LAPLACE – Regel Baumdiagramm

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d) Jörn dreht zweimal ein Glücksrad mit drei gleich großen und mit 1,2,3
durchnummerierten Sektoren:
Ω = 1; 1 , 1; 2 , 1; 3 , 2; 1 , 2; 2 , 2; 3 , 3; 1 , 3; 2 , 3; 3
Ω =9
1
𝑃 1; 1 = 𝑃 1; 2 = β‹― = 𝑃 3; 3 =
9
LAPLACE–Regel
Für jedes Ereignis 𝐴 ⊆ Ω gilt die Rechenregel:
|𝐴|
π΄π‘›π‘§π‘Žβ„Žπ‘™ π‘‘π‘’π‘Ÿ 𝑓üπ‘Ÿ 𝐴 𝑔ü𝑛𝑠𝑑𝑖𝑔𝑒𝑛 πΈπ‘Ÿπ‘”π‘’π‘π‘›π‘–π‘ π‘ π‘’
𝑃 𝐴 =
𝑏𝑧𝑀. 𝑃 𝐴 =
|Ω|
π΄π‘›π‘§π‘Žβ„Žπ‘™ π‘Žπ‘™π‘™π‘’π‘Ÿ π‘šöπ‘”π‘™π‘–π‘β„Žπ‘’π‘› πΈπ‘Ÿπ‘”π‘’π‘π‘›π‘–π‘ π‘ π‘’
Beispiel
Für das einmalige Werfen eines idealen Würfels gilt Ω = 1,2,3,4,5,6 ; Ω = 6 sowie
!
𝑃 1 = 𝑃 2 = β‹― = 𝑃 6 = !.
a) 𝑃 π΄π‘’π‘”π‘’π‘›π‘§π‘Žβ„Žπ‘™ 𝑖𝑠𝑑 2 π‘œπ‘‘π‘’π‘Ÿ 3
b) 𝑃 π΄π‘’π‘”π‘’π‘›π‘§π‘Žβ„Žπ‘™ 𝑖𝑠𝑑 π‘’π‘›π‘”π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘’
= 𝑃 2,3
= 𝑃 1,3,5
c) 𝑃 π΄π‘’π‘”π‘’π‘›π‘§π‘Žβ„Žπ‘™ 𝑖𝑠𝑑 𝑒𝑖𝑛𝑒 π‘ƒπ‘Ÿπ‘–π‘šπ‘§π‘Žβ„Žπ‘™
!
!
=!=!
!
!
=!=!
= 𝑃 2,3,5
!
!
=!=!
!
d) 𝑃 π΄π‘’π‘”π‘’π‘›π‘§π‘Žβ„Žπ‘™ 𝑖𝑠𝑑 π‘”π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘’ 𝑒𝑛𝑑 π‘π‘Ÿπ‘–π‘š = 𝑃 2 = !
e) 𝑃 π΄π‘’π‘”π‘’π‘›π‘§π‘Žβ„Žπ‘™ 𝑖𝑠𝑑 7 = 𝑃 ∅ = 0
!
f) 𝑃 π΄π‘’π‘”π‘’π‘›π‘§π‘Žβ„Žπ‘™ 𝑖𝑠𝑑 π‘˜π‘™π‘’π‘–π‘›π‘’π‘Ÿ π‘Žπ‘™π‘  10 = 𝑃 1,2,3,4,5,6 = ! = 1
Baumdiagramm
Zufallsexperiment
Aus einer Urne mit genau drei Kugeln (2 blaue, 1 weiße) werden nacheinander ohne
zurücklegen und „auf gut Glück“ zwei Kugeln entnommen.
Gesucht:
𝑃 𝐴 = 𝑃( 𝐷𝑖𝑒 𝑀𝑒𝑖ß𝑒 𝐾𝑒𝑔𝑒𝑙 π‘€π‘–π‘Ÿπ‘‘ π‘Žπ‘™π‘  𝑧𝑀𝑒𝑖𝑑𝑒 𝐾𝑒𝑔𝑒𝑙 π‘’π‘›π‘‘π‘›π‘œπ‘šπ‘šπ‘’π‘› )
Baumdiagramm
B1: 1. Blaue Kugel
B2: 2. Blaue Kugel
W:
Weiße Kugel
Ω! π‘šπ‘–π‘‘ Ω! = 6
𝐴 = 𝐡1; π‘Š , 𝐡2; π‘Š
𝐴 =2
|𝐴| 2 1
𝑃 𝐴 =
= =
|Ω| 6 3
1. Pfadregel (Produktregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines atomaren Ereignisses ist gleich seiner
Pfadwahrscheinlichkeit (d.h. gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang
des Pfades, der dem zugehörigen Ergebnis entspricht).
2. Pfadregel (Summenregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten alle Pfade, die zu seinen zugehörigen Ergebnissen führen.
Verzweigungsregel:
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von ein und demselben
Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.
Übung
Ein Zufallsexperiment bestehe darin, dass zuerst eine Laplace-Münze, dann ein
Laplace-Würfel, anschließend ein Laplace-Tetraeder und zum Schluss nochmals
eine Laplace-Münze geworfen wird.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A mit den beiden Münzen das
Gleiche, mit dem Würfel eine gerade Zahl und mit dem Tetraeder eine Primzahl zu
werfen?
𝐴 = {𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑀ü𝑛𝑧𝑒𝑛 π‘”π‘™π‘’π‘–π‘β„Ž, π‘Šüπ‘Ÿπ‘“π‘’π‘™ π‘šπ‘–π‘‘ π‘”π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿ π‘π‘Žβ„Žπ‘™ 𝑒𝑛𝑑 π‘‡π‘’π‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘’π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘šπ‘–π‘‘ π‘ƒπ‘Ÿπ‘–π‘šπ‘§π‘Žβ„Žπ‘™}
Es handelt sich um ein vierstufiges Zufallsexperiment.
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