61) D. h. wenn kein Rest blieb [רססמחמ חוחס אוחש

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61) D. h. wenn kein Rest blieb [‫מספר שנשאר שחוא סחוח מחמססר‬
‫ =־ שחלקת עליו‬,Rest"].
62) H : in den griechiscben Btichern". Man findet denselben
Ausspruch bei Nikomachus S. 74: Apt&fids
ion 1tXi}&oe wpurftivov fj
ftovddwv
avanjfia.
n
,
63) 1 + 2 + 3 + . . . + n ‫־‬
n (n/, + 7,).
64) 1 + 2 + 3 + . . . + n ‫( ־‬n + 1) . n/ ‫ ־‬n (n/ + V«) («•
Anm. 63). Diese Forme! wird gewohnlich von den arabischen Schriftstellern angegeben; vgl. Dieterici S. 14.
t
s
66) M giebt hier noch die Formel (in Worten): 1 + 2 + 3 + . . .
+ n = 2 (n/ )* + n/» (s. Anm. 63 u. hebr. S. 26 Anm. 13) nnd als
Beispiel: l + 2 + 3 + . . . + 1
2
7
8=‫=־‬2(6)* + 6
t
66)l + 2 +
= n*+ n (8. Anm. 68). Bei dem
2
Mangel der Bnchstabenrechnung erschien iede dieser Formeln (Anm.
63- 66) als eine besondere Methode. A. kommt es auch hier nur auf
die praktische Losung an, nicht auf die Theorie der Formel.
67) Dieselbe Aufgabe finden wir in Misrachi'8 Sefer ha-Mispar
‫מאמר נ׳ חלק א׳ סרק ב׳‬. Vgl. Wertheim (8. Einleitung) S. 32 Nr. 46.
68) l + 2 + 3 + . . . + n = (1 + 2 + 3 + . . . +n)
.(73 ‫ ם‬+ 7.) ‫ ם =־‬/ , (n + D ( 2 n + l ) ‫ ־‬n/‫( ״‬n + 1) . (2 n + 1).
3
69) H giebt noch folgende LSsung an (s. hebr. S. 26 Anm. 12):
,Nimm die Zahlensumme bis 12 einschliesalich, das ist 78, und nimm
7» •on 13, d. i 8 / , subtrahiere davon /at ist 87s• und multipliziere
8'/s mit 78, 80 erhaltst Du 660". Ausserdem hat H noch folgendes:
,Heisst die Aufgabe: Wieviel ist die Summe der Quadratzahlen bis
8 V 80 nimm die Zahlensumme bis 8, d. i. 36, nimm */» •<>& 9, ist 6,
multipliziere 6 mit 36, ist 216, nnd subtrahiere davon 7a m 36, d.i. 12,
80 erhaltst Du 204. Aufgabe: Wieviel ist die Summe der Zahlen von
4 bis 9? Verfahre wie oben. Multipliziere 6 mit 9, ist 45, nnd subtrahiere davon 2 X 3 = 6, 80 erhaltst Du 39.. Fragt man nach der
Summe der Quadratzahlen von 4 bis 9, 80 verfahre wie oben. Nimm
die Zahlensumme = 45, behalte sie, nimm / von 9, ist 6, multipliziere
6 mit 45, giebt 270, addiere dazu 7s von 46, d. i. 15, giebt 285, und
subtrahiere hiervon das Quadrat von 1, 2 und 3, d. i. 14, 80 bleiben
271. Auf solche Weise kannst Du alle Aufgaben dieser Art rechnen".
n+1
n
70) a + 2 a + 4 a + 8 a + . . . + 2 a =
2
a — a; da ja
2
‫־‬3+...-1n
2
2
2
2
1
a
V(
2
s
allgemein a + ad + a d +
n
. . . + ad = a|<J
machns S. 64:
‫< ק&ך‬rwvt<myx«v i n rod itxkaoiou
2
xpirmv
ftkv
— 1 i . Vgl. Nikoxal voO
‫־‬
.