Grundwissen Klasse 9

CEG Erlangen
Grundwissen Mathematik der 9. Jahrgangsstufe (Algebra)
Wissen bzw. Können
Aufgaben; Beispiele; Erläuterungen
Zahlenmengen N, NO, Z, Q, R
2 ∉Q ,
2∈R
a ist diejenige nicht negative reelle Zahl,
deren Quadrat a ergibt.
25 = 5 ,
( − 6) 2 = 6 ,
Dabei muss a ≥ 0 sein.
a =a
2
Definitionsbereich von Wurzeltermen
Bedeutung des Radikand ≥ 0
Rechenregeln für Quadratwurzeln
Teilweises Radizieren
Rationalmachen des Nenners
2 x − 3 , falls x ≥ 1,5
⎩−(2 x − 3), falls x < 1,5
(2 x − 3 )2 = 2 x−3 = ⎧⎨
2x − 4 ,
4 − 2x ,
D = [2;∞ [
D = ]-∞;2]
2
=
3
2 ⋅ 3= 2⋅3 ,
a ²b = a
2 + 3 ≠ 2+3
2
;
3
3,146 ≠ 2,236
20 = 4 ⋅ 5 = 2 5
b
(
)
(
)
a⋅ c+ x
a⋅ c+ x
a
=
=
; a,c ∈R,
c2 − x
c− x c− x ⋅ c+ x
(
)(
)
1 2
5
Lösen quadratischer Gleichungen mittels
−
x
+
3
x
−
= 0 ; (G = R), L ={1;5}
quadratischer Ergänzung und Kenntnis der
2
2
2
Lösungsformel für ax + bx + c = 0:
1
5
1
− x 2 + 3x − = − ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 5)
2
− b ± b − 4ac
2
2
2
x1,2 =
Sonderfälle :
2a
2x² = 18 ⇒ x1 / 2 = ± 3
Bedeutung der Diskriminante D = b² - 4ac
Allgemein Zerlegung in Linearfaktoren:
x² + 5x = 0 ⇒ x (x + 5) = 0 ⇒ x=0 ∨ x=-5⇒L = {-5, 0}
2
ax + bx + c = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 )
[
]
1
5 1
5
Quadratische Funktionen und ihre Gray =− x 2 + 3 x − =− x 2 − 6 x − =
phen
2
2 2
2
y = ax2 + bx + c mit quadratischer Ergänzung
y
1
5
auf Scheitelform y = a (x – xs)² + ys bringen.
= − x 2 − 6 x + 32 − 32 − = 4
3
„a“ bestimmt die Öffnung der Parabel,
2
2
S (3|2)
2
Scheitel S(xs |ys )
1
5
2
1
= − ( x − 3) − 9 − =
2
2
0
1
5 x
1
2
= − ( x − 3) + 2 ; S(3/2)
2
1
5
Quadratische Ungleichungen
− x 2 + 3x − < 0 hat L =]− ∞;1[ ∪ ]5;∞ [
2
ax + bx + c >0 (<0)
2
2
(Hilfe: Löse die zugehörige quadratische
5
1 2
Gleichung und entscheide an Hand der zuge- − 2 x + 3x − 2 ≥ 0 hat L =[1;5]
hörigen Parabel!)
Wurzelfunktion f : x 6 x ;
f : x 6 x , Df =R 0+ , Wf =R 0+
Definitionsbereich Df , Wertebereich Wf ,
Graph Gf
2x4 - 58 x2 + 200 = 0
Biquadratische Gleichungen
4
2
ax + bx + c = 0
2u2 – 58u +200 = 0 ⇒u=25 ∨ u=4
Substituiere: x2 = u
d.h. x2=25 ∨ x2=4 ⇒ L = {-5/ 5/ -2/ 2}
[
[
]
]
CEG Erlangen Grundwissen der 9. Jahrgangsstufe (Geometrie)
Wissen bzw. Können
Beispiele, Aufgaben und Erläuterungen
Beispiel:
1. Strahlensatz: Wenn AB A' B ' , dann gilt:
ZA': ZA = ZB ': ZB
B
2. Strahlensatz: Wenn AB A' B ' , dann gilt:
ZB ': ZB = A' B ': AB .
ZB´
= m
ZB
A∆ZA´B´ = m² A∆ZAB
∆ZA´B´~ ∆ZAB Ähnlichkeitssätze!
ZA' = 8cm , ZA = 6cm
BB ' = 3cm
Ges.: ZB
( ZB = 9cm )
B'
Z
A
A'
B
Beispiel:
A'
ZA' = 5cm , ZA = 4cm
A' B ' = 7cm
Ges.: AB
28
( AB =
cm )
5
Z
A
B'
Satzgruppe des Pythagoras:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über der Hypotenuse flächengleich der Summe der Quadrate über den Katheten.
a2 + b2 = c2
Auch die Umkehrung ist richtig, d.h.:
Gilt in einem Dreieck a2 + b2 = c2, dann ist es
rechtwinklig.
b2
a2
c2
Kathetensätze des Euklid
Das Quadrat über einer Kathete ist flächen- Aufgabe: Gegeben: p=3cm, a=4cm.
gleich zum Rechteck aus der Hypotenuse und Berechne b, c, und den Flächeninhalt A des Dreiecks
ABC.
dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt.
a2 = pc, b2 = qc
4
16
8
Höhensatz des Euklid: h2 = pq
(b =
7cm , c = cm , A =
7cm 2 )
3
3
3
a
Höhe im gleichseitigen Dreieck: h =
3
2
b
h
d
d
c
Diagonale im Quadrat: d = a 2
Raumdiagonale im Quader
.
a
d = a 2 + b2 + c2
Entfernung zweier Punkte A(x1|y1) und
B(x2|y2)
AB =
(x
1
− x 2 ) + ( y1 − y 2 )
2
2
Pyramiden:
Volumen V =
1
Gh
3
Prinzip von Cavalieri: Werden zwei Körper
auf eine gemeinsame Ebene gestellt und von
jeder Parallelebene in inhaltsgleichen Figuren geschnitten, dann sind diese beiden Körper volumengleich.
a
A(-3/1); B(2/7)
AB = ( −3 − 2) 2 + (1 − 7) 2 = 61
a