Punktspiegelung

Punktspiegelung
1.
y
1
O
x
1
Gegeben sind ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M(3 | 1) und dem Radius r = 2.5 cm
sowie der Punkt A(4, 5 | −1) ∈ k.
(a) Zeichne den Kreis k und den Punkt A in das Koordinatensystem ein.
(b) Auf der Kreislinie k wandern Punkte Bn , so dass laufend Kreissehnen [ABn ]
erzeugt werden.
Zeichne für B1 (4 | y1 ) mit y1 > 0 und B2 (x2 | −0, 5) mit x2 < 3 die beiden
Kreissehnen [AB1 ] und [AB2 ] ein.
(c) Unter allen Kreissehnen [ABn ] gibt es eine längste: die Sehne [AB0 ]. Zeichne
sie ein. Berechne die Koordinaten des Punktes B0 .
Lösung:
y
B1
B0
1
O
M
x
1
B2
A
(a) Siehe Zeichnung.
(b) Siehe Zeichnung.
(c) Siehe Zeichnung. Die längste Kreissehne muss durch den Kreismittelpunkt verlaufen.
−−→ −−−→
Es gilt z.B.: AM = M B0 mit B0 (x | y).
1
3 − 4, 5
1+1
⇒
=
x−3
y−1
⇒
−1, 5 = x − 3 und 2 = y − 1
B0 (1, 5 | 3)
2. Gegeben sind die Punkte A(−4 | −2), B(0 | −4), C(−2 | 0) und E(5 | 1), F (1 | 4)
und G(−2 | 3).
(a) Zeichne die beiden Dreiecke ABC und EF G in ein Koordinatensystem.
Platzbedarf: −7 ≦ x ≦ 6 und −5 ≦ y ≦ 5
(b)
• Spiegle das Dreieck ABC am Mittelpunkt der Seite [AC]. Dadurch entsteht
das Viereck ABCB ′ .
• Notiere einen Namen, der dieses Viereck möglichst genau beschreibt.
• Gib eine der charakteristischen Eigenschaften dieses Vierecks an.
(c)
• Spiegle das Dreieck EF G am Mittelpunkt der Seite [EG]. Dadurch entsteht
das Viereck EF GF ′ .
• Notiere einen Namen, der dieses Viereck möglichst genau beschreibt.
• Gib eine der charakteristischen Eigenschaften dieses Vierecks an.
−−→
(d) Berechne die Komponenten des Pfeiles BC.
(e) Berechne die Koordinaten des des Bildpunktes F ′ .
Lösung: (a)
y
F
G
B′
M2
E
1
C
O
1
M1
A
B
(b)
• Siehe Zeichnung.
M
1
Hier gilt: A −→
C
M
1
C −→
A und
2
M
1
B −→
B′
F′
x
• Dieses Viereck ist eine Raute.
Anmerkung: Auf jeden Fall ist das Viereck ein Parallelogramm, weil jede Punktspiegelung winkeltreu ist. Weil das Dreieck ABC aber gleichschenklig ist, sind alle
vier Seiten gleich lang, also ist dieses Parallelogramm sogar eine Raute.
• Alle vier Seiten sind gleich lang.
(c)
M
M
2
2
• Siehe Zeichnung. Hier gilt: E −→
G G −→
E und
• Es ist ein Parallelogramm.
• Je zwei gegenüber liegende Seiten sind parallel.
M
2
F −→
F′
(d)
−−→
BC =
−2 − 0
0+4
=
−2
.
4
−−→ −−→
(e) Es sei F ′ (x′ | y ′ ). Im Parallelogramm EF GF ′ gilt z.B.: EF ′ = F G:
′
−2 − 1
x −5
=
3−4
y′ − 1
⇔
∧
x′ − 5
y′ − 1
= −3
= −1
⇔
⇔
x′ = −2
y′ = 0
3
⇒
F ′ (2 | 0)