Funktionen: Potenzfunktionen

Funktionen
Potenzfunktionen
Die Kathedrale von Brasilia steht in der brasilianischen Hauptstadt Brasilia wurde von Oscar Niemeyer
(*1907 in Rio de Janeiro). Die Kathedrale von Brasilia besteht aus Beton und Glas und zeichnet sich
durch ihre hyperbolische Form aus. Der Bau ist kreisrund und hat einen Durchmesser von 70 Metern.
Einführung
Aufgabe 1: Wir betrachten folgende Funktionen:
i) y = x0
ii) y = x1
1
1
vi) y = x 2
vii) y = x 3
iii)
y = x4
viii)
y= x
iv) y = x–1
−
1
3
ix) y = x
−
v) y = x–2
3
2
3
x) y = x 2
a) Was ist an diesen Funktionsgleichungen gleich? Was ist anders?
b) Überlege dir, wie die Grafen aussehen, und skizziere sie in einem Koordinatensystem.
c) Welchen Definitions- und Wertebereich haben die Funktionen?
d) Gehen die Funktionen durch spezielle Punkte?
e) Sind diese Funktionen symmetrisch? Sind sie steigend oder fallend?
f) Haben die Funktionen einen Namen?
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Definition: Die Potenzfunktionen sind Funktionen der Potenzoperation bei denen
…………………………… das Argument ist und …………………………………… konstant.
f ( x ) = ........
p ∈ .....
Wir können folgende wichtigen Fälle für den Exponenten p unterscheiden:
p > ……
p = ……
…… < p < ……
p = ……
p < …….
f(x) = x2 und f–1(x) = x 2
1
Die folgenden wichtigen Namen werden gegeben:
Parabeln
Hyperbeln
Wurzeln
(…………… ganze Exponenten)
(…………… ganze Exponenten)
(…………………… Exponent)
D = ……………….
D = ……………….
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D = ……………….
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Bei ganzzahligen Potenzfunktionen gibt es wichtige Symmetrieeigenschaften:
Symmetrische Funktionen
Antisymmetrische Funktionen
(…………………… Exponenten)
(…………………… Exponenten)
Definition: Eine Funktion heisst
symmetrisch (oder achsensymmetrisch), wenn gilt f(–x) = f(x)
antisymmetrisch (oder punktsymmetrisch), wenn gilt f(–x) = –f(x)
Wichtige Punkte auf der Potenzfunktion:
Punkt P(…|…)
Punkt P(…|…) für p > …….
Die Potenzfunktionen sind im Allgemeinen nur abschnittsweise streng monoton
……………………………
……………………………
Definition: Eine Funktion heisst
streng monoton steigend, wenn für x1 < x2 gilt f(x1) < f(x2)
streng monoton fallend, wenn für x1 < x2 gilt f(x1) > f(x2)
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Schnittpunkte von Funktionen
Aufgabe 2: Stelle graphisch dar und berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven:
a) f: y = 0.25x1.5
g: y = x–1
b) f: y = 4x0.5
g: y = x1.5
c) f: y = 2x0.5
g: y = 2x–2
Punkte auf Funktionen
Aufgabe 3: Für welche Exponenten p geht der Graf von y = xp durch den Punkt:
a) (2|16)
b) (3|81)
c) (0.5|0.25)
d) (2|0.25)
e) (64|4)
Aufgabe 4: Für welchen Exponent p geht der Graf von y = xp durch den Punkt:
a) (2|8)
b) (2|–8)
c) (–2|8)
d) (–2|–8)
Aufgabe 5: Für welchen Exponent p geht der Graf von y = xp durch den Punkt:
a) (1|1)
b) (–1|1)
c) (1|–1)
d) (–1|–1)
f) (0|1)
g) (1|0)
h) (1|2)
i) (2|1)
e) (0|0)
Translationen und Spiegelungen von Funktionen
Aufgabe 6: Skizziere folgende Grafen. Sie sind durch Verschiebung aus einer Potenzfunktion
hervorgegangen. Überlege also gut, wie die Kurve verschoben wurde und dann fällt es dir
vielleicht einfacher, die Kurven zu skizzieren. Gib an um, wie viel sie verschoben wurden.
1
a) y = ( x − 3) 3 + 2
b) y = ( x + 4)
c) y = ( x − 4) − 1
d) y = ( x − 4) − 1
3
−0.5
+2
−2
Aufgabe 7: Spiegle die Kurve f mit der Gleichung y = x0.4 an der
a) x-Achse
b) y-Achse
c) Geraden y = x
und gib die Gleichung der gespiegelten Kurve an und skizziere den Grafen.
Monotonie
Aufgabe 8: Welche der folgenden Funktionen sind auf der Definitionsmenge D monoton? Welche
Art von Monotonie liegt gegebenenfalls vor (wachsend oder fallend)?
a) f(x) = x2
D = \+
b) f(x) = x2
D=\
c) f(x) = x2
D = \−
d) f(x) = x0
D=\
e) f(x) = x–1 D = \ +
f) f(x) = x–1
D = \−
g) f(x) = x–1 D = \ \ {0}
h) f(x) = x–2
D = \ \ {0}
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Umkehrfunktionen
Aufgabe 9: Bestimme zu der gegebenen Funktion f(x) die Umkehrfunktion f–1(x).
a) f(x) = 2x2 + 3
D = {x | x ≥ 0}
b) f(x) = (x – 3)5
D = {x | x ≥ 3}
c) f(x) = (x – 3)
5
D = {x | x < 3}
d) f(x) = 5 x 2 – 4
−
D = {x | x ≥ 0}
1
e) f(x) = 6 x 3 + 5
2
f) f(x) = ( x + 2) 3 +
D = {x | 8 ≤ x ≤ 27}
3
2
D= [–2, +∞]
Gib die Definitionsmenge der Umkehrfunktion an.
Funktionenscharen
Aufgabe 10: Wir betrachten die Funktionenschar f(x) = 2(x + a)1/2 + b, wobei die Parameter a
und b reelle Zahlen sind.
a) Berechne die Parameter a und b so, dass der Graph von f durch die beiden Punkte P(1|2)
und Q(6|4) geht.
b) Bestimme von der gefundenen Funktion f den Definitionsbereich und die Nullstellen.
c) Bestimme f–1. Stelle f und f–1 graphisch dar.
Aufgabe 11: Wir betrachten die Funktionenschar f(x) = 4xa + b, wobei die Parameter a und b
reelle Zahlen sind. Die Funktion hat zwei Fixstellen f(1) = 1 und f(4) = 4. Bestimme die
Parameter a und b. Eine Gleichung musst du durch Ausprobieren lösen.
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