Präsenzübung 04 Lösungsskizzen - Fakultät für Mathematik

Lösungsskizzen zur Präsenzübung 04
Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik
im Wintersemester 2015/2016
Fakultät für Mathematik
Universität Bielefeld
Veröffentlicht am 23. November 2015 von:
Mirko Getzin
E-Mail: [email protected]
Homepage: https://www.math.uni-bielefeld.de/~mgetzin/
Tutor zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016.
Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das
Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung beim Verständnis der Vorlesungsinhalte darzustellen und Lösungsideen für die Aufgaben möglichst vollständig (bis auf Ausnahmen)
zu skizzieren.
Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses
Dokuments erlaubt. Angehängt befindet sich das Aufgabenblatt, sowie der pdf-Ausdruck von
verwendeten Tabellenblättern. Die Tabellenblätter sind im ods-Format auf der unten angegebenen Homepage zu finden.
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Lösungsskizzen
Lösung zur Aufgabe 1.
a) In diesem Aufgabenteil sind drei Ereignisse A, B, C gegeben und wir wollen mit Hilfe von
Mengenoperationen weitere Ereignisse ausdrücken.
(i) A und B treten ein“ ⇔ ω ∈ A ∩ B
”
(ii) A und B treten nicht ein, C tritt aber ein“ ⇔ ω ∈ (A ∩ B)c ∩ C
”
(iii) Keines der Ereignisse tritt ein“ ⇔ ω ∈ (A ∪ B ∪ C)c
”
(iv) Entweder A oder B tritt ein“ ⇔ ω ∈ A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A)
”
b) Wir zeigen die Mengenidentitäten per vollständiger Fallunterscheidung. Hierzu nutzen wir
die Analogie der Mengenlehre zur Aussagenlogik, indem wir Wahrheitstafeln zur Findung und
Überprüfung aller Fälle verwenden.
(i) Wir zeigen die DeMorgansche Regel (A ∪ B)c = Ac ∩ B c . Die Wahrheitstafel deckt hierzu
alle vier möglichen Fälle bei zwei beteiligten Ereignissen ab.
Tab. 0.1: Wahrheitstabelle zur ersten Mengenidentität.
A∪B
(A ∪ B)c
Ac
Bc
f
f
f
f
w
f
f
w
f
f
w
w
f
w
f
f
f
f
f
w
w
w
w
A
B
w
w
w
w
Ac ∩ B c
f
Wir erkennen, dass die Spalteneinträge der beiden Mengen aus der Behauptung identisch
sind. Die Mengen sind also gleich.
(ii) Wir zeigen, dass eine Vereinigung mit einem Komplement überflüssig ist, wenn danach ein
Mengenschnitt mit der Ausgangsmenge des Komplements durchgeführt wird. Also zeigen
wir (A ∪ B c ) ∩ B = A ∩ B. Die Wahrheitstafel deckt hierzu alle vier möglichen Fälle bei
zwei beteiligten Ereignissen ab.
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Tab. 0.2: Wahrheitstabelle zur zweiten Mengenidentität.
A
B
Bc
A ∪ Bc
(A ∪ B c ) ∩ B
A∩B
w
w
f
w
f
w
w
f
f
f
w
f
f
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w
w
Wir erkennen, dass die Spalteneinträge der beiden Mengen aus der Behauptung identisch
sind. Die Mengen sind also gleich.
(iii) Wir zeigen eines der beiden Distributivgesetze für die Mengenvereinigung und den Mengenschnitt, nämlich A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Die Wahrheitstafel deckt hierzu
alle acht möglichen Fälle bei drei beteiligten Ereignissen ab.
Tab. 0.3: Wahrheitstabelle zur dritten Mengenidentität.
A
B
w
w
w
C B∩C
A ∪ (B ∩ C)
A∪B
A∪C
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
w
w
w
w
w
w
f
w
f
w
w
w
w
f
w
w
w
w
w
w
w
f
f
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f
f
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f
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w
f
f
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w
w
w
w
f
f
f
w
w
w
w
f
w
f
f
f
w
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
Wir erkennen, dass die Spalteneinträge der beiden Mengen aus der Behauptung identisch
sind. Die Mengen sind also gleich.
Lösung zur Aufgabe 2.
Die Beweise der Aufgabe 2 wurden alle in der Vorlesung durchgeführt. Schaut euch die Beweise
nochmal in Ruhe an, da sie relativ kurz sind und auch im Hinblick auf die Klausur schöne
Reproduktionsaufgaben darstellen.
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Relevante Sachzusammenhänge
Bei der Bearbeitung dieses Aufgabenblattes sind folgende Definitionen, Sätze und Formeln
relevant. Einige der folgenden Inhalte müssen nicht bei der Bearbeitung der Aufgaben verwendet
werden, jedoch erleichtern sie das Bearbeiten unter Umständen.
Definition 0.1 (Wahrscheinlichkeitsraum).
Als Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , P) bezeichnen wir ein Tripel aus einer Ergebnismenge Ω,
einer σ-Algebra A auf Ω und einem Wahrscheinlichkeitsmaß P : A → [0, 1]. Er bildet eine Er-
weiterung des Zufallsexperiments, indem die Betrachtung von Ereignissen zusätzlich ermöglicht
wird.
Erinnerung 0.2.
Ereignisse sind Mengen von Ergebnissen. Das heißt ein Ereignis A ist Teilmenge von Ω, wir
schreiben A ⊂ Ω. Ein Ergebnis ω hingegen ist Element von Ω, wir schreiben ω ∈ Ω.
Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte p : Ω → [0, 1] eine Abbildung, welche Ergeb-
nisse abbildet. Dahingegen ist P : A → [0, 1] eine Abbildung von Ereignissen. Wir betrachten
zunächst als Wahrscheinlichkeitsmaß die Summe aller Wahrscheinlichkeitsdichten, welche für
ein Ereignis A ∈ A in Frage kommen. Wir erhalten
P(A) :=
X
p(ω)
ω∈A
∀A ∈ A .
(0.1)
Beispiel 0.3 (Der einfache, faire Würfelwurf ).
Gegeben sei ein fairer, sechsseitiger Würfel. Wir betrachten das Zufallsexperiment (Ω, p mit
Ω := {1, 2, 3, 4, 5, 6} und p : Ω → [0, 1], p(ω) :=
1
6
∀ω ∈ Ω. Es beschreibt den Wurf dieses
Würfels, so dass alle Augenzahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.
Zusammen mit der σ-Algebra A := P (Ω) und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P wie in Gleichung
(0.1) erhalten wir den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , P).
Wir definieren Ereignisse A := {2, 4, 6} und B := {1, 3, 5}. Dann ist A das Ereignis, eine
gerade Zahl zu würfel und B das Komplementärereignis, also jenes Ereignis eine ungerade Zahl
zu würfeln.
Wir berechnen P(A) =
P
ω∈A
p(ω) = 61 + 61 + 16 = 21 . Für B erhalten wir dieselbe Wahrscheinlichkeit.
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Universität Bielefeld
G. Elsner
Wintersemester 2015/16
Präsenzübungen zur Vorlesung
Anwendungen der Mathematik
Blatt 4
Aufgabe 1
a) Gegeben sind die Ereignisse A, B und C. Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse mithilfe
mengentheoretischer Operationen.
(i) A und B treten ein.
(ii) A und B treten nicht ein, C tritt aber einnicht.
(iii) Keines der drei Ereignisse tritt ein.
(iv) Entweder A oder B tritt ein.
b) Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mit vollständiger Fallunterscheidung:
(i) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
(ii) A ∪ B c ∩ B = A ∩ B.
(iii) A ∪ (B ∩ C) = A ∪ B ∩ A ∪ C
Aufgabe 2
Wiederholen Sie den Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums, arbeiten Sie die Beweise der folgenden Behauptungen (aus der Vorlesung) erneut durch und stellen Sie sich die Beweise in Zweieroder Dreiergruppen gegenseitig mit allen Erläuterungen vor. Diskutieren Sie offene Fragen im
Plenum.
(1) P (∅) = 0
(2) Endliche Additivität: Für paarweise disjunkte Ereignisse A1 , A2 , ...An ∈ A gilt:
!
n
n
X
[
P
Ak =
P (Ak )
k=1
k=1
(3) Für alle A ∈ A gilt: P (AC ) = 1 − P (A)
(4) Für alle A, B ∈ A gilt: P (B \ A) = P (B) − P (A)
(5) Für alle A, B ∈ A gilt: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
(6) Für alle A, B ∈ A gilt: A ⊆ B
⇒
P (A) ≤ P (B)
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