Mathematik für Chemiestudierende I 10. Übungsblatt

Dr. G. Skoruppa
WS 2016/2017
Mathematik für Chemiestudierende I
10. Übungsblatt - Lösungsskizzen
Aufgabe 1*
a) Bestimme die Polardarstellung der folgenden komplexen Zahlen:
√
z1 = −1 ,
z2 = 1 − i ,
z3 = −1 + i 3 .
b) Wandle alle auftauchende Faktoren, Zähler , Nenner in Polardarstellungen um
und benutze diese zur Bestimmung der Zahlen z1 , z2 in Polardarstellung. Bestimme sodann auch die kartesischen Darstellungen von z1 , z2 :
(
)7
√
πi
i
, z2 = (1 + i 3 )e− 6 .
z1 =
1−i
c) Bestimme alle komplexen Lösungen der Gleichungen und zeichne die Lösungen
in der komplexen Ebene:
a)
z 4 = 4i ,
b)
z3 = z .
Lösungen: (z.T. nur Ergebnisse ohne Wege)
a) z1 = eiπ ,
b)
•
i
1−i
(
√1
2
z2 =
√
2 e−i 4 ,
π
π
=
ei
ei 2
π
2 e−i 4
)
7
3π
√
4
=
=
√1
2
z3 = 2 e i
ei
2π
3
(denn arccos(− 12 ) =
2π
3 )
3π
4
21π
1
√
ei 4
8· 2
=
5π
3π
1
1
√
ei 4 8·√
e−i 4 .
8· 2
2
Die beiden letzten Ergebnisse sind akzeptabel: sorge dafür, dass der Winkel
aus ] − π, π] oder aus [0, 2π[ ist.
1
Kartesisch (geometrisch per Euler-Formel argumentieren): − 16
(1 + i).
√
√
πi
π
πi
πi
• z2 = (1 + i 3 ) · e− 6 = 2ei 3 · e− 6 = 2e 6 = 3 + i.
√
kπ
π
π
c) √
4i = 4ei 2 , also zk = 2ei( 8 + 2 ) , k = 0, 1, 2, 3.. Zeichne Quadrat um 0 mit Ecke in
π
2ei 8 . Dieser Punkt kann konstruiert werden.
z 3 = z̄ ⇔ z 4 = |z|. Damit sofort klar: |z| = 0 oder |z| = 1. Im zweiten Fall ergeben
sich die 4.-ten Einheitswurzeln (1, i, −1, −i), im ersten Fall die Lösung 0.
Aufgabe 2 Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen und Ungleichungen in C und
skizziere diese in der komplexen Ebene:
arg z − π < π ,
a) z z̄ − z + z̄ = 1 ,
b)
|z − 2i| < 1 ,
c)
4
2
z − i
e) | arg ((1 + i)z)| ≤ π2 ,
d)
f) | arg z − arg (1 + i)| < π2 .
z + i ≤ 1 ,
Lösungen:
a) z = a + bi. Dann a2 + b2 − 2ib = 1, also a2 + b2 − 1 − 2ib = 0, woraus folgt: b = 0
und sodann a2 = 1. Die beiden Lösungen sind also z = ±1.
b) Offene Kreisscheibe um 2i vom Radius 1. Offen heißt: Rand gehört nicht dazu.
c) − π2 < arg z − π4 < π2 . Daher: arg z ∈] − π4 , 3π
4 [. Lösungsmenge ist der offene Halbraum über der Geraden Imz = −Rez.
d) Die Ungleichung ist voll äquivalent zu |z − i| ≤ |z + i| (denn −i erfüllt diese Ungl.
nicht). Damit sind alle Punkte gemeint, die zu i einen nicht größeren Abstand haben als zu −i. Das ist der (abgeschlossene) obere Halbraum.
e) Da 1+i um den Winkel π4 dreht, liegen die gesuchten z im geschlossenen Halbraum
unter der Geraden Imz = Rez.
f) wie c)
Aufgabe 3 Von dem Polynom p mit p(x) = x5 − 3 x4 + 8 x3 − 8 x2 + 7 x − 5
Nullstelle z1 = i bekannt.
ist eine komplexe
a) Antworte und begründe ohne Rechnung:
i) Wieviel komplexe Nullstellen hat p (mit Vielfachheiten gezählt)?
ii) Welche weitere komplexe Nullstelle z2 kann sofort angegeben werden?
iii) Wieviel rein reelle Nullstellen hat p wenigstens?
b) Finde durch geeignete Verfahren alle komplexen Nullstellen von p.
Lösungen:
a)
i) Fünf, denn das ist Folge des Hauptsatzes der Algebra (vgl. Vorlesung).
ii) −i, denn das ist Folge von 6.10.
iii) Eine (entweder wegen der Ungeradheit und dem ZWS - Schulwissen!) oder
weil sich nicht reelle Nullstellen stets in Paaren finden.
b) Man dividiert durch x2 + 1 und erhält x3 − 3 x2 + 7 x − 5
Mit Gauss rät man die Nullstelle 1.
Wenn man die rausdividiert, bleibt x2 − 2 x + 5.
Hiervon die Nullstellen per pq-Formel o. quadr. Ergänzung: 1 ± 2i.