Klausurvorbereitung für die Semesterferien

Klausurvorbereitung für die Semesterferien
- 20 Aufgaben Sebastian Heger, B.Sc. - SoSe 2010
Mathematik für Informatiker II“ bei Prof. Dr. J. Baumeister
”
Aufgabe 1. (Mengenbeweise)
Seien A,B,C beliebige Mengen. Zeigen sie:
(a) A \ B = A \ (A ∩ B)
(b) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
Hierbei ist A \ B := {x | x ∈ A & x ∈
/ B}.
Aufgabe 2. (vollständige Induktion I)
Beweisen sie für alle n ∈ N:
(a)
Pn
= 2(k+1) − 1
(b)
Pn
n2 (n+1)2
4
(c)
Pn
=1−
k
k=0 2
3
k=1 k =
1
k=1 k(k+1)
1
n+1
Aufgabe 3. (vollständige Induktion II)
Beweisen sie für alle n ∈ N mit n ≥ 4 folgende Ungleichung: 2n ≤ n!
Aufgabe 4. (rekursive und explizite Darstellung I)
Es sei folgende rekursive Gleichung gegeben: y1 := 2 , yn+1 = (n + 4)yn
Zeigen sie, dass yn =
(n+3)!
12
die Rekursionsgleichung löst.
1
Aufgabe 5. (rekursive und explizite Darstellung II)
Es sei folgende rekursive Gleichung gegeben: x1 := − π2 , xn+1 = − π2 sin (xn )
Zeigen sie, dass xn = π2 (−1)n die Rekursionsgleichung löst.
Aufgabe 6. (Äquivalenzrelationen I)
Es sei folgende Relation G über den natürlichen Zahlen R gegeben:
G := {(a, b) ∈ N × N | (−1)a = (−1)b }
Zeigen sie, dass G eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 7. (Äquivalenrelationen II)
Überprüfe, ob es sich bei folgender Definition um eine Äquivalenzrelation handelt:
x∼y
:⇐⇒
ggT (x, y) ≥ 2 ;
(x, y) ∈ N≥2 × N≥2
Hierbei meint N≥2 alle natürlichen Zahlen größer gleich 2.
Aufgabe 8. (Ordnungsrelationen)
Prüfen sie, ob es sich bei folgender Definition um eine Halbordnung handelt:
(x1 , x2 ) (y1 , y2 )
:⇐⇒ x1 + x2 ≤ y1 + y2
;
(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ N × N
Liegt möglicherweise auch eine Ordnung vor? Begründen sie ihre Antwort!
2
Aufgabe 9. (Grenzwerte)
Berechnen sie die Grenzwerte der Folgen.
(a) an :=
(2−n)2
2n2 −1
(b) bn := (1 + n1 )n
n3
,
n∈N
,
n∈N
,
n∈N
(c) cn :=
3n2 −2n3
(d) dn :=
3n+1 −1
3n
n∈N
,
Aufgabe 10. (Kongruenzgeneratoren)
Betrachte folgenden linearen Kongruenzgenerator xi+1 = (axi +b) mod m ; i ∈ N mit a = 43,
b = 15 und m = 21.
(a) Berechne zum Startwert x0 = 2 die nächste Zahl x1 .
(b) Hat der Generator maximale Periodenlänge? Begründen sie ihre Antwort!
Aufgabe 11. (euklidischer Algorithmus)
Gegeben sei a = 561 und b = 715.
(a) Berechnen Sie ggT(a,b).
(b) Bestimmen sie s, t ∈ Z so, dass sa + tb = ggT (a, b).
(b) Gibt es auch s0 , t0 ∈ Z derart, dass s0 a + t0 b = 22?
Aufgabe 12. (Restklassenrechnen)
Sei m=11. Finden sie eine Lösung der Gleichung: [5] [x] = [1]
Geben sie eine weitere Lösung der Gleichung an. Begründen sie ihre Antwort!
3
Aufgabe 13. (Extremstellen I)
Bestimmen sie das Maximum und das Infimum der folgenden Menge A:
A := {(−1)m +
1
n
| m, n ∈ N}
Aufgabe 14. (Extremstellen II)
Bestimmen sie das Maximum und Minimum der folgenden Menge B:
B := { n1 (−1)n
| n ∈ N}
Aufgabe 15. (Permutationen)
Berechnen sie die Anzahl der Fehlstände, die Ordnung sowie die Inverse folgender Permutationen:
!
1 2 3 4 5
(a) π =
4 1 2 5 3
!
1 2 3 4 5
(b) φ =
1 4 5 2 3
Welche Permutation kann als Hintereinanderausführung von 2 Transpositionen geschrieben
werden? Begründen sie ihre Antwort!
Aufgabe 16. (Gruppenstruktur)
Prüfen sie, ob folgende Permutationen jeweils eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung bilden:
!
!
!
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(a) V1 = {
,
,
}
1 2 3
2 3 1
3 1 2
!
!
!
!
!
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
(b) V2 = {
,
,
,
}
1 2 3 4
1 4 2 3
4 2 1 3
4 1 3 2
3 1 2 4
Betrachte hierzu nur, ob die Inversen wieder selbst in der Menge enthalten sind.
4
Aufgabe 17. (Wahrscheinlichkeiten I)
In einer Urne befinden sich 2 schwarze, 3 rote und 4 gelbe Kugeln. Wir ziehen 3x ohne
Zurücklegen.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist jede Farbe einmal vertreten? (Reihenfolge spielt
keine Rolle)
(b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man zwei schwarze und eine rote?
(c)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine gelbe Kugel dabei?
Aufgabe 18. (Wahrscheinlichkeiten II)
In einer Urne befinden sich 1 blaue und 3 grüne Kugeln. Wir ziehen 3x mit Zurücklegen.
Allerdings legen wir nach jedem Zug nicht nur die gezogene Kugel zurück, sondern zusätzlich
eine weitere Kugel der gezogenen Farbe.
(a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man drei blaue Kugeln?
(b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man die Kombination grün/blau/grün?
Aufgabe 19. (bedingte Wahrscheinlichkeiten)
Die Druckmaschine in einer Zeitungsdruckerei produziert täglich 5% fehlerhafte Zeitungen.
In der Endkontrolle werden 95% dieser Mängelexemplare aussortiert, allerdings auch 1% der
richtig gedruckten Zeitungen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein in der Endkontrolle aussortiertes Exemplar tatsächlich
fehlerhaft?
Aufgabe 20. (Betrachtung von Funktionen)
Prüfe mit Beweis oder Gegenbeispiel folgende Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und
Bijektivität.
(a)
f1 : N → N , n 7→ 2n
(b)
f2 : R → R , x 7→ x3 − 3x
(c)
f3 : Z → Z × Z , x 7→ (5 − x, x5 − 1)
(d)
f4 : N × N → Z , (n, m) 7→ 2n − m
5