Inhalte GW8 - am Hanns-Seidel

Grundwissen Klasse 8
1.
2. Der Kreis
Umfang:
Funktionen
1.1. Definition
Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem x der
Definitionsmenge D eindeutig ein y der Wertemenge
W zuordnet.
f :x
y  f (x)
1.2. Die direkte Proportionalität
Zwei Größen x und y sind genau dann direkt
proportional, wenn
 zum n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y
gehört.
 die Wertepaare quotientengleich sind.

y  c  x gilt (mit c = konstant).



Flächeninhalt:
A  r
2
Kreiszahl   3,14
3. Lineare Gleichungssysteme
Beispiel:
 I  4x  2y  2   I '  y  2x  1
(Gerade g)
 II 
(Gerade h)
x  y  4   II '  y   x  4
das x-y-Diagramm eine Ursprungsgerade ist.
1.3. Die indirekte Proportionalität
Zwei Größen x und y sind genau dann indirekt
proportional, wenn
 zum n-fachen Wert von x der n1 -fache Wert von y

U  2  r
gehört.
die Wertepaare produktgleich sind.
c
y  gilt (mit c = konstant).
x
das x-y-Diagramm eine Hyperbel ist.
Lösungsverfahren:
 Gleichsetzverfahren:
 I '    II ' 
 II '  in  I 
 I   2   II 

Einsetzverfahren:

Additionsverfahren:

Graphisch: Schnitt der Geraden g und h
1.4. Lineare Funktionen
Funktionsgleichung y  m  x  t
Der Graph ist eine Gerade g mit
m: Steigung der Geraden
t: y-Achsenabschnitt
Beispiel:
y  1, 5  x  2
Lösungsmenge: L  1; 3
Anzahl der Lösungen
Genau eine
Keine
Unendlich viele
Graphische Deutung
Geraden schneiden sich
Geraden sind parallel
Geraden sind identisch
4. Stochastik
Die Menge  aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments
nennt man den Ergebnisraum  .
Sind alle Ergebnisse des Zufallsexperiments gleich
wahrscheinlich, so spricht man von einem
Laplace-Experiment.
Beispiel: Zweimaliges Werfen einer Münze mit der
Aufschrift Wappen (W) und Zahl (Z).
  WW, WZ, ZW, ZZ
m
y
x

3
 1, 5
2
t  2 (y  Achsenabschnitt)
Der Ergebnisraum  besteht hier aus vier
gleichwahrscheinlichen Ergebnissen; es handelt sich also
um ein Laplace-Experiment.
Eine beliebige Teilmenge von  bezeichnet man als
Ereignis A.
©Hanns-Seidel-Gymnasium Hösbach 2011
Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten:
6.2. Rechenregeln
Es gelten folgende Potenzgesetze:
P( A) 

Gleiche
Basis
Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis A eintritt
Anzahl aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments

"Anzahl der günstigen Ergebnisse"
"Anzahl der möglichen Ergebnisse"
5.
, x31 , xx1 , aa23
Für die Variablen dürfen keine Zahlen eingesetzt
werden, für die der Nenner Null wird. Die Menge aller
Zahlen, die man für eine Variable einsetzen darf, heißt
Definitionsmenge D.
5.2. Bruchfunktionen
Beispiel:
a :a  a
m
n
m
mn
a
a 
m
n
m
m
m
: bm   a : b 
a
m
mn
6.3. Die wissenschaftliche Schreibweise
Mit Hilfe von Zehnerpotenzen lassen sich Zahlen mit
sehr großem bzw. mit sehr kleinem Betrag
übersichtlich darstellen, z.B.:
5.1. Bruchterme
Bei Bruchtermen treten Variable im Nenner auf.
3
x
Quotient
Potenz
Bruchterme und Bruchgleichungen
Beispiele:
a a  a
n
a  b  a  b
mn
Produkt
m
Gleicher Exponent
45 000 000  4, 5  10
oder 0, 00051  5,1  10
7
4
Für den Betrag a des Faktors vor der Zehnerpotenz gilt
hierbei 1  a  10 .
7.
Strahlensatz und Ähnlichkeit
7.1. Die V-Figur
x1  x 2
x1
1. Strahlensatz:
2. Strahlensatz:
z2
z1


x1  x 2
x1
x1
x3

y1
y3

x1
x3
,
y1  y2
y1
,
z2
z1
z1
z3


y1  y2
y1
7.2. Die X-Figur
Die Asymptoten liegen bei x = 2 (senkrecht)
und bei y = 3 (waagrecht)
5.3. Bruchgleichungen
Beispiel zum Lösen einer Bruchgleichung:
1. Strahlensatz:
2. Strahlensatz:
Wichtig ist hier das Multiplizieren mit dem
Hauptnenner im ersten Schritt!
6.
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
6.1. Definition
z1
z3
y1
y3
7.3. Ähnliche Figuren
Wird eine Originalfigur im Maßstab
vergrößert
bzw. verkleinert, so nennt man die Bildfigur und die
Originalfigur zueinander ähnlich. Der Maßstab k heißt
Ähnlichkeitsfaktor.
Es ist a  1 für a  0 und
0
2
Eine ähnliche Figur hat den k -fachen Flächeninhalt.
3
Ein ähnlicher Körper hat das k -fache Volumen.
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