Theoretische Mechanik für Bachelor (T1) Sommersemester 2012

Theoretische Mechanik für Bachelor (T1)
Sommersemester 2012
Blatt 4
Abgabetermin: Freitag 18.05.2012 (bis 12 Uhr)
Abgabeort: Kästen in der Theresienstr. 37, 3. Stock
Hinweis zu den Übungen: Es wurden ein neuer Übungstermin eingeführt.
Dafür wurde die Gruppe 13 wie angegeben verlegt.
Gruppe 13: Di. 12 - 14 Uhr in Raum B004, (bisher Fr. 14-16 Uhr)
Aufgabe 4.1: (4 Punkte)
Gegeben seien zwei Punkte ~a und ~b im Rn . Stellen Sie ein Funktional
S[~x] auf, dessen Wert der Länge der Kurve ~x(t), mit ~x(0) = ~a und
~x(1) = ~b entspricht. Minimieren Sie dieses Funktional und zeigen Sie,
dass der minimale Abstand zwischen ~a und ~b einer geraden Verbindungsstrecke entspricht.
Aufgabe 4.2: (4 Punkte) Betrachten Sie zwei Medien mit Brechungsindex
n1 und n2 , die eine gerade Begrenzungsfläche zueinander haben (in
einem Medium mit Brechungsindex n breitet sich Licht mit Geschwindigkeit c0 /n aus, wobei c0 der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum entspricht). Von einem Punkt in Medium 1 mit Brechungsindex n1 wird
ein Lichtstrahl ausgesandt, der von einem weiteren Punkt in Medium
2 mit Brechungsindex n2 empfangen wird.
Das Fermatsche Prinzip besagt, dass Licht zwischen zwei Punkten denjenigen Weg nimmt, auf dem seine Laufzeit gegenüber kleinen Variationen des Weges stationär ist.
Nutzen Sie das Fermatsche Prinzip, um das snelliussche Brechungsα
= nn21 abzuleiten. α bezeichnet hierbei den ’Einfallswinkel’
gesetz sin
sin β
des Lichtstrahls, d.h. den Winkel zwischen dem Lichtstrahl und der
Normalen zur Begrenzungsfläche in Medium 1, während β den ’Ausfallswinkel’ bezeichnet, also den Winkel zwischen dem Lichtstrahl und
der Normalen zur Begrenzungsfläche in Medium 2.
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Aufgabe 4.3: ( 6 Punkte)
Geodäten beschreiben die kürzesten Verbindungswege zweier Punkte.
In Aufgabe 4.1 haben Sie nachgewiesen, dass Geodäten im Rn durch
gerade Strecken gegeben sind.
(a) Nutzen Sie ein Streckenfunktional wie in Aufgabe 4.1, um die
Geodäten auf einer Zylinderoberfläche zu bestimmen. Es ist also die Funktion z(φ) gesucht, wobei φ den Polarwinkel und z die
Symmetrierichtung des Zylinders bezeichne, die die kürzeste Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Zylinder beschreibt. (Benutzen Sie Zylinderkoordinaten.)
(b) Weisen Sie nach, dass die Geodäten auf einer Kugeloberfläche
durch einen Abschnitt eines Großkreises gegeben sind. Ein Großkreis ist der größtmögliche Kreis auf einer Kugeloberfläche. Hierfür
ist es sinnvoll, das Koordinatensystem so zu wählen, dass die beiden Punkte auf dem Äquator liegen; der Polarwinkel ist in diesem
Fall konstant. (Benutzen Sie sphärische Koordinaten.)
(c) Diskutieren Sie qualitativ, ob es in den beiden Beispielen weitere
lokale Minima des Streckenfunktionals gibt.
Aufgabe 4.4: (6 Punkte)
Die durch die Erdrotation verursachte Corioliskraft kann experimentell
durch ein Foucault’sches Pendel nachgewiesen werden. Wir begeben
uns dazu an einen Ort auf der Erdoberfläche, der durch die Kugelkoordinaten θ und φ (Breiten- und Längengrad) charakterisiert wird. Hier
hängen wir ein Pendel der Länge l auf, das im Gravitationsfeld kleine
(bezüglich l) Schwingungen ausführt.
(a) Wir wählen nun ein Nicht-Inertialsystem mit euklidischen Koordinaten (x, y, z), so dass die x-Achse in θ- und die y-Achse in φRichtung zeigen. Leiten Sie in der Kleinwinkelnäherung mit Hilfe
des Ergebnisses aus Aufgabe 3.2 die Bewegungsgleichungen für
die x- und y- Koordinaten des Pendels her. (Die z-Koordinate
kann in dieser Näherung als konstant angenommen werden. Zudem können die Bahnbewegung der Erde um die Sonne, sowie die
Zentrifugalkraft hier vernachlässigt werden.)
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Hinweis: Sie sollten
ẍ + Ω2 x = 2ωz ẏ
ÿ + Ω2 y = −2ωz ẋ
(1a)
(1b)
erhalten. Hierbei ist die Konstante Ω durch l und die Erdbeschleunigung g bestimmt, ω
~ bezeichnet die Winkelgeschwindigkeit der
Erdrotation.
(b) Zeigen Sie, dass
x(t) = A cos(ωz t) cos(Ω̄t)
y(t) = −A sin(ωz t) cos(Ω̄t)
(2a)
(2b)
mit Ω̄2 := ωz2 + Ω2 die Differentialgleichungen (1) löst. Hier ist A
eine beliebige reelle Konstante.
(c) Diskutieren Sie das Ergebnis (2) für ωz Ω, insbesondere welchen
Einfluss der Breitengrad θ auf die Bewegung hat.
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