Neue Aufgaben, November 2008

Neue Aufgaben, November 2008
1. (a) Addiere jeweils drei aufeinanderfolgende Zahlen. Was fällt auf?
(b) Versuche für die Addition von vier, fünf, ... aufeinanderfolgenden Zahlen Zusammanhänge zu finden.
Lösung: (a) Summe ist durch drei Teilbar
(b) vier aufeinanderfolgenden Zahlen: Summer durch 2 teilbar
fünf aufeinanderfolgenden Zahlen: Summer durch 5 teilbar
sechs aufeinanderfolgenden Zahlen: Summer durch 3 teilbar
sieben aufeinanderfolgenden Zahlen: Summer durch 7 teilbar
...
n aufeinanderfolgenden Zahlen: Summer durch n teilbar, falls n ungerade und durch
1
2 n teilbar, falls n gerade
2. (a) Kann man jeden Stammbruch als Summe zweier Stammbrüche darstellen?
(b) Kann man jeden Stammbruch als Summe von zwei verschiedenen Stammbrüchen darstellen?
(c) Kann man jeden Stammbruch als Summe von drei, vier oder noch mehr verschiedenen Stammbrüche darstellen?
(d) Ist die Summe zweier Stammbrüche stets wieder (ggf. nach Kürzen) ein Stammbruch?
(e) Ist das Produkt zweier Stammbrüche stets wieder ein Stammbruch?
(f) Ist jeder Stammbruch als Produkt zweier Stammbrüche darstellbar?
(g) Ist jede Bruchzahl als Summe zweier Stammbrüche darstellbar?
(h) Ist jede Bruchzahl < 1 als Summe zweier Stammbrüche darstellbar?
(i) Ist jede Bruchzahl < 1 als Stammbruchsumme darstellbar?
(j) Ist jede Bruchzahl < 1 als Summe von verschiedenen Stammbrüchen darstellbar? Ist eine solche Darstellung (bis auf Reihenfolge) eindeutig?
(k) Ist jede Bruchzahl als Differenz zweier Stammbrüche darstellbar?
Quelle: H. Schupp, Aufgabenvariation im Mathematikunterricht, sinus-transfer.unibayreuth.de/fileadmin/MaterialienBT/Themivarkurz.doc
Lösung: (a) Ja,
(b) Ja,
1
n
1
n
=
=
1
1
1
1
1
2n + 2n , z. B. 7 = 14 + 14
1
1
1
1
n+1 + n·(n+1) , z. B. 4 = 5
+
1
20
(c) Ja, denn der zweite Stammbruch aus (b) lässt siche wieder als Summer zweier verschiedener Stammbrüche darstellen; analog bei vier oder mehr Stammbrüchen
(d) Nein, 12 + 13 = 65
1
1
= n·m
(e) Ja, n1 · m
(f) Ja, n1 = n1 · 11
(g) Nein, denn die Summer ist immer < 2.
1
1
a
4
+ 1b = a+b
ab , für 5 folgt aus dem Nenner a = 1 oder a = 5, woraus für b ein
Widerspruch folgt
(i) ab ist Summe von a Summanden 1b
(j) Ja, z.B. indem man sie sukzessive durch den jeweils größten Stammbruch ausschöpft.
3
1
Beispiel: 54 = 12 + 10
= 21 + 14 + 20
1
i
= n·(n+i)
können nur Brüche dieser Form als Differenz von Stamm(k) Wegen n1 − n+i
brüchen dargestellt werden.
(h)
3. 56 Geier sitzen gelandweilt auf drei Bäumen herum. Vor Langeweile fliegen 4 Geier
vom ersten auf den zweiten und 9 vom zweiten auf den dritten Baum. Nun sind auf
dem zweiten Baum doppelt so viele Geier wie auf dem ersten und auf dem dritten
doppelt so viele wie auf dem zweiten.
Wie viele Geier saßen ursprünglich auf jedem Baum?
Lösung: Z. B.: x Geier am Ende auf Baum 1, dann sind 2x bzw. 4x auf Baum 2 bzw. 3. Damit
sitzen nach den Flügen 56/7 = 8 Geier auf dem ersten Baum und 16 bzw. 32 Geier auf
dem 2. und 3. Baum. Vor dem Flug waren es dann 12, 21 und 23 Geier.
4. Dieses Denkmal steht am Bundeskanzlerplatz in Bonn. Es zeigt den Kopf von Konrad Adenauer, der von 1949 bis 1963 erster Bundeskanzler der Bundesrepublik
Deutschland war.
Wie groß müsste ein entsprechendes Denkmal sein, das Adenauer von Kopf bis Fuß
im selben Maßstab darstellt?
Erkläre deine Überlegungen deinem Nachbarn.
Aufgabe nach: Herget, Jahnke, Kroll, Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I
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Lösung: Z. B.: Die Größe des Kopfes kann man in Realität auf 25cm, die Größe des Denkmals auf
1,8m und die Körpergröße des größeren Kindes auf 1,6m schätzen. Damit ergibt sich für
die Größe des Denkmals: 1, 6m : 0, 25m · 1, 8m = 12m
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