8. Übung zu Differentialgleichungen: Lineare Gleichungen höherer

8. Übung zu Differentialgleichungen:
Lineare Gleichungen höherer Ordnung
Aufgabe (119.37) Gib für jede der folgenden Differentialgleichungen jeweils die allgemeine Lösung an!
(a) y ′′ + 2y ′ + y = 0
(b) y ′′ + 3y ′ + 2y = 0
(c) y ′′ + 2y ′ + 2y = 0
(d) y ′′ + 5y ′ + 4y = 0
(e) 4y ′′ + 4y ′ + 5y = 0
(f) y ′′ − 8y ′ + 16y = 0
(g) y ′′′ − 2y ′′ − y ′ + 2y = 0
(h) y ′′′ − 3y ′′ + 2y ′ = 0
(i) y ′′′ − 3y ′′ + y ′ + 5y = 0
(j) y ′′′′ − 3y ′′ − 4y = 0
(k) y ′′′′ − 3y ′′′ − 3y ′′ + 11y ′ − 6y = 0
(l) y ′′′′ + 8y ′′′ + 42y ′′ + 104y ′ + 169y = 0
Aufgabe (119.38) Wir betrachten einen Differentialoperator der Form
L[y] = ay ′′ + by ′ + cy
mit positiven reellen Zahlen a, b, c > 0. Beweise die folgenden Aussagen!
(a) Für jede Lösung der homogenen Gleichung L[y] = 0
gilt y(x) → 0 für x → ∞.
(b) Für je zwei Lösungen einer inhomogenen Gleichung
L[y] = f gilt y1 (x) − y2 (x) → 0 für x → ∞.
Aufgabe (119.39) Für welche Zahlen a, b ∈ R hat
das Randwertproblem
′′
y + ay = 0,
y(0) = 0,
y(1) = b
(a) gar keine Lösung;
(b) genau eine Lösung;
(c) mehr als eine Lösung?
Aufgabe (119.40) Prüfe in jedem der folgenden
Fälle nach, daß die gegebene Funktion y1 eine Lösung der
angegebenen Differentialgleichung ist, und bestimme dann
die allgemeine Lösung dieser Gleichung.
(a) 2x2 y ′′ + 3xy ′ − y = 0, y1 (x) := 1/x
(b) (1−x2 )y ′′ + 2xy ′ − 2y = 0, y1 (x) := x
(c) (x−1)y ′′ − xy ′ + y = 0, y1 (x) := ex
(d) (x2 +2x−1)y ′′ − 2(x+1)y ′ + 2y = 0, y1 (x) = x+1
(e) (x2 −1)y ′′ + 2xy ′ − 2y = 0, y1 (x) = x
(f) (1+x2 )y ′′ − 2xy ′ + 2y = 0, y1 (x) = x
(g) (1−x2 )y ′′ − 2xy ′ + 6y = 0, y1 (x) = 3x2 −1
(h) (2x+1)y ′′ − 4(x+1)y ′ + 4y = 0, y1 (x) = x+1
2
(i) y ′′ − 4xy ′ + (4x2 −2)y = 0, y1 = ex
2
(j) y ′′ + xy ′ + y = 0, y1 (x) = e−x /2
√
(k) x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − 1/4)y = 0, y1 (x) = sin(x)/ x
(l) y ′′′ + (3x+2)y ′′ + (3x2+4x)y ′ + (x3+2x2+2)y = 0,
2
y1 (x) = e−x /2
Aufgabe (119.41) Benutze die Tatsache, daß y(x) :=
ex eine Lösung der Differentialgleichung y ′′ −y = 0 ist, um
ohne Benutzung theoretischer Ergebnisse die allgemeine
Lösung dieser Differentialgleichung zu finden.
Aufgabe (119.42) Suche in jedem der folgenden
Fälle eine Lösung der angegebenen Form und bestimme
dann die allgemeine Lösung der angegebenen Differentialgleichung!
(a) xy ′′ − (1 + 3x)y ′ + 3y = 0, y1 (x) = ecx
(b) (1 − x2 )y ′′ − xy ′ + y = 0, y1 (x) = Ax + B
(c) x3 y ′′′ − 6x2 y ′′ + (18x+4x3)y ′ − (24+8x2)y = 0,
y1 (x) = Ax2 + Bx + C
Aufgabe (119.43) Eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung besitze die Lösungen
(a) x2 , x2 + e2x , 1 + x2 + 2e2x ;
2
2
2
(b) 1 + ex , 1 + xex , 1 + (x + 1)ex .
Wie lautet die allgemeine Lösung der fraglichen Differentialgleichung?
Aufgabe (119.44) Wir P
betrachten einen linearen
n
(k)
Differentialoperator L[y] :=
. Zeige: Ist
k=0 ak (x)y
(y1 , . . . , yn ) ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung L[y] = 0 und ist y irgendeine Lösung der inhomogenen Gleichung L[y] = f mit f 6= 0, so sind die Funktionen
y, y1 , . . . , yn linear unabhängig.
Aufgabe (119.45) Gib eine Differentialgleichung
der Form a(x)y ′′ + b(x)y ′ + c(x)y = d(x) an, die von jedem
Polynom vom Grad ≤ 2 erfüllt wird.
Aufgabe (119.46) Es seien p eine C 1 -Funktion mit
p > 0 und q eine beliebige stetige Funktion. Zeige: Sind y1
und y2 zwei linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung p(x)y ′′ + p′ (x)y ′ + q(x)y = 0. Zeige, daß dann
die Funktion p(y1 y2′ − y1′ y2 ) konstant ist.
Aufgabe (119.47) Es sei (y1 , y2 ) ein Fundamentalsystem einer homogenen linearen Differentialgleichung
zweiter Ordnung auf einem Intervall I. Es seien a < b
Zahlen in I mit y1 (a) = y1 (b) = 0 und y1 (x) 6= 0 für
a < x < b. Zeige, daß dann y2 (a) und y2 (b) von Null verschieden sind und daß es genau eine Zahl ξ ∈ (a, b) gibt
mit y2 (ξ) = 0. (Zwischen je zwei benachbarten Nullstellen
der einen Lösung liegt also jeweils genau eine Nullstelle
der anderen Lösung.) – Hinweis: Berechne die Ableitung
der Funktion y2 /y1 .
Aufgabe (119.48) Bestimme die allgemeine Lösung
der Gleichung
xy ′′ − (1+2x)y ′ + (1+x)y = 2x2 ex .
Hinweis: Zeige zunächst, daß y1 (x) := ex eine Lösung der
zugehörigen homogenen Gleichung ist.
Aufgabe (119.49) Bestimme die allgemeine Lösung
der Gleichung
4x(x+1)y ′′ + (4x+2)y ′ − y = 6x+4.
√
Hinweis: Zeige zunächst, daß y1 (x) := x eine Lösung
der zugehörigen homogenen Gleichung ist.
Aufgabe (119.50) Bestimme für jede der folgenden
Gleichungen die allgemeine Lösung; benutze dabei zum
Auffinden einer Lösung der inhomogenen Gleichung jeweils Variation der Konstanten.
(a) y ′′′ − y ′ = e2x
(b) y ′′ − y = (1 + x)e2x
(c) y ′′ + y = sin x
√
(d) y ′′ − 2y ′ + y = ex / x
(e) y ′′ − 3y ′ + 2y = e3x /(ex + 1)
Aufgabe (119.51) Bestimme für jede der folgenden
Gleichungen die allgemeine Lösung; benutze dabei zum
Auffinden einer Lösung der inhomogenen Gleichung jeweils einen Ansatz vom Typ der rechten Seite. (Vergleiche
in (a), (b) und (c) mit der vorigen Aufgabe!)
′′′
′
2x
(a) y − y = e
(b) y ′′ − y = (1 + x)e2x
(c) y ′′ + y = sin x
(d) y ′′ + y ′ − 6y = 1 + x
(e) y ′′ − 2y ′ − 8y = ex
(f) y ′′′ + 4y ′ = 1 + cos(2x)
(g) y ′′′′ + 2y ′′ + y = cos x
(h) 4y ′′ + 4y ′ − 3y = 4ex/2 + ex
(i) y ′′′ − y ′′ − 8y ′ + 12y = 6x
(j) y ′′ + y = sin2 x
(k) y ′′ + 4y ′ + 8y = e−x sin(2x) + cos(2x)
(l) y ′′′ − 5y ′′ + 17y ′ − 13y = ex
(m) y ′′′′ + 4y ′′ = x2 + 10e−x
(n) 16y ′′′′ − 32y ′′ − 9y = 23e3x/2 + 48 cos(3x/2)
Aufgabe (119.52) Eine Masse m falle im Schwerefeld der Erde aus der Höhe h und aus der Ruhe heraus senkrecht nach unten; der Luftwiderstand W werde als proportional zur Geschwindigkeit v angenommen
(W = αv mit einem als bekannt angenommenen Widerstandskoeffizienten α). Bestimme den zeitlichen Verlauf
von Position und Geschwindigkeit der Masse!
Aufgabe (119.53) Wir betrachten eine auf einem
Tisch liegende Masse m, die an einer an einer Wand montierten Feder mit der Federsteifigkeit k und einem Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten d befestigt ist und auf
die eine äußere Erregerkraft F einwirkt; die zeitliche Bewegung t 7→ x(t) dieser Masse (gezählt von der Ruhelage der Feder aus) wird beschrieben durch die Gleichung
mẍ = −cx − dẋ + F (Newtonsches Grundgesetz), also
(⋆)
mẍ(t) + dẋ(t) + cx(t) = F (t) .
(a) Wie ändert sich die Bewegungsgleichung, wenn die
Ortskoordinate x von der Ruhelage der Feder aus, sondern
von der Wand aus gezählt wird?
(b) Wie lautet die Bewegungsgleichung, wenn die
Masse nicht horizontal, sondern vertikal schwingt und als
zusätzliche Kraft die Schwingung beeinflußt?
(c) Bestimme die allgemeine Lösung von (⋆) im Fall
F = 0, also für den Fall, daß keine externe Kraft auf das
System wirkt. Unterscheide dabei die folgenden Fälle:
√
• d > 2 mc (überkritische Dämpfung);
√
• d = 2 mc (kritische Dämpfung);
√
• 0 < d < 2 mc (unterkritische Dämpfung);
• d = 0 (fehlende Dämpfung).
Aufgabe (119.54) (a) Es sei x eine Funktion der
Form x(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t bzw. x(t) = (C1 + C2 t)eλt .
Zeige, daß x und ẋ jeweils höchstens eine Nullstelle haben.
(b) Welche Bedeutung hat die Aussage in Teil (a) für
das Verhalten eines überkritisch bzw. kritisch gedämpften
Systems? (Man denke an eine schwingende Feder in einem
Honigglas!)
Aufgabe (119.55) Ein unterkritisch gedämpftes
schwingendes System stehe unter der Wirkung einer periodischen Erregerkraft; die Bewegungsgleichung sei gegeben durch mẍ + dẋ + cx = F cos(ωt). Zeige, daß eine
partikuläre Lösung der Form xp (t) = a cos(ωt) + b sin(ωt)
existiert. Wie verhält sich das System für t → ∞?
Aufgabe (119.56) Ein dämpfungsfrei schwingendes System stehe unter der Wirkung einer periodischen
Erregerkraft; die Bewegungsgleichung sei gegeben durch
mẍ + cx = F cos ωt. Beweise die folgenden Aussagen!
(a) Ist die Erregerfrequenz
ω verschieden von der Eip
genfrequenz ω0 = c/m des Systems, so existiert eine
partikuläre Lösung der Form xp (t) = a cos ωt.
(b)pIst die Erregerfrequenz ω gleich der Eigenfrequenz
c/m des Systems, so existiert eine partikuläre
ω0 =
Lösung der Form xp (t) = a · t sin ωt.
Wie sieht in beiden Fällen die allgemeine Lösung der
Bewegungsgleichung aus?
Aufgabe (119.57) An einen elektrischen Schaltkreis
mit einer Spule (Induktivität L), einem Ohmschen Widerstand (Widerstandswert R) und einem Kondensator
(Kapazität C) werde eine periodische Spannung U (t) =
U0 cos(ω0 t) angelegt. Für die Ladung Q(t) im Kondensator gilt dann die Gleichung
(⋆) LQ̈(t) + RQ̇(t) + C −1 Q(t) = U (t) = U0 cos(ω0 t) .
(a) Welche Bedingung müssen R, L, C erfüllen, damit jede Lösung der homogenen Gleichung (U ≡ 0) eine
echte gedämpfte Schwingung ist?
(b) Welche Bedingung müssen R, L, C, ω0 erfüllen, damit
Resonanz auftritt?
(c) Finde die allgemeine Lösung der Gleichung (⋆) für
L = 1, R = 4, C = 1/13, U0 = 290 und ω0 = 2.
Finde dabei eine spezielle Lösung der inhomogenen
Gleichung, die die Form D · cos(ω0 t − ϕ) hat.
Aufgabe
(119.58) Eine Differentialgleichung der
Pn
Form k=0 ak xk y (k) = f (x) mit konstanten Koeffizienten
ak , ausgeschrieben also an xn y (n) + an−1 xn−1 y (n−1) + · · ·+
a2 x2 y ′′ + a1 xy ′ + a0 y = f (x), heißt Eulersche Differentialgleichung.
(a) Zeige, daß eine Funktion y eine solche Gleichung genau dann löst, wenn die Funktion z(t) := y(et ) eine
lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten erfüllt. (Die Substitution x = et überführt
also eine Eulersche Gleichung in eine Gleichung mit
konstanten Koeffizienten.)
(b) Zeige, daß sich Lösungen einer Eulerschen Gleichung
mit dem Ansatz y(x) = xα ermitteln lassen.
(c) Bestimme zunächst die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
Aufgabe (119.63) Bestimme für jede der folgenden Gleichungen ein Fundamentalsystem
mit Hilfe eines
P
n
Potenzreihenansatzes y(x) = ∞
a
x
.
(Nachzuweisen
n
n=0
ist jeweils die Konvergenz der erhaltenen Lösungen!)
(a) (x2 + 2)y ′′ − xy ′ − 3y = 0
(b) y ′′ − 2xy ′ − 2y = 0
(c) xy ′′ − 2y ′ − xy = 0
Aufgabe (119.64) Berechne für die folgenden Matrizen A die Funktion t 7→ exp(tA) mit dem Algorithmus
von Fulmer!
0 1
(a) A =
 −4 0

2
0 1
(b) A =  1
0 1
 1 −2 0

−2
1
2
(c) A =  −10
6
6
10 −6 −4
Aufgabe (119.65) Bestimme für
2x2 y ′′ + 3xy ′ − y = 0
und dann diejenige Lösung, die die Anfangsbedingungen y(1) = 2 und y ′ (1) = 0 erfüllt.
Aufgabe (119.59) Finde die allgemeinen Lösungen
der folgenden Differentialgleichungen!
(a) x2 y ′′ − 2xy ′ + 2y = x3
(b) x2 y ′′ − xy ′ + y = 4/x
(c) x3 y ′′′ − 3x2 y ′′ + 7xy ′ − 8y = x2
Aufgabe (119.60) Gib die allgemeine Lösung der
Differentialgleichung
x2 y ′′ + p xy ′ + q y = 0
in Abhängigkeit von den Parametern p, q ∈ R an!
Aufgabe (119.61) Bestimme die allgemeine Lösung
der Differentialgleichung
4x2 y ′′ (x) + 8x y ′ (x) − 8y(x) =
1
+ 2x3 .
x
Aufgabe (119.62) (a) Zeige, daß sich die verallgemeinerte Eulersche Differentialgleichung
n
X
ak (Ax + B)k y (k) = 0
k=0
mit konstanten Koeffizienten ak , A 6= 0 und B durch die
Substitution u = Ax+B in eine Eulersche Differentialgleichung überführen läßt.
(b) Bestimme die allgemeine Lösung der Gleichung
(2x + 1)2 y ′′ − (8x + 4)y ′ + 8y = −8x − 4.


−3 4 −3
A =  −1 2 −3 
−1 1 −2
die Funktion t 7→ exp(tA) zum einen durch Transformation von A auf Jordansche Normalform, zum andern durch
Anwendung des Algorithmus von Fulmer.