School of Engineering Blatt 5: Binomische Formel MAE 1

School of Engineering
Winterthur
Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften
Blatt 5: Binomische Formel
Aufgabe 1
MAE 1
Fakultät
Berechnen sie
1! , 2! , 3! , 6! ,
4!
6!
und
2!
3! · 4!
Lösung auf Seite 3
Aufgabe 2
Binomialkoeffizienten
Berechnen sie die Binomialkoeffizienten
(a)
5
=?
3
(b)
3
=?
5
(c)
3
=?
1
(d)
0
=?
k
Lösung auf Seite 3
Aufgabe 3
Binomialkoeffizienten
1. Lesen sie folgende Binomialkoeffizienten aus dem Pascalschen Dreieck ab und rechnen Sie nach:
(a)
4
4
5
+
=
2
3
3
(b)
5
5
=
3
2
2. Zeigen sie
(a)
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
(b)
n
n
=
k
n−k
Lösung auf Seite 3
Aufgabe 4
Wie lauten die ersten fünf Summanden von (a + b)13 ?
Aufgabe 5
1
Lösung auf Seite 4
Wie heißt der Koeffizient von c6 in der Summenentwicklung von
(a) (1 + c)
15
(b)
c
2
16
−2
20
c2
(c) 1 −
3
Lösung auf Seite 4
2
Lösungen: Blatt 5: Binomische Formel
MAE 1
Lösung 1
1 , 2 , 6 , 720 ,
4!
6 1· 6 2 · 3 · 4
6!
6 1· 6 2· 6 3· 6 4 · 5 · 6
5·6
=
= 12 ,
=
=
=5
2!
6 1· 6 2
3! · 4!
1 · 2 · 3 6 1· 6 2· 6 3· 6 4
2·3
Lösung 2
Zu a:
6 1· 6 2· 6 3 · 4 · 5
5
5!
=
= 10
=
3! · 2!
6 1· 6 2· 6 3 · 1 · 2
3
Zu b:
3
3 · 2 · 1 · 0 · (−1)
=
=0
5
5!
n!
Achtung: Hier wurde k!(n−k)!
durch
nicht definiert ist.
n···(n−k+1)
k!
ersetzt, da die Fakulät für negative Zahlen
Zu c:
3
3!
=
=3
1
1! · 2!
Zu d:
0
0 · · · (0 − k + 1)
=
=0
k
k!
Lösung 3
Zu 2a: Wir starten links und hoffen rechts wieder “rauszukommen”
n!
n
n
n!
+
+
=
k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
k
k+1
Es ist (k
+ 1)! = k! (k + 1) also
=
Es ist (n − k
n!
n! (k + 1)
+
(k + 1)!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
− 1)! = (n − k)! (n − k)−1 also weiter
=
n! (k + 1)
n! (n − k)
+
(k + 1)!(n − k)! (k + 1)!(n − k)!
3
Lösungen: Blatt 5: Binomische Formel
MAE 1
Das kann jetzt auf einem Bruchstrich zusammengefaßt werden:
n! (k + 1) + n! (n − k)
(k + 1)!(n − k)!
n! (n + 1)
=
(k + 1)!(n − k)!
(n + 1)!
=
(k + 1)!(n − k)!
n+1
=
k+1
=
Zu 2b:
n
n!
=
k
k!(n − k)!
n!
=
(n − k)!k!
=
n!
(n − k)!(n − (n − k))!
Der besseren Übersicht wegen definiere: a
:= n − k dann folgt
n!
a!(n − a)!
n
=
a
=
setze a wieder ein
=
n
n−k
Lösung 4
a13 , 13 a12 b , 78 a11 b2 , 286 a10 b3 , 715 a9 b4
Lösung 5
(a) 5005 (b) 128128 (c) −
4
380
9