
0
1
2
Wir wenden den GA zur Rangbestimmung auf


1
1 2 | 0
A | ~b =  −1 0 1 | 1  an.
2 −1 0 | 2
Es ist
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme

A | ~b = 

1 1 2
⇔ 0 1 3
0 0 5
1
1 2 |
−1 0 1 |
2 −1 0 |

| 0
| 1  = A∗
| 5

0
1 
2
| ~b∗
Pivotzeile
Z2 + Z1
Z3 − 2Z1

1
⇔ 0
0
138
1
1
−3
2
3
−4

| 0
| 1 
| 2
Pivotzeile
Z3 + 3Z2
Wir haben also unser obiges GS äquivalent in das GS
x1
+
x2
x2
+ 2x3
+ 3x3
5x3
= 0
= 1
= 5
umgeformt, welches eine Dreiecksgestalt besitzt. Dieses lösen von unten nach oben auf und erhalten
5x3 = 5 ⇒ x3 = 1
x2 + 3x3 = 1 ⇒ x2 = 1 − 3x3 = −2
x1 + x2 + 2x3 = 0 ⇒ x1 = 0 − x2 − 2x3 = 0

 

0
 x1

Unser GS hat also genau eine Lösung, die Lösungsmenge ist L =  x2  =  −2  .


x3
1
Bemerkung:
→
−
In der Darstellung (A | b ) enthält die erste Spalte von A die Koeffizienten von x1 , die zweite
→
−
Spalte von A die Koeffizienten von x2 u.s.w. . Vertauschen wir in der Matrix (A | b ) während
des Prozesses der Dreiecksformerstellung zwei Spalten i und j von A, müssen dann auch die
zugehörigen Unbekannten xi und xj des GS vertauscht werden.
Bemerkung:
Nicht immer kann man nach Anwendung des GA auf das GS A | ~b eine exakte Dreiecks
gestalt erhalten. Das hängt vom Rang rg(A) bzw. rg A | ~b ab. In unserem Beispiel 6.4 ist
rg(A) = rg A | ~b = 3 = Anzahl der Unbekannten.
Allgemein gilt, dass wir eine exakte Dreiecksgestalt
nur dann erhalten, wenn die Matrix A vollen
Rang besitzt, d.h. wenn gilt rg(A) = rg A | ~b = Anzahl der Unbekannten. Ist diese Bedingung
verletzt, so erhalten wir keine exakte Dreiecksform und unser GS ist entweder nicht oder nicht
eindeutig lösbar.
Wir unterscheiden je nach Gestalt der Ergebnismatrix A∗ | ~b∗ bzw. nach Wert von rg(A) und
rg A | ~b 3 Fälle, die wir im Folgenden ausführlich erläutern werden.
Unser Ausgangspunkt ist dabei ein lineares Gleichungssystem der Form
a11 x1
a21 x1
..
.
+ a12 x2
+ a22 x2
..
.
+
+
···
···
am1 x1
+ am2 x2
+
···
···
+ a1n xn
+ a2n xn
..
.
= b1
= b2
..
.
+ amn xn
= bm
bzw. A | ~b
(6.6)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
6.3.1
139
Eindeutige Lösbarkeit
Fall 1: Eindeutige Lösbarkeit; m ≥ n und rg(A) = rg A | ~b = n.
Angenommen, durch Anwendung des GA auf A | ~b ergibt sich


a11 a12 · · · a1n | b1
 a21 a22 · · · a2n | b2 


.
..
..
.. .. 


 ..
.
·
·
·
.
.
.

A | ~b = 
 an1 an2 · · · ann | bn 


 .
..
..
.. .. 
 ..
.
···
.
. . 
am1 am2 · · · amn | bm
 ∗

a11 a∗12 · · · a∗1n | b∗1
 0 a∗22 · · · a∗2n | b∗2 


 ..
..
.. 
..
..
  .
.
.
.
|
.


∗ 
∗
∗
~b∗ , mit a∗ 6= 0, a∗ 6= 0, · · · , a∗ 6= 0.
|
b
0
0
·
·
·
a
=
A
|
⇔
n 
nn
nn
11
22

 0
0 ···
0
| 0 


 .
..
..
.. .. 
 ..
.
···
.
. . 
0
0 ···
0
| 0
In diesem Fall ist offensichtlich
rg A∗ | ~b∗ = rg A | ~b = rg(A) = n.
Unser GS (6.6) haben wir äquivalent in das GS
a11∗ x1
+ a∗12 x2
a∗22 x2
+
+
..
.
···
···
+ a∗1(n−1) xn−1
+ a∗2(n−1) xn−1
..
.
a∗(n−1)(n−1) xn−1
+ a∗1n xn
+ a∗2n xn
..
.
+ a∗(n−1)n xn
a∗nn xn
= b∗1
= b∗2
..
.
= b∗n−1
= b∗n
(6.7)
umgeformt. Dieses können wir eindeutig von unten nach oben auflösen, wir erhalten:
xn
=
xn−1
=
b∗
n
a∗
nn
b∗
n−1
a∗
(n−1)(n−1)
−
a∗
(n−1)n
xn
a∗
(n−1)(n−1)
usw.
bzw. allgemein:
xn
=
xi
=
b∗
n
a∗
nn
∗
bi
a∗
ii
−
und
Pn
a∗
ki
xk ,
k=i+1 a∗
ii
i = n − 1, · · · , 1
Satz 6.5 (Eindeutige Lösbarkeit von A · ~x = ~b)


x1
→
−
→
−
−
→
− →


−
−
Sei A→
x = b , A vom Typ mxn, b 6= 0 , b ∈ Rm , →
x =  ...  ∈ Rn und sei m ≥ n.
xn
(6.8)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
140
→
−
−
Ist rg(A) = rg A | ~b = n, so hat A→
x = b genau eine Lösung.
Die Lösung berechnet sich gemäß Formel 6.8.
Aufgabe 6.5
Berechnen Sie die Lösung
2x1 − x2
+ x3
x1
+ x2
+ 3x3
x1
− 3x2
x2
− 2x3
6.3.2
x1 , x2 , x3 des GS
= 4
= 1
= 2
= 1
Keine Lösung
Fall 2: Keine Lösung; rg(A) < rg A | ~b
Angenommen, durch Anwendung des GA auf A | ~b ergibt sich


a11 a12 · · · a1n | b1
 a21 a22 · · · a2n | b2 


.
..
..
.. .. 

 ..
.
···
.
. . 

A | ~b = 
 an1 an2 · · · ann | bn 


 .
..
..
.. .. 
 ..
.
···
.
. . 
am1 am2 · · · amn | bm

 ∗
a11 a∗12 · · · a∗1n |
b∗1
 ..
..
..
.. 
 .
.
···
.
|
. 
 ∗ 


∗ 
br+1
 ar1 ar2 · · · a∗rn |
b
r


 ..  ~
∗
∗
~


− −− − −
−  = A | b , mit  .  6= 0.
⇔ −
∗

 0
0
·
·
·
0
|
b
r+1
b∗m



 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 .
.
···
.
.
. 
0
0
···
0
|
b∗m
In diesem Fall ist offensichtlich
rg(A) < rg A | ~b .
Die letzen i Gleichungen des GS für i = r + 1, · · · , m haben die Form
0 · x1
..
.
+
···
+
0 · xn
..
.
=
b∗r+1
..
.
0 · x1
+
···
+
0 · xn
=
b∗m
Die linke Seite der Gleichungen ist stets gleich 0, die rechten Seiten sind nicht alle gleich 0. Diese
Gleichungen sind damit für kein x1 , x2 , · · · , xn ∈ R lösbar.
D.h., unser Gleichungssystem A · ~x = ~b ist nicht lösbar.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
141
Satz 6.6 (A · ~x = ~b besitzt keine Lösung)


x1
→
−
→
−
−
→
− →


−
−
Sei A→
x = b , A vom Typ mxn, b 6= 0 , b ∈ Rm , →
x =  ...  ∈ Rn .
xn
→
−
→
−
~
Ist rg(A) < rg A | b , so hat A x = b keine Lösung.
Beispiel 6.5
Zu lösen ist folgendes lineare GS:
x1
−x1
−x1
Wir wenden den GA an:

1
1
2
→
−
1
(A | b ) =  −1 0
−1 −1 −1

| 0
| 1 
| 2
→
−
Hier ist ⇒ rg(A) = 2 6= rg(A | b ) = 3.
+
x2
−
x2
+ 2x2
+ x3
− 2x3
Pivotzeile
Z2 + Z1
Z3 + Z1
= 0
= 1
= 2

1
⇔  0
0
1
1
0
2
3
0

| 0
| 1  = A∗ | ~b∗
| 2
Die letzte Gleichung des entstehenden GS ist
0 · x3 = 2.
Diese íst für kein x3 ∈ R lösbar.
Demzufolge ist unser GS nicht lösbar, die Lösungsmenge ist L = {}.
Aufgabe 6.6
2x1
x
Untersuchen Sie die Lösbarkeit des folgenden GS: 1
x1
6.3.3
− x2
+ x2
− 3x2
x2
Unendlich viele Lösungen
Fall 3: Unendlich viele Lösungen; rg(A) = rg A | ~b = r < n.
Angenommen, durch Anwendung des GA auf A | ~b ergibt sich
+
+
x3
3x3
−
2x3
= 4
= 1
= 2
= 1
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.




A | ~b = 
 an1 an2

 .
..
 ..
.
am1 am2

x1 x2 · · ·
 a∗ a∗
···
12
 11
 0 a∗
···

22
 .
.
 .
.. ...
 .

⇔ 0
0
···

 −
− −−

 0
0
···

 ..
..
 .
.
···
0
0
···
···
···
···
···
···
···
xr
a∗1r
a∗2r
..
.
a∗rr
−
0
..
.
0
a1n
a2n
..
.
ann
..
.
amn
|
|
|
|
−
|
|
|
|
|
..
.
b1
b2
..
.
142






| bn 

.. .. 
. . 
| bm
xr+1
a∗1(r+1)
a∗2(r+1)
..
.
a∗r(r+1)
−
0
..
.
0
···
···
···
xn
a∗1n
a∗2n
..
···
.
· · · a∗rn
−− −
···
0
···
···
0
0

b∗1
b∗2
..
|
.
| b∗r
− −
| 0
..
|
.
| 0
|
|






 
 = A∗ | ~b∗ ,







mit a∗11 6= 0, a∗22 6= 0, · · · , a∗nn 6= 0.
In diesem Fall ist offensichtlich
rg A∗ | ~b∗ = rg A | ~b = rg(A) = r < n.
Unser GS hat in diesem Fall keine exakte Dreiecksgestalt, die rot gekennzeichneten n − r Variablen
xr+1 , · · · , xn stören.
Wir haben in dem entstehenden linearen GS A∗ | ~b∗ mehr Variablen als Gleichungen, d.h. wir
haben n − r Variablen ’ zu viel’. Wir können deshalb das GS nicht mehr eindeutig auflösen.
Die Variablen xr+1 , · · · , xn können beliebig gewählt werden
xr+i = λi , λi ∈ R, i = 1, · · · , n − r.
(6.9)
Dann werden sie auf die rechte Seite des GS gebracht, d.h. wir stellen unser GS wie folgt äquivalent
um:
 ∗

a11 a∗12 · · · a∗1r | b∗1 − a∗1(r+1) · λ1 − · · · − a∗1n · λn−r
 0 a∗
· · · a∗2r | b∗2 − a∗2(r+1) · λ1 − · · · − a∗2n · λn−r 


22
 .

..
..
..
..
 .

.
.
 .

.
|
.


∗
∗
∗
∗
 0
0
· · · arr | br − ar(r+1) · λ1 − · · · − arn · λn−r 


 −

− −− − −
−−−−−−−−−−−−−


 0

0
···
0
|
0


 ..

..
..
..
 .

.
···
.
|
.
0
0
···
0
|
0
Unser GS (6.6) haben wir damit äquivalent in ein GS von Dreiecksgestalt überführt, welches wir
nun eindeutig nach x1 , · · · , xr ’von unten nach oben’ auflösen können.
Die Lösungen x1 , · · · , xr haben dann folgende allgemeine Gestalt:
xi
= di +
Pn−r
k=1
λk · gik , i = 1, · · · , r.
(6.10)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
143
Bemerkung:
Da die Unbekannten (Variablen) xr+1 , · · · , xn frei wählbar sind, bezeichnet man sie auch als
unabhängige Variablen. Demgegenüber werden x1 , · · · , xr als abängige Variablen bezeichnet.
Fassen wir die Lösungen 6.9 und 6.10 in Vektorschreibweise zusammen, so erhalten wir die
Lösungsmenge unseres GS:

 
 
  
 
g12
g11
d1
x1
x1













.
. 
.
.
.

 .. 
 .. 

 ..   ..   .. 













gr2 
gr1 

 xr   xr   dr 













−
−
 −  −
− 









(6.11)
=   + λ1   + λ2  
L= 
|
 + ···
xr+1 
xr+1 

 0 
 1 
0


















 1 
 0 
 xr+2  xr+2   0 


 . 
 . 
 .   .  .



 .. 
 .. 
 ..   ..   .. 


0
0
0
xn
xn


 
g1(n−r)




 .. 




 . 










gr(n−r) 








 − 
 , λi ∈ R für i = 1, · · · , n − r
(6.11)
· · · + λn−r 
 0 










 0 


 






 . 


 
 .. 


1
L ist offensichtlich ein Affiner Raum der Dimension n − r.
Satz 6.7 (Unendlich viele Lösungen)

x1
→
−
→
−
−
→
− →


−
−
Sei A→
x = b , A vom Typ mxn, b 6= 0 , b ∈ Rm , →
x =  ...  ∈ Rn .
xn
→
−
→
−
Ist rg(A) = rg A | ~b < n, so hat A x = b unendlich viele Lösungen.

Die Lösungsmenge hat die Gestalt 6.11 und ist ein Affiner Raum der Dimension
dim(L) = n − rg(A).
Bemerkung:
Sei die Anzahl der Unbekannten unseres GS n = 3 und rg(A) = rg A | ~b = 3.
Ist rg(A) = 3, so ist das GS eindeutig lösbar.
Ist rg(A) = 2, so ist die Lösungsmenge ein affinr Raum der Dimension 1, also eine Gerade im R3 .
Ist rg(A) = 1, so ist die Lösungsmenge ein affiner Raum der Dimension 2, also eine Ebene im R3 .
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
144
Bemerkung:
 
d1
 .. 
.
 
dr 
 
−
~

Offensichtlich ist P0 = 
 0  eine spezielle Lösung des inhomogenen GS A~x = b. Weiterhin kann
 
0
 
.
 .. 
0
man leicht nachweisen, dass die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen GS A~x = ~0 die Gestalt




 
 
g1(n−r)
g12
g11







 .. 
 .. 

 .. 










.
.
.





 
 











g
g
g


r2
r1
r(n−r)



 
 



 − 
−
−






,
λ
∈
R,
i
=
1,
·
·
·
,
n
−
r
Lhom = ~x | ~x = λ1   + λ2   + · · · + λn−r 
i




 0 
 0 
 1 










0 
1 
0 


















.
.
.


.
.
.


 . 
 . 
 . 






1
0
0
besitzt.
Bezeichnen wir die Lösungsmenge des inhomogenen GS A~x = ~b) mit Linhom und die Lösungsmenge
des zugehörigen homogenen GS A~x = ~0 mit Lhom , so können wir feststellen, dass gilt:
Linhom
= Po
Allgemeine Lösung
= eine spezielle Lösung
des inhomogenen GS
des inhomogenen GS
+ Lhom
+ Allgemeine Lösung
des homogenen GS
Beispiel 6.6
Zu lösen ist das lineare GS
x1
−x1
2x1
+ x2
+ 2x2
3x2
+ 2x2
+ 2x3
+ x3
+ 3x3
+ 4x3
= 1
= 0
= 1
= 2
Wir wenden den GA an und erhalten




1 1 2 | 1
1 1 2 | 1
 −1 2 1 | 0 
 0 3 3 | 1 
→
−
Z2 + Z1


(A | b ) = 
⇔ 
 0 3 3 | 1 
 0 3 3 | 1  Z3 − Z2
2 2 4 | 2
Z4 − 2Z1
0 0 0 | 0


x1 x2
x3
 1
1
|
2
| 1 


 0
3
|
3
| 1 

⇔ 
 − − − − − − 


 0
0
|
0
| 0 
0
0
|
0
| 0
→
−
Es ist folglich (A) = 2 = rg(A | b ) = 2 < n und wir haben eine unabhängige, d.h. frei wählbare
Variable x3 .
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
145
Wir erhalten damit folgende Lösungen:
x3
3x2 + 3x3
x1 + x2 + 2x3
= λ, λ ∈ R beliebig
= 1 =⇒ 3x2 = 1 − 3x3 = 1 − 3λ
= 1 =⇒ x1 + x2 = 1 − 2x3 = 1 − 2λ
⇒ x2 =
⇒ x1 =
1
3
2
3
−λ
−λ
In der sortierten Reihenfolge ist also
x1 = 32 − λ
x2 = 31 − λ
x3 = λ,
λ ∈ R.
Die Lösungsmenge ist




 
  2 
−1
x1
 x1

3
L =  x2  |  x2  =  13  + λ ·  −1  , λ ∈ R .


1
x3
x3
0
 2 

−1
 und dem Richtungsvektor  −1 
L ist eine Gerade mit dem Aufpunkt 
1
0

3
1
3
und ist wie in Satz 6.7 behauptet, ein Affiner Raum der Dimension dim(L) = n − rg(A)3 − 2 = 1.
Beispiel 6.7
Für welche a∈ R ist das GS
ax1
x1
x1
+
+
+
x2
ax2
x2
+ x3
+ x3
+ ax3
= 1
= 1
= 1
a) eindeutig, mehrdeutig bzw. nicht lösbar?
b) Geben Sie im Falle der eindeutige Lösbarkeit die Lösungen an!
c) Geben Sie im Falle der mehrdeutigen Lösbarkeit die Lösungsmenge an! Welche Dimension hat
der Affine Lösungraum? Um welches geometrische Gebilde handelt es sich?
Lösung:

a 1 1 |
 1 a 1 |
1 1 a |

1
a
⇒  0 1 − a2
0 1−a

1
1
⇒ 0 1−a
0
0


1
1 a 1 | 1
1  Z2 ↔ Z1 ⇒  a 1 1 | 1
1
1 1 a | 1


1
|
1
1 − a | 1 − a  S3 ↔ S2 ⇒ 
a−1 |
0

a
|
1
1 − a2
| 1 − a .
2
2−a−a | 1−a
Offensichtlich ist rg(A) = rg(A∗ ).
Zu a) Wir diskutieren nun die 3 möglichen Lösungsfälle.

 Z2 − a · Z1
Z3 − Z1
1
1
a
|
0 1 − a 1 − a2 | 1 − a
0 a−1
1−a
|
1


0
Z3 + Z2
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
146
(a) Fall: Eindeutig lösbar.
Unser GS ist eindeutig lösbar ⇐⇒ 1 − a 6= 0 ∧ 2 − a − a2 6= 0.
Wegen
q
2 − a − a2 = 0 ⇐⇒ a2 + a − 2 = 0 ⇐⇒ a1,2 = − 21 ± 14 + 2 = − 12 ±
gilt: Unser GS ist eindeutig lösbar für alle a ∈ R mit a ∈
/ {1, −2}.
(b) Sei a = −2. In diesem Fall ist

 
1
1
a
|
1
1 1 −2 |
 0 1−a
1 − a2
| 1 − a  =  0 3 −2 |
0
0
2 − a − a2 | 1 − a
0 0 0 |
und folglich ist rg(A) < rg(A | ~b) und unser GS hat keine
(c) Sei a = 1. In diesem Fall

1
1
a
 0 1−a
1 − a2
0
0
2 − a − a2
3
2
= {1, −2}

1
3 
3
Lösung.
ist
 
|
1
1 1 1
| 1−a = 0 0 0
| 1−a
0 0 0
~
und folglich ist rg(A) = rg(A | b) = 1 und unsere
Dimension n − 1 = 2.

| 1
| 0 
| 0
Lösungsmenge ist ein affiner Raum der

1
1
Zu b) Wir haben unser GS äquivalent umgeformt zu  0 1 − a
0
0
a
1 − a2
2 − a − a2

|
1
| 1 − a .
| 1−a
Dieses ist für a ∈
/ {1, −2} eindeutig von unten nach oben auflösbar, es gilt:
x1
+ x2
(1 − a)x2
+ ax3
+ (1 − a2 )x3
(2 − a − a2 )x3
= 1
= 1−a
= 1−a
Daraus folgt wegen (2 − a − a2 ) = (1 − a)(a + 2)
x3
=
1−a
2−a−a2
x2
=
1−
x1
=
1 − x2 − ax3
1−a2
1−a x3
=
=
1
a+2
1−
,
a+1
a+2
= ax3
=
=
1
a+2
1−
1
a+2
,
−
a
a+2
=
1
a+2
.
Zu c) Im Falle der mehrdeutigen Lösbarkeit ist a = 2 und unser GS lautet x1 + x2 + x3 = 1 .
Die Lösungen sind folglich:
x3 = λ1 ∈ R beliebig.
x2 = λ2 ∈ R beliebig.
x1 = 1 − x2 − x3 = 1 − λ1 − λ2
Die Lösungsmenge ist folglich
     
 
 
x1
1
0
0 
 x1









x
x
0
1
L=
|
=
+ λ1 ·
+ λ2 · 0
2
2


x3
x3
0
0
1
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
147
 
 
 
1
0
0
Das ist eine Ebene mit dem Aufpunkt 0 und den beiden Richtungsvektoren 1 und 0.
0
0
1
Beispiel 6.8
Gegeben ist folgendes elektrische Netzwerk.
Berechnen Sie die Stärke der Ströme I1 , I2 und I3 (in Ampere A)!
Lösung:
Wir müssen einen Zusammenhang zwischen den gesuchten Größen I1 , I2 , I3 und den gegebenen
Größen R1 , R2 , R3 , IA , IB , IC herstellen. Dazu schreiben wir alle in diesem Netzwerk geltenden
Regeln auf:
Knotenregel (1. Kirchhoffsches Gesetz):
Summe der in einem Knoten hineinfließenden Ströme = der Summe der herausfließenden Ströme.
IA + IB = IC = 3A
(6.12)
IA + I2 = I1
(6.13)
I3 + I2 = IB
(6.14)
I1 + I3 = IC
(6.15)
Maschenregel (2. Kirchhoffsches Gesetz):
Die Summe der Spannungen in einer Masche ist gleich 0.
U2 + U1 − U3 = 0
(6.16)
Ohmsches Gesetz: U = R · I.
U1 = I1
(6.17)
U2 = 2I2
(6.18)
U3 = 3I3
(6.19)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
148
Wir setzen 6.12 in 6.15 und 6.17-6.19 in 6.16 ein und erhalten aus 6.13-6.16 folgendes Gleichungssystem in den Unbekannten I1 , I2 , I3
1 + I2
I3 + I2
I1 + I3
2I2 + I1 − 3I3
= I1
= 2
= 3
= 0
Sortieren wir das GS nach den Unbekannten I1 , I2 , I3 ergibt sich
I1
I1
I1
− I2
I2
+
2I2
Wir lösen dieses durch Anwendung des GA:



1 −1 0
| 1
1 −1

 0 1 1
 0 1
|
2


→
 1 0 1
 0 1
| 3  Z3 − Z1
1 2 −3 | 0
Z4 − Z1
0 3



1
1 −1 0
| 1

 0
 0 1 1
|
2

→
→
 0
 0 0 0
| 0 
Z4 ↔ Z3
0
0 0 −6 | −7
+ I3
+ I3
− 3I3
0
1
1
−3
−1
1
0
0
= 1
= 2
= 3
= 0
| 1
| 2
| 2
| −1
0
|
1
|
−6 |
0
|
(6.20)



 Z3 − Z2
Z4 − 3Z2

1
2 

−7 
0
Daraus folgt das Ergebnis:
−6I3 = −7 ↔ I3 = 67 A.
I2 + I3 = 2 ↔ I2 = 2 − I3 = 2 −
7
6
= 56 A.
I1 − I2 = 1 ↔ I1 = 1 + I2 = 1 +
5
6
=
11
6 A.
Aufgabe 6.7
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
2x1
x1
−3x1
6x1
+ x2
− 3x2
+ 2x2
− 4x2
+
+
−
+
x3
x3
2x3
4x3
=
=
=
=
1
2
−3
−6
Aufgabe 6.8
Berechnen Sie die Teilströme I1 , I2 , I3 in folgendem Netzwerk.
Hinweis: Das Netzwerk enthält drei Maschen, jeweils mit den Strömen I, I1 bzw. I, I2 bzw. I, I3 .
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.6 Lineare Gleichungssysteme
6.4
6.4.1
149
Zusammenfassung und Hausaufgaben
Zusammenfassung
1. Homogene lineares Gleichungssysteme A~x = ~0 mit m Gleichungen und n Unbekannten:
Der Gaussche Algorithmus wird auf die Matrix A angewendet.
• eindeutig lösbar ⇐⇒nrg(A)
o = n.
~
Lösungsmenge: L = 0 .
• unendlich viele Lösungen ⇐⇒ rg(A) < n.
Lösungsmenge: L ist ein Vektorraum der Dimension n − rg(A).
2. Inhomogene lineares Gleichungssysteme A~x = ~b mit m Gleichungen und n Unbekannten:
→
−
Der Gaussche Algorithmus wird auf die Matrix (A | b ) angewendet.
→
−
• eindeutig lösbar ⇐⇒ rg(A) = rg(A | b ) = n.
→
−
• unendlich viele Lösungen ⇐⇒ rg(A) = rg(A | b ) < n.
Lösungemenge: L ist ein affiner Raum der Dimension n − rg(A).
Es gilt L = Po + Lhom .
→
−
• nicht lösbar ⇐⇒ rg(A) 6= rg(A | b ).
Aufgabe 6.9
a) Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des inhomogenen und des zugehörigen homogenen
linearen Gleichungssystems
x1
x1
x1
+ x2
+ (1 + a)x2
+ x2
+ 2x3
+ x3
+ (a + 1)x3
= a
= 2a
= b
in Abhängigkeit der reellen Parameter a ∈ R und b ∈ R, d.h. untersuchen Sie, für welche a und
b die GS
• eindeutig lösbar
• mehrdeutig lösbar
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
150
• nicht lösbar
sind!
b) Geben Sie im Falle der Lösbarkeit die Lösungsmenge des inhomogenen linearen GS in Abhängigkeit von a und b an!
c) Geben Sie im Falle der Lösbarkeit die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen linearen GS
in Abhängigkeit von a und b an!
6.4.2
Hausaufgaben
Hausaufgabe 13 : Übungsblatt 10
Hausaufgabe 14 : Übungsblatt 11 (Berechnung von Strömen in elektrischen Netzen)
Kapitel 7
Determinanten und Inverse Matrizen
7.1
7.1.1
Determinanten
2x2- und 3x3-Determinanten
Um das lineare GS
a11 x1
a21 x1
+
+
a12 x2
a22 x2
=
=
zu lösen, wenden wir den GA an und erhalten:
a11
a12
a11 a12 | b1
⇐⇒
a21
Z
0
a
−
Z2 − aa21
a21 a22 | b2
1
22
a11 a12
11
b1
b2
|
b1
| b2 − aa21
b1
11
Wir haben unser GS äquivalent umgeformt in das GS
a11 x1
+
a12 x2
21
(a22 − aa11
a12 )x2
=
b1
21
= b2 − aa11
b1
(7.1)
Dieses lösen wir nun von unten nach oben auf. Aus der letzten Zeile folgt
(a22 ·a11 −a21 ·a12 )
x2
a11
⇐⇒ x2
=
=
b2 ·a11 −a21 ·b1
a11
b2 ·a11 −a21 ·b1
a22 ·a11 −a21 ·a12
(7.2)
Setzen wir dieses x2 in erste Zeile des GS 7.1 ein, so erhalten wir
a11 x1
⇐⇒
+ a12 x2
x1
=
=
⇐⇒
x1
=
⇐⇒
x1
=
1
a11
1
a11
b1
· (b1 − a12 · x2 )
b2 ·a11 −a21 ·b1
a22 ·a11 −a21 ·a12
b1 ·a22 −a12 ·b2
a22 ·a11 −a21 ·a12
· b1 − a12 ·
(7.3)
Wir sehen, dass die beiden Lösungen x1 und x2 unseres GS Brüche mit identischen Nennern sind.
Diese eindeutig bestimmten Lösungen erhalten wir nur, wenn diser Nenner a22 · a11 − a21 · a12
ungleich 0 ist, d.h. der Nenner bestimmt (determiniert), ob unser GS eindeutig lösbar ist oder nicht!
Wir bezeichnen den Nenner deshalb als Determinante.
a11 a12
Definition 7.1 Sei A =
eine 2x2-Matrix.
a21 a22
Dann heißt
:
a
a12 det(A) = 11
:= a11 a22 − a12 a21
a21 a22 Determinante 2. Ordnung von A.
151
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
152
Wir bemerken, dass für die Lösungen x1 und x2 in 7.2 und 7.3 gilt:
b1 a12
b2 a22
x1 = a11 a12
a21 a22
a11 b1
a
b
, x2 = 21 2
a11 a12
a21 a22
(7.4)
Man nennt die Lösungsformeln 7.4 Cramersche Regel.
Unser GS ist nur dann eindeutig lösbar, wenn det(A) 6= 0 ist.
Diese Erkenntnisse lassen sich auch für Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannte
erweitern:
Lösen wir das Gleichungssystem
a11 x1
a21 x1
a31 x1
+
+
+
a12 x2
a22 x2
a32 x2
+
+
+
a13 x3
a23 x3
a33 x3
=
=
=
b1
b2
b3
(7.5)
mit Hilfe des Gausschen Algorithmusses, so erhalten wir die Lösungen
h→
i
h
h
− →
→
− −i
→
−i
−
→
−
→
−
−
b,−
a2 , →
a3
a1 , b , →
a3
a1 , →
a2 , b
x1 = →
,
x2 = →
,
x3 = →
,
(7.6)
−
−
−
−
−
−
[−
a1 , →
a2 , →
a3 ]
[−
a1 , →
a2 , →
a3 ]
[−
a1 , →
a2 , →
a3 ]
 
 
 
a11
a12
a13
−
−
−
wobei →
a1 = a21  , →
a2 = a22  , →
a3 = a23  die drei Spaltenvektoren der Koefizientenmatrix
a32
a33
 a31
b1
A und ~b = b2  der Vektor der rechten Seite des GS sind und [~u, ~v , w]
~ das Spatprodukt dreier
b3
Vektoren bezeichnet.
In Analogie zu Determinanten 2. Ordnung definieren wir die Determinante dritter Ordnung nun
als Spatprodukt.
Definition 7.2 Seien


 
 
 
a11 a12 a13
a11
a12
a13
−
−
−
A= a21 a22 a23  eine 3x3-Matrix und →
a1 = a21  , →
a2 = a22  , →
a3 = a23  die drei
a31 a32 a33
a31
a32
a33
Spaltenvektoren von A.
Dann heißt das
a11
det(A) = a21
a31
Spatprodukt der 3 Spaltenvektoren von A:
a12 a13 −
−
−
a22 a23 := [→
a1 , →
a2 , →
a3 ]
a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −(a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 )
Determinante 3. Ordnung von A.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
Bemerkung:
Es existiert wieder nur dann eine eindeutige
lautet die Cramersche Regel:
a11
b1 a12 a13 a21
b2 a22 a23 a
b3 a32 a33 , x2 = 31
x1 = a11 a12 a13 a11
a21 a22 a23 a21
a31 a32 a33 a31
153
Lösung des GS 7.5 falls det(A) 6= 0 ist. Analog zu 7.4
b1 a13
b2 a23
b3 a33
a12 a13
a22 a23
a32 a33
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a
a32 b3
, x3 = x1 = 32
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
(7.7)
Wir können die Determinante 3. Ordnung auch mit Hilfe der Determinaten 2. Ordnung ausrechen.
Es gilt:
a11 a12 a13 −
−
−
a1 , →
a2 , →
a3 ]
det(A) = a21 a22 a23 := [→
a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − (a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 )
(7.8)
= a11 (a
a
−
a
a
)
+
a
(a
a
−
a
a
)
+
a
(a
a
−
a
a
)
22
33
23
32
12
23
31
21
33
13
21
32
22
31
a
a21 a23 a21 a22 a23 = a11 22
−
a
+
a
12 13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 7.1.2
n x n-Determinanten und der Laplace’sche Entwicklungssatz
Determinanten n-ter Ordnung sind analog zu Formel 7.8 rekursiv auf der Basis von Determinanten
n − 1-ter Ordnung definiert.
,n
Definition 7.3 Sei A = ((aij ))j=1,···
i=1,··· ,n eine nxn -Matrix mit n ≥ 3. Dann heißt
1+n
det(A) = a11 D11 − a12 D12 + a13 D13 − · · · + (−1)
a1n D1n
n
X
=
(−1)1+j a1j D1j
(7.9)
j=1
Determinante n-ter Ordnung von A. Dabei ist D1j die Determinante der Matrix, die entsteht,
wenn man in A die 1-te Zeile und j-te Spalte streicht.
In linearen Gleichungssystemen A~x = ~b ist im Falle det(A) 6= 0 die Lösung für jede Komponente
xi wieder eindeutig als Bruch zweier Determinanten darstellbar. Darauf werden wir im nächsten
Kapitel ausführlicher eingehen. Wir werden uns im Folgenden zunächst mit Eigenschaften und
Berechnungsmethoden für Determinanten befassen.
Beispiel 7.1
Wir wollen die Determinante det(A) = Lösung: Es ist
1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
1
2
2
0
0
−1
berechnen.
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
1 0 0 2 2 1 0 0 det(A) =
3 2 1 0 4 3 2 −1 1 0 0 = 1 · 2 1 0 3 2 −1 1 0 = 1 · 2 −1 = 1 · (−1) − 2 · 0
= −1
= −1
154
1 0 2 1 3 2 3 1 2 1 −
1
·
4 2 3 2 − 2(2 · (2 · 2 − 3 · 1) − (3 · 2 − 4 · 1))
− 2(2 − 2)
2
− 2 · 3
4
− 2 2 · Aufgabe 7.1 Berechnen Sie die Determinante det(A) = 1
0
0
0
2
1
0
0
3
2
1
0
4
3
2
−1
.
Wir berechnen eine Determinante det(A) n-ter Ordnung gemäß Formel 7.9, indem wir die 1.
Zeile der Matrix ’durchgehen’ und jedes Element dieser Zeile mit (−1)1+j D1j multiplizieren. Man
bezeichnet dieses Vorgehen als Entwicklung von det(A) nach der 1. Zeile.
Man kann die Determinante det(A) auch durch Entwicklung nach anderen Zeilen oder auch Spalten
von A erhalten. Das formulieren wir in folgendem Satz, der als Laplace’scher Entwicklungssatz
bezeichnet wird.
Satz 7.1 (Laplace’scher Entwicklungssatz)
j=1,··· ,n
Sei A = ((aij ))i=1,···
,n eine nxn -Matrix mit n ≥ 3. Dann gilt
Pn
det(A) =
(−1)i+j aij Dij
Entwicklung nach der i-ten Zeile
Pnj=1
i+j
=
(−1)
a
D
Entwicklung nach der j-ten Spalte
ij
ij
i=1
(7.10)
Dabei ist Dij die Determinante der Matrix, die entsteht, wenn man in A die i-te Zeile und j-te
Spalte streicht.
Wir berechnen deshalb eine Determinante am besten so, dass wir uns eine Zeile oder eine Spalte
suchen, die möglichst viele Nullen enthält.
Beispiel 7.2
Wir wollen die Determinante det(A) = 5
0
0
0
2
−3
0
0
3 4
2 3
2 2
0 −4
berechnen.
Dazu entwicklen wir sie jeweils in jedem Schritt nach der ersten Spalte. Wir erhalten
5 2 3 4 −3 2 3 0 −3 2 3 2 2 det(A) = = 5 0 2 2 = 5 · (−3) 0 −4 = 5 · (−3) · 2 · (−4) = 120.
0 0 2 2 0 0 −4 0 0 0 −4 B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
Aufgabe 7.2 Berechnen Sie die Determinante det(A) = 1
0
0
1
2
1
0
0
155
3
2
1
0
4
3
2
−1
.
Suchen Sie sich in jedem Schritt eine geeignete Zeile oder Spalte, nach der Sie entwickeln!
7.1.3
Eigenschaften von Determinanten
Hat eine Matrix Dreiecksform, so können wir ihre Determinante sofort ’ablesen’.
Satz 7.2 Sei

a11 a12
 0 a22


0
A= 0
 ..
.
..
 .
0
a13
a23
a33
..
.
0
···
···
···
..
.
a1(n−1)
a2(n−1)
a3(n−1)
..
.
a1n
a2n
a2n
..
.
···
0
ann







eine obere (oder untere) Dreiecksmatrix. Dann gilt
det(A) = a11 · a22 · · · · · ann .
D.h., die Determinante von quadratischen Dreiecksmatrizen ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente.
Die Aussage des Satzes folgt direkt aus dem Laplace’schen Entwicklungssatz, indem wir die
Determinanten in jedem Schritt jeweils nach der ersten Spalte entwickeln!
Hat die Determinante keine Dreiecksgestalt, so können wir sie durch den Gausschen Algorithmus in Dreiecksform bringen. Bei den 3 Operationen des GA ändert sich allerdings der Wert der
Determinante. Das wird in folgendem Satz genauer formuliert.
Satz 7.3 (Eigenschaften von Determinanten) −
−
→
−
Sei A = (→
a1 , →
a2 , · · · , −
a→
n ) mit aj = a1j , · · · , anj eine nxn-Matrix und λ, µ ∈ R. Seien weiterhin
~v , w
~ zwei beliebige Vektoren im Rn . Dann gilt
−
−
1. det (→
a1 , · · · , λ→
ai , · · · , −
a→
n ) = λ · det(A)
(Die Multiplikation einer Spalte mit einer reellen Zahl λ ändert die Determinante um den Faktor
λ.)
2. det (λ · A) = λn · det(A)
−
−
−
→
−
→
−
→
−
−
→
3. det (→
a1 , · · · , →
ai , · · · , →
aj , · · · , −
a→
n ) = −det (a1 , · · · , aj , · · · , ai , · · · , an )
(Die Vertauschung zweier Spalten von A ändern das Vorzeichen der Determinanten.)
−
−
−
4. det (→
a ,··· ,→
a , · · · , λ→
a ,··· ,−
a→) = 0
1
i
i
n
(Sind zwei Spalten identisch oder linear abhängig, so ist die Determinante gleich 0.)
−
5. det →
a1 , · · · , ~0, · · · , −
a→
n =0
(Ist eine Spalte von A gleich dem Nullvektor, so ist die Determinante gleich Null.)
−
−
−
→
−
→
−
−
→
→
−
→
−
−
→
6. det (→
a1 , · · · , λ→
v + µ→
w,··· ,−
a→
n ) = λ · det (a1 , · · · , v , · · · , an ) + µ · det (a1 , · · · , w , · · · , an )
(Die Determinante ist linear.)
−
−
−
−
−
−
−
7. det (→
a ,··· ,→
a + λ→
a ,··· ,→
a ,··· ,−
a→) = det (→
a ,··· ,→
a ,··· ,→
a ,··· ,−
a→)
1
i
j
j
n
1
i
j
n
(Die Addition des Vielfachen einer Spalte von A zu einer anderen Spalte von A ändert die
Determinante nicht.)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
156
Bemerkung: Alle Aussagen des Satzes bleiben erhalten, wenn man Spalten von A durch Zeilen
von A ersetzt.
Beispiel 7.3
Seien ~a, ~b, ~c ∈ R3 und det(~a, ~b, ~c) = −2. Seien weiterhin ~u = 2 · ~a − ~c, ~v = ~a − 3 · ~b, w
~ = 3 · ~c.
Wie groß ist det(~u, ~v , w)?
~
Lösung: Es ist
det(~u, ~v , w)
~
=
=
=
=
=
=
=
=
det(2 · ~a − ~c, ~a − 3 · ~b, 3 · ~c)
2 · det(~a, ~a − 3 · ~b, 3 · ~c) − det(~c, ~a − 3 · ~b, 3 · ~c)
2 · det(~a, ~a − 3 · ~b, 3 · ~c)
2 · det(~a, ~a, 3 · ~c) − 6 · det(~a, ~b, 3 · ~c)
−6 · det(~a, ~b, 3 · ~c)
−18 · det(~a, ~b, ~c)
−18 · (−2)
36
Aufgabe 7.3
Erläutern Sie, welche der Eigenschaften des Satzes 7.3 in jedem Rechenschritt angewendet wurde!
Die Operationen des Gauschen Algorithmus bringen die Matrix A in Dreiecksform und ändern den
Wert von det(A) höchstens um einen Faktor λ 6= 0 oder um ein Vorzeichen. Deshalb können wir
folgenden Zusammenhang zwischen dem Rang rg(A) einer Matrix und ihrer Determinante det(A)
feststellen.
Satz 7.4
Sei A eine nxn- Matrix. Dann gilt:
rg(A) = n ⇐⇒ det(A) 6= 0 bzw. rg(A) < n ⇐⇒ det(A) = 0.
Definition 7.4 Eine nxn-Matrix A heißt
a) regulär ⇐⇒ det(A) 6= 0 bzw. rg(A) = n.
b) singulär ⇐⇒ det(A) = 0 bzw. rg(A) < n.
Aufgabe 7.4 Seien ~a, ~b, ~c ∈ R3 und det(~a, ~b, ~c) = 4.
Seien weiterhin ~u = 2 · ~b + ~c, ~v = ~a − 3 · ~c, w
~ = 3 · ~c.
Wie groß ist det(~u, ~v , w)?
~
Aufgabe 7.5 Welche der folgenden Matrizen ist regulär, welche ist singulär?

7
 5
a) A = 
 3
−1

2 3 4
1 2 3 

0 1 2 
0 0 −1

1
 0
b) B = 
 0
0
2
1
0
0
3
2
1
0

4
3 

2 
−1
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
157
Aufgabe 7.6 Seien ~a, ~b, ~c ∈ R3 drei linear unabhängige Vektoren.
Untersuchen Sie mit Hilfe der Determinante det(~u, ~v , w),
~ ob ~u = ~b − 2 · ~c, ~v = ~a − ~c, w
~ = ~c
auch linear unabhängig sind! Was muss in diesem Fall für die Determinante det(~u, ~v , w)
~ gelten?
7.1.4
Der Gaussche Algorithmus zur Berechnung von Determinanten
Wir können Determinanten det(A) durch die Anwendung des Gausschen Algorithmus berechnen,
indem wir sie in Dreiecksform bringen und dann das Produkt der Diagonalelemente bilden. Dabei
müssen wir aber die Veränderungen der Determinante, die durch die Operationen des GA erfolgten
mitführen bzw. rückgängig machen.
Wir demonstrieren dieses Vorgehen an einem Beispiel.
Beispiel 7.4


Wir wollen det(A) = 

det(A)
=
=
− =
1 − 6·11 −2
5
3
−1
2
1
0
2
−1
0
0
0
−2 2
5 1
3 0
−1 2
3 3
2 3
1 2
0 −1
0 −1 2 −2 1 Z2 · 6 = − 6·11 1 −1 Z · 11
3 5 3
2
11
6
−2
−1
0
0
0
1
= − 6·11·33 
3 3
2 3 
 berechnen. Es gilt
1 2 
0 −1
−1 2 0 −1 5 1 2 3 Z2 + 5Z1
= −
3 0 1 2 Z3 + 3Z1
Z4 ↔ Z1
−2 2 3 3 Z4 − 2Z1
2
66
0
−2
−1
0
0
0
0
12
−1
3
−1
−12
1
5
−1
0
0
0
2
66
66
−2
1
= − 6·11·33 Z4 · 33
0 −1 12 −12 11 −11 Z − Z2
3
5 3
−1
0
0
0
2
0
66
12
0
−1
−66 99
2
0
−1 66 12 −12 1
= − 6·11·33 0 −1
1 0 111 153 Z4 + 111Z3
=
= − 264
− −1·66·(−1)·264
6·11·33
33
=
− 88
11
−1
0
0
0
−1
−12
1
165
2
0
66 12
0 −1
0
0
Z4 + Z2
−1
−12
1
264
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
158
Aufgabe 7.7
Berechnen Sie die Determinante 2
5
3
−1
2 3 −1
1 2 3
0 1 2
0 0 −1
durch Anwendung des Gausschen Algorithmus!
Aufgabe 7.8
Zeigen Sie dass gilt:
7.2
a+b
2
a−b
2
c+d
2
c−d
2
a
c
1
1
1
1 a
= 2 b
c d Die Cramersche Regel zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Satz 7.5
Sei ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten gegeben:
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
..
..
..
.. .
.
.
.
.
.
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
,n
~
Sei A = ((aij ))j=1,···
i=1,··· ,n die Koeffizientenmatrix und b der Vektor der rechten Seite dieses GS. Dann
gilt
1. Das GS ist eindeutig lösbar, falls det(A) 6= 0 ist.
2. Ist det(A) 6= 0, so ergiben sich die (einzigen) Lösungen xi , i = 1, · · · , n des GS nach der sogenannten Cramerschen Regel
a11 · · · a1(i−1) b1 · · · a1n a21 · · · a2(i−1) b2 · · · a2n ..
..
..
.. .
···
.
. ···
. an1 · · · an(i−1) bn · · · ann xi =
(7.11)
det(A)
D.h., xi ist ein Bruch zweier Determinanten. Die Nennerdeterminante ist gleich det(A), die
Zählerdeterminante ist die Determinante der Matrix, die man erhält, wenn man den i-ten Spaltenvektor von A durch den Vektor ~b der rechten Seite des Gleichungssystems ersetzt.
Beispiel:
x1 + x2 + x3 = 1
x1 − x2 + x3 = 1
x1 − x2 − x3 = 0
a) Ist dieses GS eindeutig lösbar?
Für die Koeffizientenmatrix
ergibt sich
1 1
1
1 1
−1
1
Z
−
Z
det(A) = 1 = 0
2
1 −1 −1 Z3 − Z1
0
1
−2
−2
1
0
−2
1
= 0
Z3 − Z2
0
1
−2
0
1
0
−2
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
159
= 4 6= 0.
Damit ist das GS eindeutig lösbar.
b) Wie lautet die Lösung für x3 ?
Nach der Cramerschen Regel ergibt sich x3 =
1
1
1
1 1
−1 1
−1 0
det(A)
=
−2
4
= − 21
Aufgabe 7.9
x1 + x2 + x3 + x4
x1 − x2 + x3 − x4
x1 − x2 − x3 + x4
x1 − x2 − x3 − x4
=2
=1
=0
=3
a) Ist dieses GS eindeutig lösbar?
b) Berechnen Sie im Falle der eindeutigen Lösbarkeit die Lösung x4 !
7.2.1
Hausaufgaben
Hausaufgabe 15 :"Ubungsblatt 12 (Determinanten und Cramersche Regel)
Hausaufgabe 16 :"Ubungsblatt 13 (Determinanten und Cramersche Regel)
7.3
7.3.1
Inverse Matrizen
Definition einer Inversen Matrix
Definition 7.5 Sei A eine nxn-Matrix und En = diag(1, · · · , 1) die n-dimensionale Einheitsmatrix. Dann heißt die Matrix A−1 , die die Bedingung
A · A−1 = A−1 · A = En
erfüllt, inverse Matrix bzw. Inverse von A.
Kennen wir die Inverse A−1 einer Matrix A, so können wir das Gleichungssystem A · ~x = ~b einfach
nach ~x umstellen:
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
A
−1
A · ~x
· A · ~x
En · ~x
~x
= ~b
= A−1 · ~b
= A−1 · ~b
= A−1 · ~b
Multiplikation von links mit A−1
(7.12)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
Satz 7.6 Ist A =
a11
a21
a12
a22
A
160
−1
, so ist
1
=
·
a11 a22 − a12 a21
a22
−a21
−a12
a11
.
(7.13)
Beweis: Es gilt
A · A−1
=
1
a11 a22 −a12 a21
=
1
a11 a22 −a12 a21
=
1
0
0
1
a11 a12
a22 −a12
·
−a21 a11
a21 a22
a11 a22 − a12 a21
0
·
0
a11 a22 − a12 a21
·
q.e.d
D.h., die Inverse einer 2x2-Matrix erhalten wir, indem wir die beiden Elemente der Hauptdiagonalen vertauschen, die Elemente der Nebendiagonalen einem Vozeichenwechsel unterziehen und
die entstehende Matrix durch det(A) teilen.
Beispiel 7.5
x + 2x2 = 3
Welche x1 und x2 lösen das Gleichungssystem 1
?
x1 − 3x2 = 4
1 2
−3 −2
1
−1
Es ist A =
und folglich ist gemäß 7.13 A = − 5
und wir erhalten
1 −3
−1 1
−3 −2
3
−3 · 3 − 2 · 4
−17
x1
= − 15
= − 51
.
= − 51
−1 1
4
−1 · 3 + 1 · 4
1
x2
Daraus folgen die Lösungen x1 =
17
5
und x2 = − 51 .
Folgender Satz besagt, wie die Inverse einer nxn- Matrix allgemein berechnet werden kann.
Satz 7.7
Sei Aij = (−1)i+j · Dij , wobei Dij die Determinante der Matrix ist, die man erhält, wenn man in
j=1,··· ,n
A die i-te Zeile und j-te Spalte streicht. Sei weiterhin Aadj = (((Aij ))i=1,···
,n .
Dann gilt:
A−1 =
1
· ATadj
det(A)
(7.14)
Der Beweis des Satzes ergibt sich, wenn man zur Berechnung des ij-ten Elementes der Matrix
A−1 die Cramersche Regel anwendet.
Bemerkung: Aadj wird auch als Adjungierte (Matrix) zu A bezeichnet.
Beispiel 7.6

Wir wollen die Inverse A−1
1
von A =  0
−1

2 3
1 1  berechnen.
0 3
Dazu müssen wir die Elemente Aij der Adjungierten Matrix Aadj von A berechnen. Es ist
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
1
A11 = (−1)1+1 D11 = 0
1 =3
3 0
A12 = (−1)1+2 D12 = − −1
2
A21 = (−1)2+1 D21 = − 0
0
A13 = (−1)1+3 D13 = −1
1 =1
0 1
A22 = (−1)2+2 D22 = −1
1
3 2+3
=
6
A
=
(−1)
D
=
−
23
23
−1
3
2
A31 = (−1)3+1 D31 = 1
3+3
A33 = (−1)
D33
1
= 0
3 = −1
1 1
A32 = (−1)3+2 D32 = − 0
Damit ist die Adjungierte Matrix gleich Aadj
gleich ATadj
3
=  −1
1
−6
6
−2
1 = −1
3 3 = −6
3 2 = −2
0 3 = −1
1 2 =1
1 

161
3
=  −6
−1
−1
6
−1

1
−2  und ihre Transponierte ist
1

−1
−1  .
1
Nun berechnen wir noch die Determinante von A, diese ist
det(A) = 1 · 1 · 3 + 0 · 0 · 3 + 2 · 1 · (−1) − (3 · 1 · (−1) + 0 · 1 · 1 + 0 · 2 · 3) = 4
und wir erhalten

3
A−1 = 14  −1
−1
gemäß 7.14 das Ergebnis


−6 −1
1
6 −1 . Die Probe ergibt: A−1 · A =  0
2
1
0
0
1
0

0
0  = E3 .
1
Aufgabe 7.10

1
Berechnen Sie die Inverse der Matrix A =  −2
0
7.3.2

2 −1
1 1 .
0 3
Der Gaussche Algorithmus zur Berechnung der Inversen
Wir können die Inverse einer Matrix auch unter Verwendung des Gausschen Algorithmus berechnen.
Wir starten mit der Matrix (A | En ) und formen sie Schritt für Schritt mit Hilfe des GA in die
Matrix (En | A−1 ) um. Dabei gehen wir wie folgt vor:
1. Wir wenden den Gausschen Algorithmus wie gewohnt auf die Matrix (A | En ) an, von der ersten
zeile als Pivotzeile ausgehend. Dadurch bringen wir sie in eine Form (B | C), wobei B eine obere
Dreiecksmatrix ist.
2. Nun diagonalisieren wir B, indem wir auf die entstandene Matrix (B | C) wieder den Gausschen
Algorithmus anwenden, aber dieses Mal von unten nach oben. Die Pivotzeile im ersten Schritt
ist die letzte Zeile von (B | C) und das Pivotelement ist das letzte Element der Matrix B, usw..
Auf diese Weise entsteht eine Matrix (diag(λ1 , ..., λn ) | D).
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
162
3. Nun wird jede Zeile i der Matrix (diag(λ1 , ..., λn ) | D) durch λi geteilt und wir erhalten das
Ergebnis (En | F ). Die auf der rechten Seite enstandene Matrix F ist gleich der Inversen, d.h.
es ist A−1 = F .
Beispiel 7.7

Wir wollen die Inverse A−1
1
der Matrix A =  0
−1

2 3
1 1  aus Beispiel 7.6 mit Hilfe des GA
0 3
berechnen.


1 0 0
Pivotzeile
0 1 0 
0 0 1
Z3 + Z1



1 2 3 | 1 0 0
 Pivotzeile ⇔  0 1 1 | 0 1 0  = (B | C).
Z3 − 2Z2
0 0 4 | 1 −2 1

4 · Z1
3 | 1 0 0
4 · Z2
1 | 0 1 0 
Pivotzeile
4 | 1 −2 1



4 0 0
Z1 − 3 · Z3
4 8 0 | 1
6 −3
Z − 2 · Z2
0 4 0  Z2 − Z3 ⇔  0 4 0 | −1 6 −1  1
Pivotzeile
1 −2 1
Pivotzeile
0 0 4 | 1 −2 1

3 −6 −1
−1 6 −1  = (diag(4, 4, 4) | D).
1 −2 1


4 0 0 | 3 −6 −1
Z1 /4
3. (diag(4, 4, 4) | D) =  0 4 0 | −1 6 −1  Z2/4
0 0 4 | 1 −2 1
Z3 /4


1 0 0 | 3/4 −6/4 −1/4
⇔  0 1 0 | −1/4 6/4 −1/4  = (E3 | A−1 ).
0 0 1 | 1/4 −2/4 1/4


3 −6 −1
Damit ist A−1 = 41  −1 6 −1 .
1 −2 1
1
1. (A | E3 ) =  0
−1

1 2 3 |
⇔ 0 1 1 |
0 2 6 |

1 2
2. (B | C) =  0 1
0 0

4 8 12 |
⇔ 0 4 4 |
0 0 4 |

4 0 0 |
⇔ 0 4 0 |
0 0 4 |
2
1
0
1
0
1
3
1
3
0
1
0
|
|
|
0
0
1
Aufgabe 7.11

1
Berechnen Sie die Inverse der Matrix A =  −2
0
7.3.3

2 −1
1 1  mittels GA!
0 3
Hausaufgaben
Hausaufgabe 17 :"Ubungsblatt 14 (Inverse Matrizen)
B.Grabowski Mathematik 1, Kap.7 Determinanten und inverse Matrizen
7.4
163
Zusammenfassung
Ein lineares Gleichungssystem A · ~x = ~b mit n Zeilen und n Unbekannten ist eindeutig lösbar
genau dann, wenn gilt det(A) 6= 0 bzw. rg(A) = n.
Indiesem Fall können wir drei verschiedene Lösungsverfahren anwenden:
1. den Gausschen Algorithmus,
2. die Cramersche Regel,
3. die Verwendung der Inversen der Koeffizientenmatrix A.
Aufgabe 7.12
Welches Polynom 3. Grades y = ax3 + bx2 + cx + d verläuft durch die folgenden Messdatenpaare:
(x1 , y1 ) = (1, 0), (x2 , y2 ) = (2, 1), (x3 , y3 ) = (−1, 2), (x4 , y4 ) = (−2, −1) ?
Stellen Sie das zugehörige Gleichungssystem auf und Berechnen Sie die Koeffizienten a, b, c, d des
Polynoms a) mittels der Cramerschen Regel und b) mittels der Inversen!
Literaturverzeichnis
[Pap01] L.Papula.
Mathematik für Ingenieure.
schweig/Wiesbaden, Band 1, 2005.
164
Friedr. Vieweg und Sohn, Braun-