1. ¨Ubung Mathematik 1 für BI
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1. Übung Mathematik 1 für BI 1. Für reelle Zahlen p und q sei die Gleichung x2 + px + q = 0 gegeben. (a) Leiten Sie die Lösungsformel für solche Gleichungen her. Ergänzen Sie hierzu die linke Seite der Gleichung auf ein vollständiges Quadrat. (b) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen von x2 + 4x − 5 = 0, x2 + 14x + 49 = 0, x2 − 2x + 2 = 0. 2. (a) Erklären Sie das prinzip der vollständigen Induktion anhand des folgenden Beispiels: Man beweise mit vollständiger Induktion 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) . 3 (b) Überlegen Sie sich, dass eine Aussage mit vollständiger Induktion nur dann bewiesen ist, wenn sowohl Induktionsstart als auch Induktionsschritt gezeigt sind. Versuchen Sie dazu, mit vollständiger Induktion zu zeigen: i. Für n = 1, 2, 3, . . . gilt n = n + 17. Der Induktionsschritt lässt sich hier zeigen – tun sie dies. ii. Für n = 1, 2, 3, . . . gilt n = n2 . Hier versagt der Induktionsschritt – wo? n 3. Sei Fn = 22 + 1 die n–te Fermatzahl. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für n ∈ N F0 · F1 · F2 · . . . · Fn = Fn+1 − 2. 4. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass 11n+1 + 122n−1 für alle n ≥ 1 durch 133 teilbar ist. 5. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ≥ 1 1 + na ≤ (1 + a)n . 6. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für natürliche Zahlen n groß genug (wie groß ?) gilt, dass n3 < 2n . 2 teilen. 7. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Ein Kreis lässt sich durch n Geraden in höchstens n +n+2 2 Überlegen Sie sich für n = 3 und n = 4 explizit wie die Geraden den Kreis schneiden müssen, sodass der 2 Kreis in genau n +n+2 Teile zerlegt wird. 2 A* Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Wenn a1 , a2 , . . . , an positive reelle Zahlen sind mit a1 · a2 · . . . · an = 1, so gilt a1 + a2 + . . . + an ≥ n. Anleitung für den Induktionsschritt: Um zu zeigen, dass aus der Induktionsannahme a1 · a2 · . . . · an = 1 und a1 , . . . , an alle positiv =⇒ a1 + a2 + . . . + an ≥ n die Induktionsbehauptung folgt, nämlich a1 · a2 · . . . · an · an+1 = 1 und a1 , . . . , an , an+1 alle positiv =⇒ a1 + a2 + . . . + an+1 ≥ n + 1, überlegen Sie zunächst, dass nur der Fall, in dem zumindest zwei der Faktoren a1 · a2 · . . . · an · an+1 ungleich 1 sind, genauer betrachtet werden muss (Wie lautet der andere Fall, in dem die Induktionsbehauptung leicht folgt?). Seien also zwei Faktoren ungleich 1, z.B. die zwei letzten Faktoren an > 1 und an+1 < 1 (Warum muss zumindest ein Faktor größer und ein Faktor kleiner als 1 sein?). Setzen Sie b = an · an+1 , und wenden Sie die Induktionsannahme auf die n Zahlen a1 , . . . , an−1 , b an, d.h., man erhält a1 +a2 +. . .+an−1 +b ≥ n. Überlegen Sie nun, dass aus a1 +a2 +. . .+an−1 +b ≥ n und b = an ·an+1 die Behauptung, also a1 +a2 +. . .+an+1 ≥ n+1, folgt.
