Zur Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen

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Zur Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen
V. Teil, Die Etafunktionen
G. Schulz
Universität des Saarlandes
Fakultät 7 für Physik und Mechatronik
Dez 2012 (Text geändert am 05.04.2013)
Die Grundforderung der Quantenmechanik für die Anordnung von Spinteilchen in einem abgeschlossenen System, in einem Kristallit, einem Kolloid oder auch Nanopartikel besteht darin, dass keine zwei Teilchen in allen Quantenzahlen übereinstimmen dürfen. Im IV. Teil dieser Untersuchungen wurde gezeigt, dass diese Grundforderung für Cluster aus geordneten
Spinteilchen, das heißt von Spinteilchen unter dem Einfluss eines äußeren Feldes oder unter
dem Einfluss der gegenseitigen Wechselwirkung, durch die ganzzahligen Lösungen eines
erweiterten Kosinussatzes erfüllt werden kann. Dabei ist es völlig unerheblich, ob der Übergang von den zahlentheoretischen Lösungen mit "Drehsinn" zu den physikalisch relevanten
Größen mit "Drehimpuls" schließlich durch Multiplikation mit dem Zahlenwert  oder  / 2
erfolgt oder diese Zahlenwerte bereits in die Definitionen eingefügt werden. Wichtig ist nur,
dass  1 / 2 an den richtigen Stellen steht!
In Verbindung mit dem Spin der Elektronen wird die Grundforderung nach ihrem Entdecker
Pauliprinzip genannt und damit kann bekanntlich das "Periodische System", das heißt; das
gesamte System der periodischen Anordnung der Elemente in Spalten und Reihen durch die
Anordnung der Elektronen in nacheinander abgeschlossenen Schalen der Atomhüllen plausibel erklärt werden, allerdings weniger plausibel, wenn einige Schalen nicht abgeschlossen
sind und dadurch zwischen die regelförmigen Spalten des Systems die langen Reihen der Lanthanoiden und Aktinoiden eingeschoben werden müssen. Noch weniger plausibel, wenn man
fragt, wie es denn kommt, dass die Kerne der Atome genau im Takt der Hüllenelektronen die
erforderlichen positiven Ladungen, eine nach der anderen in der "richtigen" Größe zur Verfügung stellen, da man doch weiß, dass die Kerne ganz anderen Quantenstrukturen gehorchen
als die Hüllenelektronen.
Werner Heisenberg ist mit einer dem Spin ähnlichen Größe – nicht gleichen, aber gleichartigen, ähnlichen Größe – mit dem sog. "Isospin" dem Problem auf den Grund gegangen. Mit
dem Isospin werden zwei Ladungszustände ein und derselben Größe und damit das Wechselspiel zwischen Proton und Neutron beschrieben und wenn man den Sättigungseffekt der
Kernkräfte hinzunimmt, so kann damit sofort auch die "richtige" Reihenfolge der positiven
Kernladung abgeleitet werden. Wenn man dieses Wechselspiel zahlentheoretisch verfolgen
will, gerät man unweigerlich von der Welt der Quadratzahlen in die Welt der Kubikzahlen
oder allgemeiner, von den Diophantischen Größen mit dem Exponenten 2 zu den Diophantischen Größen mit dem Exponeten 3 und den zugehörigen Verknüpfungen. Dabei unterscheiden sich die Kubikzahlen von den Quadratzahlen vor allem durch ihre (groß)Etafunktionen
H(n).
I. Die Etafunktionen.
In Anlehnung an die H(n)-Funktion der Quadratzahlen – die zur Unterscheidung fortan als
Etafunktion H2(n) mit dem unteren Index 2 bezeichnet werden soll – definieren wir die (groß)
Etafunktion Hz(n) mit dem unteren Index z wie folgt:
Die Etafunktion Hz(n) gibt an, wie viele Zahlen n', die kleiner sind als n, mit n multipliziert
eine (ganze) Zahl j mit dem Exponenten z ergeben, so dass also gilt: j z = n • n'.
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
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In Abb.V, 1 ist H3(n) als Funktion von n für alle ungeraden und alle geraden ○ Zahlen von
1 bis 50000 eingetragen. Wie im Falle der Η2(n) sind auch alle Werte der H3(n) durch eine
obere Grenzkurve begrenzt, die durch eine analytische Funktion beschrieben werden kann
y( x)  3
x
1
Q0
(V,1a)
mit x ~ n, y ~ Η3 und dem Parameter Q0 = 1.
(3)
H (n)
35
30
25
20
15
10
5
n
0
0
10000
20000
30000
40000
50000
Abb. V, 1a Die Werte der Etafunktion Η3(n) der geraden ooo und ungeraden
Zahlen
von n =1 bis 50000. Die obere Grenzkurve ist vollkommen regelförmig
von geraden und ungeraden Zahlen besetzt
Die Zahlenwerte der Etafunktion Η3(n) wurden durch direkte Anwendung des TeilerteilerOperators gewonnen, der – wie in Teil I gezeigt – nicht nur die Anzahl in und in' der Primzahlen im Primprodukt von n und n' , sondern zugleich auch diese Primzahlen selbst liefert.
Wenn die Primzahlen einzeln gezählt werden, kann in einem ersten Schritt überprüft werden,
ob die notwendige Bedingung
(in  in ' ) / 3  ( ganzeZahl)
(V,2a)
erfüllt ist, und erst dann, ob auch die hinreichende Bedingung erfüllt ist, dass in dem aus
in
n   pi
1
i
in '
und n'   pi
i
1
zu n  n' 
( in  in ' )

pi
i
(V,2b)
1
zusammengesetztem Primprodukt von ( n  n' ) die Exponenten sämtlicher Primzahlen durch 3
ohne Rest teilbar sind. Auf diese Weise können nicht nur sehr große Zahlen, sondern auch
sehr große Zahlenmengen relativ schnell und vor allem frei von Rundungsfehlern bearbeitet
werden. Im Gegensatz zu diesem "semilogarithmischen" Verfahren ersticken die einfacheren
Methoden, mit Hilfe analytischer Ausdrücken wie z.B. aus
3
n  n'  exp((ln( n  n' )) / 3.0)
(V,3 )
auf die Ganzzahligkeit der dritten Wurzel des Produkts zu schließen wegen der begrenzten
Mantissen der Rechenwerke sehr bald an den Rundungsfehlern, die bei der Bildung des Exponentialfaktors wie auch des Logarithmus notwendigerweise auftreten!
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
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Die Etafunktion der Kubikzahlen zerfällt nicht wie die H2(n) der Quadratzahlen in einzelne
Zweige, die etwa durch die Folge der regulären und adjungierten Zahlen Pν oder andere Folgen ganzer Zahlen als Parameter charakterisiert werden könnten. Die Abb. V, 1b über einem
größeren Zahlenbereich zeigt vielmehr, dass auch die Umkehrfunktion zu (V 1)
( H 3 (n0 )  1)3  Q0  n0
(V,4)
ausschließlich mit Q0 = 1 Ergebnisse mit ganzen Zahlen auf einem kompakten Zweig liefert.
100
H3(n), y(x)
90
80
70
60
50
40
30
n, x
20
0
200000
400000
600000
800000
1000000
Abb. V, 1b Die Werte der Etafunktion Η3(n) für alle Zahlen von n =1 bis 1 Mio.
Nur die obere Grenzkurve ist durch den einen Parameter Q0 = 1 eindeutig bestimmt
Während die Eta-Funktion H2(n) lediglich eine Feinstruktur aufweist, die physikalisch durch
die Projektion der Spinrichtung auf die Richtung eines äußeren Feldes oder des Feldes der
gegenseitigen Wechselwirkung interpretiert werden kann, zeigt die Η3(n), wie in Abb. V 2
dargestellt, für alle Werte die n i c h t auf der oberen Grenzkurve liegen, eine ausgeprägte
Hyperfeinstruktur. Das heißt: Die Parameter Qν der darstellenden analytischen Funktionen
y ( x )  3
x
1
Q
(V,1b)
sind zwar durch die Quotienten einfacher ganzer Zahlen gegeben, die Funktionen selbst aber
nur an wenigen Stellen x ~ n besetzt.
35
Q0= P0=1
H3(n) ~ y
30
Q12= 8/3
25
20
n~x
15
10000
20000
30000
40000
50000
Abb. V, 2a Vergrößerter Ausschnitt, Darstellung der Η3(n)-Werte o auf den zugehörigen Hyperfeinstrukturen.
Weitere Erklärungen im Text
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
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Darüber hinaus erzeugen einige Parameter wie z.B. Q = 8/3 isoliert liegende Singuletts, die
nur bis zu einer bestimmten Höhe mit Werten besetzt sind.
Bildet man den Mittelwert der Parameter der an einer Gruppierung beteiligten yν(x), so erhält
man – wie in Abb. V, 2b dargestellt – eine Grobstruktur der Eta-Funktion H3(n), die eine erste
Orientierung erlaubt und physikalisch den Verlauf der Funktionen v o r dem Einschalten der
Wechselwirkungskräfte, die zur Hyperfeinstruktur führen, beschreibt.
100
H3(n), yMittel(x)
90
80
70
60
50
40
30
n, x
20
0
200000
400000
600000
800000
1000000
Abb. V, 2b Vergrößerter Ausschnitt, Darstellung der Η3(n)-Werte o auf den zugehörigen
analytischen Funktionen mit Mittelwerten der Parameter Pµ mit µ = 1 bis 12
Die Mittelwerte der Parameter sind gleich den Quotienten aus regulären und adjungierten
Zahlen, geteilt durch 1 oder im Falle, dass der Parameter eine Primzahlen ist, geteilt durch 2.
Betrachten wir die Η3(n) noch unter einem anderen Aspekt: In Abb. V, 3 sind alle Werte der
Etafunktion Η3(n) auf der oberen Grenzkurve als offene Kreise eingezeichnet u n d die Funktionswerte rot markiert, für die gilt:
Η3(n0) = H2(n0)
(V, 5)
Aus den Umkehrfunktionen folgt für die Schnittpunkte mit dem einen Parameter Q0 = 1 für
Η3(n) und den fortlaufenden regulären und adjungierten Zahlen für die Parameter Pν in der
Funktion H2(n0) an diesen Stellen n0:
( H 3 (n0 )  1)3  Q0  ( H 2 (n0 )  1)2  P
(V, 6)
Und somit an den bestimmten Stellen n0ν:
Η3(n0ν)+1 = Pν
(V,7)
Damit ist ein fundamentaler Zusammenhang zwischen den Zahlen der zweiten und dritten
Potenz und ihrer Verknüpfung durch bestimmte Koeffizienten hergestellt. (Es scheint – ist
aber noch nicht vollständig bewiesen – dass den Etafunktionen für die Bildung von Polynomen bis zur dritten Ordnung eine ähnliche Bedeutung zukommt wie den Teileroperatoren in
(III, 6) für die Bildung Pythagoreischer Tripel.) Und es gilt: (Η3(n0ν)+1)3 = n0ν. Damit deutet
sich zugleich ein Zusammenhang zwischen den Quantenzahlen der Atomhüllen und den
Quantenzahlen der Kerne an, für den bisher noch keine einfachere Form gefunden wurde.
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
5
H3(n)
35
30
25
20
15
10
5
n
0
0
10000
20000
30000
40000
50000
Abb. V 3a Die obere Grenzkurve für alle Werte der Η3(n)
20
y ~ H(n)
16
12
o
H (n0) = H2(n0)
3
y  3 x / Q0  1
8
y  2 x / P  1
4
x~n
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
Abb.V 3b Grafische Darstellung des analytischen Zusammenhangs von (V, 6) mit (V, 7).
(verkürzte Abszisse!)
Die grafische Darstellung in Abb. V 3a und b zeigt aber auch, dass nicht alle n, die einen Wert
auf der Grenzkurve der Η3(n) liefern, auch Quadratzahlen enthalten, was allein darauf beruht, dass es keine Zweige der Funktion Η2(n) mit irregulären Zahlen als Parameter Pµ gibt
(siehe IV. Teil dieser Untersuchungen). Die frei bleibenden Plätze auf der Grenzkurve haben
dennoch eine wichtige Funktion für die Konstruktion der Η3(n0):
II. Zur Konstruktion der Etafunktion Η3(n) .
Die Größen Η3(n) +1 an den Stellen auf der Grenzkurve, die nicht Schnittpunkte mit einem
Zweig der H2(n) sind, sind irreguläre Zahlen. Auch die zugehörigen n sind irreguläre Zahlen
Irregulär sind insbesondere die Quadratzahlen nq = J∙J, die ja mindestens eine Zahl in ihrem
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
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Volumen enthalten – nämlich J selbst – die mit nq multipliziert eine Kubikzahl ergibt. Also
betrachten wir in Abb. V, 4 die Etafunktion Η3(nq) über solchen Zahlen und finden
H3(nq)
40
20
0
nq
0
20000
40000
Abb. V, 4 Die Etafunktion Η3(nq) als Funktion der ganzen Zahlen nq, die selbst Quadratzahlen sind.
Die Darstellung stellte einen Ausschnitt dar, der nach höheren Werten beliebig fortgesetzt werden
kann.
eine prägnante Anordnung der Η3(nq). Die Funktionswerte bilden kompakte Stufen und einzelne weniger kompakte, aber deutlich erkennbare Gruppierungen in einem sonst nahezu leeren Zahlenraum. Die Stufen sind dadurch charakterisiert, dass dort ein Zahlenwert "fehlt", der
stattdessen auf der oberen Grenzkurve zu finden ist, exakt in einer der Lücken, die die
Schnittpunkte der Η3(n0) mit H2(n0) offen gelassen haben. Die Tabelle Tab. V, 1 im Anhang
zeigt, wie im Einzelnen die Werte der Eta-Funktion Η3(nq) über den Quadratzahlen nq zu konstruieren sind:
In der ersten Kolonne der Tabelle stehen die Zahlen nq = J*J, die mit den natürlichen Zahlen
n' = J von 2 bis 7 genau eine Kubikzahl Η3(nq) = 1 bilden, getrennt von der zweiten Kolonne
durch die Zahl nq = 64, die zwar mit n' = 8, aber auch bereits mit n' = 1 und n' = 27 multipliziert eine Kubikzahlen bildet und daher nicht auf der Stufe Η3(nq)= 1, sondern erst auf der
übernächsten Stufe mit dem Wert Η3(nq)= 3 einzuordnen ist. Ebenso sind alle weiteren durch
8 teilbaren Zahlen aus den jeweiligen Kolonnen herausgerückt und nach Stellen mit größerem
Η3(nq)verschoben. Eine neue Stufe tritt dann auf, wenn (Η3(nq)+ 1)3 selbst eine Kubikzahl
ergibt. In den Spalten, die von Kolonne zu Kolonne neu hinzutreten, ist daher die erste Zahl
wie jede weitere Zahl gleich dem Produkt aus der natürlichen Zahl n' = J in der ersten Spalte
mit (Η3(nq)+1)3 aus der vorhergehenden Kolonne.
Die durch 8 teilbaren Zahlen, die in den ersten Spalte der Kolonnen (also alle n = J*J*64)
stehen, sind in der Tab. V, 2 angezeigt und in Abb. V, 4 durch Kreuze gekennzeichnet.
Schließt man diese Zahlen vor Anwendung des Teilerteileroperators aus, erhält man Kolonnen allein für die Stufen.
In einer undifferenzierten Darstellung der Eta-Funktionen durchdringen sich die Zahlenmengen, die in den beiden Tabellen getrennt aufgeführt sind (!).
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
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Obwohl nur die auf Quadratzahlen basierende Η3(nq)für die Anwendungen in der Physik in
Frage stehen, sollen im Folgenden einige allgemeine Strukturen der Eta-Funktionen Η3(n)
betrachtet werden.
III. Die Entwicklung der Etafunktionen aus Primvektroren.
Die dritten Wurzeln aus den Produkten 3 n  n' sind gleichabständig. Daraus folgt, wenn n1'
die erste und mithin kleinste Zahl n' bezeichnet, die mit n multipliziert eine Kubikzahl ergibt:
 n 1
H 3 (n)  3

 n1 ' 
(V,8)
(Die nach außen gekehrten eckigen Klammern stehen – wie früher senkrechte Striche – dafür,
dass nur der ganzzahlige Teil der Zahl genommen werden soll). Es braucht also nur diese eine
kleinsten Zahl n1' mit dem aufwendigen Verfahren, das oben beschrieben worden ist, bestimmt zu werden, um den Funktionswert Η(3)(n) exakt zu berechnen. So auch die Werte der
weiteren nη' in den Zeilen der Tabellen V, 1 und V, 2. Denn aus der Gleichabständigkeit folgt
sofort auch:
n '  {H 3 (n)}3  n1 '
(V,9)
Damit ist neben der präzisen – wenn auch etwas langwierigen – Konstruktion der vollständigen Η3(n), eine schnellere Darstellung für die Etafunktionen gefunden. Es sei aber ausdrücklich darauf hingewiesen, dass in der allgemeinen Darstellung der Η3(nq), das heißt, ohne Vorauswahl von n', sich die verschiedenen Kolonnen von Zahlen gegenseitig durchdringen und
umgekehrt, die Kolonnen ausschließlich durch eine strikte Vorwahl der n' von einander getrennt werden können.
Betrachtet man zu jedem nq die Primprodukte und die Abstände sämtlicher n2' und n3', die
multpliziert mit nq zu einer Quadratzahl bzw. zu einer Kubikzahl führen, so ergibt sich aus der
Gleichabständigkeit der n' ein weiterer wichtiger Zusammenhang. Immer wenn
n3 '  3 nq  n3 ' und mithin n3 '  2 nq
(V,10)
beobachtet wird, folgt
H 2 (nq )  J  1
(V,11)
In der Struktur der Etafunktion Η3(nq) ist die Größe der Etafunktion Η2(nq) also bereits enthalten und braucht daher nicht gesondert berechnet zu werden. (Ein Beispiel für diesen Sachverhalt ist im Anhang Tab. V, 4 dargestellt.)
Ein weiteres Verfahren zur Bestimmung von Etafunktionen, das an Schnelligkeit alle anderen
Verfahren bei Weitem übertrifft (10 Mio Werte in 34 sec auf einem einfachen PC), ergibt sich
folgendermaßen:
Unter einem Primvektor sei ein Vektor verstanden, dessen Komponenten aus Primzahlen bestehen. Insbesondere heiße ein Primvektor Basisvektor einer Zahl, wenn seine Komponenten
aus den Primzahlen des Primprodukts dieser Zahl bestehen und dieser Vektor das Primprodukt der Zahl vollständig überdeckt, das heißt:
N
Bz (n )   p
1
z  
N
ist Basisvektor von n   p

,
(V,12)
1
wenn zu einer Zahl z ≥2 im Exponenten Faktoren κν existieren, die angeben wie oft z genommen werden muss, damit gilt αν ≤ z·κν. – So ist z.B. mit z = 3
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8
N
n  n1 '   p
3 
(V,13)
1
Denn aus dem Primprodukt der Zahl n
N
n   p

(V,14)
1
folgt für die erste und kleinstmögliche Zahl n1'
N
n1 '   p
3  
(V,15)
1
Und damit folgt aus (V, 8)
 n  1   n2  n   3 n2  n 
H 3 (n)  3

  3
 
n
'
1 

 B3 (n )    p 
(V,16 a)
Oder allgemeiner:
 n  1   n2  n   z n2  n 
H z (n)   z

  z
 
n
'
B
(
n
)
1
z

 
   p 
(V,16 b)
Für die verschiedenen Etafunktionen Hz(n) sind also lediglich die Basisvektoren bzw. die κν
neu zu bestimmen. Da der Teilerteiler-Operator (siehe Teil I dieser Untersuchungen) aber
ohnehin die Reihe der Primzahlen nach Größe geordnet liefert, erhält man entweder, wenn
 / z eine ganze Zahl ist, mit  / z   oder, wenn  / z eine ganze Zahl überschreitet, mit
 / z  1   die vollständige Überdeckung des Primprodukts und damit die Berechnung der
Etafunktion zu einer beliebigen Zahl n und einer beliebigen Potenz z. Zur Kontrolle der numerische Auswertung von (V, 16 b) sollten wegen der Rundungsfehler aber auch hier die Ergebnisse wenigstens an manchen oder besonders kritischen Stellen mit den Werten aus dem
präzisen semilogarithmischen Verfahren verglichen werden.
mail: [email protected]
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
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Anhang.
Tab. V,1 Undifferenzierte Darstellung der Eta-Funktion Η3(nq) über den Quadratzahlen.
n
4
Η3(n)
( n' )
( 2
)
1
)
)
)
)
)
1
1
1
1
1
9
16
25
36
49
(
(
(
(
(
3
4
5
6
7
81
100
121
144
169
196
225
(
(
(
(
(
(
(
9 72 ) 2
10 80 ) 2
11 88 ) 2
12 96 ) 2
13 104 ) 2
14 112 ) 2
15 120 ) 2
289
324
361
400
441
484
529
(
(
(
(
(
(
(
17
18
19
20
21
22
23
136
144
152
160
168
176
184
)
)
)
)
)
)
)
2
2
2
2
2
2
2
625 (
676 (
25
26
200
208
)
)
2
2
64 (
1
8
27
)
3
784
841
900
961
(
(
(
(
28
29
30
31
224
232
240
248
756
783
810
837
)
)
)
)
3
3
3
3
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
(
(
(
(
(
(
(
33
34
35
36
37
38
39
264
272
280
288
296
304
312
891
918
945
972
999
1026
1053
)
)
)
)
)
)
)
3
3
3
3
3
3
3
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
(
(
(
(
(
(
(
41
42
43
44
45
46
47
328
336
344
352
360
368
376
1107
1134
1161
1188
1215
1242
1269
)
)
)
)
)
)
)
3
3
3
3
3
3
3
2401
2500
2601
2704
2809
(
(
(
(
(
49
50
51
52
53
392
400
408
416
424
1323
1350
1377
1404
1431
)
)
)
)
)
3
3
3
3
3
3025 (
55
440
1485
)
3
3249
3364
3481
3600
3721
3844
3969
(
(
(
(
(
(
(
57
58
59
60
61
62
63
456
464
472
480
488
496
504
1539
1566
1593
1620
1647
1674
1701
)
)
)
)
)
)
)
3
3
3
3
3
3
3
4225
4356
4489
4624
4761
4900
5041
(
(
(
(
(
(
(
65
66
67
68
69
70
71
520
528
536
544
552
560
568
1755
1782
1809
1836
1863
1890
1917
4160
4224
4288
4352
4416
4480
4544
)
)
)
)
)
)
)
4
4
4
4
4
4
4
5329 (
73
584
1971
4672
)
4
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
10
5476
5625
5776
5929
6084
6241
(
(
(
(
(
(
74
75
76
77
78
79
592
600
608
616
624
632
1998
2025
2052
2079
2106
2133
4736
4800
4864
4928
4992
5056
)
)
)
)
)
)
4
4
4
4
4
4
6724
6889
7056
7225
7396
7569
(
(
(
(
(
(
82
83
84
85
86
87
656
664
672
680
688
696
2214
2241
2268
2295
2322
2349
5248
5312
5376
5440
5504
5568
)
)
)
)
)
)
4
4
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© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
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(
(
(
(
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206
207
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5
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5
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211
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214
215
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48
56
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108
135
27
64
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6400 (10 80 270
13888
13952
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14080
750
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125
576
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500
625
27125
27250
27375
27500
46872)6
47088)6
47304)6
47520)6
1296
1512
2058
2401
)
)
343
512)
8
216
1125
1250
864 ) 6
1080 ) 6
1944
2160
7
7
3087 4608)8
3430 5120)8
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9216 ( 12 96 324 768 1500 2592 4116 6144 8748 ) 9
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12544 ( 14 112 378 896 1750 3024 4802 7168 10206 ) 9
14400 ( 15 120 405 960 1875 3240 5145 7680 10935 ) 9
18496 (
17
136
459
1088
2125
3672
5831
8704
12393
17000
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
) 10
12
20736
23104
25600
2916
28224
30976
33856
(
(
(
(
(
(
(
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2 16 54 128 250
21 168 567 1344
22 176 594 1408
23 184 621 1472
2250
2375
2500
432
2625
2750
2875
3888 6174 9216 13122 18000 ) 10
4104 6517 9728 13851 19000 ) 10
4320 6860 10240 14580 20000 ) 10
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4752 7546 11264 16038 22000 29282
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40000
43264
6561
11664
(
(
(
(
25 200 675 1600 3125 5400 8575 12800 18225 25000 33275 ) 11
26 208 702 1664 3250 5616 8918 13312 18954 26000 34606 ) 11
3 24 81 192 375 648 1029 1536 2187 3000 3993 5184 ) 12
4 32 108 256 500 864 1372 2048 2916 4000 5324 6912 8788 10976
) 11
) 11
) 11
) 14
Tab. V, 2 Darstellung der Eta-Funktion Η3(nq) über den Quadratzahlen (nq')2 = J*8*J*8
Bezeichnungen wie in V, 1.
64
256
576
1024
1600
2304
3136
5184
6400
7744
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10816
12544
14400
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
1 8 27
2
16
3
24
4
32
5
40
6
48
7
56
9
72
10
80
11
88
12
96
13 104
14 112
15 120
) 3
54
128
81
192
108
256
135
320
162
384
189
448
243
576
270
640
297
704
324
768
351
832
378
896
405
960
250
375
500
625
750
875
1125
1250
1375
1500
1625
1750
1875
) 5
) 5
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1080
1296
1512
1944
2160
2376
2592
2808
3024
3240
) 6
) 6
2058
2401
3087
3430
3773
4116
4459
4802
5145
) 7
) 7
4608
5120
5632
6144
6656
7168
7680
) 8
) 8
) 8
8748
9477
10206
10935
)
)
)
)
18496
20736
23104
25600
28224
30976
33856
40000
43264
50176
53824
57600
61504
69696
73984
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
17
18
19
20
21
22
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2375
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2625
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3625
3750
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1280
1344
1408
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1792
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1984
2112
2176
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53568
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12
12
12
12
12
12
Tab V, 3 Etafunktion Η3(nq) über den reinen Quadratzahlen (ohne die in Tab I ausgerückten
Zahlen) mit einer neuen Zählung der Vielfachen, wenn auch Η3(nq) durch 8 geteilt werden
kann.
Bezeichnungen wie in V, 1.
81 ( 9 72 ) 2
100 ( 10 80 ) 2
121 ( 11 88 ) 2
144 ( 12 96 ) 2
169 ( 13 104 ) 2
196 ( 14 112 ) 2
225 ( 15 120 ) 2
289 ( 17 136 ) 2
324 ( 18 144 ) 2
361 ( 19 152 ) 2
400 ( 20 160 ) 2
441 ( 21 168 ) 2
484 ( 22 176 ) 2
529 ( 23 184 ) 2
625 ( 25 200 ) 2
676 ( 26 208 ) 2
784 ( 28 224 756 )
841 ( 29 232 783 )
900 ( 30 240 810 )
3
3
3
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
13
961
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2401
2500
2601
2704
2809
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3249
3364
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3721
3844
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5776
5929
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891 ) 3
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1593 ) 3
1620 ) 3
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1674 ) 3
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© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
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27556
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28561
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31684
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) 5
46872
)
6
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
15
47524
47961
48400
48841
49284
49729
50625
51076
51529
51984
52441
52900
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
218
219
220
221
222
223
225
226
227
228
229
230
729 (
1
1744
1752
1760
1768
1776
1784
1800
1808
1816
1824
1832
1840
8
27
5886
5913
5940
5967
5994
6021
6075
6102
6129
6156
6183
6210
64
13952
14016
14080
14144
14208
14272
14400
14464
14528
14592
14656
14720
125
216
27250
27375
27500
27625
27750
27875
28125
28250
28375
28500
28625
28750
343
47088
47304
47520
47736
47952
48168
48600
48816
49032
49248
49464
49680
512
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
8
2916 ( 2 16 54 128 250 432 686 1024 1458 2000 2662 ) 11
6561 ( 3 24 81 192 375 648 1029 1536 2187 3000 3993 5184 ) 12
11664 ( 4 32 108 256 500 864 1372 2048 2916 4000 5324 6912 8788 10976 ) 14
18225 ( 5 40 135 320 625 1080 1715 2560 3645 5000 6655 8640 10985 13720 16875
) 15
26244 ( 6 48 162 384 750 1296 2058 3072 4374 6000 7986 10368 13182 16464 20250
24576 ) 16
35721 ( 7 56 189 448 875 1512 2401 3584 5103 7000 9317 12096 15379 19208 23625
28672 34391 ) 17
15625 ( 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096
4913 5832 6859 8000 9261 10648 12167 13824 ) 24
Anmerkung: Die in diesen Tabellen aufgeführten Zahlen dienen lediglich zur Kontrolle von – möglicherweise – vereinfacht formulierten Operatoren, ersetzen diese aber
zur Handhabung großer Zahlenmengen nicht.
Tab. V,4: Beispiel zu (V,10) und (V,11) (z = 3)
n
V
Zahl n =
169
14
2
n3'=13
104
D
Hz
τ
φ
ρ
155
2
3
156
0.923077
2
13
i
pi
Abstand
13
Kubikzahlen
1
12
2
2
12
0.923077
1
13
106
-2
2
8
48
0.461538
4
2
2
1.000000
0.500000
0.666667
0.500000
0.800000
0.333333
0.857143
0.500000
0.666667
0.400000
0.909091
0.333333
1
2
2
4
2
4
2
6
4
4
2
6
1
2
3
2
5
2
7
2
3
2
11
2
2
3
2
5
2
7
2
3
2
11
2
J – 1 = 12 Quadratzahlen n2'
1
1
0
12
1
1
4
3
1
12
3
2
9
4
5
12
3
6
16
15
1
12
5
8
25
6
19
12
3
20
36
55 -19
12
9
12
49
8
41
12
3
42
64
63
1
12
7
32
81
40
41
12
5
54
100 117 -17
12
9
40
121
12 109
12
3 110
144 259 -115
12
15
48
3 n  n ' = 13.0
3
-->
2
13
2
2
3
3
2
3
5
2
3
5
2
© G. Schulz, 2013, Erweiterung der Ordnung von Spinteilchen, Teil V
2
-->
-->
-->
-->
-->
-->
-->
-->
2
2
-->
-->
-->
3
3
26.0
13.0
26.0
39.0
52.0
65.0
78.0
91.0
104.0
117.0
130.0
143.0
156.0