LAPLACE – Regel Baumdiagramm

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d) Jörn dreht zweimal ein Glücksrad mit drei gleich großen und mit 1,2,3
durchnummerierten Sektoren:
Ω = 1; 1 , 1; 2 , 1; 3 , 2; 1 , 2; 2 , 2; 3 , 3; 1 , 3; 2 , 3; 3
Ω =9
1
𝑃 1; 1 = 𝑃 1; 2 = ⋯ = 𝑃 3; 3 =
9
LAPLACE–Regel
Für jedes Ereignis 𝐴 ⊆ Ω gilt die Rechenregel:
|𝐴|
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑓ü𝑟 𝐴 𝑔ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒𝑛 𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠𝑠𝑒
𝑃 𝐴 =
𝑏𝑧𝑤. 𝑃 𝐴 =
|Ω|
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒𝑛 𝐸𝑟𝑔𝑒𝑏𝑛𝑖𝑠𝑠𝑒
Beispiel
Für das einmalige Werfen eines idealen Würfels gilt Ω = 1,2,3,4,5,6 ; Ω = 6 sowie
!
𝑃 1 = 𝑃 2 = ⋯ = 𝑃 6 = !.
a) 𝑃 𝐴𝑢𝑔𝑒𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑖𝑠𝑡 2 𝑜𝑑𝑒𝑟 3
b) 𝑃 𝐴𝑢𝑔𝑒𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑖𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒
= 𝑃 2,3
= 𝑃 1,3,5
c) 𝑃 𝐴𝑢𝑔𝑒𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑖𝑠𝑡 𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑧𝑎ℎ𝑙
!
!
=!=!
!
!
=!=!
= 𝑃 2,3,5
!
!
=!=!
!
d) 𝑃 𝐴𝑢𝑔𝑒𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑖𝑠𝑡 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑑 𝑝𝑟𝑖𝑚 = 𝑃 2 = !
e) 𝑃 𝐴𝑢𝑔𝑒𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑖𝑠𝑡 7 = 𝑃 ∅ = 0
!
f) 𝑃 𝐴𝑢𝑔𝑒𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑖𝑠𝑡 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑠 10 = 𝑃 1,2,3,4,5,6 = ! = 1
Baumdiagramm
Zufallsexperiment
Aus einer Urne mit genau drei Kugeln (2 blaue, 1 weiße) werden nacheinander ohne
zurücklegen und „auf gut Glück“ zwei Kugeln entnommen.
Gesucht:
𝑃 𝐴 = 𝑃( 𝐷𝑖𝑒 𝑤𝑒𝑖ß𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙 𝑤𝑖𝑟𝑑 𝑎𝑙𝑠 𝑧𝑤𝑒𝑖𝑡𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑛𝑜𝑚𝑚𝑒𝑛 )
Baumdiagramm
B1: 1. Blaue Kugel
B2: 2. Blaue Kugel
W:
Weiße Kugel
Ω! 𝑚𝑖𝑡 Ω! = 6
𝐴 = 𝐵1; 𝑊 , 𝐵2; 𝑊
𝐴 =2
|𝐴| 2 1
𝑃 𝐴 =
= =
|Ω| 6 3
1. Pfadregel (Produktregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines atomaren Ereignisses ist gleich seiner
Pfadwahrscheinlichkeit (d.h. gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang
des Pfades, der dem zugehörigen Ergebnis entspricht).
2. Pfadregel (Summenregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten alle Pfade, die zu seinen zugehörigen Ergebnissen führen.
Verzweigungsregel:
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von ein und demselben
Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.
Übung
Ein Zufallsexperiment bestehe darin, dass zuerst eine Laplace-Münze, dann ein
Laplace-Würfel, anschließend ein Laplace-Tetraeder und zum Schluss nochmals
eine Laplace-Münze geworfen wird.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A mit den beiden Münzen das
Gleiche, mit dem Würfel eine gerade Zahl und mit dem Tetraeder eine Primzahl zu
werfen?
𝐴 = {𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑀ü𝑛𝑧𝑒𝑛 𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ, 𝑊ü𝑟𝑓𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑡 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟 𝑍𝑎ℎ𝑙 𝑢𝑛𝑑 𝑇𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑡 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑧𝑎ℎ𝑙}
Es handelt sich um ein vierstufiges Zufallsexperiment.
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