Würfeln

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. Hermann Vogel
DGS-Praktikum
Wuerfeln
Würfeln
Das File Wuerfeln.ggb zeigt, wie man mit den Befehlen Zufallszahl und ZähleWenn
Häufigkeiten von Treffern bei n=100 Würfen eines Würfels ermitteln kann und diese mit den
Befehlen Balkendiagramm und Histogramm ausgeben kann.
Dabei wird mit der Schaltfläche Nochmals Würfeln über GeoGebra Skript mit dem Befehl
SetzeWert[n,100] der Zahl n bei jedem Klicken der Wert 100 zugewiesen und so die
Berechnung neu durchgeführt.
Mit dem Befehl Folge[Zufallszahl[1,6], i , 1, n] wird eine Liste1 von n=100 (natürlichen)
Zufallszahlen von 1 bis 6 erzeugt, aus der mit dem Befehl ZähleWenn[x==k, Liste1] die
Anzahl der Würfe mit k Augen ermittelt wird und als Folge von k=1 bis 6 die Liste der
Häufigkeiten liefert.
Der Befehl Balkendiagramm[{1,2,3,4,5,6}, Häufigkeiten, 0.8] zeigt ein Balkendiagramm
der Liste der berechneten Häufigkeiten mit Balkenbreite 0.8.
Der Befehl Histogramm[{1,2,3,4,5,6,7}, Liste1] erzeugt direkt ein Histogramm der 100
Zahlen aus der Liste1 die zwischen 1 und 2, 2 und 3, usw. liegen. Was ergibt sich, wenn Sie
die Zahl 2 weglassen (löschen)?
Mit dem Kontrollkästchen Ausgabe (Wahrheitswert a) wird zwischen beiden Ausgaben
umgeschaltet.
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DGS-Praktikum
MonteCarlo
Monte Carlo Methode zur Bestimmung von π
Das File MonteCarlo.ggb zeigt, wie man mit den Befehlen Zufallszahl und ZähleWenn die
Kreiszahl π annähern kann.
Mit dem Schiebenregler für n kann man die Anzahl von Tropfen wählen, deren x- und yKoordinaten mit dem Befehl Zufallszahl zwischen 0 und 1 gewählt werden. Um diese Wahl
wiederholen zu können, wird mittels der Schaltfläche Berechnung neu über GeoGebra
Skript die Zahl q=n gesetzt (SetzeWert[q,n]).
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Dr. Hermann Vogel
DGS-Praktikum
MonteCarlo
Die Liste L0 der 10q Punkte wird als Folge von Punkte mit Zufallszahlen[0,100]/100 als xbzw. y-Koordinaten mit k von 1 bis 10q bestimmt.
Mit dem Befehl ZähleWenn[x2<1,L0] wird aus der Liste L0 die Anzahl z1 der Treffer des
Kreisviertels ermittelt, die im Verhältnis zur Anzahl aller Tropfen angenähert ¼ der Kreisfläche liefert, siehe p = 4 z1/10^q . x steht hier für „Element der Liste L0“ also die Punkte
der Liste L0 und x2 für das „Skalarprodukt der Koordinaten der Punkte von L0“.
Um die Liste L0 nach allgemeinen Bedingungen der Elemente auszuwerten, kann man z.B.
eine Liste R2 als Folge über die Elemente der Liste L0 erzeugen mit dem Ausdruck/Befehl
Wenn[x2+y2<1 , 1, 0] , der jedem Punkten der Liste L0 den Wert 1 bzw. 0 zuordnet, je nachdem, ob er innerhalb des Kreises um den Ursprung mit Radius 1 liegen oder nicht.
Mit dem Befehl ZähleWenn[x==1,R2] erhält man die Anzahl zr der Punkte, die innerhalb
des Kreises liegen. Diese Anzahl erhält man hier auch einfacher über zs=Summe[R2] .
Wählt man n=4, also 10.000 Punkte, so dauert die Berechnung der neuen Koordinaten
schon ziemlich lange, d.h. es empfiehlt sich nicht mit zu großen Stichproben zu arbeiten.
Eine weitere Möglichkeit die Treffer zu zählen, zeigt das File MonteCarlo-farbe.ggb. Dort
wird mit dem Befehl BehalteWenn[x2<1,L0] eine Liste Li aller Punkte der Liste L0 erzeugt,
die im Kreis liegen, und die Elemente von Li rot ausgegeben. Die Anzahl z1 der Treffer erhält
man dann über Länge[Li].
Entsprechend liefert BehalteWenn[x2>=1,L0] die Liste La der Tropfen, die den Kreis nicht
treffen. Diese erhält man einfacher auch mit Entferne[L0, Li] , vgl. Listenoperationen.
Zudem wird mit dem Befehl MittelwertX[L0] und MittelwertY[L0] der Mittelwert der xbzw. y-Koordinaten aller Tropfen bestimmt und ausgegeben.
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Dr. Hermann Vogel
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Euler
Eulersche Zahl
Das File Euler.ggb zeigt, dass man in GeoGebra wie gewohnt mit Excel-Files arbeiten kann,
z.B. die letzte Zeile beliebig oft „Kopieren“. Dabei treten wie bei Excel Rundungsfehler auf,
d.h. die monoton wachsende Folge nimmt für „große n scheinbar“ wieder ab.
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