d) Jörn dreht zweimal ein Glücksrad mit drei gleich großen und mit 1,2,3 durchnummerierten Sektoren: Ω = 1; 1 , 1; 2 , 1; 3 , 2; 1 , 2; 2 , 2; 3 , 3; 1 , 3; 2 , 3; 3 Ω =9 1 π 1; 1 = π 1; 2 = β― = π 3; 3 = 9 LAPLACE–Regel Für jedes Ereignis π΄ ⊆ Ω gilt die Rechenregel: |π΄| π΄ππ§πβπ πππ πüπ π΄ πüππ π‘ππππ πΈπππππππ π π π π΄ = ππ§π€. π π΄ = |Ω| π΄ππ§πβπ πππππ πöππππβππ πΈπππππππ π π Beispiel Für das einmalige Werfen eines idealen Würfels gilt Ω = 1,2,3,4,5,6 ; Ω = 6 sowie ! π 1 = π 2 = β― = π 6 = !. a) π π΄π’ππππ§πβπ ππ π‘ 2 ππππ 3 b) π π΄π’ππππ§πβπ ππ π‘ π’πππππππ = π 2,3 = π 1,3,5 c) π π΄π’ππππ§πβπ ππ π‘ ππππ πππππ§πβπ ! ! =!=! ! ! =!=! = π 2,3,5 ! ! =!=! ! d) π π΄π’ππππ§πβπ ππ π‘ ππππππ π’ππ ππππ = π 2 = ! e) π π΄π’ππππ§πβπ ππ π‘ 7 = π ∅ = 0 ! f) π π΄π’ππππ§πβπ ππ π‘ πππππππ πππ 10 = π 1,2,3,4,5,6 = ! = 1 Baumdiagramm Zufallsexperiment Aus einer Urne mit genau drei Kugeln (2 blaue, 1 weiße) werden nacheinander ohne zurücklegen und „auf gut Glück“ zwei Kugeln entnommen. Gesucht: π π΄ = π( π·ππ π€ππßπ πΎπ’πππ π€πππ πππ π§π€πππ‘π πΎπ’πππ πππ‘ππππππ ) Baumdiagramm B1: 1. Blaue Kugel B2: 2. Blaue Kugel W: Weiße Kugel Ω! πππ‘ Ω! = 6 π΄ = π΅1; π , π΅2; π π΄ =2 |π΄| 2 1 π π΄ = = = |Ω| 6 3 1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines atomaren Ereignisses ist gleich seiner Pfadwahrscheinlichkeit (d.h. gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der dem zugehörigen Ergebnis entspricht). 2. Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten alle Pfade, die zu seinen zugehörigen Ergebnissen führen. Verzweigungsregel: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von ein und demselben Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1. Übung Ein Zufallsexperiment bestehe darin, dass zuerst eine Laplace-Münze, dann ein Laplace-Würfel, anschließend ein Laplace-Tetraeder und zum Schluss nochmals eine Laplace-Münze geworfen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A mit den beiden Münzen das Gleiche, mit dem Würfel eine gerade Zahl und mit dem Tetraeder eine Primzahl zu werfen? π΄ = {ππππππ πüππ§ππ πππππβ, πüππππ πππ‘ πππππππ ππβπ π’ππ πππ‘ππππππ πππ‘ πππππ§πβπ} Es handelt sich um ein vierstufiges Zufallsexperiment.