Theoretische Physik IV, Feldtheorie Sommersemester 09 Blatt 7

Theoretische Physik IV, Feldtheorie
Sommersemester 09
Blatt 7
14. Kapazitätskoeffizienten
Das elektrostatische Potential φ(~r) in einem ladungsfreien Raumgebiet G erfüllt die
Laplacegleichung ∆φ = 0. Wird das Gebiet von den Oberflächen Fj leitender Körper
(j = 1, . . . , N) begrenzt, so muss das Potential zusätzlich die Randbedingungen φ(~r) =
Uj für alle ~r ∈ Fj erfüllen.
a) Warum ist das Potential innerhalb eines Leiters konstant?
b) Zeigen Sie, dass
N
X
φ(~r) =
Uj φj (~r)
j=1
die Lösung des Randwertproblems darstellt, wenn φj Lösungen der Laplacegleichung in G mit Randbedingung φj (~r) = δjk für ~r ∈ Fk sind.
c) Bestimmen Sie die Gesamtladung Qj , die sich auf dem j-ten Leiter befindet (Hinweis: Satz von Gauss), und zeigen Sie, dass diese in der Form
N
X
Qj =
Cjk Uk
k=1
mit
Cjk = −ǫ0
Z
Fj
~ · gradφk (~r)
dS
geschrieben werden kann.
d) Zeigen Sie, dass die Kapazitätskoeffizienten durch ein Volumenintegral der Form
Z
Cik = Cki = ǫ0 d3 r gradφi (~r) · gradφj (~r)
G
gegeben sind.
15. Plattenkondensator
Betrachten Sie einen Kondensator, der aus zwei planparallelen Leiterplatten
F1 und F2
√
aufgebaut ist, die beide die Fläche A haben, und deren Abstand d ≪ A so klein ist,
dass der Einfluss des Randes der Platten auf das Potential vernachlässigt werden kann.
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a) Bestimmen Sie die Hilfspotentiale φ1 (~r) und φ2 (~r) als Lösungen der Laplacegleichung in dem Raum zwischen den beiden Platten mit den Randbedingungen
φk (~r) = δkj mit ~r ∈ Fj , k, j = 1, 2 und daraus das Gesamtpotential mit den
Randbedingungen φ(~r) = Uj mit ~r ∈ Fj .
b) Berechnen Sie die Kapazitätskoeffizienten Cjk unter Verwendung der Resultate von
Aufgabe 14 und bestimmen Sie die Ladungen auf den Platten. Warum hängen
letztere nur von der Differenz V = U1 − U2 der Plattenpotentiale ab?
16. Dielektrische Kugel im elektrischen Feld
Eine homogene dielektrische Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung, Radius R und relativer
~0 =
Dielektrizitätskonstante ǫr = ǫ befinde sich in einem ohne Kugel homogenen Feld E
E0~ez im Vakuum (ǫr = 1). In der Nähe der Kugel wird das Feld dabei modifiziert,
während es weit weg von der Kugel, d.h. für einen Abstand r ≫ R, unverändert bleibt.
a) Im ladungsfreien Raum gilt ∆φ = 0. Bei Rotationssymmetrie um die z-Achse hat
das Potential dann die allgemeine Form
∞ X
βℓ αℓ r ℓ + ℓ+1 Pℓ (cos ϑ),
φ(r, ϑ) =
r
l=0
mit den Legendre-Polynomen Pℓ . Welche Koeffizienten müssen im Außenraum verschwinden, damit das Potential im Unendlichen mit dem ohne Kugel übereinstimmt?
Welche Koeffizienten müssen im Inneren verschwinden, damit keine Divergenzen
auftreten?
b) Die verbleibenden Entwicklungkoeffizienten des Potentials lassen sich nun mit Hilfe
~ und D
~ auf der Kugeloberfläche bestimmen.
der Grenzbedingungen für die Felder E
Zeigen Sie zunächst, dass
~ tangential = − 1 ∂φ(R, ϑ) ~eθ
E
R ∂ϑ
und
1 ∂φ(R, ϑ)
R ∂ϑ
beim Durchgang durch die Kugeloberfläche stetig sind, wobei im Inneren ǫr = ǫ
und im Außenraum ǫr = 1 gilt. Bestimmen Sie aus der Forderung nach Stetigkeit
dieser Komponenten die verbleibenden Entwicklungskoeffizienten. Unterscheiden
Sie die Fälle ℓ = 0, ℓ = 1 und ℓ ≥ 2. Wie lautet somit das elektrische Potential?
Interpretieren sie das Ergebnis.
Dnormal = −
c) Was ergibt sich für die Polarisationsoberflächenladungsdichte?
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