Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
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Hinweise zur Benutzung des Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
Zur Technik des Zahlenrechnens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1
Der Zahlbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Das dekadische Positionssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Das duale Positionssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Konstante und Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Rechnen mit Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Notwendige Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Die Teilbarkeit von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.1 Teiler einer Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.2 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.3 Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.4 Der größte gemeinsame Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.5 Das kleinste gemeinsame Vielfache . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Gewöhnliche Brüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4.2 Erweitern und Kürzen von Brüchen . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4.3 Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche . . . . . .
2.2.4.4 Multiplikation von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4.5 Der Kehrwert eines Bruches . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4.6 Division von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4.7 Doppelbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Dezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5.2 Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen . . . . . .
2.2.5.3 Multiplikation von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5.4 Division von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5.5 Umwandlung von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5.6 Das Runden von Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6.1 Quadrate und Kuben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6.2 Quadrat- und Kubikwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Rechenhilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7.2 Der Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7.3 Erste Begegnung mit dem Wissenschaftlichen Rechner .
2.2.7.4 Schlussbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
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3
Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1
Die Rolle der Sprache in der Mathematik
3.1.1 Allgemeine Bemerkungen . . . .
3.1.2 Aussagen und Aussageformen .
3.1.3 Verknüpfung von Aussagen . . .
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3.3
3.4
Inhaltsverzeichnis
3.1.3.1 Einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.2 Die Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.3 Die Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.4 Die Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.5 Die Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Der Begriff der Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Die Beschreibung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Mengenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.1 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.2 Gleichheit zweier Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.1 Vereinigung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.2 Durchschnitt von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.3 Differenz zweier Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Rechnen mit Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Die vier Grundrechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.1 Einfache Rechenoperationen mit Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.2 Die negativen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.3 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.4 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.5 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.6 Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Das Rechnen mit algebraischen Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.1 Über die Bedeutung der Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.2 Setzen und Auflösen additiver und subtraktiver Klammern . . . . . .
3.3.2.3 Multiplikation von Klammerausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.4 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.5 Division von Klammerausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.6 Ausklammern gemeinsamer Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.7 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.2 Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten . . . . . . . . .
3.4.2.3 Division von Potenzen mit gleichen Exponenten . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.4 Multiplikation von Potenzen mit gleichen Grundzahlen . . . . . . . . .
3.4.2.5 Potenzieren einer Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.6 Division von Potenzen mit gleichen Grundzahlen . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.7 Überblick über die Gesetze für Potenzen mit gleichen Grundzahlen
3.4.2.8 Berechnung von Potenzen mit dem Taschenrechner . . . . . . . . . . .
3.4.3 Erste Erweiterung des Potenzbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.1 Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten . . . . . . . . . . . .
3.4.3.2 Die Hochzahlen 0 und 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.3 Das Rechnen mit Potenzen mit negativen Exponenten . . . . . . . . . .
3.4.4 Anwendungen der Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4.1 Schreibweise rationaler Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen . . . . .
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156
156
Inhaltsverzeichnis
3.5
3.6
3.4.4.2 Schreibweise von Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Potenzen von Binomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wurzelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens . . . . . . . . . .
3.5.1.1 Der Wurzelbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.2 Die Berechnung von Wurzelwerten . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Zweite Erweiterung des Potenzbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Wurzelgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4.1 Addition und Subtraktion von Wurzeln . . . . . . . . . . .
3.5.4.2 Multiplikation und Division von Wurzeln mit gleichen
Wurzelexponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4.3 Rationalmachen des Nenners . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4.4 Radizieren von Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . .
3.5.4.5 Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten . . . . .
3.5.4.6 Rückblick auf die Potenz- und die Wurzelgesetze . . . .
Logarithmenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Logarithmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens . . . . . .
3.6.1.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.2 Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Spezielle Logarithmensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.2 Die dekadischen Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.3 Weitere Logarithmensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
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4
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.1
Lineare Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Vorbemerkungen und Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Umformung von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2.1 Äquivalente Umformung von Gleichungen . . . . . . . .
4.1.2.2 Nichtäquivalente Umformung von Gleichungen . . . . .
4.1.3 Lösung linearer Gleichungen mit einer Variablen . . . . . . . . . . .
4.1.3.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.2 Einfache lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.3 Gleichungen mit Klammerausdrücken . . . . . . . . . . .
4.1.3.4 Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.5 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.6 Gleichungen mit eingeschränktem Definitionsbereich .
4.1.3.7 Das Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.8 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.9 Schlussbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Das Rechnen mit Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen . . . . . . . . . . . .
Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Rechengesetze für Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Fortlaufende Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Direkte Propotionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
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x
4.3
4.4
4.5
Inhaltsverzeichnis
4.2.5 Indirekte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Proportionen als Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Berechnung des Prozentsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Berechnung des Prozentwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Berechnung des Grundwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Promillerechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.6 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.7 Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen . . . . . .
4.4.2.1 Das Einsetzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.2 Das Gleichsetzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.3 Das Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.4 Bemerkungen zu den drei Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.5 Die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen . . .
4.4.2.6 Schwierigere Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Spezielle Formen der quadratischen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.1 Die reinquadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.2 Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied . . . . . . . .
4.5.3 Die Normalform der quadratischen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3.1 Die quadratische Ergänzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3.2 Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . .
4.5.3.3 Die Lösung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung . . .
4.5.4 Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer
quadratischen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4.1 Die Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4.2 Der Wurzelsatz von V IETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4.3 Die Produktform quadratischer Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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304
5
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.1
Begriffsbestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Der Begriff der Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Der Begriff der Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arten der Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Darstellung einer Funktion durch die Angabe der geordneten Paare
5.2.2 Darstellung einer Funktion durch eine Wertetabelle . . . . . . . . . . .
5.2.3 Darstellung einer Funktion durch Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Darstellung einer Funktion durch wörtliche Formulierung
der Zuordnungsvorschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
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Inhaltsverzeichnis
xi
5.2.5
5.2.6
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Darstellung einer Funktion durch mathematische Relationen . . . . . . . . . . . .
Darstellung einer Funktion durch eine Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6.1 Das rechtwinklige Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6.2 Darstellung von Funktionen in Form von Kurven . . . . . . . . . . . . .
5.2.6.3 Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vorn herein als
Kurven gegeben sind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6.4 Zusammenhänge zwischen der Gleichung einer Funktion und der
zugehörigen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6.5 Schnittpunkt zweier Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wichtige Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Gerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Nullstellen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Die Funktion y = mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Die Funktion y = mx + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Grafische Darstellung der linearen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.6 Grafische Lösung linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme mit
zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Die quadratische Funktion y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Die quadratische Funktion y = x2 + q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Die quadratische Funktion y = x2 + px + q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Grafische Lösung quadratischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6 Die allgemeine quadratische Funktion y = Ax2 + Bx + C . . . . . . . . . . . . . .
Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 y = xn für ganzzahliges positives n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Die Potenzfunktion y = x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 y = xn für ganzzahliges negatives n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 y = xn für gebrochene Werte von n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wichtige transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Die Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Die logarithmischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.1
6.2
Grundbegriffe der Geometrie . . . . . . . . . . . . . .
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln
6.2.1 Parallele Geraden . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Schnitt zweier Geraden . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Winkel an Parallelen . . . . . . . . . . . . . .
Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Axiale Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Zentrale Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
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xii
Inhaltsverzeichnis
6.3.3 Geometrische Grundkonstruktionen . . . . . . . .
6.3.4 Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Das Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Allgemeines Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Spezielle Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte
6.5 Das Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Allgemeines Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Spezielle Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Das Vieleck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Unregelmäßiges Vieleck . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Regelmäßige Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Was ist Kongruenz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Kongruenz von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 Ähnlichkeit im allgemeinen . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Ähnlichkeit von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . .
6.8.3 Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Das rechtwinklige Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Strecken und Winkel am Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.1 Kreis und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.2 Winkel am Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.3 Ähnlichkeit am Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.4 Der Goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Berechnung von Flächen und Umfängen . . . . . . . . . .
6.11.1 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.2 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.3 Unregelmäßige Vielecke . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.4 Regelmäßige Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.5 Kreis und Kreisteile . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11.6 Umfang und Flächeninhalt ähnlicher Flächen .
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415
417
422
7
Goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
7.1
7.2
Das Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Definition der Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Kurvenbilder der Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Die Zahlenwerte der Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . .
7.3.2 Sätze über beliebige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2.1 Der Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2.2 Die Flächenformel für Dreiecke . . . . . . . . . . .
7.3.2.3 Der Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke . . . . . . . . . . .
Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Goniometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
7.4
7.5
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455
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464
465
466
467
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471
476
Inhaltsverzeichnis
xiii
8
Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
8.1
Einteilung der Körper . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Ebenflächner . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Krummflächner . . . . . . . . . . . .
Darstellung von Körpern . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Mehrtafelprojektion . . . . . . . . .
8.2.2 Axonometrische Projektion . . . .
8.2.2.1 Isometrische Projektion
8.2.2.2 Dimetrische Projektion
Körperberechnung . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Berechnungsgrundlagen . . . . . . .
8.3.2 Ebenflächner . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2.1 Rechtkant und Würfel .
8.3.2.2 Gerades Prisma . . . . . .
8.3.2.3 Satz des C AVALIERI . .
8.3.2.4 Pyramide . . . . . . . . . .
8.3.2.5 Pyramidenstumpf . . . .
8.3.3 Krummflächner . . . . . . . . . . . .
8.3.3.1 Kreiszylinder . . . . . . .
8.3.3.2 Kegel . . . . . . . . . . . .
8.3.3.3 Kegelstumpf . . . . . . . .
8.3.3.4 Kugel und Kugelteile . .
8.3.4 Die G ULDINschen Regeln . . . . .
8.2
8.3
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485
487
491
491
493
493
494
495
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526
532
550
Anhang – Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627