Lineare Algebra II (SS 13)

Lineare Algebra II (SS 13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
22.04.2013
Bernhard Hanke
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Eigenräume eines Endomorphismus
Ist λ ein Eigenwert eines Endomorphismus f ∈ End(V ) und A = MBB (f )
die darstellende Matrix von f bezüglich einer Basis B, dann sind die
Vektoren in einer Basis von
ker(A − λEn ) ⊂ K n
die Koordinatenvektoren (bezüglich der Basis B) der Basisvektoren von
Eig(f ; λ).
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Spur eines Endomorphismus
Definition
Es sei A = (aij ) ∈ K n×n . Wir setzen
spur(A) :=
n
X
akk ∈ K .
k=1
Dies ist die Spur von A.
Proposition (1.7)
Es seien A, B ∈ K n×n . Dann gilt
spur(AB) = spur(BA).
Insbesondere haben ähnliche Matrizen die gleiche Spur.
Bemerkung
Man beachte, dass in der Regel AB 6= BA gilt!.
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Proposition (1.8)
a) Es sei f ∈ End(V ) diagonalisierbar. Dann zerfällt Pf in
Linearfaktoren.
b) Das charakteristische Polynom Pf zerfalle in Linearfaktoren, wobei
jede Nullstelle mit Vielfachheit 1 auftritt. Dann ist f diagonalisierbar.
Bemerkung
Die Nullstellen von Pf können in höherer Vielfachheit auftreten, z.B. ist
f : K n → K n , x 7→ λx, dann gilt Pf = (λ − X )n .
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Proposition (1.9)
Für alle λ ∈ K gilt
dim Eig(f; λ) ≤ µ(Pf ; λ).
Bemerkung
Es muss nicht immer Gleichheit auftreten. Sei

λ 1
0

.
.
.. ..

J(λ, n) := 

..

. 1
0
λ



 ∈ K n×n


der Jordanblock der Größe n zum Eigenwert λ.
Dann ist PJ(λ,n) = (λ − X )n aber dim Eig(J(λ, n); λ) = 1.
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Satz (1.10)
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
I
f ist diagonalisierbar.
I
Pf zerfällt in Linearfaktoren und für alle Nullstellen λ von f gilt
dim Eig(f; λ) = µ(Pf ; λ).
I
Sind λ1 , . . . , λk die paarweise verschiedenen Eigenwerte von f , so gilt
V = Eig(f; λ1 ) ⊕ . . . ⊕ Eig(f; λk ) .
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Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus
Sei f ∈ End(V ), V endlichdimensional:
I
f Falls Pf in Linearfaktoren nicht zerfällt, so ist f sicher nicht
diagonalisierbar.
I
Zerfällt Pf in Linearfaktoren, so berechnet man für alle Nullstellen λ
von Pf die Dimension von Eig(f; λ). Gilt für alle Nullstellen λ die
Gleichheit dim Eig(f; λ) = µ(Pf ; λ), so ist f diagonalisierbar.
Definition
Es sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum und f ∈ End(V ). Es sei
λ ∈ K eine Nullstelle von Pf (d.h. ein Eigenwert von f ).
I
Die Ordnung der Nullstelle λ von Pf , also die Zahl µ(Pf ; λ), heißt
algebraische Vielfachheit von λ.
I
Die Dimension dim Eig(f; λ) heißt geometrische Vielfachheit von λ.
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Beispiel


2 0 0
Wir betrachten A :=  3 5 −3  ∈ R3×3 .
6 6 −4
Das charakteristische Polynom ist PA = −(X − 2)2 · (X + 1) die
Eigenwerte sind dann λ1 = −1 und λ2 = 2.
Für die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten gilt
µ(PA ; −1) = 1 = dim Eig(A; −1) und µ(PA ; 2) = 2 = dim Eig(A; 2).
Insbesonders ist A diagonalisierbar.
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Trigonalisierbarkeit eines Endomorphismus
Satz (1.11)
Es sei f ∈ End(V ). Dann sind äquivalent:
I
Pf zerfällt in Linearfaktoren.
I
f ist trigonalisierbar.
Mit dem Fundamentalsatz der Algebra folgt also
Folgerung
Jeder Endomorphismus eines endlichdimensionalen komplexen
Vektorraumes ist trigonalisierbar.
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Bemerkung
Die darstellende obere Dreiecksmatrix ist durch f nicht eindeutig
bestimmt. Es ist jedoch klar, dass auf der Diagonalen genau die Eigenwerte
stehen, und zwar mit der Häufigkeit ihrer algebraischen Vielfachheiten.
Wir kommen auf diesen Punkt später noch einmal zu sprechen, wenn wir
die Jordansche Normalform diskutieren.
Beispiel


3 2 −1
Wir betrachten die Matrix A :=  2 4 −1  .
5 6 −1
Das charakteristische Polynom PA = −(X − 2)3 zerfällt in Linearfaktoren,
also ist A trigonalisierbar. Eine konkrete Rechnung ergibt, dass A ähnlich
zur oberen Dreiecksmatrix:


2 2 3
A0 =  0 2 1  .
0 0 2
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