Musterlösung 7 - AK

Lösung zur Übung 7 vom 25.11.2014
Aufgabe 24
Die Funktion y(x) = arccos(x) als Umkehrfunktion von y(x) = cos(x) ist auf dem Intervall
[0, π] definiert. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion y(x) = arccos(x)
Zeichnung
Abbildung 1: Funktionsgraph der Arkuskosinusfunktion.
1
Aufgabe 25
Für welche x gilt:
1
3
<
x−1
4x − 7
Lösung
Da der Ungleichung zwei Brüche zugrunde liegen, die die Variable x im Nenner haben ist
zuerst der Definitionsbereich der Ungleichung zu bestimmen.
1
3
<
x−1
4x − 7
D : R\{1; 7 }
(1)
4
Bei der Umformung der Ungleichung werden im Folgenden mehrere Fallunterschreidungen
vorgenommen:
1
3
<
x−1
4x − 7
| · (x − 1)
(2)
Fallunterscheidung 1:
Fall 1: x − 1 > 0
3x − 3
1<
4x − 7
Fall 2: x − 1 < 0
3x − 3
1>
4x − 7
| · 4x − 7
(3)
|+7 | − 3x
(4)
Fallunterscheidung 2:
Fall 1a: x − 1 > 0
Fall 2a: x − 1 < 0
4x − 7 > 0
4x − 7 > 0
4x − 7 < 3x − 3
4x − 7 > 3x − 3
Fall 1b: x − 1 > 0
Fall 2b: x − 1 < 0
4x − 7 < 0
4x − 7 < 0
4x − 7 > 3x − 3
4x − 7 < 3x − 3
Auflösen der Ungleichungen nach x:
Fall 1a
x>1
x > 74
x<4
7
4 <x<4
Fall 1b
x>1
x < 74
x<4
L : {x|x < 1 ∨
Die Ungleichung ist für x < 1 oder
7
4
Fall 2a
x<1
x > 74
x>4
7
< x < 4}
4
< x < 4 erfüllt.
2
Fall 2b
x<1
x < 74
x<4
x<1
(5)
Aufgabe 26
√
Das geometrische Mittel zweier Zahlen a und b ist ab. Zeigen Sie, dass ein Glied einer
geometrischen Folge (mit Ausnahme des ersten und letzten) das geometrische Mittel aus
dem Vorgängerglied und dem Nachfolgerglied ist.
Lösung
Sei das erste Glied allgemein bestimmt durch:
an = a0 q n
(6)
dann ist das übernächste Glied bestimmt durch:
an+2 = a0 q n+2
(7)
also ergibt sich für das Zwischenglied:
√
an · an+2
p
= a0 q n · a0 q n+2
an+1 =
(8)
(9)
vereinfachen wir die Wurzel ergibt sich:
q
a20 q 2n+2 = a0 q n+1
3
(10)
Aufgabe 27
Wie kann man unter Verwendung der Berechnung von unendlich geometrischen Reihen
S=
∞
X
qk =
k=0
1
1−q
1
mit |q| < 1 die Funktion y(x) = a2 −x
2 in Form einer unendlichen Reihe darstellen? Für
welche Zahlen x gilt dann diese Darstellung?
Lösung
Als erstes formen wir die Funktionalform etwas um, sodass sie der geometrischen Reihe
ähnelt:
ϕ=
1
1
1
1
a2
= 2
=
2
2
2
x
a −x
a 1 − ( xa )2
1 − ( a2 )
(11)
Nun prüfen wir die Zahlenmenge. Nun muss:
x
q = ( )2
a
(12)
x2
<1
a2
(13)
also
x2 < a2
2
(14)
2
0 <x < a
(15)
da x kleiner a sein muss gilt abschliessend:
−a <x < a
(16)
4
Aufgabe 28
Leiten Sie die Ableitung der Tangensfunktion aus dem Grenzwert des Differenzenquotienten unter Verwendung des Additionstheorems
tan(α + β) =
tan(α) + tan(β)
1 − tan(α) tan(β)
her.
Lösung
Wir beginnen mit dem Differenzenquotienten.
f (x + ∆x) − f (x)
∆y
=
∆x
∆x
(17)
Wir setzen für f (x) die Tangensfunktion tan(x) ein.
=
tan(x + ∆x) − tan(x)
∆x
(18)
Nun nutzen wir das oben gegebene Additionstheorem.
=
tan(x)+tan(∆x)
1−tan(x)·tan(∆x)
− tan(x)
(19)
∆x
wir erweitern mit (1 − tan(x) · tan(∆x)).
tan(x) + tan(∆x) − tan(x) · (1 − tan(x) · tan(∆x))
∆x · (1 − tan(x) · tan(∆x))
tan(x) + tan(∆x) − tan(x) + tan2 (x) · tan(∆x))
=
∆x · (1 − tan(x) · tan(∆x))
=
(20)
(21)
Die einzelnen tan(x) heben sich weg.
=
tan(∆x) + tan2 (x) · tan(∆x))
∆x · (1 − tan(x) · tan(∆x))
(22)
Ausklammern von tan(∆x) im Zähler.
=
tan(∆x)(1 + tan2 (x))
∆x · (1 − tan(x) · tan(∆x))
(23)
Nun bilden wir den Grenzwert und setzen den nicht grenzwertabhängigen Teil vor den
Grenzwert
∆y
tan(∆x)
= (1 + tan2 (x)) lim
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x · (1 − tan(x) · tan(∆x))
lim
(24)
Diesen Grenzwert können wir noch auseinanderziehen
tan(∆x)
1
· lim
∆x→0
∆x→0 ·(1 − tan(x) · tan(∆x))
∆x
= (1 + tan2 (x)) lim
5
(25)
Der rechte Grenzwert läuft gegen 1, den linken können wir umschreiben zu
= (1 + tan2 (x)) lim
∆x→0
sin(∆x)
1
· lim
·1
∆x→0 cos(∆x)
∆x
Der Grenzwert des Kosinusteils wird 1, und der
3 bereits gezeigt haben. Somit ergibt sich
tan0 (x) = (1 + tan2 (x))
1
=
cos2 (x)
sin(∆x)
∆x
(26)
wird ebenfalls 1, wie wir in Übung
(27)
(28)
6