1. Übungsblatt - TU Darmstadt/Mathematik

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
T. Harth
A. Rößler
B. Walther
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
SS 2003
23./24.04. 2003
Einführung in die Statistik
für WInf, Inf, BI, ET etc.
1. Übung
Gruppenübungen
Aufgabe G1
Bei der Messung des Körpergewichts von 20 männlichen Schülern ergaben sich die folgenden
Werte [in kg]:
62.5 58.0 57.0 59.5 64.0 54.5 58.5 59.5 57.0 61.5
56.0 61.0 54.5 65.5 62.5 57.0 60.0 56.5 59.5 58.5
a) Erstellen Sie ein Histogramm mit der Klasseneinteilung (54.0, 56.0], (56.0, 58.0], . . . ,
(64.0, 66.0].
b) Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion zu der Messreihe.
c) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median, die Spannweite, die empirische
Varianz, die empirische Standardabweichung und den Quartilabstand.
d) Veranschaulichen Sie die Struktur der Messreihe mit Hilfe eines Boxplots.
Aufgabe G2
Bei einer Klausur konnten maximal 120 Punkte erreicht werden. In der folgenden Tabelle
ist zu jeder Note diejenige Punktzahl p angegeben, die zum Erhalt dieser Note mindestens
erreicht werden mußte.
Note 1.0 1.3 1.7 2.0 2.3 2.7
p
120 115 109 102 94 85
3.0 3.3 3.7 4.0 5.0
75 64 52 40
0
Folgende Punktzahlen wurden von den 25 Teilnehmern erreicht:
41 82 5
12 41 52
84 94 47
102 45 70
73 59 62 20 31
40 74 51 64 75
98 76
60
a) Bestimmen Sie jeweils im Sinne der Bildung des arithmetischen Mittels die durchschnittliche Punktzahl sowie die Durchschnittsnote.
b) Vergleichen Sie die Note, die man bei durchschnittlicher Punktzahl erhalten würde,
mit der Durchschnittsnote.
c) Bestimmen Sie die Mediane zu Noten und Punktzahlen.
d) Vergleichen Sie die Note, die man beim Median der Punktzahlen erhalten würde, mit
dem Median der Notenverteilung.
Aufgabe G3 Gegeben sei eine Messreihe x1 , . . . , xn mit arithmetischem Mittel x und
empirischer Varianz s2x .
a) Zeigen Sie: Werden die Messwerte gemäß yi = axi + b für i = 1, . . . , n linear transformiert, so gilt für das arithmetische Mittel der transformierten Werte y = ax + b und
für die empirische Varianz s2y = a2 s2x .
b) Im Jahr 2002 wurden in Seattle die folgenden monatlichen Niederschläge (in inches)
gemessen:
6.49 4.18 2.82 4.29 1.11 1.73 0.64 0.04 0.42 0.66 3.71 5.98
Berechnen Sie die durchschnittliche Niederschlagsmenge in einem Monat und die zugehörige empirische Streuung in inches und in cm (Hinweis: 1 inch = 2.54 cm).
c) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R −→ R gegeben durch
f (a) =
n
X
(xi − a)2
i=1
an der Stelle â = x ihr Minimum annimmt.
Hausübungen
Abgabe am 2. Mai
Aufgabe H1
An 40 Exemplaren einer bestimmten Pflanze wurde die Anzahl x der Stengelblätter am
Hauptspross bestimmt. Es ergaben sich folgende Werte mit den angegebenen Häufigkeiten:
x
Häufigkeit
2
1
3
3
4
1
5
4
6
8
7
7
8
3
9 10 11 12 14 15 16 17
1 4 1 2 1 2 1 1
a) Bestimmen Sie den Median der Verteilung.
b) Erstellen Sie die empirische Verteilungsfunktion und lesen Sie daraus die Quantile x0.1
und x0.75 ab.
c) Veranschaulichen Sie die Messreihe mit einem Stabdiagramm.
d) Erstellen Sie einen Box–Plot für diese Messreihe.
Aufgabe H2
Sei x1 , . . . , xn eine Messreihe mit dem Median x
e, f : R → R eine monoton wachsende
Funktion und yi = f (xi ) für i = 1, . . . , n.
a) Zeigen Sie, dass für den Median ye der transformierten Messreihe y1 , . . . , yn gilt:
ye = f (e
x).
b) Geben Sie den Median der Niederschlagsmengen aus Aufgabe G3 in cm an.
c) Gilt für die arithmetischen Mittel x und y ebenfalls y = f (x)?
(bitte wenden)
Aufgabe H3
Die folgende Tabelle ist ein Auszug aus dem Statistischen Jahrbuch 2002 vom Statistischen
Bundesamt zum Thema Privathaushalte im April 2001 nach dem monatlichen Haushaltsnettoeinkommen.
j
aj
bj
nj
1
1 − 1 000 1 319
2 1 000 − 1 800 4 588
3 1 800 − 2 500 6 092
4 2 500 − 3 000 3 874
5 3 000 − 4 000 6 756
6 4 000 − 5 000 5 115
7 5 000 − 7 500 6 134
Der Eintrag nj in Zeile j entspricht der Anzahl von Privathaushalten mit einem monatlichen
Haushaltsnettoeinkommen zwischen aj und bj DM. Insgesamt sind hier 33 878 Privathaushalte erfasst.
a) Zeichnen Sie ein Histogramm der Meßreihe mit den vorgegebenen Klassen. Benutzen
Sie folgende Einheiten: 1 cm = 500 auf der x-Achse, 1 cm = 0.02 auf der y-Achse.
b) Zeichnen Sie ein Histogramm, bei dem auf der y-Achse der Quotient aus relativer
Häufigkeit und Klassenbreite aufgetragen ist. Günstig sind dabei die folgenden Einheiten: 1 cm = 500 auf der x-Achse, 1 cm = 2 × 10−5 auf der y-Achse.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Histogramms.
c) Vergleichen Sie die beiden Histogramme. Welche Darstellung würden Sie zur Beschreibung der Daten vorziehen?
d) Gilt x̃ < x̄ oder x̄ < x̃? Stellen Sie eine (begründete) Vermutung allein unter Benutzung der Histogramme an.
Aufgabe H4
Im Rahmen von Untersuchungen über zulässige Höchstwerte von Schadstoffen in Futtermitteln wurden Fütterungsversuche an Mastschweinen angestellt. Dem Futter von 13 Schweinen wurden verschiedene Mengen von Bleiacetat (x1 , . . . , x13 ) beigegeben und nach einem
bestimmten Zeitraum wurden dann die Bleikonzentrationen in der Nierenrinde (y1 , . . . , y13 )
gemessen. Die entsprechenden Werte (in mg Pb pro kg Futter bzw. pro kg Nierenrinde)
sind in der nachfolgenden Tabelle dargestellt.
xi
yi
2.0 3.2 5.4 2.4 8.9 15.8 2.3 6.9 11.8 4.5 2.6 2.9 3.8
0.12 0.18 0.42 0.18 0.61 1.02 0.14 0.55 0.74 0.24 0.14 0.20 0.20
a) Erstellen Sie ein Punktediagramm und berechnen Sie die empirische Kovarianz sowie
die empirische Korrelation zwischen der Bleikonzentration im Futter und in der Nierenrinde. Erscheint ein linearer Zusammenhang zwischen den beobachteten Größen
angemessen?
b) Bestimmen Sie die Regressionsgerade zur Vorhersage des Bleigehalts in der Nierenrinde
aus der Bleikonzentration im Futter und tragen Sie diese in das Punktediagramm ein.
Wie groß ist die Quadratsumme der Residuen?
c) Welchen Vorhersagewert für den Bleigehalt in der Nierenrinde erhält man bei einer
Bleikonzentration des Futters von 10 mg.
Aufgabe H5
Auf dem Darmstädter Wochenmarkt ist eine Erhebung über die Länge und das Gewicht
von Salatgurken durchgeführt worden. Dabei erhielt man folgende Messwerte:
Länge (in cm) 30 31 33 37 39 40
Gewicht (in g) 595 610 625 640 655 715
a) Stellen Sie die Messergebnisse in einem Punktediagramm dar.
b) Berechnen Sie zu der oben angegebenen Messreihe die empirische Kovarianz sowie den
empirischen Korrelationskoeffizienten.
c) Berechnen Sie die Regressionsgerade zur Vorhersage des Gewichtes an Hand der Länge
der Salatgurken und zeichnen Sie diese in das Punktediagramm aus a) ein.
d) Berechnen Sie die Regressionsgerade zur Vorhersage der Länge an Hand des Gewichtes
der Salatgurken und zeichnen Sie diese in das Punktediagramm aus a) ein.
e) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden.
P
P 2
P
P 2
P
Hinweis:
xi = 210,
xi = 7 440,
yi = 3 840,
yi = 2 466 600,
xi yi = 135 210
i
i
i
i
i
Aufgabe H6
a) Bestimmen Sie diejenige lineare Transformation
yi = axi + b,
a > 0,
durch die sich aus einer Messreihe x1 , . . . , xn mit s2x > 0 eine transformierte Messreihe
y1 , . . . , yn ergibt, für die gilt:
y=0
und
s2y = 1
(Man bezeichnet y1 , . . . , yn als standardisierte Messreihe).
b) Gegeben sei nun die zweidimensionale Messreihe (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) mit der empirischen Korrelation sxy und dem empirischen Korrelationskoeffizienten rxy . Berechnen
Sie die empirische Korrelation suv und den empirischen Korrelationskoeffizienten ruv
der standardisierten zweidimensionalen Messreihe
x − x̄ y − ȳ x − x̄ y − ȳ 1
n
n
1
,
, . . . , (un , vn ) =
,
.
(u1 , v1 ) =
sx
sy
sx
sy