Terme und Termumformungen

FRAGEBOGEN 2
(Alle Aufgaben müssen mit Maple gelöst werden)
Terme und Termumformungen
Aufgabe 1
Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
a) 32 × 12 3 14 + exp(2) auf 8 Nachkommastellen genau
320
b) 6! in Bruchschreibweise
13
c) (20 3 ÷ 3 20 ) × 3 − sin(3.5π )
d) (a + 2b) 3 für a = 3 und b = 7 (Hinweis: vor Berechnung Ausmultiplizieren)
e) exp(3 x) für x = 4 auf 10 Nachkommastellen genau
Aufgabe 2
Gegeben ist der Ausdruck: (x + 3)5
a) Speichern sie diesen unter dem Namen Afrika.
b) Multiplizieren Sie den Ausdruck unter Verwendung des Speichernamens aus und
berechnen Sie dessen Wert für x = 2.
Aufgabe 3
Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck:
cos 5 (x) + sin 4 (x) + 2cos 3 (x) - 2sin 2 (x) - cos(2x)
und berechnen Sie ihn für x = 10.
Aufgabe 4
Berechnen Sie der Quadratwurzel von 2 mit einer Genauigkeit von 20 Nachkommastellen.
Speichern Sie das Ergebnis unter dem Namen RootOfTwo.
Aufgabe 5
Berechnen Sie (a) die Real- and (b) Imaginerteile, (c) den Betrag und (d) das Argument und
(e) den konjugiert komplexen Wert des Ausdruckes: (2 + 3i ) * exp(iπ / 3) (i ist die
Imaginäreinheit). Bei den Berechnungen benutzen sie den Ditto-Operator.
Aufgabe 6
1
Berechnen Sie die Eulersche Zahl e.
Aufgabe 7
Formen Sie cos(α + β ) um in einen Ausdruck, der nur Terme mit einem Winkel enthält.
Aufgabe 8
Ergänzen Sie quadratisch das Polynom ax 2 + bx + c .
Endliche Summen und Produkte, Folgen und Reihen
Aufgabe 9
Stellen Sie folgende Summen/Produkte dar und berechnen Sie diese auf 6 Nachkommastellen
genau:
a)
10
1+ i
∑1+ i
i =1
b)
20
4
1
∏k
k =1
2
Aufgabe 10
Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
lim
x →∞
2x + 3
7x + 5
Aufgabe 11
Finden Sie die Taylorentwicklung von tan( x) / x um x = 0 bis zur Ordnung x6.
Aufgabe 12
Finden Sie die Taylorentwicklung von
ex
um x = 3 bis zur Ordnung x4.
1 + x + 12 x 2
Aufgabe 13
n
Definieren Sie die Funktion f (n) = ∑ i 2 auf drei verschiedene Arte. Berechnen Sie f (7).
i =1
2
Gleichungen
Aufgabe 14
Gegeben ist die Gleichung a x 2 = 4 .
1. Berechnen Sie a für x = 2
a. Nicht als Gleitkommazahl
b. Als Gleitkommazahl mit 4 Nachkommastellen
2. Berechnen Sie x für a = 3
a. Nicht als Gleitkommazahl
b. Als Gleitkommazahl mit 5 Nachkommastellen
Aufgabe 15
1
13
13
10
5
Gegeben ist folgende Gleichung: x 3 − ax 2 + x 2 = ax + x − a .
2
3
6
3
3
a) Speichern Sie den Ausdruck als eqn ab.
b) Verifizieren Sie, dass die Gleichung drei Lösungen hat.
Aufgabe 16
Lösen Sie die quadratische Gleichung 3 x 2 + bx = 7 und weisen Sie die beiden Lösungen den
Variablen x1 und x2 zu. Berechnen Sie x1 und x2 für b = 4 numerisch.
Aufgabe 17
Lösen Sie die quadratische Gleichung x 2 − 4 x + 2 = 0 nach x und weisen Sie die beiden
Lösungen den Variablen x1 und x2 zu. Wandeln Sie x1 und x2 in numerische Werte um.
Funktionen: Differentialrechnung
Aufgabe 18
Definieren Sie xsin( ax) + bx 2 als Funktion f (x) und leiten Sie diese anschließend unter
Verwendung von f (x) ab.
Aufgabe 19
Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f ( x) = tan( x) * 3 x .
3
Aufgabe 20
Es sei eine Funktion gegeben:
y 10 sin( y 4 ) − cos 2 ( y 10 )
y3
Berechnen Sie mit Maple die ersten 5 Ableitungen dieser Funktion.
f ( y) =
Aufgabe 21
Es sei eine Funktion gegeben:
z 3 sin( z 32 ) − cos( z )
z 22
Berechnen Sie mit Maple die ersten 5 Ableitungen dieser Funktion.
f ( z) =
Aufgabe 22
∂ 2 g ( x, y )
und
g ( x, y ) = x y + x y + 7 . Berechnen Sie
∂x∂y
2
Definieren Sie die Funktion
6
3
4
∂ 3 g ( x, y )
.
∂y 2 ∂x
Funktionen: Integralrechnung
Aufgabe 23
Bestimmen Sie den Wert des Integrals
∫
β
0
x 2 sin(αx) dx für β = 46.5 und α = 9 auf 3
Nachkommastellen genau.
Aufgabe 24
Berechnen Sie das unbestimmte Integral
∫ sin
2
( x) dx. Kontrollieren Sie das Resultat anhand
seiner Ableitung.
Aufgabe 25
Berechnen Sie das Integral
∫t
2
e − at dt. Kontrollieren Sie das Resultat anhand seiner
Ableitung.
Aufgabe 26
4
Berechnen Sie das Integral ∫ [(2 − cos(bϕ )] −1 dϕ . Kontrollieren Sie das Resultat anhand seiner
Ableitung.
Aufgabe 27
Berechnen Sie mit Maple das Integral
∫
2.1
0
f ( x) dx für f ( x) = sin(3 x) cos( x).
Aufgabe 28
Berechnen Sie mit Maple das Integral
∫
20
0
f ( x) dx für f ( x) = x 22 e −2 x .
Aufgabe 29
Definieren Sie die Funktion g ( x, a ) = x 2 sin( ax). Integrieren Sie sie nach x (Stammfunktion).
Integrieren Sie dann g ( x, a ) von x = 0 bis x = π zunächst für beliebige a. Berechnen Sie
dann das Integral für a = 1 und a = 3 analytisch und numerisch.
Graphische Darstellung
Aufgabe 30
Gegeben sei die Funktion z = sin(xy ) für − 2 ≤ x ≤ 2 und -1 ≤ y ≤ 1. Erzeugen Sie eine
dreidimensionale Graphik für diese Funktion.
Aufgabe 31
Stellen Sie eine Graphik für folgende Funktion dar: y = tan(x) für -2π ≤ x ≤ 2π und -4 ≤ y ≤
4. Und beschriften Sie sie.
Aufgabe 32
Plotten Sie in Maple folgende Funktionen im Intervall [0, 5] in einer Grafik: cos(2x), sin(3x),
1/exp( x/2 ) .
Aufgabe 33
Plotten Sie in Maple folgende Funktionen im Intervall [0, 2π] in einer Grafik: sin(x), sin(2x),
sin2(x), sin2(2x) und sin2(x)+cos2(x).
Aufgabe 34
5
Zeichnen Sie die Graphen von f ( x, a ) = e − a sin x bezüglich x für a = 1, 2 und 2.5. mit verschiedenen Farben, Strichstärken und Linienstilen.
Lineare Algebra
Aufgabe 35

Definieren Sie den Vektor a = {2,1.5,1.03} als einen Zeilenvektor und einen Spaltenvektor.

Berechnen Sie den Betrag des Vektors a .
Aufgabe 36


Definieren Sie zwei Vektore: a = {0.3,1.5,2.03} und b = {−0.21,1.05,− 4.01} . Berechnen Sie
die Skalar- und Kreuzprodukte dieser Vektore.
Aufgabe 37
Definieren Sie die 3x2 Matrix:
1.1 − 2 


3.3  .
3


 − 0.5 1 
Aufgabe 38
Definieren Sie die 2x3 Matrix:
 0.5 − 1 4.5 

.
3.3 0.8 
1
Aufgabe 39
Multiplizieren Sie zwei Matrizen aus Aufgaben 37 und 38.
Aufgabe 40
Berechnen Sie die Determinante der 4x4 Matrix:
1.1 − 2 0.5 − 3.1 


3.3 2.2 − 0.3 
3
.
 − 0.5 1 − 7
0.1


3

2
−
1
1
.
1


6
Aufgabe 41
Definieren Sie die 4x4 Matrix A44:
1.1 − 2

3.3
3
 − 0.5 1

3
2

0.5 − 3.1 

2.2 − 0.3 
.
−7
0.1

−1
1.1 
Berechnen Sie die Matrix A44INV, die zu A44 inverse ist. Beweisen Sie, dass Sie wirklich
eine inverse Matrix gefunden haben.
Aufgabe 42
Definieren Sie die 3x3 Matrix A33:
1.1 − 2 − 3.1

3.3 2.2
3
3
2
−1



.


Berechnen Sie die Matrix A33INV, die zu A33 inverse ist. Beweisen Sie, dass Sie wirklich
eine inverse Matrix gefunden haben.
Differentialgleichungen
Aufgabe 43
Lösen Sie die Differentialgleichung z‘(y)+a⋅z(y)-2=0 (a ist eine Konstante) bei der
Anfangsbedingung z(2)=3.
Aufgabe 44
Lösen Sie die Differentialgleichung y″(x)+b⋅y′(x)-4⋅y(x)+10=0 (b ist eine Konstante) bei der
Anfangsbedingungen: y(1)=3 und y′ (0)=1.
7