Praktikumsblatt 3 File - Moodle Lernplattform der ZHAW

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Gruppenarbeit Energie, Stösse und Drehimpuls
Abzugeben bis Woche vom 23. November
Der geschätzte Zeitaufwand wird bei jeder Teilaufgabe mit Sternen ⊛ angegeben. Je mehr Sterne eine Aufgabe besitzt, desto grösser ist der geschätzte
Zeitaufwand. Dabei wird angenommen, dass man die früheren Aufgaben gelöst
hat und die dort erhaltenen Programme resp. Methoden beherrscht.
Benutzen sie zur Erstellung aller Graphen das Programm gnuplot und erstellt bei jeder Aufgabe, bei welcher ein VBA Programm verlangt wird, ein
Nassi-Shneiderman-Diagramm.
1. Stoss und Energieübertrag(⊛)
Betrachten den Stoss eines Teilchens der Masse m1 mit dem eines Teilchens
der Masse m2 = k · m. Die Geschwindigkeiten vor dem Stoss seien durch
v1 = v und v2 = −4v gegeben. Wieviel Prozent der Gesamtenergie besitzt
das Teilchen 1 nach dem Stoss? Skizziere den Graphen dieser Funktion
in Abhängigkeit von k. Hat die Funktion ein Maximum oder Minimum
(f ′ (k) = 0)?
2. Bahn eines Teilchens beim Fall im Gravitationsfeld
Der senkrechte Fall eines Körpers unter dem Einfluss der Schwerkraft wird
23
√
2 durch r(r) = 23 3 C − 2Gmt
beschrieben. Dabei ist r der Abstand
zum Erdmittelpunkt.
Hinweis: Potentielle Energie ist hier durch
schwindigkeit ist durch dr
dt gegeben.
−Gm1 m2
r
gegeben und die Ge-
(a) Zeige, dass das Newton’sche Axiom F~ = m · ~a erfüllt ist.(⊛)
(b) Berechne zuerst die durchschnittliche Geschwindigkeit. Wo ist diese
Maximal und welchen Wert nimmt sie an.(⊛)
(c) Berechne die gesamte Energie und zeige dass die Energie erhalten
ist.(⊛)
3. Stösse
(a) Bestimmen des Rollwiderstandes
Wir betrachten einen vollkommen elastischen Stoss mit Rollwiderstand.
2
i. Theorie(⊛⊛)
Betrachte einen Körper der sich auf einem Tisch unter dem Einfluss der Schwerkraft fortbewegt. Berechne als erstes den Energieverlust aufgrund der Reibung, falls der Körper eine Strecke
L zurücklegt. Im Experiment lassen wir einen von links einfahrenden Wagen der Masse (m1 ) auf einen stehenden Wagen der
Masse (m2 = m1 + ∆m) aufprallen. Wir messen beim Experiment die Geschwindigkeiten des Wagens 1 vor und nach dem
Stoss und diejenige des Wagens 2 nach dem Stoss mithilfe von
Lichtschranken Die Lichtschranken weisen einen Abstand L auf
und wir platzieren den Wagen 2 so, dass der Stoss nach der Strecke L/2 erfolgt (siehe Skizze unten). Berechne nun den Energieverlust bei diesem Stoss welchen wir mithilfe der Lichtschranken
messen sollten.
ii. Experiment(⊛)
Bestimme den Rollwiderstandskoeffizient mithilfe der Energieverlustes, indem du verschiedene Massen auf den Wagen 2 auflegst.
Abbildung 1: Anordnung des Experiments
(b) Inelastischer Stoss
Betrachte 2 Massen m1 und m2 mit den den Geschwindigkeiten v1
und v2 . Diese stossen zusammen, bleiben dabei aneinander kleben
und bewegen sich so weiter fort.
i. Theoretische Betrachtung (⊛)
Berechne nun einmal die Geschwindigkeit nach dem Stoss, falls
(a) die Energie erhalten ist und (b) falls der Impuls erhalten ist.
Schliessen sie durch Wahl des Spezialfalles m1 = m2 und v1 =
−v2 darauf, welchen Fall den inelastischen Stoss beschreibt.
ii. Experiment (⊛⊛)
Benutze die Luftkissenbahn um zu zeigen, dass die oben gefundene Relation für inelastische Stösse bei v2 = 0 gültig ist. Benutze
dazu verschiedene Geschwindigkeiten von Wagen 1 und hänge
eine bestimmte Masse an Wagen 2.
4. Energie(⊛⊛)
Betrachte einen Keil aus Holz (Höhe = 0.3m, Breite m = 0.8kg, Länge L
und Dichte ρ = 900kg/m3 ) den man mit der Spitze nach unten ins Wasser
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(ρW = 1000kg/m3 ) wirft. Aus welcher Höhe muss man ihn loslassen, dass
er ganz eintaucht?
Tipp: Man muss alles über die Energieerhaltung rechnen.
5. Bewegung einer Masse auf einer Bahn
Wir betrachten hier die Bewegung einer Massenpunktes auf einer Bahn
unter der Wirkung der Gravitation.
(a) Energieerhaltung(⊛)
Ein Masseteilchen bewege sich auf einer Bahn die durch die Funktion y(x) = x3 − x gegeben ist unter dem Einfluss der Schwerkraft.
Es sollte klar sein, dass die Geschwindigkeit in y−Richtung abhängig
von der Geschwindigkeit in x−Richtung ist. Berechne in einem ersten Schritt den Betrag der Geschwindigkeit und benutze in einem 2.
Schritt dieses Resultat und die Energieerhaltung um die Änderungsrate der Position (ẋ) in Abhängigkeit der Position und der Energie
zu berechnen.
(b) Berechnen der Bahn(⊛)
Die Beschleunigung der Masse m in x−Richtung ist durch ẍ(t) =
g−3·gx2 +6·x·ẋ2 −18x3 ẋ2
gegeben. Berechne mithilfe eines VBA Program2−6x2 +9x4
mes die Bahn eines Teilchens auf dieser Parabel mit den Anfangsbedingungen x0 = 1.1 und ẋ0 = 0.63. Verifiziere mithilfe des Programmes die Energieerhaltung.
6. Kreisbewegung
Betrachte ein Teilchen mit der Geschwindigkeit ~v .
(a) Zeige, dass eine Kraft F~ , welche senkrecht zur Geschwindigkeit wirkt,
die Energie eines Teilchens nicht ändert.(⊛)
~ ohne
(b) Schliesse daraus, dass ein Elektron im homogenen Magnetfeld B
äussere Krafteinwirkung sich auf einer Kreisbahn bewegt. Die Kraft,
welche das Elektron mit der Ladung q erfährt ist durch die Lorentz~ gegeben.(⊛⊛)
kraft F~ = q~v × B
7. Rotationsbewegung
(a) Das Trägheitsmoment I wird, wie im Skript gezeigt, folgendermassen
berechnet.
N
P
mi ri2
I=
i=1
Für eine kontinuierliche Massenverteilung wird die Summe durch ein
Integral ersetzt.
4
I=
Rr1
m(r)r2 dr
r0
Berechne das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders mit Innenradius R4 und Aussenradius R und Höhe h, bei welchem die Dichte in
Abhängigkeit des Radius durch ρ(r) = ρ0 rR5 gegeben ist, für die
Rotation um die Symmetrieachse mithilfe der Integrale.(⊛⊛)
8. Bestimmung des Trägheitsmomemtes
Wir bestimmen das Trägheitsmoment des Körpers (Zylinder oder Kugel)
indem wir diesen Körper eine schiefe Ebene herunterrollen lassen.
(a) Bestimmung der Bewegungsgleichung (⊛)
Bestimme die Geschwindigkeit des Zylinders resp. der Kugel unter
der Annahme, dass sich das Trägheitsmoment des Körpers als I =
βmr2 schreiben kann. Betrachte dazu die Energieerhaltung. Leite
anschliessend die erhaltene Geschwindigkeit nach der Zeit ab, um die
Beschleunigung zu erhalten. Damit lässt sich einen Ausdruck für s(t)
berechnen.
(b) Bestimmung der Koeffizienten (⊛)
Bestimme mithilfe einer schiefen Ebene den Koeffizient β von 2 verschiedenen Zylindern, einem Hohlzylinder und einer Kugel.
9. SO2 Molekül
(a) Betrachte ein SO2 Molekül, bei welchem der Abstand des S-Atoms
von den O-Atomen 143 · 10−12 m beträgt. Der Bindungswinkel zwischen den Sauerstoffatomen betrage 119◦ . Zur Vereinfachung gebe
ich euch die Positionen der Atome an.
− cos(119)
143
0
10−12 m
10−12 m, ~rO2 = 143
, ~rO1 =
sin(119)
0
0
Berechne die Trägheitsmomente dieses Moleküls.(⊛)
~rN =
(b) Quantenmechanisch ist die Energie bei einer Rotation ungefähr durch
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E = 8πh2 I J(J + 1) gegeben, wobei J die Rotationsquantenzahl ist.
Quantenmechanisch gilt die Auswahlregel ∆J = ±1. Berechne bei
welchen Wellenlängen Absorption auftritt, für die Übergänge von J =
1 nach J = 2 und von J = 2 nach J = 3. (⊛)