Anwendung elementarer Rechengesetze

Inhaltsverzeichnis
1
Aufgabe 1
Man begründe die in der folgenden Zeile vorgenommenen Umformungen.
1.1
Zeile 1
1−x
x
1−x
x
1
x
1+x
−
=1+
−
= 1−
−
=1−
=0
2
x −1 x+1
(x + 1)(x − 1) x + 1
x+1 x+1
x+1
Die nachfolgenden Gesetze beziehen sich auf Zeile 1. Sie erläutern die darin vorgenommenen
Umformungen.
1+
Es gilt für alle reellen Zahlen a und b mit a, b 6= 0:
a − b = −(b − a)
a
1 −a
a
= ,
=−
a·b
b b
b
Beispiel in Zeile 1:
1−x
−(x − 1)
x−1
1
=
=−
=−
(x + 1) · (x − 1)
(x + 1) · (x − 1)
(x + 1) · (x − 1)
x+1
Es gilt für alle reellen Zahlen a, b, c mit c 6= 0
a b
a+b
+ =
, −a = +(−a), −a − b = −(a + b), a + b = b + a
c c
c
1
x
−1
(−x)
(−1) + (−x)
−(1 + x)
1+x
Beispiel in Zeile 1: −
−
=
+
=
=
=−
x+1 x+1
x+1 x+1
x+1
x+1
x+1
2
Aufgabe 2
Man begründe die in der folgenden Zeile vorgenommenen Umformungen.
2.1
Zeile 2
p
p
√
3
(a − b)3 (a + b)4 = 3 (a − b)3 (a + b)3 (a + b) = (a2 − b2 ) 3 a + b
Die nachfolgenden Gesetze beziehen sich auf Zeile 2. Sie erläutern die darin vorgenommenen
Umformungen.
Zeile 2 verwendet folgende Wurzelgesetze und Potenzgesetze:
Für beliebige positive reelle Zahlen a, b und natürliche Zahlen n, m gilt
(1) an · am = an+m
Beispiel: (a + b)4 = (a + b)3 · (a + b)
(2) an · bn = (a · b)n
1
Beispiel:
(a − b)3 · (a + b)3 = ((a − b) · (a + b))3
Für die Wurzelgesetze wird angenommen, dass n > 1 gilt
(3)
√
√ √
n
a·b= na· nb
Dabei sei vorausgesetzt, dass alle vorkommenden Wurzelausdrücke definiert sind.
Für die dritte Wurzel gelten die Gesetze für alle reellen Zahlen, wenn man die Definition der
dritten Wurzel aus einer negativen Zahl zulässt.
Beispiel:
p
p
p
√
3
(a − b)3 · (a + b)3 · (a + b) = 3 ((a − b) · (a + b))3 · (a + b) = 3 ((a − b) · (a + b))3 · 3 a + b
(4)
√
n
an = a, falls a ≥ 0 gilt.
Für beliebige reelle Zahlen a und beliebige n-te Wurzeln muss man Fallunterscheidungen
machen.
Für die zweite Wurzel gilt
√
a2 = |a|.
Für die dritte Wurzel ist das Ergebnis
aus negativen reellen Zahlen zulässt.
√
3
a3 = a, falls man die Definition der dritten Wurzel
Beispiel:
p
3
((a − b) · (a + b))3 = (a − b) · (a + b)
Diese Gesesetze ergeben insgesamt für die zu untersuchenede Zeile 1:
p
p
3
(a − b)3 · (a + b)3 · (a + b) = 3 ((a − b) · (a + b))3 · (a + b)
=(a − b) · (a + b) ·
√
3
a+b
Den Ausdruck a2 − b2 erhält man durch Ausmultiplizieren von
(a − b) · (a + b).
Beweis: (a − b) · (a + b) = a2 − a · b + a · b − b2 = a2 − b2
2
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1 Aufgabe 1
1.1 Zeile 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2 Aufgabe 2
2.1 Zeile 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
3