Beispiele von Anwendungen in der Physik

M3
Vorlesung von B.Baumgartner
Wi-Se 2008/09
Beispiele von Anwendungen in der Physik
a) Systeme von Massenpunkten; kleine Schwingungen, lineare Kette
Kleine Auslenkungen aus den Ruhelage-Punkten xn = na, lineare Rückstellkräfte, wie
beim Hookschen Gesetz: Bewegungsgleichungen
x m   M m n x n
n
Falls nur endlich viele Massenpunkte: Lineare Algebra, Vektoren (x1 .... xN) Matrix M.
Falls unendlich viele: Vektor aus linearem Raum, Operator M.
b) Schwingende Saite
  
c2
Unendlich viele Eigenschwingungen; Differentialgleichung mit Randbedingungen gibt
den Operator. Eigenwerte  Grundton und Obertonreihe
c)Elektrostatik
 


Poisson-Gleichung V(x)  E(x)  0 1(x)

V(x)  
Umkehrung mit Greenscher Funktion
1
 3
  (y) d y
4 0 (x  y)
d) Diffusion

Dichte (x, t) , Diffusionsgleichung   D 
Im Kontinuum:
Lösung   (4D t)
Auf der Kette:
3/ 2

e
 
(x  y) 2
4D t

Greensche Funktion
 (n)  D  ((n  1)  (n  1)  2(n))
e)Quantenphysik
H  E
„Die Quantisierung als Eigenwertproblem“
1
i  H
A. Lineare Räume
1. Vektor-Räume
1.1. Def:
Ein (komplexer) Vektorraum V ist eine Menge von Elementen {, , ...} für die
folgendes gilt:
1)
,   V
!     V
a)
b)
c)
d)
Es ist eine Addition erklärt:
Assoziativität
 Nullvektor
 negative Elemente
Kommutativität
a)
b)
c)
d)
Es ist eine Multiplikation mit (komplexen) Zahlen erklärt:
  V a    a  V
1  
Assoziativität (a  b)  a ( b )
a (    )  a  a
(a  b)  a  b
2)
1.2. Beispiele
a)
b)
c)
d)
e)
n
Lösungsmenge einer homogenen linearen Dgl.
p , 1  p  
C[a,b]......Stetige Funktionen auf dem Intervall [a,b]
Lp (M)... Funktionen f(x) auf einer messbaren Menge M, für die f
p
integrierbar ist.
1.3. Def.
Ein Teilraum T eines Vektorraumes ist eine Teilmenge T  V , die selbst ein
Vektorraum ist.
1.4. Beispiele
a) Stetige Funktionen C[a,b]  L2 [a, b]
b) Stetige Funktionen mit kompaktem Träger Coo()  L2 ()
c) L2 [a, b]  L2 ()
2
2. Konvergenzen
2.1.
Def.
Eine Metrik ...
a) positiv
b) positiv definit
c) symmetrisch
d) Dreiecksungleichung
2.2.
Beispiele
a) Komplexe Zahlen
b) Sphärische Geometrie
2.3.
Definition
Ein Vektorraum heißt normiert, wenn auf ihm eine Norm definiert ist, d.i. ...
a) positiv
b) Nur Nullvektor hat Norm Null
c) Linearität im Vorfaktor
d) Dreiecksungleichung
2.4.
Satz
Jede Norm definiert eine Metrik.
2.5.
Beispiele
a) komplexe Zahlen, 
b)  n
c)  p , 1  p   ; insbesondere mit p=2, dieser Raum ist die unendlichdimensionale
Verallgemeinerung des Beispiels b).
d) Lp (M); (Dreiecksungleichung für die Norm ist die Minkowski-Ungleichung)
e) Stetige Funktionen mit der Supremums-Norm
Norm  Metrik  Topologie
2.6.
Def.: Konvergenz
Folge konvergent,...Kurve stetig...
2.7.
Beispiele
a) Diffusion, im x-Raum Konvergenz gegen Null punktweise und in jedem Lp mit p > 1.
Aber die p=1-Norm ist zu jeder Zeit gleich 1. Keine Normkonvergenz im L1 . Die
Fouriertransformierte ist immer 1 im Ursprung, sonst konvergiert sie punktweise
gegen Null, konvergiert gegen die Funktion Null in jedem Lp mit p < .
b) Diffusion im Limes t  0.
c) Klassischer Limes der Grundzustands-Wellenfunktion des harmonischen Oszillators.
3
2.8.
Def.
Eine vektorwertige Kurve heißt differenzierbar, ...
2.9.
Beispiele
a) L ( ) , Funktion mit Knick wird verschoben,  t ( x )  ( x  t ) . Diese Kurve ist
diff.bar.
b) Obige Kurve ist nicht zweifach diff.bar, denn Verschieben einer Funktion mit Sprung
gibt eine nicht differenzierbare Kurve von Vektoren.
2
2.10. Def.
Menge der Funktionen, die fast überall gleich Null sind, bilden einen Teilraum des
Raumes der integrierbaren Funktionen. Bilde den Quotientenraum. So entstehen Räume,
z.B. Lp , deren Elemente genaugenommen nicht Funktionen sind, sondern Äquivalenzklassen
von Funktionen.
2.11. Def.
Cauchyfolge
2.12. Satz
Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
2.13. Def.
Ein Raum, in dem jede Cauchyfolge konvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger
normierter Raum heißt Banachraum.
2.14. Bemerkung
Analog zur Vervollständigung der Menge der rationalen Zahlen zur Menge der reellen
Zahlen kann man jeden normierten Vektorraum vervollständigen. Man kann formal jeder
Cauchyfolge ein Limeselement zuordnen. So erhält man durch Vervollständigung eines
Raumes von Riemann-integrablen einen Raum von Lebesgue-integrablen Funktionen.
2.15. Def.
Ein Teilraum T  V heißt dicht, wenn jedes Element von V Limes einer Folge von
Elementen von T ist.
2.16. Beispiele
a) Der Weierstraßsche Approximationssatz: Polynome liegen dicht im C[a,b] mit der
Supremumsnorm.


b) S() dicht in Lp (), für jedes p. S() = f ( x )
sup x m  nx f ( x )   
x


2.17. Satz
T dicht in U und U dicht in V  T dicht in V.
Folgerung: Polynome dicht in jedem Lp [a,b]
4
3. Hilbert-Räume
3.1.
Def: Inneres Produkt
 
a)
  0
b)
  =0
c)
 
d)
 z = z  
e)
       
3.2.
*

=0
 
Def: Orthogonalität

3.3.

  =0
Satz: Die Schwarzsche Ungleichung
|   |2     
3.4. Beispiele
n
a) 
b)  2
c) L2 (M)
3.5.
Satz: I.P.definiert Norm
 
 =
3.6.
Satz: I.P. ist stetig
m   ,
3.7.
n  

 m n   
Def: Hilbertraum
Vektor-Raum mit innerem Produkt, der vollständig ist
3.8.
Def: Basis, VONS
Basis = „Vollständiges Orthonormalsystem“
a) Basisvektoren sind normiert,
b) verschiedene sind zueinander orthogonal.
c) Jeder Vektor in H kann vollständig als Linearkombination von Basisvektoren zerlegt
werden.
3.9.
Def: Totale Menge, Lineare Hülle, separabel
„Totale“ Menge von Vektoren .............. Menge der Linearkombinationen von Elementen
ist ein dichter Teilraum von H.
„Lineare Hülle“ ...... Abschluss des Teilraums der Linearkombinationen
H heißt „separabel“, wenn es eine totale Teilmenge gibt, die abzählbar ist.
5
3.10. Beispiele
a)  2
m = (m,n) ist abzählbare totale Menge und Basis
b) Potenzen xn sind total in L2 [a, b]
3.11. Satz und Def: Existenz einer Basis. Dimension.
Jeder Hilbertraum besitzt eine Basis. Deren „Mächtigkeit“ (=Anzahl der Elemente) ist
eindeutig; sie heißt Dimension des Raumes.
Es gilt der Satz von Pythagoras. Findet Verwendung im
Gram-Schmidt-Verfahren zur Orthogonalisierung einer Menge. Ist diese Menge total,
dann wird in diesem Verfahren eine Basis erzeugt.
3.12. Lemmata: Besselsche Ungl. Kürzungsregel
{n} ein ONS, (nicht notwendigerweise vollständig), an=  n  , dann ist
a
2
n
 
2
n
{n} eine totale Menge,  n  = 0 für alle n, dann ist  = 0.
3.13. Entwicklungssatz
Jedes totale ONS {n} ist vollständig. Jeder Vektor eindeutig nach dieser Basis zu
entwickeln.
   a nn
,
an=  n 
n
So wird jeder separable Hilbertraum isomorph zum  2 .
3.14. Parsevalsche Gleichung
{n} VONS

a
2
n
 
2
n
3.15. Kriterien für Vollständigkeit eines ONS
a)
b)
c)
d)
e)
Kürzungsregel gilt
Parseval gilt
Entwicklung ist möglich
System ist total
total in dichter Teilmenge
3.16. Beispiele
Legendre-, Hermite-Polynome, Fourier-Reihen
3.17. Def. und Lemma: Orthogonaler Teilraum
M eine Teilmenge, M die Menge aller zu M orthogonalen Vektoren, bildet einen
abgeschlossenen Teilraum.
3.18. Satz und Def: Projektion
T ein abgeschlossener Teilraum,  beliebig. Eindeutige Zerlegung  =  + .
3.19. Beispiele.
Gerade/ungerade Fktn. / Träger auf einer Teilmenge, Lokalisierung / Gebundene Zustände
6
4. Strukturen: Direkte Summe; Tensor-Produkt
4.1.
Zur Motivation
Einander ausschließende Möglichkeiten  Direkte Summe
Gleichzeitige Möglichkeiten  Tensor-Produkt
4.2.
Def: Direkte Summe
Paar (,)    
4.3.
distributiv:
a( ) = (a  a)
< |> = <|> + <|>
Konstruktion einer Basis
{m}, {n}  {m}{n}
Dimensionen werden addiert
4.4. Beispiele
mn = m+n
L2 (M)L2 (N) = L2 (MN)
{gebundene Zustände}  {freie Zustände}
4.5.
Def: Tensorprodukt
Paar (,)    
a( ) = (a)  =  (a)
bilinear:
< |> = <|>  <|>
Linearkombinationen bilden, bi-distributiv, und vervollständigen
4.6.
Konstruktion einer Basis
{m}, {n}  {m  n}
Dimensionen werden multipliziert
4.7.
Bemerkungen, Vorsicht!
Es gibt, wegen der Linearkombinationen, Elemente die nicht von Produktform sind.
Zerlegungen sind nicht eindeutig. Beispiel:
(+)(+) + ()() = 2( + )
4.8. Beispiele
m  n =mn
L2 (M) L2 (N) = L2 (MN), zwei verschiedene Teilchen
Wellenfunktionen  Spinoren, ein Teilchen mit Spin
Kugelflächenfunktionen
4.9.
Konvergenzen
m   ,
n  

m  n   ,
mn  
7
5. Dualräume
5.1.
Def.
Stetiges lineares Funktional auf einem normierten Vektor-Raum: Abbildung V  Â
a) linear
b) stetig
5.2.
Satz und Def.
(Topologischer) Dualraum
5.3.
V*
Satz
a) Ein lineares Funkt.  genau dann stetig, wenn bei Null stetig
 ( )
b) ... genau dann stetig, wenn sup


5.4.
Satz und Def.
Der Dualraum eines normierten Raumes wird zum Banachraum bei Einführung der Norm
 ( )
 : sup



5.5.
Riesz - Lemma
Lineare Funktionale eines Hilbert-Raums = Innere Produkte
5.6.
Beispiele
1 1
1 1
*
 1
, (Lp (M)) = Lq (M),
  1 , 1 p  
p q
p q
b) Matrizen A, B, :
A  Tr(A) oder auch A  Tr(A); im später folgenden auch für Operatoren
c) Schwartzsche Klasse S, allerdings unendlich viele Normen  Dualraum gibt die
temperierten Distributionen
*
a) (  p ) =  q ,
5.7.
Def: Schwache Konvergenz
5.8.
Beispiele
Verschiebung ins Unendliche
Klassischer Limes der H.O.-Grundzustandswellenfunktion
Diffusion im Limes unendlicher Zeit
Diffusion im Limes Zeit gegen Null
5.9.
Lemma: Normstetigkeit  schwache Stetigkeit
5.10. Lemma
a) Normkonvergenz  Konvergenz der Norm
b) Schwache Konvergenz  Norm nimmt nicht zu
c) Schwache Konvergenz und auch Konvergenz der Norm  Normkonvergenz
8
6. Integration und Maß
6.1.
Motivation
a) Ausdehnung der Integration auf vervollständigte L p -Räume
b) Maße, die in der Spektralanalysis auftreten. Besonderheit: Quantenchaos
c) Hilberträume mit Funktionen auf Mannigfaltigkeiten
6.2.
Drei Ziele
a) Riemann  Lebesgue-Integration
b) Verallgemeinerung des Maß-Begriffes und der Integration für Funktionen auf 
c) Integration für Funktionen auf Mannigfaltigkeiten
6.3.
Zur Strategie
Additivität eines Maßes  Linearität der Integration
Maße  Positive Lineare Funktionale
6.4.
Lebesgue-Integral
Fortsetzung der linearen Funktionale auf vervollständigten abgeschlossenen Raum
Maße auf [a,b] in 
6.5.
Lebesgue-Stieltjes: Definiere, mit m(x) monoton wachsend,
b
f   f ( x )dm( x ) als lineares Funktional auf C[a,b]
a
m(x) eindeutig zerlegbar in
a) „pure point“
m = mpp + mac + msc
dmpp(x) =  p n ( x  x n )
n
b) „absolutely continuous“
c) „singular continuous“
dmac(x) = mac´(x)dx
6.6.
Beispiel: Cantor-Funktion
6.7.
Maße auf Mannigfaltigkeiten
Definiert über Koordinaten, Maße im  , z.B. Kugeloberfläche
n
9
B. Lineare Operatoren
1. Algebra, Norm, Konvergenzen, Strukturen
1.1.
Def: Linearer Operator
Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen. Speziell: zwischen Banachräumen.
Noch spezieller: von einem Hilbertraum in den selben Hilbertraum: A  B(H)
Auch: „Transformation“, z.B. Fourier-Transformation
1.2.
Def: Stetigkeit
Jede normkonvergente Folge von Vektoren wird wieder in eine normkonvergente Folge
abgebildet.
1.3.
Lemma: Stetigkeit genügt bei Null
Wie bei den linearen Funktionalen. (Diese sind ja Spezialfälle von lin. Operatoren.)
1.4.
Algebra: Produkte, Rechenregeln, Einheit
Algebra = Vektorraum mit Produkt
In B(H) gibt es den Einheits-Operator
Es gelten die üblichen Rechenregeln. Aber: Produkte sind i.a. nicht kommutativ!
1.5.
Beispiele:
a)
b)
c)
d)
Matrizen
Lineare Funktionale
X-Operator, Differenzieren im Raum der Testfunktionen (Schwartzsche Klasse S)
Dyaden  
e)
f)
g)
h)
Verschiebung im Ortsraum
Zeit-Entwicklung
Fourier-Reihe
Koordinaten-Transformation
1.6.
Def. und Lemma: Norm; Banachraum
Operator A heißt „beschränkt“, wenn 
1.7.
A  sup

A

Satz: B.L.T.
Ein Operator, der auf einem dichten Teilraum definiert und beschränkt ist, läßt sich
eindeutig ohne Vergrößerung der Norm auf den ganzen Raum fortsetzen.
1.8.
Satz: Beschränkt  stetig
Wenn auf ganzem Banachraum (od. Hilbertraum) definiert.
1.9.
Lemma: Norm des Produkts
AB  A  B
10
1.10. Beispiele
a) 22 Matrizen.
b) Dyaden
c) Verschiebung
Jede mm Matrix ist beschränkt.
1.11. Def: Norm-, stark, schwach konvergent
a) n:
An  A  0
b) s:
 :
c) w:
 ,  :
( A n  A )  0
in B(H), „quadratische Form“
 ( A n  A )  0 ,
1.12. Lemma: Norm  stark  schwach
(Übungsaufgabe)
1.13. Lemma: Norm im Limes
Wie bei den linearen Funktionalen: Norm kann im Limes (s oder w) nicht hinauf springen.
1.14. Verknüpfungen
n+n=n,
w+w=w,
s+s=s,
nn=n
1.15. Beispiele
a) Multiplikation mit fn(x), fn  f in Supremumsnorm  Normkonvergenz
b) Multiplikation wie oben, aber fn verschwinden im Unendlichen  schwache K.
c) Verschiebung um xn , xnx ,  ?
1.16. Def: Direkte Summe
( A  B ) (    ) = A  B
1.17. Lemma: Norm, Konvergenz bei direkten Summen
A  B  sup A , B , nn = n ....(Das schwächste ist bestimmend)
1.18. Beispiele
a) Translationen im Fockraum
b) Zeitentwicklung gebundener und freier Zustände
1.19. Def: Tensorprodukt
( A  B ) (    ) = ( A )  ( B)
1.20. Norm, Konvergenz beim Tensorprodukt
AB  A  B ,
normnorm = norm ... (Das schwächste ist bestimmend)
1.21. Beispiele
a) Spin-Operatoren für zwei Teilchen mit Spin
b) Drehung eines Teilchens mit Spin, im Ortsraum
11
2. Adjungieren, invertieren; wichtige Typen
2.1.
 A

Def: Adjungierter Operator
für A  B(H)
  A 
2.2.
Rechenregeln
konjugiert linear: (A + B)* = *A* + B*
(AB)* = B*A*
A  A
AA  A
2.3.
2
Beispiele
a) Multiplikation mit f(x)  f *(x)
b) Verschiebung Ta  T-a
c) Matrix  Adjungierte Matrix
2.4.
Bemerkung: Transponierter Operator
t
(A) = (A )()
2.5.
P² = P ,
2.6.
z.B. Differenzieren von Distributionen
Def: Projektor
P* = P
Beispiele
a) Multiplikation mit M(x)
b) Gerader Anteil einer Funktion
c)   k  k , Matrizen
k
2.7.
Def: Selbstadjungiert
*
A =A
2.8.
Lemma: Selbstadjungiert  „reell“
Jeder Erwartungswert ist eine reelle Zahl. Vergleich mit Bemerkung zu 1.11.c: Die
Erwartungswerte bestimmen auch alle anderen „Matrixelemente“.
2.9.
Def: Positiver Operator
Jeder Erwartungswert ist eine positive reelle Zahl.
B  0  B ist selbstadjungiert
2.10. Beispiele
a) Multiplikation mit reeller Funktion f(x) = f *(x).
Positiv, wenn auch f(x)  0.
b) Selbstadjungierte 22 Matrizen.
Positiv, wenn auch mit positiver Spur und
positiver Determinante.
c) Projektoren
d) Reelle, (positive) Linearkombinationen von Projektoren.
12
2.11. Def: Inverser Operator
A-1
A-1A = A A-1 = 1
2.12. Rechenregeln für Inverse
(A)-1 =-1A-1
(AB)-1 =B-1A-1
(A-1)* = (A*)-1
2.13. Beispiele
a) Multiplikationsoperatoren f(x)  f -1(x)
b) Verschiebungen, Drehungen  Bewegungen zurück
c) Fourier-Transformation  Inverse Fourier-Transformation
2.14. Def: Unitär
*
U = U-1
2.15. Lemma: Unitär  isometrisch
 :
U  
2.16. Beispiele
a) Multiplikationsoperatoren f(x) mit f * = f -1
b) Verschiebungen, Drehungen
c) Fourier-Transformation
2.17. Warnung
Es gibt Isometrien, die nicht unitär sind.
2.18. Zerlegungen der Einheit
   n n
mit einem VONS.
n
Unendliche Summe .... starker Limes der endlichen Summen
13
3. Zustände
3.1.
Zur Motivation
Nur zur Einführung in die QM. ist „Zustand“ mehr oder weniger gleichbedeutend mit
„Wellenfunktion“ oder „Spinor“.
In der statistischen Physik braucht man Zustände mit vielen Ungenauigkeiten.
Ein „verschränkter“ Zustand eines zusammengesetzten Systems gibt für ein kleineres
Teilsystem einen „gemischten“ Zustand.
3.2.
Hypothese und Lemma: Observable
Sind die selbstadjungierten Operatoren.
Spannen den ganzen Raum B(H) auf:
3.3.
R = H + iK,
H = H*, K = K*
Def: Zustand
„Zustand“ ist ein normiertes positives lineares Funktional über B(H):
H  (H)
(1) = 1
H  0  ( H )  0
(aH + K) = a(H) + (K)
3.4.
Satz: Zustände bilden eine konvexe Menge
Für Zustände , , Zahl a(0,1) ist auch  = a +(1-a) ein Zustand.
3.5.
Def: Zerlegung; Extremalpunkte
Ein Zustand wie oben  heißt gemischt, und läßt sich zerlegen. Punkte einer konvexen
Menge, die sich nicht als Linearkombination anderer Punkte dieser Menge darstellen lassen,
heißen „Extremalpunkte“.
3.6.
Beispiele
a) Dreieck, Tetraeder, Simplices:
b) Kugel
3.7.
Jede Zerlegung ist eindeutig
Keine Zerlegung ist eindeutig
Satz: Reine Zustände = extremale Zustände
Halber Beweis: Betrachte Erwartungswerte der Observablen P   
3.8.
Bemerkung über klassische Zustände und verborgene Parameter
„Wirklichkeit“  „Gott würfelt nicht“
Reine Zustände  Punkte im Phasenraum
Gemischte Zustände  Wahrscheinlichkeitsmaße
3.9.
Zerlegung ist eindeutig.
Bemerkung über quantenmechanische Zustände
Zerlegungen gemischter Zustände sind auf vielerlei verschiedene Arten möglich. Man
möchte aber eine klare unzweideutige Darstellung, unabhängig von einer Wahl der Zerlegung.
Beispiel mit „Liese und Marcus“.
14
3.10. Def: Spur und Spurklasse
a) Sei R  B(H), R  0, {n} ein VONS:
„Spur von R“:
Tr ( R ) :   n R  n
n
b) R ist in der Spurklasse, wenn die Spur endlich ist.
c) Spurklasse: Alle Linearkombinationen solcher Operatoren. T =  ik Rk
3.11. Satz: Unabhängigkeit vom VONS
Beweis im endlich-dimensionalen Raum einfach. Im unendlich-dimensionalen Raum,
kann man mit dem Operator R – dessen Existenz später gezeigt werden wird –
argumentieren.
3.12. Eigenschaften der Spur
a)
b)
c)
d)
linear
Tr(A*) = (Tr(A))*
A  0  Tr(A)  0
Tr(RA) = Tr(AR)
wenn R Spurklasse, A beschränkt ist.
3.13. Def: Dichtematrix
Positive „Matrix“ , also Operator, mit Spur Eins.
3.14. Satz: Zustand  Dichtematrix
(H) = Tr {H}
3.15. Beispiel: Zustände für Spin 1/2
2  2 Dichtematrizen, bilden eine Kugel.
3.16. Beispiel: Zustände für zweimal Spin 1/2
4  4 Dichtematrizen 
3.17. Def: Reduzierter Zustand, Partialspur
Definiert als Zustand der Operatoren H
3.18. Beispiel: Singlet-Zustand für ein Teilchenpaar
Ein reiner Zustand, aber reduzierter Zustand ist total gemischt.
3.19. Def: Separable versus Verschränkte Zustände
Klassisch-wahrscheinliche Zerlegung in Produktzustände möglich – oder nicht möglich.
3.20. Das E.P.R.- Paradoxon
„Quantensprung“ wird auch über weite Entfernung bewirkt.
3.21. Überraschung
Manchmal sind Theorien mit verborgenen Parametern möglich.
3.22. Die Bellsche Ungleichung
Für zwei Spin 1/2 - Teilchen
15
3.23. Das G.H.Z. – Mermin – Experiment
Mit drei Spin 1/2 – Teilchen
3.24. Schmidt-Zerlegung eines reinen Zustands für zwei Systeme
Ein Vektor  aus HA  HB kann in der Form

rk  k  k dargestellt werden,
k
wobei {k} und {k} ONS in den Hilberträumen HA bzw HB sind, und
r
k
  .
2
k
Beweis: Diagonalisiere die Partialspur  A  TrB  
  A   rk  k  k .
k
Mit dem Projektor Pk :=  k  k  1 finde k mittels
rk  k  k : Pk  .
Zeige, durch Untersuchung der Erwartungswerte, dass {k} ein ONS ist.
3.25. „Purifikation“
Jeder gemischte Zustand von B(H) kann als reduzierter Zustand eines reinen Zustandes
eines größeren Systems dargestellt werden.
Beweis-Methode: Verdopplung des Systems und Umkehrung der Schmidt-Zerlegung.
16
4. Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren
4.1.
Motivation
Observable  hermitescher Operator, quadratische Form mit reellen Erwartungswerten
Erzeugende einer Gruppe von Transformationen (z. B. Schrödinger-Gleichung)
 selbstadjungierter Operator
4.2.
Def: Bereiche, Graph
Definitionsbereich D(A) (in der Folge immer dicht in H), Range R(A) , Graph
(A)
4.3.
Def: Quadratische Form, Form-Bereich
Erwartungswerte. Q(A)
4.4.
Def: Abschluss eines Operators
Abschließbar  Abschluss des Graphen ist ein Graph; abgeschlossen  Graph ist abg.
4.5.
Beispiele und Gegenbeispiele
a) Beschränkter Operator
b) X-Operator
c) Delta-Dyade
ist immer abschließbar; siehe B.L.T.-Theorem
zuerst mit D(X) = S
 
d) Delta-„Operator“
eigentlich „Form“, mit Q() = C
4.6.
Def. und Lemma: Adjungierter Operator
A    =  A ,
mit größtmöglichem Definitionsbereich D(A*).
Dieser ist genau dann dicht im Hilbertraum, wenn A abschließbar ist.
A*
4.7.
Satz: Adjungierte ist abgeschlossen
Infolge des größtmöglichen Definitionsbereiches.
4.8.
a)
b)
c)
d)
Beispiele
Beschränkter Operator
X-Operator
Leiter-Operatoren des harmonischen Oszillators
Radialer Impuls
4.9.
Def: Hermitesch (symmetrisch) / selbstadjungiert
A* = A,
und auch
Vergleich der Definitionsbereiche von A* und A:
D(A*)  D(A) / D(A*) = D(A)
4.10. Äquivalente Charakterisierung als Form
Hermitesch  Reelle Erwartungswerte,
wenn Q(A) := D(A)
17
4.11. Def: Wesentlich selbstadjungiert
Abschluss ist selbstadjungiert.
4.12. Beispiele
a) X-Operator
b) Impuls im unbeschränkten Raum
4.13. Satz: Kriterien für (wesentliche) Selbstadjungiertheit
a) Kern (A* + i) = Kern (A*  i) = {0}
b) R(A + i) = R(A  i) = H (bzw. dicht in H)
oder auch
(Siehe Reed-Simon I, pp. 256-7)
4.14. Def: Defektindizes
(m, n) := (dim Kern (A* + i), dim Kern (A*  i) )
Soweit die Analyse von gegebenen Operatoren.
Nun zur „Konstruktion“ von brauchbaren selbstadjungierten Operatoren.
4.15. Def: Erweiterungen
Über Erweiterung des Graphen, Erweiterung von D(A).
4.16. Satz über Existenz selbstadjungierter Erweiterungen.
Wenn die beiden Defektindices gleich sind.
(Siehe Reed-Simon II, Thm X2, p.140)
4.17. Friedrichs-Erweiterung positiver Operatoren
H  0  def. positive, „abgeschlossene“ quadratische Form mit Formbereich Q(H),
 eindeutige selbstadjungierte Erweiterung mit D(H)  Q(H)
(Siehe Reed-Simon II, Thm. X23, p.177)
4.18. Satz: A*A definiert einen selbstadjungierten Operator
Voraussetzung: A ist abgeschlossen (bzw. abschließbar).
Form A*A ist abgeschlossen. Verwende die Friedrichs-Erweiterung.
18
5. Impulse, Drehimpulse, Energien
5.1.
Impuls auf der Geraden
Definiere p zunächst nur für Testfunktionen. Ist abschließbar. Finde die Adjungierte
mittels partieller Integration. Abschluss von p ist selbstadjungiert. Andere Technik:
Verwendung der Fourier-Transformation.
5.2.
Impuls auf der Halbgeraden
Die Operatoren p und p* müssen sich durch Randbedingungen unterscheiden. Mit dem
kleineren Definitionsbereich ist p hermitesch. Es gibt aber keine selbstadjungierte
Erweiterung. Defektindizes sind nämlich 1 und 0.
5.3.
Impuls auf dem beschränkten Intervall
Wieder sind verschiedene Randbedingungen möglich. Für den symmetrischen ImpulsOperator mit dem kleinsten Definitionsbereich, mit Defektindizes (1,1), gibt es eine einparametrige Schar von selbstadjungierten Erweiterungen.
5.4.
Impuls im dreidimensionalen Raum
Übertragung der Operatoren für jede Komponente auf das Tensorprodukt.
5.5.
Drehimpuls in der Ebene
Untersuchung von x1p2 – x2p1 in Polarkoordinaten. Hilbertraum als Tensorprodukt vom
Raum der Radius-abhängigen mit dem Raum der Winkel-abhängigen Funktionen. Finde
Analogie zum Operator für den Impuls auf dem endlichen Intervall mit periodischen
Randbedingungen.
5.6.
Drehimpuls im dreidimensionalen Raum
Die einzelnen Komponenten werden wieder im Tensorprodukt von der Ebene auf den
ganzen Raum übertragen. L2 als Summe von Lk*Lk .
5.7.
Kinetische Energie auf der Geraden
T = p² = p*p
5.8.
Kinetische Energie auf der Halbgeraden
Als Operator T = p*p mit zwei verschiedenen Randbedingungen: Dirichlet- oder
Neumannsche Randbedingungen. Dann gibt es aber noch andere, eine einparametrige Schar.
5.9.
Kinetische Energie auf einem Intervall
Der hermitesche Operator mit dem kleinsten Definitionsbereich hat Defektindizes (2,2)
und hat eine mehr-parametrige Schar von selbstadjungierten Erweiterungen. Eine
einparametrige Schar, mit Randbedingungen wie sie für Elektronen im Kristallgitter
gebraucht werden, hat die Form p*p mit selbstadjungiertem Impuls. Dann gibt es noch
weitere Erweiterungen mit der Form p*p, mit Dirichlet- und/oder NeumannRandbedingungen.
19
5.10. Kinetische Energie im dreidimensionalen Raum
Summe von pk*pk , entsprechend kartesischen Koordinaten. oder auch, wie bei
Berechnungen mit Polarkoordinaten, pr*pr + (1/r²)L²
5.11. Kinetische Energie im gekrümmten Raum
Der Raum ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit einem Krümmumgstensor. Mittels
kovariantem Gradienten definiert man lokale Impulse. Über die quadratischen Formen p*p
gelangt man zu einem Operator für die kinetische Energie, der durch den Laplace-BeltramiOperator ausgedrückt wird.
5.12. Das Delta-Potential
Mit einer Methode, die in der „Supersymmetrischen Quantenmechanik“ in Anlehnung an
die Theorie des harmonischen Oszillators verwendet wird, schreibt man den SchrödingerOperator „kinetische Energie plus Delta-Potential“ in der Form A*A.
20
Details zu 5.11: Kinetische Energie auf Mannigfaltigkeiten
Mannigfaltigkeit
g 
mit metrischem Tensor
Dieser definiert infinitesimale Längen, ds:
(ds) 2  g  dx  dx 
und das infinitesimale Volumselement, dV:
Dabei ist g = |det g |.
dV  gdx 1  dx 2 ...


x 
Für solche Vektoren gibt es an jedem Ort der Mannigfaltigkeit ein lokales inneres
Produkt:
Differenzieren einer skalaren Funktion  gibt ein Vektorfeld:       :
    g     
(Dabei ist g zu definieren über:
Der Hilbertraum ist nun L (
2
g g =  )
    dV
, dV) :
Die Operatoren für die Komponenten des Impulses sind - mit passenden Konstanten - als
partielle Ableitungen definiert. Für jede Wellenfunktion  geben diese Komponenten
2
Q zu
zusammen ein Vektorfeld. Kinetische Energie ist zunächst als quadratische Form
2m
definieren:
Q(,  )   g         gdx 1  dx 2 ...
Durch partielles Integrieren gibt das den Laplace-Beltrami Operator  :
Q(,  )  (, )
,
 
21
1
  ( g  g   )
g
6. Spektrum und Resolvente
6.1. Motivation
Lösen der Schrödingergleichungen,
Diagonalisieren von Dichte-Operatoren
mögliche
Messergebnisse
für
Observable,
6.2. Def.: Resolventenmenge, Spektrum, Resolvente
...Resolventenmenge = Menge der komplexen Zahlen , für die (-A) eine Bijektion
zwischen D(A) und H ist.
...Spektrum = Komplement der Resolventenmenge
R(A)...Resolvente = (–A)–1
6.3. Beispiele
Spin-Matrizen
Beschränkter Operator
X-Operator
Selbstadjungierter Operator
6.4. Satz: Die erste Resolventengleichung
R  (A)  R  (A)  (  )R  (A)R  (A)
Die Resolventen kommutieren.
6.5. Satz:
Die Resolventenmenge ist offen. Die Resolvente R(A) ist eine in  analytische operatorwertige Funktion.
6.6. Def.: Greensche Funktion
Wenn R(A) als Integrations-Operator mit Kern darstellbar ist, so nennt man den
Integrationskern Greensche Funktion von A.
6.7. Beispiel
Greensche Funktion von p2 auf der Geraden
6.8. Def.: Punktspektrum
p ... Menge der Eigenwerte
6.9. Def.: Normale Operatoren
Operatoren, die mit ihrer Adjungierten vertauschen.
6.10 Beispiele und Gegenbeispiele
X-Operator und andere Multiplikations-Operatoren
Selbstadjungierte Operatoren
Unitäre Operatoren
Radialimpuls
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
22
6.11. Satz
...---------------------------------
6.12. Satz über Wertebereich des Spektrums
A selbstadjungiert  (A)  R
U unitär  (U)  Einheitskreis der komplexen Zahlen
7. Funktionalkalkül und Spektralsatz
7.1. Stetige Funktionen beschränkter normaler Operatoren
Sei A ein beschränkter normaler Operator. Jeder beschränkten stetigen Funktion f, die auf
dem Spektrum von A definiert ist, ist in eindeutiger Weise ein beschränkter Operator f(A)
zuzuordnen, sodass folgende Kriterien a), b), c) gelten:
1
a) Sei  (A), R  (x) 
, dann ist R(A) = (-A)-1
x
b) Die Zuordnung f(x)  f(A) ist ein algebraischer *-Homomorphismus
d.h. 1  1, übliche Rechenregeln für Summe, Produkt;
(f(x))*  (f(A))*
Komplex konjugieren  Adjungieren:
c) Zuordnung ist normtreu: f (A)  sup f (x)
x (A)
Weiters gilt auch noch:
d) Positivitätstreue
e) Erhaltung von Eigenvektoren
f) Spektrale Abbildung: (f(A)) = f((A))
g) Erhaltung der Kommutativität: Kommutiert A mit B, so kommutiert auch f(A) mit B.
7.2. Beweisideen
Betrachte beschränkten selbstadjungierten Operator A.
Bilde zunächst Potenzen und Polynome von A, und zeige die Eigenschaften.
Verwende den Weierstraßschen Approximationssatz.
Wenn N normal ist, so sind A = (N + N*) und B = i(N*  N) selbstadjungiert und
vertauschen miteinander. Wende das schon bewiesene auf A und B an.
7.3. Satz und Beweisideen für unbeschränkte normale Operatoren
Satz analog zum Satz für beschränkte Operatoren.
Wende den obigen Satz auf die Resolventen an.
7.4. "Diagonalisierung", Spektraldarstellung
Sei A ein normaler Operator auf H. Es gibt einen Maßraum (M, d) und eine bijektive
Isometrie V: H  L2(M, d), sodass V-1AV ein Multiplikationsoperator ist; d.h. A wird
als Multiplikation mit einer messbaren Funktion dargestellt. Der Wertebereich dieser
Funktion, bzw. der Abschluss davon, ist gleich dem Spektrum des Operators A.
23
7.5. Beispiele
Selbstadjungierte nn Matrizen
Dichte-Operatoren
Verschiebung am Gitter
7.6. Unstetige und unbeschränkte Funktionen von Operatoren
Sind über die Spektraldarstellung zu bilden.
7.7. Zerlegung des Hilbertraumes nach Maß-Typ
Direkte Summe von "pure point", absolutely continuous", "singular continuous"
7.8. Vielfachheit
Anzahl der notwendigen Summanden in der direkten Summe für eine Spektraldarstellung
N
H L2 ((A), d n )
der Form
N kann auch unendlich sein.
n 1
7.9. Beispiele
Vielfache Eigenwerte von Matrizen.
X-operator auf der Geraden ist einfach.
Kinetische Energie auf der Geraden: Zweifach
Spektrum des Wasserstoffatoms.
7.10. Spektralprojektoren
Entsprechen den charakteristischen Funktionen auf dem Spektrum.
7.11. Erzeugung unitärer Transformationen
mit selbstadjungierten Operatoren als Erzeugender:
U(t)  e iHt
7.12. Der Satz von Stone
Zu jeder stark stetigen Gruppe unitärer Operatoren U(t) gibt es einen selbstadjungierten
Operator als Erzeugender.
24
8. Gruppen, Liegruppen, Darstellungen
8.1. Def: Gruppen
Gruppenprodukt
Assoziativgesetz
Einheitselement
Inverses Element
Kommutativ (abelsch)
Diskret


Nicht kommutativ
Topologische Gr., Liegruppe
8.2. Beispiele
Spiegelung , , Punktgruppen und Raumgruppen der Festkörperphysik, Permutationen,
Galilei-, Lorentzgruppe, Matrizengruppen: O(N), SO(N), U(N), SU(N)
8.3. Homomorphismen und Darstellungen
Homomorphismus = Abbildung von einer Gruppe in eine andere, die mit der
Gruppenstruktur verträglich ist.
Unitäre Darstellung = Homomorphismus in die Gruppe der unitären Operatoren
8.4. (Aus-)Reduzieren, irreduzible Darstellung
Zerlege den Hilbertraum in Teilräume, die invariant unter der Wirkung der Gruppe sind,
und selber nicht weiter zerlegbar sind  Irreduzible Darstellungen.
8.5. Beispiel
SO(3) im L2 (³)
8.6. Untergruppen, Normalteiler, Faktorgruppe
Untergruppe = Teilmenge H von G, die schon für sich allein eine Gruppe ist.
Normalteiler = Untergruppe H von G mit der Eigenschaft:
ghg-1  H
Für alle g aus G und alle h aus H gilt
Faktorgruppe G \H = Menge der Nebenklassen gH mit dem Produkt
(g1H)(g2H) = g1g2H
8.7. Der Homomorphiesatz
Der Kern eines Homomorphismus ist ein Normalteiler. Das Bild ist isomorph zur
Faktorgruppe.
8.8. Beispiele
Raumgruppe, Gittertranslationen und Punktgruppe;
SU(2), S2 und SO(3)
8.9. Def: „Treue“ Darstellung
Wenn der Kern trivial ist, also nur das Eins-Element enthält.
25
8.10. Def: Lie-Gruppe
Gruppe mit folgenden Eigenschaften
a) Parametrisierung einer Teilmenge MU von G, die das Einheitselement enthält, mit
n
n reellen Zahlen, die eine offene Umgebung U des Nullvektors im  bilden.
Parametrisierung eindeutig und umkehrbar.
b) Es gibt eine kleinere offene Umgebung V des Nullvektors, sodass für jedes Paar
(g,h) entsprechender Gruppenelemente aus MV gilt: gh  MU .Die
entsprechende Abbildung vom Parameter-Paar zu den neuen Parametern ist stetig,
beliebig oft differenzierbar und als Taylorreihe darstellbar (also „reell-analytisch“).
c) Die Elemente aus MU erzeugen die ganze Gruppe G (bzw. die „Zusammenhangskomponente“).
Eine lineare Lie-Gruppe ist eine Lie-Gruppe mit treuer Darstellung durch endlichdimensionale Matrizen.
8.11. Beispiele
a)
b)
c)
d)
SO(2)
SO(3), Eulersche Winkel
SU(2)
Euklidische Gruppe, = semidirektes Produkt von SO(3) mit der Gruppe der Translationen.
8.12. Def: Erzeugende Elemente
Entstehen durch differenzieren. Erzeugende der (unitären) einparametrigen Untergruppen.
8.13. Beispiele
a) SO(2) und SO(3)
b) SU(2)
8.14. Def: Tangentialraum
Erzeugende Elemente kann man addieren..., bilden einen n-dimensionalen reellen Vektorraum.
8.15. Def: Lie-Klammer
Entspricht bei Matrizen-Gruppen dem Kommutator. Ist nicht gleich Null, wenn die
Gruppe nicht kommutativ ist.
8.16. Eigenschaften der Lie-Klammer
a) Antisymmetrie
b) Jacobi-Identität
8.17. .Beispiele
a) S(O3)
b) SU(2)
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