Zufallsversuche

Zufallsversuche
Christine Hartmann
Oktober 2008
1 / 21
1 Einstufige Zufallsversuche
2 Mehrstufige Zufallsversuche
3 Kombinatorik
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1 Einstufige Zufallsversuche
2 Mehrstufige Zufallsversuche
3 Kombinatorik
3 / 21
Wichtige Grundbegriffe
Einstufiger Zufallsversuch
Experiment, das mit nur einer Wiederholung durchgeführt wird;
z.B. Würfeln mit einem Würfel, Ziehen einer Kugel
Ergebnis
Ein möglicher Ausgang eines Zufallversuchs, den wir mit ω
bezeichnen
Stichprobenraum
Die Menge Ω aller möglichen Ergebnisse
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Wahrscheinlichkeit
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1
2
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Wahrscheinlichkeit
Nach 200 Ziehungen kann man folgende Zahlenfolge erhalten:
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Nach 200 Ziehungen kann man folgende Zahlenfolge erhalten:
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1
Relative Häufigkeit
Wird ein Zufallsversuch n-mal durchgeführt und dabei tritt das
Ergebnis ω m-mal auf, dann versteht man unter der relativen
Häufigkeit von ω das folgende Verhältnis:
m
Hn (ω) =
n
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Wahrscheinlichkeit
0.42
relative Häufigkeit der Ziffer 1
0.4
0.38
0.36
0.34
0.32
0.3
0
50
100
150
200
250
300
Anzahl der Ziffern
350
400
450
500
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Wahrscheinlichkeit
Definition (Ereignis)
Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω. Man sagt das Ereignis A
ist eingetreten, wenn für das Ergebnis ω gilt: ω ∈ A.
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Wahrscheinlichkeit
Definition (Ereignis)
Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω. Man sagt das Ereignis A
ist eingetreten, wenn für das Ergebnis ω gilt: ω ∈ A.
Gilt ω ∈
/ A dann sagt man das Ereignis Ā ist eingetreten“
”
oder A ist nicht eingetreten“.
”
Ω bezeichnet man als das sichere Ereignis
∅ nennt man das unmögliche Ereignis.
Gilt ω ∈ A ∩ B dann sagt man A und B“ sind eingetreten.
”
ω ∈ A ∪ B bedeutet, dass A oder B“ eingetreten ist
”
8 / 21
Wahrscheinlichkeit
Definition (Ereignis)
Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω. Man sagt das Ereignis A
ist eingetreten, wenn für das Ergebnis ω gilt: ω ∈ A.
Gilt ω ∈
/ A dann sagt man das Ereignis Ā ist eingetreten“
”
oder A ist nicht eingetreten“.
”
Ω bezeichnet man als das sichere Ereignis
∅ nennt man das unmögliche Ereignis.
Gilt ω ∈ A ∩ B dann sagt man A und B“ sind eingetreten.
”
ω ∈ A ∪ B bedeutet, dass A oder B“ eingetreten ist
”
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
P(A) =
X
P({ω})
ω∈A
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Laplace-Experimente
Annahme: Alle ω ∈ Ω sind gleich
wahrscheinlich
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnis
p(ω) =
1
|Ω|
Wahrscheinlichkeit eines Ereignis
1
1
1
|A|
+
+ ... +
=
|Ω| |Ω|
|Ω|
|Ω|
Anzahl der für A günstigen Fälle
=
Anzahl der möglichen Fälle
p(A) =
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Endliche Wahrscheinlichkeitsräume
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Abbildung P : P(Ω) −→ [0, 1] nennt man
Wahrscheinlichkeitsverteilung , wenn sie folgende Eigenschaften
hat:
1
P ist normiert, d.h. P(Ω) = 1
2
P ist positiv, d.h. P(A) ≥ 0 ∀A ⊆ Ω
3
P ist additiv, d.h. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) für alle A, B mit
A ∩ B = ∅ (A, B disjunkt)
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Endliche Wahrscheinlichkeitsräume
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Abbildung P : P(Ω) −→ [0, 1] nennt man
Wahrscheinlichkeitsverteilung , wenn sie folgende Eigenschaften
hat:
1
P ist normiert, d.h. P(Ω) = 1
2
P ist positiv, d.h. P(A) ≥ 0 ∀A ⊆ Ω
3
P ist additiv, d.h. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) für alle A, B mit
A ∩ B = ∅ (A, B disjunkt)
Definition (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)
Das Paar (Ω, P) bezeichnet man als den, dem Experiment
zugeordneten endlichen Wahscheinlichkeitsraum (W-Raum), falls Ω
endlich viele Elemente hat.
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Endliche Wahrscheinlichkeitsräume
Lemma
Für A ⊆ Ω gilt: P(Ā) = 1 − P(A) und speziell: P(∅) = 0
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Endliche Wahrscheinlichkeitsräume
Lemma
Für A ⊆ Ω gilt: P(Ā) = 1 − P(A) und speziell: P(∅) = 0
Weitere Eigenschaften der Abbildung P:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) für A, B ⊆ Ω
A ⊆ B =⇒ P(A) ≤ P(B)
P
n
[
i=1
!
Ai
=
n
X
P(Ai ) falls A1 ,. . . ,An paarweise disjunkt sind
i=1
P
n
[
i=1
!
Ai
≤
n
X
P(Ai ) für beliebige A1 ,. . . ,An
i=1
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1 Einstufige Zufallsversuche
2 Mehrstufige Zufallsversuche
3 Kombinatorik
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Mehrstufige Zufallsversuche
Um mehrere Stufen übersichtlich veranschaulichen zu können
benutzt man Baumdiagramme. Jedem Ergebnis entspricht dann
ein Pfad durch diesen Baum.
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Mehrstufige Zufallsversuche
Um mehrere Stufen übersichtlich veranschaulichen zu können
benutzt man Baumdiagramme. Jedem Ergebnis entspricht dann
ein Pfad durch diesen Baum.
Definition (Pfadregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades erhält man, indem man die
Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades multipliziert.
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Mehrstufige Zufallsversuche
Aufgabe
Ein Vater sagt zu seinem Sohn:“ Du bekommst mehr Taschengeld,
wenn du von drei Tennispartien, die du abwechselnd gegen mich
und deine Mutter spielst, zwei hintereinander gewinnst“
Soll der Junge zuerst gegen den Vater oder gegen die Mutter
spielen?
Gegen den Vater gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit a und gegen
die Mutter mit Wahrscheinlichkeit b, wobei gilt a < b.
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1 Einstufige Zufallsversuche
2 Mehrstufige Zufallsversuche
3 Kombinatorik
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Geordnete Stichproben mit Zurücklegen
Man zieht n Kugeln, wobei jeweils eine Kugel gezogen, ihre
Nummer notiert und sie vor dem nächsten Ziehen wieder
zurückgelegt wird.
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Geordnete Stichproben mit Zurücklegen
Man zieht n Kugeln, wobei jeweils eine Kugel gezogen, ihre
Nummer notiert und sie vor dem nächsten Ziehen wieder
zurückgelegt wird.
Stichprobenraum
Ω1 := {ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) | ωi ∈ {1, . . . , N} für i = 1, . . . , n}
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Geordnete Stichproben mit Zurücklegen
Man zieht n Kugeln, wobei jeweils eine Kugel gezogen, ihre
Nummer notiert und sie vor dem nächsten Ziehen wieder
zurückgelegt wird.
Stichprobenraum
Ω1 := {ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) | ωi ∈ {1, . . . , N} für i = 1, . . . , n}
Mit A = {1, . . . , N} gilt Ω1 = An
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Geordnete Stichproben mit Zurücklegen
Man zieht n Kugeln, wobei jeweils eine Kugel gezogen, ihre
Nummer notiert und sie vor dem nächsten Ziehen wieder
zurückgelegt wird.
Stichprobenraum
Ω1 := {ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) | ωi ∈ {1, . . . , N} für i = 1, . . . , n}
Mit A = {1, . . . , N} gilt Ω1 = An
⇒ |Ω1 | = N n
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Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Man zieht n Kugeln und notiert ihre Nummer, vor dem nächsten
Ziehen werden die Kugeln nicht wieder zurückgelegt.
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Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Man zieht n Kugeln und notiert ihre Nummer, vor dem nächsten
Ziehen werden die Kugeln nicht wieder zurückgelegt.
Stichprobenraum
Ω2 = {ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) | ωi ∈ A, ωi 6= ωj für i 6= j}
17 / 21
Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Man zieht n Kugeln und notiert ihre Nummer, vor dem nächsten
Ziehen werden die Kugeln nicht wieder zurückgelegt.
Stichprobenraum
Ω2 = {ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) | ωi ∈ A, ωi 6= ωj für i 6= j}
⇒ |Ω2 | = (N)n = N(N − 1) . . . (N − n + 1) =
N!
(N − n)!
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Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Man zieht n Kugeln aus einer Urne mit N Stück in einem Zug.
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Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Man zieht n Kugeln aus einer Urne mit N Stück in einem Zug.
Stichprobenraum
Ω3 = {{ω1 , ω2 , . . . , ωn } | ωi ∈ A, ωi 6= ωj für i 6= j}
18 / 21
Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Man zieht n Kugeln aus einer Urne mit N Stück in einem Zug.
Stichprobenraum
Ω3 = {{ω1 , ω2 , . . . , ωn } | ωi ∈ A, ωi 6= ωj für i 6= j}
(N)n
N!
⇒ |Ω3 | =
=
=
n!
n!(N − n)!
N
n
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Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen
Man zieht n Kugeln aus einer Urne mit N Stück, wobei die Kugeln
jeweils zurückgelegt werden.
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Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen
Man zieht n Kugeln aus einer Urne mit N Stück, wobei die Kugeln
jeweils zurückgelegt werden.
Stichprobenraum
Ω4 = {(ω1 , ω2 , . . . , ωn ) ∈ An | ω1 ≤ ω2 ≤ · · · ≤ ωn }
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Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen
Man zieht n Kugeln aus einer Urne mit N Stück, wobei die Kugeln
jeweils zurückgelegt werden.
Stichprobenraum
Ω4 = {(ω1 , ω2 , . . . , ωn ) ∈ An | ω1 ≤ ω2 ≤ · · · ≤ ωn }
⇒ |Ω4 | =
N +n−1
n
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Übersicht Stichprobenräume
Geordnet mit Zurücklegen
Nn
Ungeordnet mit Zurücklegen
n+N −1
n
Geordnet ohne Zurücklegen
(N)n
Ungeordnet ohne Zurücklegen
N
n
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Kombinatorik
Aufgabe
Auf wieviele Arten kann man 8
sich gegenseitig nicht schlagende
Türme auf ein Schachbrett
stellen?
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