Exercise Set 4 - Fachbereich Mathematik

Übungen zu ‘65-841: Mathematik I für Studierende der Holzwirtschaft und Geowissenschaften
(Elementare Analysis)’, Universität Hamburg, Wintersemester 2015, Übung 4
Fachbereich Mathematik, Dr. Peter Heinig
A: Präsenzaufgaben am 6. November 2015
1. Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen. Bestimmen Sie jeweils den Flächeninhalt zwischen
x-Achse und dem Graphen der Funktion f1 : [−1, 2] → R, x 7→ x2 bzw. f2 : [−1, 2] → R, x 7→ |x|.
2. Integration durch Substitution. Berechnen Sie mit der Substitutionsmethode (die Zahlen allein
R1
R π/2
genügen nicht für volle Punktzahl): (a) 0 (x2 + x)7 (2x + 1)dx, (b) 0 sin(x) cos(x)dx.
B: Aufgaben bis spätestens 20. November 2015
1. Symbolisches Ableiten. Wichtige Ableitungsregeln. Berechnen Sie für jeden der folgenden acht Terme
1
d
fi (x): f1 (x) := x3 + x2 + x + 1 (0.5 Pkt.), f2 (x) := x 2 (0.5 Pkt.),
symbolisch einen Ausdruck für dx
1
1
1
f3 (x) := x− 2 (0.5 Pkt.), f4 (x) := tan x (0.5 Pkt.), f5 (x) := (cos x)2 (0.5 Pkt.), f6 (x) := x 2 cos(x 2 )
d
0
2
(0.5 Pkt.), f7 (x) := x , (0.5 Pkt.), f8 (x) := (cos x) · dx tan x. (0.5 Pkt.)
2. Definitionen. Zusammenhänge zwischen Teilaufgaben. Sei D ⊆ R eine beliebige Teilmenge. Sind
folgende Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
(a) Die Definition von “x0 ist Berührpunkt von D” in der Vorlesung vom 30. Oktober 2015 ist
äquivalent zur Aussage “∀δ > 0 : D ∩ (x0 − δ, x0 + δ) 6= ∅”.
(0.5 Pkt.)
(b) Wenn x0 ∈ D, dann ist x0 Berührpunkt von D.
(c) Wenn x0 ∈ D, dann ist x0 Berührpunkt von D\{x0 }.
(0.5 Pkt.)
(1 Pkt.)
(d) Die in der Definition von ‘f differenzierbar bei x0 ’ in der Vorlesung vom 30. Oktober 2015
vorkommende Bedingung “x0 ist Berührpunkt von D\{x0 }” ist logisch äquivalent zu “Für
jedes δ > 0 ist D ∩ (x0 − δ, x0 + δ) eine unendliche Menge.”
(1 Pkt.)
(e) Bezeichne ya den Term y in Aufgabe 4 (c) auf Blatt 1. Dann ist die Funktion f : [−3, −1] → R,
R1
a 7→ 0 ya dx stetig bei jedem a0 ∈ [−3, −1].
(1 Pkt.)
3. Bestimmte Integration. Zusammenhänge zwischen Teilaufgaben. Hauptsatz. Integration durch Substitution.
R3
R3
(a) Berechnen Sie 0 y−1 dx = 0 f−2 (x) dx, wobei ya und fm (x) wie in Übungsaufgabe 4 auf
Blatt 2 definiert seien, und geben Sie eine Begründung für Ihr Ergebnis. (Jede mathematisch
überzeugende Begründung ist zulässig, insbesondere dürfen Sie mit den Graphen argumentieren, die Sie in o.g. Übungsaufgabe zeichnen sollten.)
(1 Pkt.)
(b) Berechnen und begründen Sie mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
R1 a
R π/2
x dx für beliebiges a > 0 (0.5 Pkt.) und −π/4 sin(x)dx (0.5 Pkt.) als symbolischen Aus0
druck.
(c) Berechnen Sie mit der Substitutionsmethode (die Zahlen allein genügen nicht für volle PunktR π/6
R3
1
(1 Pkt.)
zahl): (c) 0 (1 − cos(3x)) · sin(3x) dx, (1 Pkt.) (d) 0 ( 13 x + 2)− 2 dx.
4. Symbolische Integration. Stammfunktion im wörtlichen Sinn. Berechnen Sie symbolisch
R
(a) 5x−6 dx,
R
(b) (cos1x)2 dx.
(1 Pkt.)
(1 Pkt.)
Geben Sie außerdem mit den üblichen Schreibweisen für Mengen und Funktionen die Menge aller
Stammfunktionen (−1, 2) → R der Funktion f : (−1, 2) → R, x 7→ x3 − 2x2 + 1 an. (2 Pkt.)
5. Flächeninhalt. Abgeschlossenes Intervall als Schnitt halboffener Intervalle. Bestimmen Sie jeweils
den Flächeninhalt zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion f1 : [−1, 2] → R, x 7→ x3
3π
(1 Pkt.), f2 : [−1, 2] → R, x 7→ |1 − x| (1 Pkt.), f3 : [− 2π
3 , ∞) ∩ (−∞, 4 ] → R, x 7→ cos(x).(2 Pkt.)
Die wöchentliche Kolumne
Auflösung Kolumne Blatt 1.
Erkenntnisgewinn durch Ableitungen, Teil II.
(Aufgaben in den Kolumnen werden mit drei
Sie finden die unten abgebildeten Fahrradspuren.
Blättern Verzögerung aufgelöst—sofern über-
Die Spuren sind nicht mehr frisch, Sie bieten Ih-
haupt nötig. Insbesondere wird es drei Blätter
nen im Wesentlichen nur die Verlaufsinformationen,
vor der Klausur keine Kolumne mehr ge-
so wie die unten abgebildeten Kurven, keine Infor-
ben.
mationen über Tiefe, Reifenprofil und dergleichen.
√
3
−1, und
Mit mathematischer Bildung können Sie dennoch
noch weniger die einer Funktion R → R,
(unter der plausiblen Hypothese, dass ein durch-
x 7→ ax für a < 0 sind unproblematisch,
schnittliches, handelsübliches Fahrrad die Spuren
weswegen sowohl das erste als auch das zwei-
hinterlassen hat) eindeutig schlussfolgern (1) in wel-
te ‘=’ dieser Pseudo-Gleichheitskette unge-
che Richtung das Fahrrad fuhr, und (2) welche der
rechtfertigt sind. Z.B. hat −1 in den kom-
Spuren die des Vorder- und welche die des Hinter-
plexen Zahlen genau drei dritte Wurzeln; in√
sofern ist die durch das Symbol 3 −1 sug√
gerierte Anwendung einer Funktion 3 · auf
rades ist. Wie? Verwenden Sie bei Ihrer schriftli-
−1 ein Fehler. Üblicherweise wird, auch nach
handelsübliches Fahrrad besteht nach Abstraktion
Beschränkung auf die reellen Zahlen, die all-
von zufälligen Details im Wesentlichen aus [...]”.
gemeinen Potenzfunktionen fa : R → R x 7→
(Ergänzung. Keine Punkte. Arbeiten Sie nur dar-
ax in der reellen Analysis nur für a > 0 de-
an, wenn Sie verantworten können, sich Zeit für
Weder die Definition des Symbols
1
finiert; insofern ist (−1) 3 ein Term ‘neben
der Lehre’.
chen Begründung Fachterminologie aus der Vorlesung, und beginnen Sie so: “Ein durchschnittliches,
Ergänzungen zu nehmen.)