PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1: übungsblatt 3

PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1
Prof. J. Lipfert
WS 2014/15
Übungsblatt 3 Lösung
Übungsblatt 3 Lösung
Besprechung am 28.10.2014
Aufgabe 1
Fehlerrechnung:
Um die Niederschlagsmenge M = VA eines Regenschauers zu messen wird in einem Gefäß mit quadratischer Grundfläche (A = a 2 , a = 10cm) eine Wassermenge
von V = 1l gesammelt. Der Fehler der Volumenmessung beträgt ∆V = 0, 01l , der
Messfehler einer Quadratseite beträgt ∆a = 1mm
a) Stellen Sie die Gleichung M =
∂M
, und ∂M
∂V
∂a
V
A
auf und ermitteln Sie die partiellen Ableitungen
b) Berechnen Sie mit Hilfe der partiellen Ableitungen aus (a) den Gesamtfehler ∆M
über die Gauß’sche Fehlerfortpflanzung.
c) Nach fünfmaligem werfen eines Würfels haben Sie folgende Zahlen geworfen: 4, 1,
3, 6, 5. Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der geworfenen
Zahlen
Lösung:
a)
V
a2
1
∂M
= 2
∂V
a
∂M
−2V
=
∂a
a3
M =
(1)
(2)
(3)
b)
v
!2
u N
u X ∂M
t
∆M =
· ∆xi
∂xi
i=1
s
2 2
∂M
∂M
∆M =
· ∆V
+
· ∆a
∂V
∂a
l
∆M = 2, 236 2
m
1
(4)
(5)
(6)
c) i)
1
x̄ =
N
N
X
1
x
i=1 i
!
1
(1 + 3 + 4 + 5 + 6)
5
x̄ = 3, 8
x̄ =
(7)
(8)
(9)
ii)
p
Var (x )
(10)
p
(11)
σ(x ) = (x1 − x̄ )2
r
1
σ(x ) =
· ((1 − 3, 8)2 + (3 − 3, 8)2 + (4 − 3, 8)2 + (5 − 3, 8)2 + (6 − 3, 8)2 ) (12)
5
σ(x ) = 1, 72
(13)
σ(x ) =
Aufgabe 2
Baywatch:
Sie sind Rettungsschwimmer in Malibu Beach und sitzen m Strand (Punkt A in der
Skizze). Plötzlich merken Sie, dass ein Kind im Meer (Punkt B) um Hilfe ruft und
Sie es so schnell wie möglöich retten müssen. AmStrand erreichen Sie eine Geschwindigkeit von v1 = 7ms −1 während Sie sich im Wasser nur mit einer Geschwindigkeit
von 1, 5ms −1 fortbewegen können.
Abbildung 1: Die Ausgangssituation am Malibu Beach
a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P an dem Sie ins Wasser springen
müssen um das Kind in kürzester Zeit zu retten
b) Berechnen Sie den Winkel α
c) Welche Koordinaten ergeben sich für P, wenn v1 = v2 ?
Freiwillige Zusatzaufgabe: Ein Boot soll den Fluss auf dem kürzesten Weg so
überqueren, dass es genau auf gleicher Höhe am gegenüberliegenden Flussufer ankommt. Das Boot fährt mit einer Maximalgeschwindigkeit von vB = 3ms −1 . Die
2
Abbildung 2: Boot am Flussufer. Das Boot soll den Fluss auf dem direkten Weg, also
senkrecht zur Fließrichtung überqueren
Fließgeschwindigkeit des Flusses steigt linear von Ufer A(v = 0, 2ms −1 ) nach Ufer
B (v = 1ms −1 ) an. Wie lange braucht das Boot um den Fluss zu überqueren? (Tipp:
Verwenden Sie ein Mathematikprogramm z.B. Wolfram Alpha um schwierige Integrale zu lösen!)
Lösung
a)
t
dt
dx
x
p
(40 − x )2 + (30)2
x
+
= t1 + t2 =
v1
v2
2
1
(40 − x )
=
−p
=0
v1
(40 − x )2 + (30)2 · v2
= x 2 − 80x + 1556, 7 = 0
= 33, 42m
(14)
(15)
(16)
(17)
b)
α = tan
−1
40 − 33, 42
30
= 12, 37◦
(18)
c)
P = A = (0/0)
(19)
d) Stellen wir zuerst die Fließgeschwindigkeit des Flusses als Funktion der Breite x
dar. Da die Fließgeschwindigkeit des Flusses linear ansteigt können wir für vF eine
Geradengleichung ansetzten: v (x ) = mx + t
Nehmen wir als Breite z.B. 20m an, so kommen wir auf die Gleichung:
v (x ) = 0, 04x + 0, 2
Damit ist nun die Geschwindigkeit senkrecht zu Ufer durch:
q
2
− vF2
v = vBoot
(20)
(21)
(22)
3
Und die Zeit ist gegeben durch:
x
t=
v
dx
dt =
dv
Z
(23)
(24)
20
dx
p
2
vBoot − (0, 04x + 0, 2)2
0
Numerisch gelöst ergibt sich für eine Breite von 20m eine Zeit von t = 6, 82s
t=
(25)
Aufgabe 4
Pfeil und Bogen:
Ein Pfeil wird von der Sehne eines Bogens auf einer Strecke von 0, 5m beschleunigt
und erreicht dabei eine Endgeschwindigkeit von 70ms −1 .
a) Wie schnell ist das in km/h ?
b) Warum ist die Beschleunigung nicht konstant?
c) Wie groß ist die mittlere, konstant angenommene Beschleunigung?
d) Wie lange dauert der Beschleunigungsvorgang?
Lösung:
a)
70m/s · 3, 6
km/h
= 252km/h
m/s
(26)
b) Die Zugkräfte des Bogens sind nicht konstant. Je weiter der Bogen gespannt wird,
desto größer wird die Kraft mit der der Pfeil beschleunigt wird.
c)
1
x = at 2
2
v
v = at ⇒ t =
a
v2
⇒x =
2a
v2
⇒a=
2x
a = 4900ms −2
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
d)
1
x = at 2
2
r
2x
⇒t =
a
t = 0, 014s
4
(32)
(33)
(34)