Zahlenmengen

Zahlenmengen
1. Setze eines der Zeichen ∈, 6∈, j, 6j, ∩ oder ∪ ein!
(a) {7}
{1, 2, 3, 7, 8, 9}
(b) {7}
{ } = {7}
(c) {7, 9}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {7}
(d) {6}
{4, 7, 3, 8, 5, 8, 9} = { }
(e) {39}
{1, 3, 6, 9, 12, ...}
(f) {7, 9}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(g) 243
{1, 3, 9, 27, ...}
(h) {10}
{4, 7, 3, 8, 5, 8, 9} = { }
(i) {7, 10}
(j) 625
(k) 5
Lösung: (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
{1, 5, 25, ...}
{7, 8, 9, 10}
{7} j {1, 2, 3, 7, 8, 9}
{7} ∪ { } = {7}
{7, 9} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {7}
{6} ∩ {4, 7, 3, 8, 5, 8, 9} = { }
{39} j {1, 3, 6, 9, 12, ...}
{7, 9} j
6 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
243 ∈ {1, 3, 9, 27, ...}
{10} ∩ {4, 7, 3, 8, 5, 8, 9} = { }
{7, 10} j
6 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
625 ∈ {1, 5, 25, ...}
5 6∈ {7, 8, 9, 10}
2. Gegeben sind die Mengen A = {7, 3, 4, 89, 6, 5, 8} und B = {3, 5, 7, 6, 44, 6756, 45}.
Gib A ∪ B und A ∩ B an!
Lösung: A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 44, 45, 89, 6756}, A ∩ B = {3, 5, 6, 7}
3. Gegeben sind die Mengen C = {4, 17, 89, 6, 5, 8} und D = {1, 2, 3, 5, 9, 6, 6756}. Gib
C ∪ D und C ∩ D an!
Lösung: C ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 17, 89, 6756} C ∩ D = {5, 6}
4. Entscheide ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
1
(a) 5 ∈ {2, 4, 6, ...}
(b) 6543 − (456 − 234) 6= 6321
(c) A ∩ B = A ⇒ A j B
(d) 5 6∈ {3, 6, 9, ...}
(e) 123 = 6543 − (321 − 222)
(f) A ∪ B = B ⇒ A j B
Lösung: (a) falsch, (b) falsch, (c) wahr,
(d) wahr, (e) falsch, (f) wahr
5. Schreibe (mit Bleistift) eines der Zeichen =, 6=, ∈ oder 6∈ in das Kästchen. Es muss
eine wahre Aussage entstehen:
Lösung:
(a)
{ 10 , 20 , 27 }
(b)
{ 13 , 0 , 2 , 21 }
(c)
5
{2, 3, 4, 9}
(d)
7
{ 8 , 9 , 17 }
(e)
318
{ 20 , 27 , 10 }
{ 0 , 2 , 13 , 20 }
{ 328 , 1 , 318 , 55 }
(a)
{ 10 , 20 , 27 }
=
{ 20 , 27 , 10 }
(b)
{ 13 , 0 , 2 , 21 }
=
6
{ 0 , 2 , 13 , 20 }
(c)
5
6∈
{2, 3, 4, 9}
(d)
7
6∈
{ 8 , 9 , 17 }
(e)
318
∈
{ 328 , 1 , 318 , 55 }
6. M = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }. Setze das richtige Zeichen!
Lösung:
(a) { 2 , 7 }
M (b)
(d)
M (e) { 10 }
{5}
5
(a) { 2 , 7 }
=
6
M
(b)
(d)
=
6
M
(e) { 10 }
{5}
M (c)
5
2
10
M
M (f) { 4 , 10 }
6∈
M
(c)
10
j
M
(f) { 4 , 10 }
M
∈
M
j
M
7. Schreibe in das Kästchen w für wahr“, f für falsch“ oder s für sinnlos“!
”
”
”
M = { 1 , 20 , 40 , 61 }, P = { 40 , 61 , 20 , 23 , 1 }
(a)
23 ∈ M
(i)
26 6∈ P
(b)
1∈P
(k)
P kM
(c)
1 6∈ M
(l)
P k { 40 , 2 , 20 }
(m)
P =M +1
(d) 61 ∈ M und 61 ∈ P
(e)
M jP
(n)
23 j P
(f)
{ 1 , 40 } j P
(o)
7 6∈ M
(g)
20 j M
(p)
M k {1}
(h)
{ 1 , 20 } ∈ M
(q)
{ }jP
Lösung:
(a)
23 ∈ M
f
(i)
26 6∈ P
w
(b)
1∈P
w
(k)
P kM
w
(c)
1 6∈ M
f
(l)
P k { 40 , 2 , 20 }
f
(d)
61 ∈ M und 61 ∈ P
w
(m)
P =M +1
s
(e)
M jP
w
(n)
23 j P
s
(f)
{ 1 , 40 } j P
w
(o)
7 6∈ M
w
(g)
20 j M
s
(p)
M k {1}
w
(h)
{ 1 , 20 } ∈ M
s
(q)
{ }jP
w
8. Schreibe folgende Mengen ausführlich hin und gib jeweils ihre Mächtigkeit z(M) an
(die Mächtigkeit einer Menge ist die Zahl ihrer Elemente):
(a) M = { x | 8 < x < 13 }
(b) M = { x | x ist ungerade }
(c) M = { x | x ist gerade und 4 < x < 15 }
(d) M = { x | x ist dreistellig und x < 107 }
(e) M = { x | x ist ungerade und 3 ≦ x ≦ 8 }
3
(f) M = { x | x ist durch 3 teilbar und 6 ≦ x < 27 }
(g) M ist die Menge aller geraden Zahlen, die mindestens die Größe 5 und höchstens
die Größe 12 haben.
(h) M ist die Menge aller durch 5 teilbaren Zahlen, die mindestens die Größe 25
und höchstens die Größe 55 haben.
Lösung: (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
M
M
M
M
M
M
M
M
= { 9 , 10 , 11 , 12 }, z(M ) = 4
= { 1 , 3 , 5 , 7 , . . . }, z(M ) = ∞
= { 6 , 8 , 10 , 12 , 14 }, z(M ) = 5
= { 100 , 101 , 102 , 103 , 104 , 105 , 106 }, z(M ) = 7
= { 3 , 5 , 7 }, z(M ) = 3
= { 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 }, z(M ) = 7
= { 6 , 8 , 10 , 12 }, z(M ) = 4
= { 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 }, z(M ) = 7
9. Schreibe folgende Mengen ausführlich hin und gib jeweils ihre Mächtigkeit z(M) an
(die Mächtigkeit einer Menge ist die Zahl ihrer Elemente):
(a) M = { x | 20 ≦ x ≦ 170 }
(b) P = { x | x ungerade und 36 ≦ x < 51 }
Lösung: (a) M = { 20 , 21 , 22 , 23 , . . . , 170}, z(M ) = 151
(b) M = { 37 , 39 , 41 , 43 , 45 , 47 , 49 }, z(M ) = 7
10. Schreibe in das Kästchen w für wahr“, f für falsch“ oder s für sinnlos“!
”
”
”
M = { 11 , 25 , 26 , 71 }, P = { 11 , 25 , 36 , 71 , 81 }
Lösung:
(a)
36 ∈ M
(b)
36 6∈ P
(c)
M jP
(d)
25 j P
(e)
{ 11 } ∈ M
(f)
{ }jP
(a)
36 ∈ M
f
(b)
36 6∈ P
f
(c)
M jP
f
(d)
25 j P
s
(e)
{ 11 } ∈ M
s
(f)
{ }jP
w
11. Schreibe in das Kästchen alle Zeichen, für die eine wahre Aussage entsteht! Schreibe
vorher die Mengen ausführlich hin. z(A) steht für die Mächtigkeit von A (Zahl der
Elemente in A).
A = { x | x durch 12 teilbar und 12 < x ≦ 84 }
B = { x | x durch 6 teilbar und 6 ≦ x ≦ 90 }
(a) A
B
(b) z (A)
4
B
(c) z (A)
z (B)
Lösung: A = { 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 },
z(A) = 6,
z(B) = 15
B = { 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , 60 , 66 , 72 , 78 , 84 , 90 }
j
(a) A
B
6=
∈
(b) z (A)
| {z }
B
< ≦ 6=
(c) z (A)
| {z }
6
6
z (B)
| {z }
15
12. Schreibe in das Kästchen w für wahr“, f für falsch“ oder s für sinnlos“!
”
”
”
M = { 11 , 25 , 26 , 71 }, P = { 11 , 25 , 36 , 71 , 81 }
(a)
36 6∈ M
(b)
36 ∈ P
(c)
M jP
(d)
71 j P
(e)
{ 25 } ∈ M
(f)
{ }jM
Lösung: (a) w (b) w
(c) f
(d) s
(e) s
(f) w
13. Schreibe in das Kästchen alle Zeichen, für die eine wahre Aussage entsteht! Schreibe
vorher die Mengen ausführlich hin. z(P ) bezeichnet die Anzahl der Elemente in der
Menge P .
P = { x | x durch 14 teilbar und 14 ≦ x < 112 }
Q = { x | x durch 7 teilbar und 7 ≦ x ≦ 100 }
Q (b) z(P )
(a) P
Q (c) z(P )
z(Q)
Lösung: P = {14, 28, 42, 56, 70, 84, 98}
Q = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}
(a) j 6=
(c) z(Q) = 14 =⇒ < ≦ 6=
(b) z(P ) = 7 =⇒ ∈
14. Schreibe in das Kästchen alle Zeichen, für die eine wahre Aussage entsteht! Mit
z(A) wird die Anzahl der Elemente der Menge A bezeichnet.
A = { 2 , 4 , 5 , 8 , 9 } B = { 2 , 4 , 8 , 9 } C = { z(A) , z(B) }
C
A
;
C
B
;
A∩B
z(A)
A
;
z(A)
B
;
z(A)
A
;
C
6=
B
;
A∩B
j=k
B
A
;
z (A)
| {z }
∈
/
B
;
z (A)
| {z }
> ≧ 6=
z (B)
| {z }
B
z(B)
Lösung: C = { 5 , 4 }
C
z (A)
| {z }
5
j
6=
∈
5
5
5
4
15. M = { 0 , 1 , 2 , 3 } P = { 0 , 4 , 5 , 6 } Q = { 0 , 3 , 5 }
Lösung:
(a)
(M ∪ Q) ∩ P
=
(b)
(P ∩ Q) ∩ N0
=
(c)
(P ∩ Q) ∪ N
=
(d)
(M ∩ P ) ∩ N
=
(a)
(b)
(c)
(d)
(M ∪ Q) ∩ P
(P ∩ Q) ∩ N0
(P ∩ Q) ∪ N
(M ∩ P ) ∩ N
=
=
=
=
———————————————————
———————————————————
———————————————————
———————————————————
{0, 1, 2, 3, 5} ∩ {0, 4, 5, 6}
{ 0 , 5 } ∩ N0
{0, 5} ∪ N
{0} ∩ N
=
=
=
=
=
=
=
=
————–
————–
————–
————–
{0, 5}
{0, 5}
N0
{}
16. Gegeben sind die Mengen A = { 0 , 2 , 3 , 7 } und B = { 1 , 2 , 6 , 7 }.
(a) Schreibe in das Kästchen das Zeichen, für das eine wahre Aussage entsteht:
A
B
= {0, 1, 2, 3, 6, 7}
A
B
= {2, 7}
A
N0
= A
A
N0
= N0
(b) A ∩ N =
A ∪ N=
Lösung: (a)
———————————————————————–
———————————————————————–
A
∪
B
=
{0, 1, 2, 3, 6, 7}
A
∩
B
=
{2, 7}
A
∩
N0
=
A
A
∪
N0
=
N0
(b) A ∩ N = { 2 , 3 , 7 }
A ∪ N = N0
6
17. P = { x | x durch 6 teilbar },
P =
Q=
Q = { x | x durch 18 teilbar }
———————————————————————————–
———————————————————————————–
P ∩Q=
P ∪Q=
—————————————————————————–
—————————————————————————–
Lösung: P = { 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , . . . },
P ∩ Q = Q, P ∪ Q = P
Q = { 18 , 36 , 54 , . . . }
18. R und S sind zwei beliebige Zahlenmengen und T = R ∩ S.
(a) Erläutere genau, warum T j S richtig ist!
(b) Welche andere Aussage ist dann sicher auch richtig?
(c) Welches Zeichen muss in das Kästchen, damit immer eine richtige Aussage
entsteht:
z(T )
z(S)
Lösung: (a) T besteht aus allen Zahlen, die gleichzeitig zu R und zu S gehören, d.h. jedes Element
von T ist sicher auch ein Element von S.
(b) T j R
(c) z(T )
≦
z(S)
19. Schreibe die Menge A = { x | x durch 11 teilbar und 11 < x < 1000 } ausführlich
hin und bestimme die Anzahl ihrer Elemente z(A).
Lösung: A = { 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , . . . , 990 }
22 = 2 · 11 und 990 = 90 · 11 =⇒ z(A) = 89
20. Schreibe in die Kästchen alle Zeichen, für die eine wahre Aussage entsteht.
A = { 0 , 1 , 3 , 4 }; B = { 0 , 5 , 6 }; C = { z(A) , z(B) } =
D = A∩B =
F =A∪C =
E = C ∩D =
—————————–
z(D) =
—————————–
A
B
;
F
z(A)
A
;
z(B)
7
————–
A
;
E
B
;
z(D)
—————————–
—————————–
z(E) =
————–
D
z(E)
Lösung: C = { 3 , 4 };
D = { 0 };
E = { };
A
6=
B
;
F
z (A)
| {z }
∈
A
;
z (B)
| {z }
4
F = A; z(D) = 1;
z(E) = 0
j=k
A
;
E
∈
/
B
;
z (D)
| {z }
3
j
6=
> ≧ 6=
D
z (E)
| {z }
1
0
21. (a) Schreibe das richtige Wort in die Kästchen:
A ∪ B = {x|x ∈ A
x ∈ B }, A ∩ B = { x | x ∈ A
x ∈ B}
(b) Welches Zeichen im Kästchen ergibt für beliebige Mengen A und B immer eine
wahre Aussage:
z(A)
z(A ∪ B)
Lösung: (a) A ∪ B = { x | x ∈ A oder
(b) z(A ∪ B)
≧
x ∈ B },
A ∩ B = {x|x ∈ A
und
x∈B}
z(A)
22. A = { x | x ∈ N und x durch 3 teilbar und x < 1000 } =
———————————————
B = { x | x ist ungerade }. Das Zeichen \ bedeutet außer oder ohne.
A \ B ist also die Menge aller Elemente von A, die nicht Elemente von B sind. Mit
z(M) wird die Anzahl der Elemente von M bezeichnet.
A∪B
=
A\B
=
A∩B
=
z(A \ B) =
Lösung:
A
B
A∪B
A\B
A∩B
z(A \ B)
=
=
=
=
=
=
———————————————
= {x|x
———————————————
= A \ {x|x
———————————————
——————————
z(A ∩ B)
=
}
}
——————————–
{ 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , . . . , 996 , 999 }
{1, 3, 5, 7, 9, ...}
{1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, . . . , 996, 997, 999, 1001, 1003, 1005 , . . . }
{ 6 , 12 , 18 , . . . , 996} = { x | x durch 6 teilbar und x < 1000}
{ 3 , 9 , 15 , . . . , 999} = A \ { x | x durch 6 teilbar}
996 : 6 = 166, z(A ∩ B) = 167
23. A = { 0 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 } B = { x | x gerade und 4 < x ≦ 12 } =
C = { x | x ∈ N und x durch 3 teilbar und x < 15 } =
8
————————————
————————————————
D = { x | x ∈ N0 und x < 5 } =
(a)
(A ∪ B) ∩ (C ∩ D) =
(b)
(A ∩ B) ∪ (B ∩ D) =
(c)
(A ∩ D) ∪ N =
(d)
(A ∩ D) ∩ N =
————————————————–
——————————————————–
——————————————————–
——————————————————–
——————————————————–
Lösung: B = { 6 , 8 , 10 , 12 } C = { 3 , 6 , 9 , 12 } D = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
(a) (A ∪ B) ∩ (C ∩ D) = { 0 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , 12 } ∩ { 3 }
(b) (A ∩ B) ∪ (B ∩ D) =
{ 6 , 10 } ∪ { }
(c)
(A ∩ D) ∪ N =
{0} ∪ N
(d)
(A ∩ D) ∩ N =
{0} ∩ N
=
=
=
=
=
=
=
=
————–
————–
————–
————–
{}
{ 6 , 10 }
N0
{}
24. Schreibe folgende Mengen ausführlich hin und gib jeweils ihre Mächtigkeit z(M) an
(die Mächtigkeit ist die Anzahl der Elemente einer Menge):
(a) A = { x | 30 ≦ x ≦ 170 }
(b) B = { x | x ungerade und 28 ≦ x < 43 }
Lösung: (a) A = { 30 , 31 , 32 , ... , 170}, z(A) = 141
(b) B = { 29 , 31 , 33 , 35 , 37 , 39 , 41}, z(A) = 7
25. (a) Schreibe alle Teilmengen von A = { 0 ; 3 ; 6 ; 9 } hin.
(b) Was ist die Vereinigung aller Teilmengen einer beliebigen Menge B?
(c) Was ist der Durchschnitt aller Teilmengen einer beliebigen Menge B?
Lösung: (a) { }, { 0 }, { 3 }, { 6 }, { 9 }, { 0 , 3 }, { 0 , 6 }, { 0 , 9 }, { 3 , 6 }, { 3 , 9 }, { 6 , 9 }, { 0 , 3 , 6 },
{ 0 , 3 , 9 }, { 0 , 6 , 9 }, { 3 , 6 , 9 }, A
(b) B
(c) { }
26. z(A) steht für die Anzahl der Elemente einer Menge A (Mächtigkeit von A). Welche
natürlichen Zahlen kann man an die Stelle von x setzen, damit z(A) ∈ A eine wahre
Aussage ist?
(a) A = { 2 ; 3 ; x }
(b) A = { 2 ; 4 ; x }
(c) A = { 3 ; 4 ; x }
Lösung: (a) Für x = 2 oder x = 3 ist z(A) = 2, sonst ist z(A) = 3, also L = N
(b) Für x = 2 oder x = 4 ist z(A) = 2, sonst ist z(A) = 3, also L = { 2 , 3 , 4 }
9
(c) Für x = 3 oder x = 4 ist z(A) = 2, sonst ist z(A) = 3, also alle natürlichen Zahlen
ohne 3 und ohne 4: L = { 1 , 2 , 5 , 6 , . . . }
27. Eine Denksportaufgabe:
Für die Mengen A = { 5 , 9 , 100 , a } und B = { x | x gerade und 0 < x ≦ b }
gilt
{ z(A) , z(B) } j A ∩ B.
a=
b=
oder b =
oder b =
oder b =
Schreibe alle Gedanken hin, die zur Lösung führen!
Lösung: Da B nur gerade Zahlen enthält, besteht auch A∩B nur aus geraden Zahlen. Da { z(A) , z(B) }
eine Teilmenge von A ∩ B ist, gilt z(A) gerade und z(B) gerade. Wenn a = 5, a = 9 oder
a = 100 wäre, dann wäre z(A) = 3. Da z(A) aber gerade ist, gilt a ∈
/ { 5 , 9 , 100 } und
z(A) = 4. Somit ist 4 ∈ A ∩ B, d.h. 4 ∈ A und 4 ∈ B. Aus 4 ∈ A folgt a = 4 und aus
4 ∈ B folgt b ≧ 4.
Da z(B) ∈ A ∩ B, folgt z(B) ∈ A und z(B) ∈ B. Aus z(B) ∈ A und z(B) gerade folgt
z(B) = 4 oder z(B) = 100. Ist z(B) = 4, dann ist B = { 2 , 4 , 6 , 8 } und b ist 8 oder 9.
Ist z(B) = 100, dann ist B = { 2 , 4 , 6 , . . . , 200 } und b ist 200 oder 201.
a=4
,
b=8
oder b = 9
28. Markiere den Fehler und verbessere!
(a) 8945345 ≈ 8940000
(b) (123)3 = 18
(c) {6; 3; 9; 7} j {9; 6; 3}
(d) 123 j N
Lösung: (a)
(b)
(c)
(d)
8945345 ≈ 8950000
(200)3 = 18
{6; 3; 9; 7} k {9; 6; 3}
123 ∈ N
10
oder b = 200
oder
b = 201