Grundlagen

Grundlagen
Pfeilsysteme
U
VerbraucherPfeilsystem VPS
Q
I
Quelle
induktiv
Last
induktiv
Quelle
kapazitiv
Last
kapazitiv
Zweitor
P
Spannungs- und
Strompfeil gehen vom
selben Pol aus.
U
ErzeugerPfeilsystem EPS
Q
I
Zweitor
Last
kapazitiv
Quelle
kapazitiv
Last
induktiv
Quelle
induktiv
P
Spannungs- und
Strompfeil gehen nicht
vom selben Pol aus.
Stern-Dreieck-Transformation
Stern Î Dreieck
YÎΔ
Dreieck Î Stern
ΔÎY
Î
Z 12 = S Z 3
Z 23 = S Z 1
S = Z 1 ⋅Z 2 + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3 ⋅ Z 1
Z 31 = S Z 2
Z Δ = 3⋅ Z Y
Î
Z 1 = Z 12 ⋅ Z 31 D
Z 3 = Z 31 ⋅ Z 23 D
Z 2 = Z 23 ⋅ Z 12 D
D = Z 12 + Z 23 + Z 31
ZY = ZΔ /3
wenn alle 3 Impedanzen gleich gross
Drehstrom
Sternschaltung
U 1 N = U S ∠ 0°
U 12 = 3 ⋅ U S ∠ 30°
U 2 N = U S ∠ − 120°
U 23 = 3 ⋅ U S ∠ − 90°
U 3 N = U S ∠ 120°
U 31 = 3 ⋅ U S ∠ 150°
TI-89: (230 ∠ 120°)
TI-89: (400 ∠ 150°)
P = 3 ⋅ U S ⋅ I S ⋅ cos ϕ
U 2 K = U 2 N − U KN
S = U 12 ⋅ I 1 + U 32 ⋅ I 3
*
U 3 K = U 3 N − U KN
*
S = U 21 ⋅ I 2 + U 31 ⋅ I
Aronschaltung
+ Y 2 ⋅U 2 N + Y 3 ⋅U 3N
gilt nur im
Y1 + Y 2 + Y 3
3-Leiternetz!
*
*
3
I N = I1 + I 2 + I 3 ≠ 0
ohne
Impedanz im
Neutralleiter
S = U 1N ⋅ I 1 + U 2 N ⋅ I 2 + U 3 N ⋅ I 3
*
*
U KN =
*
Aronschaltung
S = U 13 ⋅ I 1 + U 23 ⋅ I 2
*
*
mit einer
Admittanz (YN)
im Neutralleiter (Bild)
Y 1 ⋅ U 1N + Y 2 ⋅ U 2 N + Y 3 ⋅ U 3 N
Y1 + Y 2 + Y 3 + Y N
N
L3
U 1K = U 1N − U KN
Y 1 ⋅ U 1N
L1
UΔ = Aussenleiterspannung
UΔ = U12 = U23 = U31
UΔ = US • √3
S = P + jQ = 3 ⋅ U S ⋅ I S ∠ϕ
I N = I1 + I 2 + I 3 = 0
Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z∠ϕ
U KN =
L2
US = Stern-/ Strangspannung
US = U1N = U2N = U3N
US = UΔ / √3
Symmetrische Belastung
IS = Stern-/ Strangstrom = I1 = I2 = I3
φ = Phasenwinkel der Impedanz
(Phasenverschiebung zwischen U und I)
IN = Neutralleiterstrom
L2
Unsymmetrische
Belastung
im Dreileitersystem
L1
N
K
L3
L1
Unsymmetrische
Belastung
im Vierleitersystem
K
L2
L3
N
Dreieckschaltung
L1
U 12 = U Δ ∠ 30°
U 23 = U Δ ∠ − 90°
UΔ = Aussenleiter-/ Dreieckspannung (Betrag!)= U12 = U23= U31
U 31 = U Δ ∠ 150°
L2
L3
S = U 13 ⋅ I 1 + U 23 ⋅ I 2
*
*
S = U 12 ⋅ I 1 + U 32 ⋅ I 3
*
*
S = U 21 ⋅ I 2 + U 31 ⋅ I 3
*
*
S = 3 ⋅U Δ ⋅ IΔ∠ϕ
Symmetrische Belastung
S = 3 ⋅ U Δ ⋅ I∠ ϕ
IΔ = Dreieck-/ Strangstrom = I12 = I23 = I31
I = Aussenleiterstrom
I 1 = I 12 − I 31
I 2 = I 23 − I 12
I 3 = I 31 − I 23
Unsymmetrische
Belastung
Formelsammlung elektrische Anlagen & Netze
Ptot = P2 + P3
15.12.2004
Aronschaltung
I = 3 ⋅ IΔ
L1
L2
L3
Seite 1 von 4
Symmetrische Komponenten
Jedes unsymmetrische Drehstromsystem kann durch die Summe von 3 symmetrischen Systemen dargestellt werden.
Systeme
a
a = (1 ∠ 240°) = 1 / a
2
Multiplikation mit a Î Drehung eines Zeigers um 120°
2
a
Definition:
U 1 L1 = U 1
Drehoperator a
1
120°
a = (1 ∠ 120°) = −1 / 2 + j ⋅ 3 / 2
U1L3
(ref )
ω
U1L1
U 1 L2 = a ⋅U 1
12
0°
2
U1L2
U 1 L3 = a ⋅ U 1
Definition:
U2L2
U 2 L1 = U 2
120°
U 2 L2 = a ⋅U 2
U 2 L3 = a ⋅ U 2
U2L1
Definition:
• Phasenfolge vertauscht: L3 – L2 – L1
U2 = Symmetrische Spannungskomponente des Gegensystems
U2 L1 = Spannung der 1. Phase des Gegensystems
Nullsystem
ω
U 0 L1 = U 0 L1 = U 0 L1
=U0
• Phasenfolge normal: L1 – L2 – L3
U1 = Symmetrische Spannungskomponente des Mitsystems
U1 L1 = Spannung der 1. Phase des Mitsystems
Gegensystem
ω
U2L3
2
Mitsystem
• einphasig
U0 = Symmetrische Spannungskomponente des Nullsystems
U0 L1 = Spannung der 1. Phase des Nullsystems
U0L1 U0L2 U0L3
Berechnung der symmetrischen Komponenten
⎡1 1
[T ] = ⎢⎢1 a
⎢⎣1 a 2
1⎤
2
a ⎥⎥
a ⎥⎦
1
1
⎡1
⎤
⎢
= ⎢1 ∠ 120° ∠ − 120°⎥⎥
⎢⎣1 ∠ − 120° ∠ 120° ⎥⎦
Matrize [ T ]
(zur Umrechnung benötigt)
Multiplikation mit a Î Drehung eines Zeigers um 120°
2
Multiplikation mit a Î Drehung eines Zeigers um 240° oder -120°
L2
⎡U 0
⎢
⎢U 1
⎢U 2
⎣
⎤
⎡U 1K
⎥ 1
⎢
⎥ = 3 ⋅ [T ]⋅ ⎢U 2 K
⎥
⎢U 3 K
⎦
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Spannungen
L1
N
K
U0 = Symmetrische Spannungskomponente des Nullsystems
U1K = Spannung Phase 1 – Knoten = U+N - UKN
L3
⎡I 0
⎢
⎢I1
⎢I 2
⎣
⎤
⎡ I L1
⎥ 1
⎢
⎥ = 3 ⋅ [T ]⋅ ⎢ I L 2
⎥
⎢ I L3
⎦
⎣
⎡U 1K
⎢
⎢U 2 K
⎢U 3 K
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎡U 0
⎥
−1 ⎢
⎥ = 3 ⋅ [T ] ⋅ ⎢U 1
⎥
⎢U 2
⎦
⎣
(
= (U
= (U
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡ I L1
⎢
⎢I L2
⎢ I L3
⎣
U 1 = U 1K + a ⋅ U 2 K + a 2 ⋅ U 3 K
U2
U0
Ströme
Vorsicht Indizes!
1K
+ a 2 ⋅ U 2 K + a ⋅ U 3K
1K
+ U 2K
+ U 3K
)
)
)
I1 = Symmetrische Stromkomponente des Mitsystems
IL2 = Strom in der 2. Phase
⎤
⎡I 0
⎥
−1 ⎢
⎥ = 3 ⋅ [T ] ⋅ ⎢ I 1
⎥
⎢I 2
⎦
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Rücktransformation
3
Zusammenhang
Knotenspannungen Ù symmetrische Spannungen
3
3
U KN = −U 0
Zusammenhang UKN Ù U0
I N = 3⋅ I 0
Zusammenhang IN Ù I0
Z 0 = Z + Z K1 + Z K 2
Z 1 = Z + a ⋅ Z K1 + a ⋅ Z K 2
2
Für nicht rotierende
Anlagen, z.B. Trafos,
Leitungen, gilt stets:
Z1 = Z 2
Z 2 = Z + a ⋅ Z K1 + a ⋅ Z K 2
2
Z K1
= Z1 2 = Z 2 3 = Z 31
Z K2
= Z 21 = Z 3 2 = Z13
Bedingung:
Drehstromnetz ist
zyklisch - symmetrisch
Formelsammlung elektrische Anlagen & Netze
Impedanzen
Z = Impedanz pro Phase
Z0 = Nullimpedanz
ZK1 = Kopplungsimpedanz
Kopplungsimpedanzen ZK1, ZK2
Z12 = Kopplung auf Phase 1 von Phase 2
(1. Index: Wirkung;
2. Index: Ursache)
15.12.2004
Seite 2 von 4
[Z ]
012
⎡Z 0
= ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0⎤
0 ⎥⎥
Z 2 ⎥⎦
0
Z1
0
Impedanzmatrize [ Z012 ]
Z0 = Nullimpedanz
Z1 = Mitimpedanz
Z0 = Gegenimpedanz
⎡I 0 ⎤
⎡U 0 ⎤
⎢U ⎥ = [Z ]⋅ ⎢ I ⎥
012
⎢ 1⎥
⎢ 1⎥
⎢⎣ I 2 ⎥⎦
⎢⎣U 2 ⎥⎦
N
U0 = Symmetrische Spannungskomponente des Nullsystems
I1 = Symmetrische Stromkomponente des Mitsystems
Ersatzschaltbild im 012-System
CL CL
[ Z012 ]
XLE
Zusammenhang der symmetrischen Komponenten
CL
Cb = CE + 3 ⋅ CL
Betriebskapazität Cb
CE
E
Messung der symmetrischen Impedanzen
Mitimpedanz Z1
Gegenimpedanz Z2
Nullimpedanz Z0
U1N
U1N
I1
BM
I1
BetriebsMittel
I1
U
Z 1 = 1N
I1
[Cb ] = A ⋅ s / V = F
CE = Kapazität pro Phase gegen Erde
CL = Kapazität pro Phase gegen eine andere Phase
I2
BM
I2
BetriebsMittel
I2
U0
U
Z 2 = 1N
I2
BM
BetriebsMittel
Z0 BM
Bei allen nicht rotierenden Betriebsmitteln gilt:
Z1 = Z 2
ZE
I0
I0
I0
Z0 =
U0
I0
Z 0 = Z 0 BM +
+ 3⋅ Z E
Kurzschlussrechnung
Anfangskurzschlusswechselströme
Formelsammlung elektrische Anlagen & Netze
15.12.2004
Seite 3 von 4
Verlauf des Kurzschlussstromes
Generatornaher Kurzschluss
Generatorferner Kurzschluss
ip = Stosskurzschlussstrom
IK" = Anfangskurschlusswechselstrom
IK = Dauerkurschlusswechselstrom
iDC = abklingende Gleichstromkomponente
A = Anfangswert der Gleichstromkomponente iDC
Maximum:
Κ = 2, wenn GleichstromÜberlagerung
In der Praxis:
Κ = 1.8
c berücksichtigt:
• Vernachlässigung von Belastungen und
Kapazitäten
• Subtransientes Verhalten von Generatoren
In der Praxis:
c = 1 … 1.1
Κ=
ip
2 ⋅ IK "
Stossziffer Κ
ip = Stosskurzschlussstrom
IK" = Anfangs-Kurzschlusswechselstrom (Effektivwert)
Spannungsfaktor c
Betriebsmittel
u = U /U N , i = I / IN ,
z = Z / ZN , s = S / SN
Bezogene Grössen
[u,i,z,s] = pu = per Unit
Transformatoren
ü=
U N , OS
US
OS
U N , US
UnterSpannung
OberSpannung
US Î OS
ü
1/ü
2
ü
Spannungen
Ströme
Impedanzen
fE =
OS Î US
1/ü
ü
2
1/ ü
UE
UN
Umrechnungen
Multiplikation mit
Tabellenwert
Wirksame Erdung:
Unwirksame Erdung:
3
fE < 1.4
fE > 1.4
•
•
•
•
Isoliert (freier Sternpunkt)
Kompensiert mit Löschspule (Petersen)
Strombegrenzend geerdet
Direkte Erdung (niederohmig)
Die Petersen-Spule wird an den Trafo1
Sternpunkt angeschlossen und soll
LD =
durch einen Schwingkreis mit CE die
3 ⋅ ω 2 ⋅ CE
Nullimpedanz gegen ∞ erhöhen.
Übersetzungsverhältnis ü
UN, OS = Nennspannung (verkettet) der Oberspannungsseite
Beispiel: YNd5
D / d : Dreieck
Y / y : Stern
N / n : Sternpunkt geerdet
Bezeichnungen
Grosse Buchstaben Î OS
Kleine Buchstaben Î US
Erdfehlerfaktor fE
UE = Spannung zwischen einem gesundem Aussenleiter
und der Erde bei 1pES
Möglichkeiten der Sternpunktbehandlung
Petersen-Spule LD
[LD ] = V ⋅ s / A = H
CE = Erdkapazität (C einer Phase des Netzes gegen Erde)
Impedanzen der Betriebsmittel
2
Z KS = uk ⋅
UN
S NT
•
•
Mit- = Gegenimpedanz ZKT
Nullimpedanz je nach Erdung
•
Mit- = Gegenimpedanz Zd"
•
•
Mit- = Gegenimpedanz ZQ
Nullimpedanz = 0
(Einspeisung über Trafo)
2
U
Z d " = zd " ⋅ N
S NG
2
U
ZQ = c ⋅ N
S KQ "
Formelsammlung elektrische Anlagen & Netze
Transformator T
uk = relative Kurzschlussspannung
Generator G
zd" = relative subtransiente Reaktanz
Netzeinspeisung Q
c = Spannungsfaktor
15.12.2004
G
Q
Seite 4 von 4