Blatt 2 - Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. Moritz Kaßmann
Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2012/2013
Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Spezielle Aspekte der Analysis
Lösungen von Blatt II vom 19. Oktober 2012
Aufgabe II.1 (5 Punkte)
Zeichnen Sie die folgenden Teilmengen des R2 bzw. R3 jeweils in ein geeignetes Koordinatensystem ein:
S 2 = (x, y) ∈ R2 | x + y = 1 und x, y ≥ 0 ,
S 3 = (x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 1 und x, y, z ≥ 0 ,
M1 = v ∈ R3 | hv − p, ni = 0 , wobei p = (1, 0, 0), n = (0, 1, 0),
M2 = v ∈ R3 | hv − p, ni = 0 , wobei p = (0, 0, 1), n = (0, 1, 0),
M3 = (x, y, z) ∈ R3 | (x − 1)2 + (y + 1)2 + z 2 = 4 .
Aufgabe II.2 (5 Punkte)
a) Die Ebene E1 durch den Punkt P = (3, 2, 1) besitze den Normalenvektor n = (4, 5, 6). Berechnen
Sie eine Koordinatenform und eine Parameterform der Ebene E1 .
b) Die Ebene E2 sei in Koordinatenform durch x1 + 5x2 − 2x3 = 20 gegeben. Berechnen Sie eine
Normalenform der Ebene E2 .
c) Die Ebene E3 sei in Parameterform gegeben durch
 
 
 
5
1
0
x = 2 + λ 0 + µ −5 ,
3
2
8
λ, µ ∈ R.
Berechnen Sie eine Normalenform der Ebene E3 .
Aufgabe II.3 (5 Punkte)
Die Gerade g ist gegeben durch
 
 
7
2
x = 5 + λ 2 ,
3
1
λ ∈ R.
a) Die Gerade g schneidet die Ebene E1 , gegeben durch x1 + 3x2 − 7x3 = −2, in genau einem Punkt
D ∈ R3 . Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Durchstoßpunktes D, ohne die Parameterform
von E1 zu verwenden.
b) Die Gerade g schneidet die Ebene E2 , gegeben durch
 
 
 
1
1
−1
x = −2 + λ  2  + µ −1 ,
5
−1
2
λ, µ ∈ R,
in genau einem Punkt D ∈ R3 . Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Durchstoßpunktes D, ohne
die Koordinatenform von E2 zu verwenden.
c) Sei P = (1, 0, −2). Weiterhin sei für jede reelle Zahl c ∈ [0, 5] eine Ebene Ec durch
2x1 + x2 + 2x3 = c
gegeben. Bestimmen Sie c ∈ [0, 5] so, dass der Abstand der Ebene Ec zum Punkt P minimal ist.
Aufgabe II.4 (5 Punkte)
Auf dem Dach – das wir uns als x-y-Ebene im R3 mit 1 Koordinateneinheit = 1m vorstellen – des
Hauptgebäudes der Universität Bielefeld startet ein Hubschrauber entlang der Fluggeraden, die durch
 
 
1
4
x = 1 + t 3
0
1
gegeben ist. Dabei bezeichnet t ∈ [0, 60] die Sekunden ab Start des Hubschraubers. Im Punkt A =
(10, 20, 1) befindet sich die Spitze einer senkrecht auf dem Dach stehenden Antenne.
Übungsblatt II
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a) Weisen Sie nach, dass der Hubschrauber nicht mit der Antenne in Berührung kommt.
b) Nach welcher Zeit erreicht der Hubschrauber den minimalen Abstand zur Antennenspitze? Bestimmen Sie diesen minimalen Abstand.
Nehmen Sie in dieser Aufgabe an, dass der Hubschrauber nur aus einem Punkt besteht, also keine
Ausdehnung besitzt, und dass die Antenne eine Ausdehnung lediglich in Richtung der z-Koordinate
besitzt.
Lösungsvorschläge
Aufgabe II.1
S2
S3
x3
y
1
1
1
1
x
1
x2
x1
M1 = M2
x3
M3
x3
M1
×
x2
x1
x1
x2
Übungsblatt II
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Aufgabe II.2
a) Durch Ausrechnen des Skalarprodukts in der Normalenform
   +
*
3
4
x − 2 , 5 = 0
1
6
ergibt sich eine Koordinatenform
4(x1 − 3) + 5(x2 − 2) + 6(x3 − 1) = 0 ⇐⇒ 4x1 + 5x2 + 6x3 = 28.
Um eine Parameterform zu bestimmen, lösen wir in der Koordinatenform nach
einer (beliebigen) Variablen auf:
5
3
x1 = − x2 − x3 + 7.
4
2
Wir fügen die Zeilen
x2 = 1 x2 + 0 x3 + 0,
x3 = 0 x2 + 1 x3 + 0
hinzu, woraus sich eine Parameterform
 
 
 
−3
−5
7
x = 0 + s 4  + t 0 ,
2
0
0
s, t ∈ R,
ergibt.
b) Als Stützvektor bestimmen wir einen beliebigen Punkt, der in der Ebene liegt,
etwa (0, 4, 0). Einen Normalenvektor entnimmt man dann den Koeffizienten der
Koordinatenform 1x1 + 5x2 + (−2)x3 = 20. Damit ergibt sich als Normalenform
   +
*
1
0
x − 4 ,  5 
−2
0
= 0.
c) Gesucht ist ein Vektor n = (n1 , n2 , n3 ), der auf beiden Richtungsvektoren der
Ebene E3 senkrecht steht. Es muss also gelten
* 1+
*  0 +
n, 0 = 0
und
n, −5 = 0.
2
8
Wir lösen das sich daraus ergebende Lineare Gleichungssystem:
n1 +
+ 2n3 = 0
(1)
− 5n2 + 8n3 = 0
(2)
Setze n3 = t ∈ R. Aus der ersten bzw. zweiten Zeile ergibt sich
8
− 5n2 + 8t = 0 ⇐⇒ n2 = t.
5
Durch Wahl von t = 5 erhalten wir eine ganzzahlige Lösung und somit die Normalenform
  

*
5
−10 +
x − 2 ,  8  = 0.
3
5
n1 + 2t = 0 ⇐⇒ n1 = −2t
bzw.
Übungsblatt II
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Aufgabe II.3
Die Gerade g ist gegeben durch
 
 
7
2
x = 5 + λ 2 ,
3
1
λ ∈ R.
a) Wir setzen jede Koordinate der Geradengleichung in die gegebene Koordinatenform
der Ebene E1 ein und lösen die entstandene Gleichung nach λ ∈ R auf:
(7 + 2λ) + 3(5 + 2λ) − 7(3 + λ) = −2 ⇐⇒ λ = −3.
Einsetzen von λ = −3 in die Geradengleichung liefert D = (1, −1, 0).
b) Das Gleichsetzen von Gerade g und Ebene E1 (beide in Parameterform gegeben)
liefert
 
   
 
 
7
2
1
1
−1
5 + s 2 = −2 + t  2  + r −1
3
1
5
−1
2
 
 
 
 
6
−2
1
−1







9
⇐⇒
= s −2 + t 2 + r −1 .
−2
−1
−1
2
Wir lösen das lineare Gleichungssystem in den Variablen s, t, r ∈ R:
| · (− 12 )
| · (−1)
−2s
+t
−r
=
6
−2s
+2t
−r
= 7 ←−−−−−− +
−s
−t
+2r = −2 ←−−−−−−−−−−−−−−− +
−2s
+t
−r
= 6 +t
= 1 → 5
3
+ 2 r = −5 −2t
Der zweiten Zeile entnehmen wir t = 1 und damit erhalten wir aus der dritten
Zeile
3 5
−7
− + r = −5 ⇐⇒ r =
.
2 2
5
Zuletzt erhalten wir damit aus der ersten Zeile
−2s + 1 +
−9
7
= 6 ⇐⇒ s =
.
5
5
s = − 95 eingesetzt in die Geradengleichung ergibt D =
17 7 6
5 , 5, 5
.
c) Wir können den Vektor (0, c, 0) als Stützvektor der Ebene verwenden. Der Abstand
d(P, Ec ) des Punktes P von der Ebene Ec ist gemäß Vorlesung gegeben durch
*     2 +
1
0
3
2+c
1 




0 − c , 3
d(P, Ec ) = = 3 .
2
−2
0
3
Dieser Abstand wird für c = 0 minimal, denn im Intervall (0, 5) liegen offensichtlich
keine kritischen Punkte.
Übungsblatt II
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Aufgabe II.4 a) Wir überprüfen, ob die Fluggerade des Hubschraubers einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden hat, die die Antenne darstellt1 . Wir überprüfen, ob
die Gleichung
 
   
 
1
4
10
0
1 + s 3 = 20 + t 0
1
1
0
1
durch zwei reellen Zahlen s und t gelöst werden kann. Bereits die ersten beiden
Gleichungen des Systems
1 + 4s = 10,
1 + 3s = 20
liefern einen Widerspruch. Es gibt folglich keine Zahlen s, t ∈ R, die das obige Gleichungssystem lösen. Der Hubschrauber kommt nicht mit der Antenne in
Berührung.
b) Wir bestimmen zunächst in Normalenform diejenige Ebene, in der die Antennenspitze liegt und die den Richtungsvektor der Fluggeraden als Normalenvektor besitzt:
   +
*
10
4
x − 20 , 3 = 0.
1
1
In Koordinatenform ist die Ebene gegeben durch
4x1 + 3x2 + x3 = 101.
Wir berechnen nun den Durchstoßpunkt der Fluggeraden durch diese Ebene:
4(1 + 4t) + 3(1 + 3t) + t = 101 ⇐⇒ t =
47
≈ 3, 62.
13
Der Ortsvektor des Durchstoßpunkts ist damit
 
   201 
1
4
13
1 + 47 3 =  154  .
13
13
47
0
1
13
Der Hubschrauber erreicht nach ca. 3,6 Sekunden den minimalen Abstand zur
Antennenspitze. Der Abstand ist dann
   201 
10
13
p
20 −  154  ≈ 5, 462 + 8, 152 + 2, 622 ≈ 10, 16m.
13
47
1
13
1
Sowohl die Fluggerade als auch die ”Antennengerade” sind streng genommen als Strecken endlicher
Länge zu betrachten. Wenn jedoch die Geraden schon keinen gemeinsamen Punkt haben, dann haben
die entsprechenden Strecken erst recht keinen Schnittpunkt.