Subtraktion der Komponenten von ˜vk in Richtung von v1,v2,...,vk

~
v1
~
v
2
v1
-v (v , ~
v )
1 1 2
v
2
W2
Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens.
k. Schritt: Subtraktion der Komponenten von ṽk in Richtung von v1 , v2 , . . . , vk−1
k−1
X
wk = ṽk −
vi (vi , ṽk )
i=1
und Normierung von wk auf Eins
vk =
wk
||wk ||
Mit {v1 , v2 , v3 , . . . } hat man schließlich ein Orthonormalsystem gewonnen.
Wir haben ja zu Beginn dieses Kapitels festgestellt, dass wir mit R2 bzw. R3 nicht
nur die Vektorräume der Parallelverschiebungen der Ebene bzw. des Raums verbinden
können, die dann bei Vorliegen einer Basis durch reelle Zahlenpaare bzw. Zahlentripel
dargestellt werden, sondern auch affine (Punkt)Räume. Das Pendant zum Basisbegriff
in einem Vektorraum ist der Begriff des Koordinatensystems in einem affinen Raum.
Bei Vorliegen eines Koordinatensystems its in einem affinen Raum jeder Punkt eindeutig durch Angabe eines n-Tupels von Zahlen eindeutig festgelegt.
50
Definition 1.28 — Ein (n + 1)-Tupel (P0 , P1 , P2 , . . . , Pn ) von Punkten Pi ∈ P
heißt Koordinatensystem des affinen Raums (P, V ), wenn die Vektoren
−−→ −−→ −−→
−−−→
P0 P1 , P0 P2 , P0 P3 ,. . . ,P0 Pn eine Basis des Vektorraums V sind.
Ist (P0 , P1 , P2 , . . . , Pn ) ein Koordinatensystem von (P, V ), so existieren
zu jedem Punkt X ∈ P eindeutig bestimmte Skalare x1 , x2 ,. . . ,xn ∈ K,
−−→
sodass P0 X die Basisdarstellung
−−→
−−→
−−−→
−−→
P0 X = x 1 P 0 P1 + x 2 P0 P2 + · · · + x n P0 Pn
besitzt. Die Skalare x1 , x2 , . . . , xn heißen Koordinaten des Punktes X
bezüglich des Koordinatensystems (P0 , P1 , P2 , . . . , Pn ).
Bemerkung — Die Dimension eines affinen Raums (P, V ) ist gleich der Di-
mension des zugehörigen Vekorraums V .
Der Punkt P0 wird “Ursprung des Koordinatensystems” genannt und
manchmal auch mit O bezeichnet.
−−→
P0 X wird Ortsvektor des Punktes X genannt. Der Koordinatenvektor von
−−→
P0 X (siehe Seite 45) ist durch die Koordinaten des Punktes X bezüglich
des Koordinatensystems (P0 , P1 , P2 , . . . , Pn ) gegeben:
 
x1
 
x2 
−−→ 

P0 X = 
 .. 
.
xn
−−−→ −−−→ −−−→
{P0 P1 ,P0 P2 ,...,P0 Pn }
Definition 1.29 — Sei (P, V ) ein affiner Raum und V ein euklidischer oder
unitärer Vektorraum (d.h. ein reeller bzw. komplexer Vektorraum mit
Skalarprodukt). Dann heißt (P, V ) ein euklidischer bzw. unitär affiner
Raum.
−−→ −−→ −−→
−−−→
Ist {P0 P1 , P0 P2 , P0 P3 , . . . , P0 Pn } eine Orthonormalbasis von V , so heißt
(P0 , P1 , P2 , . . . , Pn ) ein kartesisches Koordinatensystem von (P, V ).
51
Analytische Geometrie
Sobald man in einem affinen Raum ein Koordinatensystem eingeführt hat, wird es
möglich geometrische Sachverhalte rechnerisch zu erfassen. Geometrische Beziehungen gehen dann in rechnerische Beziehungen zwischen Zahlen über, nämlich zwischen
den Koordinaten jener Punkte, die die betrachteten geometrischen Objekte charakterisieren.
Die Lage eines Punktes P bezüglich eines (oft
kartesischen) Koordinatensystems wird durch
den Ortsvektor
P
−→
~r = OP = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3
r
beschrieben. Dieser Vektor verbindet den Ursprung des Koordinatensystems O mit dem
Punkt P . Es ist ein “gebundener Vektor”, der
von der Wahl des Ursprungs abhängig ist und
somit kein Vektor (d.h. Element eines Vektorraums) im eigentlichen Sinn.
e
e
3
O
1
e
2
r(t)
Wenn der Ortsvektor von einem reellen Parameter t abhängt und t die reellen Zahlen
durchläuft, so beschreibt ~r(t) eine Kurve im
Raum.
e
3
O
e1
e
2
Im einfachsten Fall ist die t-Abhängigkeit linear
und man erhält die
Parameterform einer Geraden
a
r
0
~r(t) = ~r0 + t~a .
e
Der Parameter t legt die Punkte auf der Geraden eindeutig fest. Zu t = 0 befindet man
sich am Punkt mit Ortsvektor ~r0 . ~a gibt die
Richtung der Geraden vor.
52
e
1
3
O
e
2
Bemerkung — Diese Form der Geradengleichung ist in beliebigen Dimensionen
gültig.
Sehen wir uns nun die Geradengleichung in 2 Dimensionen etwas näher an:
!
!
!
!
x1 (t)
x01
a1
x01 + ta1
~r(t) =
= ~r0 + t~a =
+t
=
.
x2 (t)
x02
a2
x02 + ta2
Ein Vergleich der beiden Komponenten ergibt
(x1 − x01 )
,
a1
(x2 − x02 )
=⇒ t =
.
a2
x1 = x01 + ta1 =⇒ t =
x2 = x02 + ta2
Gleichsetzen der beiden rechten Seiten führt schließlich zur
impliziten Form der Geradengleichung (in 2 Dimensionen):
(x2 − x02 )
a2
(x1 − x01 )
a2
=
−→ x2 = (x02 − x01 ) +
x1 = cx1 + x̃02 .
a1
a2
a
a2
|
{z 1 } |{z}
c
x̃02
x2
~
x02
c ist dabei die Steigung (dx2 /dx1 ) der
Geraden und x̃02 der Schnittpunkt der
Geraden mit der x2 Achse.
Steigung c
x1
Um eine Gerade festzulegen, brauchen wir also die Koordinaten eines Punktes auf der
Geraden (Ortsvektor ~r0 ) und einen Vektor ~a, der die Richtung der Geraden vorgibt.
Statt des Richtungsvektors kann man auch einen zweiten Punkt (Ortsvektor ~r1 ) auf
der Geraden angeben. Der Richtunsgvektor ergibt sich dann als ~a = ~r1 − ~r0 .
53
In 2 Dimensionen kann die Gerade auch durch einen Punkt (mit Ortsvektor ~r0 ) und
einen Normalvektor ~n auf die Gerade festgelegt werden. Dies führt zur
Hesse’schen Normalform der Geradengleichung (in der Ebene):
Wenn ~r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden ist, so ist
(~r − ~r0 ) ein Richtungsvektor der Geraden, Dieser muss aber orthogonal zum
Normalvektor ~n sein, es muss also
(~r − ~r0 ) · ~n = 0
(r-r )
0
gelten. In Komponenten ausgeschrieben bedeutet das:
"
!
!#
!
x1
x01
n1
−
·
x2
x02
n2
r
0
r
= (x1 − x01 )n1 + (x2 − x02 )n2
= n1 x1 + n2 x2 − (n1 x01 + n2 x02 ) = 0 .
Die Komponenten des Normalvektors
lassen sich also als Koeffizienten von
x1 und x2 identfizieren.
Bemerkung — Eliminiert man aus der Parameterform der Geradengleichung
im Raum den Parameter t so erhält man die implizite Darstellung der
Geraden in 3 Dimensionen in Form von 2 linearen Gleichungen in den 3
Unbekannten x1 , x2 , x3 .
54
n
In Analogie zu einer Geraden kann meine eine Ebene durch einen Punkt in der Ebene
(mit Ortsvektor ~r0 ) und 2 (linear unabhängigen) Richtungsvektoren ~u und ~v festlegen.
Das führt zur Parameterform der Ebene:
~r(s, t) = ~r0 + s~u + t~v
bzw.
 


 
 
x01
x1 (s, t)
u1
v1
 


 
 
x2 (s, t) = x02  + s u2  + t v2 
x3 (s, t)
x03
u3
v3


x01 + su1 + tv1


= x02 + su2 + tv2  .
x03 + su3 + tv3
n
v
P
u
(r-r0)
r0
r
O
Die Parameter s und t legen bei vorgegebenen Richtungsvektoren ~u und ~v die Position
eines Punktes uaf der Ebene eindeutig fest. Eliminiert man aus den 3 Gleichungen für
die Komponenten die Parameter s und t, so resultiert 1 lineare Gleichung in den 3
Unbekannten x1 , x2 und x3 . Diese Gleichung ist die implizite Form der Ebenengleichung. Analog zu einer Geraden in der Ebene lässt sich eine Ebene im Raum auch
durch einen Punkt in der Ebene (Ortsvektor ~r0 ) und einen Vektor ~n, der normal
auf die Ebene steht, festlegen. Das führt zur Hesse’schen Normalform der Ebene im
Raum:
(~r − ~r0 ) · ~n = 0 ,
wobei ~r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene ist. Komponentenweise
hingeschrieben ergibt sich auch die implizite Form der Ebenengleichung:
     
n1
x01
x1
     
x2  − x02  · n2  = (x1 − x01 )n1 + (x2 − x02 )n2 + (x3 − x03 )n3
x3
x03
n3
= n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 − (n1 x01 + n2 x02 + n3 x03 ) = 0 ,
{z
}
|
c
oder kurz
n 1 x1 + n 2 x2 + n 3 x 3 = c .
In dieser impliziten Darstellung einer Ebene im Raum liefern also die Koeffinizienten
von x1 , x2 und x3 die Komponenten des Normalvektors auf die Ebene.
55
Kennt man den Normalvektor, so lässt sich sehr einfach der (Normal)Abstand eines
Punktes Q im Raum von der Ebene ermitteln. Es ist die Projektion des Vektors
−→
P Q, der von einem Punkt P in der Ebene zum Punkt Q geht, auf den normierten
Normalvektor ~n/|~n|:
Q
−→
−→ ~n
|F Q| = |P Q | ,
|~n|
P
n
wobei F der Fußpunkt des Lots durch
Q auf die Ebene ist.
56