Musterlösung zur Klausur E1 Wintersemester 2011/12 Aufg.1

Musterlösung zur Klausur E1 Wintersemester 2011/12
Aufg.1 Volleyball
a) Bahnkurve:
!
vx ' t
! x(t) $ #
!
#
&
r (t) = #
1 2
&=#
" z(t) % # h1 + v z ' t ( 2 gt
"
Im Scheitelpunkt gilt z!(tS ) = v z (tS ) = 0 ,bzw v z (0) ! gtS =0 , einsetzen in z(t):
v 2z 1 v 2z
h2 ! h1 ="h = ! g 2 → v z = 2!hg
g 2 g
2 ( h2 ! h1 )
v
tan ! = z =
vx
d
;
, tS = 2!h / g
g " d2
v = v + v = 2g ( h2 ! h1 ) +
2 ( h2 ! h1 )
2
x
2
z
Aufg2: Apfellooping
a) Impulserhaltung
mS ! v S = (mA + mS )! v A
mS v S
m
vA =
= (15g ! 60 m s ) 210g = 4, 3
mA + mS
s
b) Energieerhaltung
1 2
1 2
mv A = 2mgL + mv oben
2
2
Die Mindestgeschwindigkeit muss FZ = FG erfüllen, also
mv 2min
m
m
= mg ! v min = Lg = 0, 40m "10 2 =2
L
s
s
Damit Apfel auf Kreisbahn bleibt:
m
m2
m
v A ! 4gL + v = 4 "10 2 " 0, 4m + 4 2 =4, 5
s
s
s
⇒ Der Apfel schafft es gerade nicht.
2
min
v x = d g / 2!h
$
&
&
&
%
Aufg.3 Gravitationsfeld
a) Die Gravitationskraft im Inneren einer homogenen Kugel wächst linear.
Mit der Randbedingung FG(R)=mg erhält man
r
FG (r) = !mg
R
b) Energieerhaltung: E pot (R) = Ekin max
R
r
1
1
! mg R dr = 2 mgR =2 mv
2
max
0
v max = gR =8000
m
s
c) Der Stein schwingt harmonisch, da lineares Kraftgesetz F=-Dr, mit D=mg/R
g
10 m / s 2
!0 =
=
=
R
6400 km
=>
T1/2 =
!
= 2512s
"0
Aufg. 4: Gravitationsgetriebener Ventilator
a) Bewegungsgleichung für Drehbewegungen
F R
I!!! = D ! !!! = ext Z
I
b) Das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders ist
I Z = M z Rz2
F
1N !1s
!!(t) = ext t =
= 10 s "1
M z Rz
1000g !10cm
c) Die Dichte des Flügels ist:
MV
(α im Bogenmaß!), dann folgt für das Trägheitsmoment
!=
" RV2 d
R
!r4 $ V 1
2
!
r
r
dr
d
!
dz
=
2
!
!
d
!
!
!
# & = M V RV
!
Z
2
" 4 %0
0
d ! R
IV = 2 !
!
0 0
2
1
2
IV = ! 0.2kg ! ( 0.2m ) = 0.004kg ! m 2
2
d) Wenn der Ventilator von einer Masse, m, getrieben wird, darf die Trägheit der ziehenden
Masse nicht vernachlässigt werden. Wenn z(t) die nach unten gerichtete Variable der
ziehenden Masse ist, folgt z(t) = !Rz " ! (t) und die Kraftgleichung im Seil lautet
I RZ ! !!! " m ! !!
z = mg
und damit die Bewegungsgleichung des gravitationsgetriebenen Ventilators
"# I + m ! RZ2 $% ! !!! = RZ ! mg
, wobei I=IZ+IV (mit Ventilator) oder I=IZ (ohne Ventilator) das
Gesamtträgheitsmoment ist.
Aufg.5 Schwingende Blattfeder
a)
!!
Exponentialansatz x(t) = C ! exp ! t =>
x + 2! x! + ! 02 x = 0
! 2 + 2"! + # 02 = 0 ! !1/2 = "" ± " 2 " # 02
b) Für ! 0 >> " folgt näherungsweise eine gedämpfte Schwingung
x(t) = C ! e"! t ! ei"0t
Die Amplitude fällt zum Zeitpunkt, te, mit !2 = !! te auf 1/e2 ab.
Die Anzahl Schwingungen in der Zeit te ist:
! !t
!
100s "1
N= 0 e= 0 =
= 31.8
2"
" ! # " !1s "1
(lässt sich auf 31 ganze Schwingungen abrunden oder 32 aufrunden)
c) Für die Stokessche Reibung gilt ! Stokes ! R ,
Wegen b) halbiert sich die Anzahl Schwingungen
d) Die Federkonstante des sich biegenden Balkens skaliert DB ! L"3
Wegen ! 0 = D m , skaliert dann N(L) ! ! 0 ! L"3 2
Also nimmt die Anzahl Schwingungen um den Faktor 2 2 ab
Aufg. 6: Springbrunnen
a) Zur Vereinfachung wird angenommen, dass der Aussendruck pAussen=0 ist. Dann ist der
hydrostatische Druck am Boden des Fasses (Hahn zu) :
pstat = pÖl + pWasser
ghÖ !Ö + ghW !W = gh1!W
!
h1 = hÖl Öl + hWasserFass = 4m ! 0.7 + 2m = 4.8m
!Wasser
b) Geschwindigkeit des austretenden Wassers
1
pstat = gh1!W = !W v 2
2
m
v = 2gh1 = 2 !10ms "2 4,8m # 9.8
s
c) Höhe der austretenden Fontäne h2 = h1 = 4.8m
d) Für die ideale Flüssigkeit (Bernoulli):
1
1
pFass = pRohr + !W v 2Rohr = pAussen + !W v 2Austritt
2
2
Da der Querschnitt der Öffnung gleich dem Querschnitt des Seitenrohres ist folgt vRohr=vAustritt
Mit Aussendruck pAussen=0, ist auch der hydrostat. Druck im Seitenrohr Null, h1* = 0 .
Aufg.7 Schwingungen und Wellen
a)
b)
mit λ1=2L=0.6m (Grundmode) folgt λ2=λ1 /2=0.3m, λ3=λ1 /3=0.2m
fn =
v
F 1
=
! .
!n
µ !n
2. Mode: fA (2)= 1202 Hz (A)
3. Mode: fB (3)= 1204 Hz (A)
oder 1190Hz (für g=9.81)
oder 1193Hz (für g=9.81)
!
f +f $ !
f 'f $
c) Schwebung. ! (t) = 2A cos # 2" 2 1 & cos # 2" 2 1 &
"
2 % "
2 %
(oder entsprechende phasenverschobene Ausdrücke)
Für die Modulation gilt dt= 1/(fB(2)-fA(3)), da hier nur zwischen laut und leise (Amplitude
maximal und Einschnürung) unterschieden wird. Die Zeitintervalle sind 0.5s.
Musterlösung Bonusfragen
a) Eigenmoden des linearen CO2-Moleküls:
!"#"!$
%&  '())*+,-./0*$$
'+,*/1./02-34534$
6&$$$7.())*+,-./0*$$
$$$$$$'+,*/1./02-34534$
8&$$$9,:3.;*,.:<*$$
$$$$$$=->>./02-34534$
$$$$$$?6@A:/0$*3+:,+*+B$
Von den transversalen Kippschwingungen gibt es zwei Moden, weil das Molekül auch aus der
Zeichenebene schwingen kann.
b) Güte = Maß für die Dämpfung des Resonators, d.h. für das Verhältnis von gespeicherter
zur umgesetzer Verlustenergie
E (t )
!
oder Q = 0
Q =2π
!!
⎛ dE ⎞
⎜
⎟ ⋅ T
⎝ dt ⎠ t
c) Präzession des Kreisel im Schwerefeld (hier M:Drehmoment)