1 Übungsaufgaben „Mathematik 3“ MST Blatt 6 Lineare

Übungsaufgaben
„Mathematik 3“
MST
Blatt 6 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung (V.d.K und Zerlegungssatz)
Prof. Dr. B.Grabowski
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I.
TdV und VdK
Aufgabe 1)
Lösen Sie folgende Differentialgleichungen und AWP durch
T.d.V und die Methode der Variation der Konstanten (V.d.K)
a) y '+2 y = e − x , y(0)=0
b) 3y’ + 2y = x
c) y '+2 y = e −2 x
Aufgabe 2)
Der Spannungsverlauf uc(t) am Kondensator im in der Skizze dargestellten Tiefpass lässt sich
durch folgende Differentialgleichung beschrieben:
RCu& C (t ) + u C (t ) = u a (t )
Lösen Sie die Dgl nach uC(t) für folgendes Anfangswertproblem:
Der Kondensator ist zur Zeit t=0 entladen: uC(0) = 0 und es wird eine konstante Spannung
ua(t) = S angelegt.
Skizzieren Sie den Verlauf der Spannungskurve uC(t).
Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe mittels V.d.K!
Aufgabe 3)
Durch die Differentialgleichung erster Ordnung mv& + kv = mg (vo < mg/k) wird die
Sinkgeschwindigkeit v=v(t) eines Teilchens der Masse m in einer Flüssigkeit beschrieben
(k:Reibungsfaktor, g:Erdbeschleunigung).
a)
b)
c)
d)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dgl.. durch VdK
Wie lautet die spezielle Lösung für den Anfangswert v(0)=vo ?
Welche Geschwindigkeit vmax kann das Teilchen maximal erreichen?
Skizzieren Sie den Verlauf der Geschwindigkeitskurve v(t) für das
Anfangswertproblem v(0)=vo (vo < mg/k).
Aufgabe 4)
Ein Körper besitze zur Zeit t = 0 die Temperatur T0 und werde in der Folgezeit durch
vorbeiströmende Luft der konstanten Temperatur TL gekühlt ( TL < T0 ). Der Abkühlungsprozess wird dabei nach Newton durch die Differentialgleichung
dT
(a > 0)
= − a (T − TL )
dt
beschrieben (a: Konstante). Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Körpertemperatur T für
den Anfangswert T (0) = T0 und skizzieren Sie die Temperaturkurve. Gegen welchen Endwert
strebt die Körpertemperatur?
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II.
Der Zerlegungssatz
Aufgabe 5)
Im dieser Aufgabe soll lediglich e i n e einzige spezielle Lösung der Dgl. ermittelt werden.
Das macht man in 2 Schritten:
1. „Scharfes Draufschauen auf die Störfunktion und Wahl einen passenden Ansatz für die
spezielle Lösung“
2. Bestimmung von unbekannten Parametern in diesem Ansatz durch Einsetzen des
Ansatzes in die Dgl..
Will man eine spezielle Lösung yp(x) für eine Dgl. bestimmen, so macht man zunächst einen
Ansatz für den passenden Typ der Lösung yp(x). Dieser Ansatz hängt vom Typ der Störfunktion
g(x) ab.
Ist die Störfunktion eine Gerade, so ist der Typ des Lösungsansatzes yp(x) ebenfalls eine
Gerade : Ansatz : yp(x) =ax+b. Die Parameter a und b bestimmt man durch Einsetzen des
Ansatzes in die Dgl. und Koeffizientenvergleich, d.h. durch Probieren, für welche a und b die
Dgl. erfüllt ist.
Überlegen Sie sich zunächst, welchen Typ die spezielle Lösung hat (Polynom, Schwingung, eFunktion), machen Sie dazu einen entsprechenden parametrischen Ansatz und bestimmen Sie
dan die Parameter durch Einsetzen des Ansatzes in die Dgl. !
Zur Unterstützung finden Sie im Anhang an dieses Übungsblatt eine Ansatz-Tabelle.
a) 2y’ - y = x
b) 2y’ - y = e-2x c) 2y’ - y = sin(2x)
d) 2y’ - y = x + ex
Hinweis zu
d): Wenn die Störfunktion f(x) = f1(x) + f2(x) ist und f1(x) und f2(x) unterschiedlichen Typs
sind, (z.B. f1(x) ist eine Schwingung und f2(x) ein Polynom), so muss
man zunächst für jede Funktion f1(x) und f2(x) den passenden Ansatz y1p(x) und y2p(x)
machen, der dann im Gesamtansatz für yp(x) addiert wird: yp(x) = y1p(x)+y2p(x)!
Aufgabe 6)
Inhomogene lineare Dgl. kann man durch den folgenden sogenannten Zerlegungssatz
bestimmen:
Satz (Zerlegungssatz):
Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Dgl
ay ' ( x) + by ( x) = g ( x)
hat die Gestalt:
yin hom ( x) = y hom ( x) + y p ( x) .
Dabei sind y p (x) eine einzige beliebige spezielle Lösung der o.g. inhomog. Dgl. und y hom ( x)
die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ay ' ( x) + by ( x) = 0 .
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Lösen Sie folgende Differentialgleichungen durch Anwendung des Zerlegungssatzes, d.h.
bestimmen Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Dgl. und eine spezielle
Lösung der inhomogenen Dgl. und addieren Sie beides!
a) 2y’ - y = x
b) 2y’ - y = e-2x c) 2y’ - y = sin(2x)
d) 2y’ - y = x + ex
Aufgabe 7)
Lösen Sie Aufgabe 3) unter Anwendung des Zerlegungssatzes!
Aufgabe 8)
Lösen Sie Aufgabe 4) unter Anwendung des Zerlegungssatzes!
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Anhang :
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