a * b

Mathematik
Rechenregeln
R
h
l
Indizes und Summenzeichen
Indizes und Summenzeichen
Q1 - Zusatzübung
1
Di Z hl
Die Zahlensysteme
t
komplexe Zahlen
reelle Zahlen, IR rationale Zahlen, Q
ganze Zahlen, Z ∨ IN
(372; ‐29)
irrationale Zahlen
echte Brüche
(1/3; 0,25)
algebraisch irrationale Zahlen
(√2)
Q1‐Zusatzübung
transzendental irrationale Zahlen
(π;ε)
2
R h
Rechenregeln
l
Seien a, b, c ∈ IR, dann gelten für „+“ und „.“ folgende Gesetze:
•
g
(
gg
)
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
a + b = b + a bzw. a * b = b * a •
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
( b)
(a + b) + c = a + (b + c) bzw. (a * b) * c = a * (b * c)
(b ) b
( * b) *
* (b * )
•
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
a * (b + c) = a * b + a * c
•
ACHTUNG! Es gilt nicht: a + (b * c) = a + b * a + c
(b * )
b*
Q1 - Zusatzübung
3
S
Summenzeichen und Indizes
i h
d I di
Wir hatten schon darüber gesprochen: das Summenzeichen dient der h
h d b
h
d
h d
d
Zusammenfassung wiederkehrender identischer Rechenschritte in einem Datensatz/Zahlenfeld usw.
n
∑
Der einfachste Fall, alle Werte xi
werden aufsummiert:
i=1
Es können und werden natürlich auch komplexere Berechnungen so
komplexere Berechnungen so zusammengefasst…
Es geht aber auch einfacher:
x
i = x1+ x
1
n − 1
2 +
∑ (x
... x
n − 2
+ x
n −1
+ x
n
2
n
i
− x
)
i =1
n
∑
c
i=1
Wie man außerdem noch mit Indizes umgehen kann, sehen wir gleich…
Q1‐Zusatzübung
4
K
Komplexere Summen
l
S
Natürlich
N
tü li h gibt
ibt es noch
h kkomplexere
l
S
Sachverhalte,
h h lt
die mit dem Summenzeichen abgebildet werde können:
∑∑(x )
n
m
a
ij
i =1 j =1
- diese Doppelsumme addiert alle Terme in der Klammer
in allen n Zeilen und allen m Spalten
(zum Beispiel: Berechnung des Χ2-Wertes in Mehrfeldertafel)
oder s.u.
Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3
5
7
‐3
Zeile 2
9
‐2
4
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
) = 184
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x
=
5
+
7
+
−
3
+
9
+
−
2
+
4
ij
j
∑∑
2
n = 2,, m=3,, a=2:
Zeile 1
3
i =1 j =1
Q1‐Zusatzübung
5
Begriffserklärung: Monotonie
Eine Funktion oder Folge gilt dann als monoton, wenn die Funktionswerte
sich lediglich in einer Richtung entwickeln und maximal konstant bleiben.
Beispiel: 7;8;9;9;10; 11,5; 12;12,3
Als streng monoton gilt eine Funktion/Folge dann, wenn die Funktionswerte
nicht einmal konstant bleiben, sondern sich ausschließlich in einer Richtung
Entwickeln.
Beispiel: -x3
Q1 - Zusatzübung
Begriffserklärung: Verteilung
Der Begriff Verteilung beschreibt salopp formuliert das Muster, in dem gemessene
Werte "angehäuft" sind.
Beispiel: 3; 5;7;8;9;9;10; 11;12;12;12
Das Di
D
Diagramm verdeutlich
d tli h sehr
h
grob die "Musterbildung" durch
graphische Darstellung der
Häufigkeiten.
Q1 - Zusatzübung
P t
Potenzen
- Potenzen entstehen,
entstehen wenn man eine Zahl (Basis) mit sich selbst
multipliziert
- die
di übliche
übli h S
Schreibweise
h ib i an gibt
ibt an, wie
i oft
ft a mit
it sich
i h selbst
lb t
multipliziert werden soll:
an, n=3: an=a*a*a
- Generell werden Potenzfunktionen auch als Exponentialu t o e bezeichnet
funktionen
- die e-Funktion ist ein Sonderfall der Potenzen, da die Basis eben
die Eulersche Zahl e ist ((~ 2,71828183….).
2 71828183 ) Damit kann natürliches
exponentielles Wachstum am besten beschrieben werden
Q1 - Zusatzübung
P t
Potenzen
Potenzgesetze:
Produkte von Potenzen mit gleicher Basis, fasst man als Potenz
mit der Summe der Exponenten zusammen: a3 * a4= a3+4 = a7
Vergleichbares gilt für Quotienten von Potenzen gleicher Basis:
a5/a4= a5-4
Potenziert man Potenzen (gleicher Basis), kann man dies als
Produkt der Exponenten auffassen: (a3)2= a3*2 = a6
"Gebrochene" Exponenten kennt man als Wurzeln: a1/3 =
Negative
N
ti P
Potenzen
t
setzen
t
die
di P
Potenz
t
in
i d
den N
Nenner:
a^(-n) = 1/a^n
Q1 - Zusatzübung
3
a
L
Logarithmen
ith
Logarithmengesetze:
Logarithmen sind die Umkehrfunktionen der Potenzen.
Daher gelten grundsätzlich die gleichen Regeln für den Umgang
mit Logarithmen wie für Potenzen.
Ein Logarithmus von a zur Basis b ist die Zahl x, mit der b
potenziert werden muss,, um a zu erhalten.
p
Geschrieben logb a = x
Q1 - Zusatzübung
L
Logarithmen#1
ith
#1
Logarithmengesetze:
L1) Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der
Logarithmen der Faktoren:
logb (u * v ) = logb u + logb v ,für u>0, v>0
L2) Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der
Logarithmen des Zählers und des Nenners:
u
logb ( ) = logb u − logb v
v
u>0, v>0
L3) Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem
Exponenten und dem Logarithmus der Basis.
logb u t = t * logb u
u>0,
0 t ∈IR
Q1 - Zusatzübung
L
Logarithmen #2
ith
#2
Logarithmengesetze:
Logarithmen sind die Umkehrfunktionen der Potenzen.
Ein L
Ei
Logarithmus
ith
von a zur Basis
B i b ist
i t di
die Zahl
Z hl x, mit
it der
d b
potenziert werden muss, um a zu erhalten.
Daher gelten grundsätzlich die gleichen Regeln für den Umgang
mit Logarithmen wie für Potenzen
Q1‐Zusatzübung
L
Logarithmen #3
ith
#3
Logarithmengesetze:
L1) Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der
Logarithmen der Faktoren:
logb (u * v ) = logb u + logb v ,für u>0, v>0
L2) Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der
Logarithmen des Zählers und des Nenners:
u
logb ( ) = logb u − logb v
v
u>0, v>0
L3) Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem
Exponenten und dem Logarithmus der Basis.
logb u t = t * logb u
u>0,
0 t ∈IR
Q1 ‐ Zusatzübung
L
Logarithmen #4
ith
#4
"Basiswechsel" – Umrechnung von Logarithmen:
Üblicherweise hat man auf eine Taschenrechner den natürlichen
(ln) und den dekadischen (log oder lg) Logarithmus zur Verfügung.
Gelegentlich muss man aber zu Logarithmen anderer Basen
umrechnen, was sich "relativ" einfach gestaltet.
Dazu betrachtet man zunächst die Situation der Potenzierung einer
Zahl mit einem Logarithmus der selben Basis:
b log b x = ?
b≠0, b ; x ∈ IR
Q1 - Zusatzübung
Logarithmen #5
Nach der Definition des Logarithmus, mit dem ja der Exponent gesucht wird,
mit dem man b potenzieren muss – also ergibt sich: b log b x = x
Welchen Nutzen hat das?
Das ist dann von Interesse, wenn b weder 10 noch e ist.
Dazu logarithmiert man b log b x mit einer der verfügbaren Basen (e oder 10)
und erhält: log b log b x
a
(
)
Aus der Gleichung oben kann man ersehen, dass b log b x durch x
ersetzt werden kann: log (x )
a
Außerdem gilt nach dem L3 , dass Exponenten von Logarithmen als
Faktor mit dem Logarithmus multipliziert werden können:
log a ( b log b ( x ) ) = log b (x ) * log a (b )
Q1 - Zusatzübung
Logarithmen #6
Da diese beiden Terme gleich sind, kann man folgende Gleichung
aufstellen und umformen:
log b (x ) * log a (b ) = log a (x )
log b (x ) * log a (b ) = log a (x ) |: log a (b )
log a (x )
g b (x ) =
log
l a (b )
log
Man erhält also einen Quotienten aus einem bekannten Log. des gesuchten
Exponenten und dem bekannten Log
Log. der Basis
Basis, deren Logarithmus
(siehe Beispiel) nicht bekannt ist
Dieser Z
Di
Zusammenhang
h
iistt allgemeingültig,
ll
i ülti d
daher
h kkann di
diese F
Formell
generell zur Umrechnung von Logarithmen verschiedener Basen ineinander
verwendet werden.
Q1 - Zusatzübung
Logarithmen #7
Ein Beispiel:
Gesucht ist der Logarithmus dualis auch binärer oder dyadischer
Logarithmus genannt.
Egal welchen der bekannten Logarithmen man verwendet, man
erhält
hält d
das gleiche
l i h E
Ergebnis
b i
2 n = 1000000
ln(1000000 ) 13,81551056
log
g 2 1000000 =
=
= 19,93156857
l (2 )
ln
0,69314718
⇔
log 2 1000000 =
lg(1000000 )
6
=
= 19,93156857
lg( 2 )
0,301029995
Q1 - Zusatzübung
Deskriptive
p
Statistik: warum und wozu?
Deskriptive Statistik dient als erster Schritt einer Datenauswertung dazu,
die gesammelten Daten zusammenzufassen, um über ihr weiteres "Schicksal"
Schicksal
zu entscheiden.
Außerdem ist man durch die Aggregierung besser in der Lage, die Daten zu
präsentieren.
präsentieren
Man folgt üblicherweise einem einfachen Schema (explorative Datenanalyse):
- Graphische
G hi h P
Präsentation
ä
t ti
- Lage- und Streuungsmaße
- Rückschluss auf Verteilungsform
- Entscheidung über Auswertungsverfahren
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wozu das Ganze?
Manchmal ist es ganz nett (oder essenziell), wenn man eine
gewisse Aussagesicherheit erhält, z.B. wie geht die Therapie aus,
wie
ie wahrscheinlich
ahrscheinlich ist es
es, eine 6 zu würfeln,
ürfeln wie
ie wird
ird das Wetter
Morgen?
Die Mathematik liefert dazu ein paar Werkzeuge, darunter die
Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Außerdem benötigt man dafür die Mengenlehre…
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #1
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der
Mengenlehre
Zufallsexperiment: ein Prozess, dessen Ausgang nicht sicher
vorhergesagt werden kann (Münz- oder Würfelwurf),
Wetter orhersage Diagnose usw.
Wettervorhersage,
s
Ereignis, Elementarereignis
Grundmenge, Teilmenge, Element
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #2
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der
Mengenlehre
Zufallsexperiment:
Werfen eines Würfel
Ereignis E:
Werfen einer geraden Zahl;
oder Augenzahl ≤ 3
Die Augenzahl 1, 2, usw. sind die Elementarereignisse;
M
Menge der Elementarereignisse
d El
t
i i
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E ist Teilmenge von Ω (E ⊆ Ω)
Eger. = {2,
{2 4
4, 6}
Ekg3 = {1, 2, 3}
Q1‐Zusatzübung
W h h i li hk it
Wahrscheinlichkeitsrechnung #3
h
#3
Grundbegriffe der Mengenlehre
Definition einer Menge:
ω1, ω2, ω3, ... ωn ⇒ n verschiedene Objekte
g
{ω1,, ω
ω2,, ω
ω3,, ... ω
ωn n }
Menge Ω={ω
Eigenschaften:
g
- Elemente müssen unterscheidbar sein
- eine Menge kann leer sein
Eine Menge Ω ist eine Zusammenfassung wohl
unterscheidbarer Objekte
Q1‐Zusatzübung
W h h i li hk it
Wahrscheinlichkeitsrechnung #4
h
#4
Grundbegriffe der Mengenlehre
Definitionen:
- die Objekte ωi heißen Elemente von Ω;
formal: ωi ∈ Ω;
- die Anzahl der Elemente von Ω wird mit |Ω| bezeichnet
- Mengenschreibweise
- aufzählende
- beschreibende (Eigenschaften der Elemente)
Q1‐Zusatzübung
W h h i li hk it
Wahrscheinlichkeitsrechnung #5
h
#5
Grundbegriffe der Mengenlehre
Teilmenge
g E und Komplementmenge
p
g
Teilmengen, E ⊂ Ω :
alle Elemente von E auch in Ω enthalten,,
⇒
„E enthalten in Ω“,
Komplementmenge
p
g E: E
Menge aller Elemente aus Ω, die nicht in E enthalten
sind
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #6
Wahrscheinlichkeitsrechnung #6
Grundbegriffe der Mengenlehre
Verknüpfung von Mengen:
Mengenoperationen:
g
p
Verknüpfungen von Mengen,
Vereinigung „∪“ und Durchschnitt „∩“
– Es gelten vergleichbare Regeln wie
für „+
+“ und „••“.
– Darstellung durch Venn-Diagramme
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #7
Wahrscheinlichkeitsrechnung #7
Grundbegriffe der Mengenlehre
Grundmenge und Teilmenge
g
g
Grundmenge Ω
T il
Teilmenge
E
E ist eine Teilmenge von Ω, formal: E ⊆ Ω
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #8
Wahrscheinlichkeitsrechnung #8
Grundbegriffe der Mengenlehre
Teilmenge A und Komplementmenge
Komplement
Grundmenge
g Ω
Teilmenge
g A
Komplementmenge: Menge aller Elemente, die zu Ω aber
nicht zu A gehören;
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #9
Wahrscheinlichkeitsrechnung #9
Grundbegriffe der Mengenlehre
Vereinigung zweier Mengen „E1∪ E2“ :
die Menge aller Elemente die in E1 oder E
die Menge aller Elemente, die in E
oder E2 liegen;
Grundmenge Ω
Teilmenge E2
Teilmenge E1
E1 ∪ E2
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #10
Wahrscheinlichkeitsrechnung #10
Grundbegriffe der Mengenlehre
Durchschnitt zweier Mengen „E1∩E2“ :
die Menge aller Elemente die in E1 und E
die Menge aller Elemente, die in E
und E2 liegen;
Grundmenge Ω
Teilmenge E2
Teilmenge E1
E1∩E2
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #11
Wahrscheinlichkeitsrechnung #11
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
Im Wesentlichen verwenden wir drei Definitionen für den
Begriff der Wahrscheinlichkeit:
1)Sonderfall (bekannteste und einfachste Variante) : 1)Sonderfall
(bekannteste und einfachste Variante) :
Laplace‐Wahrscheinlichkeit
2) Empirische Definition über Häufigkeiten: Grenzwert der Relativen Häufigkeit
Grenzwert der Relativen Häufigkeit
3) Axiomatisch: Axiome von Kolmogoroff
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #12
Wahrscheinlichkeitsrechnung #12
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
L l
Laplace‐Wahrscheinlichkeit
W h h i li hk i
Voraussetzung:
‐ homogenes Zufallsgerät, bzw. Zufallsexperiment
‐ d.h. alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich, d.h. p(ω1) = p(ω
( 2) = .... = p(ω
)
( n) ⇒
)
E Anzahl
A hl der
d Elemente
El
t in
i E
P( E ) =
=
;
Ω Anzahl der Elemente in Ω
häufig schreibt man auch
E
Anzahl der ggünstigen
g Ausgänge
g g
P( E ) =
=
;
Ω Anzahl der möglichen Ausgänge
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #13
Wahrscheinlichkeitsrechnung #13
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
G
Grenzwert der Relativen Häufigkeit
d R l i
Hä fi k i
Voraussetzung:
relative Häufigkeit eines Ereignisses
l ti Hä fi k it i
E i i
o
n‐malige Wiederholung des Versuchs, des Experiments usw. o
unter definierten, kontrollierten Bedingungen d fi i
k
lli
B di
o
Wiederholung unendlich oft
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter definierten Bedingungen
ein Ereignis eintritt, kann dann definiert werden als:
lim f n ( x ) = p ( x )
n→ ∞
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #14
Wahrscheinlichkeitsrechnung #14
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
A i
Axiome von Kolmogoroff
K l
ff
Voraussetzung:
gegeben sei die Grundmenge Ω eines ZE
E, bzw. E1, E2 ⊆ Ω
- dann
d
b
besagen di
die A
Axiome
i
von Kolmogoroff
K l
ff
1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. P(Ω) = 1
3. E1 ∩ E2= { } ⇒
P(E1 ∪ E2) = P(E1)+P(E2)
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #15
Wahrscheinlichkeitsrechnung #15
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
A i
Axiome von Kolmogoroff
K l
ff
Kolmogoroff hat sich vermutlich an empirischen Ergebnissen von hat sich vermutlich an empirischen Ergebnissen von
Zufallsexperimenten orientiert und schließlich die Eigenschaften der Relativen Häufigkeit auf den Wahrscheinlichkeitsbegriff übertragen
Eigenschaften der
Relativen Häufigkeit
z.B.
B fü
für M
Merkmale
k l wie
i Bl
Blutgruppe:
t
x = 0; A; B; AB
Eigenschaften der
Wahrscheinlichkeit
E bzw.
b
E1, E2 ⊆ Ω
1.) 0 ≤ f(x) ≤ 1
1.) 0 ≤ p(E) ≤ 1
2.) Σf(x) = 1
2.) P(Ω) = 1
3.) f("0 oder A") = f("0") + f("A")
Q1‐Zusatzübung
3.) E1∩E2 = {} ⇒
( 1 ∪ E2) = P(E
( 1))+P(E
( 2)
P(E
Wahrscheinlichkeitsrechnung #16
Wahrscheinlichkeitsrechnung #16
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
S
Summen von Ereignissen
E i i
Wie im 3. Axiom von Kolmogoroff
Wie
im 3 Axiom von Kolmogoroff gesehen:
E1, E2 ⊆ Ω und E1∩E2 = {} , d. h. E1, E2 sind disjunkt
⇒ P(E1∪ E2) = P(E1)+P(E2) :
Ω
E1
E2
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #17
Wahrscheinlichkeitsrechnung #17
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
S
Summen von Ereignissen
E i i
Nun sind die Mengen eben nicht immer disjunkt :
Nun sind die Mengen eben nicht immer disjunkt
E1, E2 ⊆ Ω und E1∩E2 ≠ {} , was muss dann
berücksichtigt werden?
berücksichtigt werden?
⇒ P(E1∪E2) = P(E1)+P(E2-) P(E1∩E2)
Ω
E1
E2
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #18
Wahrscheinlichkeitsrechnung #18
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
Produkt von Ereignissen: E1 ∩ E2
"Stochastische Unabhängigkeit"
gg
Zwei Ereignisse E1 und E2 seien unabhängig,
g
ist,, kann keine
d.h. aus dem Wissen das E1 eingetreten
Information über das Eintreten von E2 gewonnen werden,
dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Ereignisse
gleich eitig eintreten
gleichzeitig
eint eten das P
Produkt
od kt aus
a s den einzelnen
ein elnen
Wahrscheinlichkeiten.
E1 und E2 heißen stochastisch unabhängig ⇔
P(E1 ∩ E2)=P(E1 )*P( E2)
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #19a
Wahrscheinlichkeitsrechnung #19a
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
Produkt von Ereignissen: E1 ∩ E2
Sind E1 und E2 unabhängige
Es wurden für die Ereignisse
Ereignisse?
E1: Menge der Raucher;
E2: Menge der Patienten mit
P(Raucher ∩ FrakExtr) = 0,06
einer Fraktur;;
=
R h
Raucher
E3: Menge der KHK-Patienten; Erkrankung
Ja Nein
gesamt
P(Raucher) * P(FrakExtr) =
folgende W‘keiten beobachet:
Armfraktur
4
10
0 6*0
0,6
0,01
016
P(Raucher)=0,6
KHK
18
2
20
P(FrakExtr)=0,1
gE1 und36E3 abhängige
34
70
Sonstige
Sind
P(KHK) 0 2
P(KHK)=0,2
Ereignisse?
60
40
100
P(Raucher ∩ FrakExtr) = 0,06 gesamt
P(Raucher
(
∩ KHK)) = 0,18
,
P(Raucher ∩ KHK) = 0
0,18
18
≠ P(Raucher) * P(KHK) =0,12
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #19b
Wahrscheinlichkeitsrechnung #19b
Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
Produkt von Ereignissen: E1 ∩ E2
Sind E1 und E2 unabhängige
Es wurden für die Ereignisse
Ereignisse?
E1: Menge der Raucher;
E2: Menge der Patienten mit
P(Raucher ∩ FrakExtr) = 0,06
einer Fraktur;;
=
E3: Menge der KHK-Patienten;
P(Raucher) * P(FrakExtr) =
folgende W‘keiten beobachet:
0 6*0
0,6
0,01
01
P(Raucher)=0,6
P(FrakExtr)=0,1
Sind E1 und E3 abhängige
P(KHK) 0 2
P(KHK)=0,2
Ereignisse?
P(Raucher ∩ FrakExtr) = 0,06
P(Raucher
(
∩ KHK)) = 0,18
,
P(Raucher ∩ KHK) = 0
0,18
18
≠ P(Raucher) * P(KHK) =0,12
Q1‐Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #20
Wahrscheinlichkeitsrechnung #20
Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Das Urnenmodell – ein anschaulicher(?) Zugang zur
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aus vier Personen Andrea (A), Benedikt (B), Christine (C), David (D) werden
zwei zum Geschirrspülen ausgelost
ausgelost, wobei eine Person abspült und eine
abtrocknet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt es zuerst Christine und
dann Benedikt?
oder
Wie g
groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zweimaligem
g
Würfeln jjeweils eine 6 zu
werfen?
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #21
Wahrscheinlichkeitsrechnung #21
Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stochastische Unabhängigkeit: das Urnenmodell
Mit dem sog. Urnenmodell lassen ganz unterschiedliche
Zufallsexperimente darstellen:
Man unterscheidet
grundsätzlich zwei Ansätze:
Zi h mit
Ziehen
it Z
Zurücklegen
ü kl
(Z Z)
(ZmZ)
Und
Ziehen ohne Zurücklegen
(ZoZ)
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #22
Wahrscheinlichkeitsrechnung #22
Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stochastische Unabhängigkeit: das Urnenmodell
ZmZ bildet unabhängige
Zufallsexperimente ab
ZoZ bildet abhängige
Zufallsexperimente ab
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #23
Wahrscheinlichkeitsrechnung #23
Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Darstellung von Wahrscheinlichkeiten: das Baumdiagramm
einfacher Würfelwurf
1
zweifacher Würfelwurf:
E={6;6}
2
3
4
1
6
1
6
5
6
5
6
5
6
1
6
unabhängige
Ereignisse
Q1 - Zusatzübung
5
6
Wahrscheinlichkeitsrechnung #23
Wahrscheinlichkeitsrechnung #23
Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Das Baumdiagramm: Pfadregeln
dreimaliger Würfelwurf
1
Ω={x|x ∈ IN ∧ x≤6};
E={x| x ≤3 }
1
6
1 1 1 1
P(E) = + + =
6 6 6 2
2
+
1
6
3
+
4
5
1
6
Addition
unabhängige
Ereignisse
Q1 - Zusatzübung
6
Wahrscheinlichkeitsrechnung #24
Wahrscheinlichkeitsrechnung #24
Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Das Baumdiagramm: Pfadregeln
A
B
D C
1
3
A B C
1
2
Ziehen einer Reihenfolge (oZ): P{A;B;C} ⇒
3
4
1
3
2
3
1
2
1
2
1 1
2 2
2
3
1
2
P(A B C) =
P(A;B;C)
abhängige
Ereignisse
Q1 - Zusatzübung
1
2
1
2
Multip
plikation
1
4
1 1 1
1
* * =
4 3 2 24
Wahrscheinlichkeitsrechnung#25 Wahrscheinlichkeitsrechnung#25
Der Engländer Francis Galton untersuchte den Zusammenhang der Augenfarbe an 1000 Vater‐Sohn‐Paaren (siehe Tabelle).
Zu welchem Ergebnis ist er gekommen?
Untersuchen Sie die Augenfarbe des Vaters und die Augenfarbe des Sohnes auf Unabhängigkeit.
Augenfarbe
A
f b h
hell
ll
Vater
dunkel
Augenfarbe
A
f b S
Sohn
h
hell
dunkel
471
151
148
230
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #26
Ereignis A: Vater hat helle Augenfarbe:
A = {(Augenfarbe Vater Augenfarbe Sohn) ⎜Augenfarbe A = {(Augenfarbe Vater , Augenfarbe Sohn) Augenfarbe
Vater = hell und Augenfarbe Sohn = beliebig }
Ereignis B: Sohn hat helle Augenfarbe:
Ereignis B: Sohn hat helle Augenfarbe:
B = {(Augenfarbe Vater , Augenfarbe Sohn) ⎜Augenfarbe V
Vater = beliebig und Augenfarbe Sohn = hell }
b li bi
dA
f b S h h ll }
P(A) = (471 + 151) / 1000 = 622/1000 = 0,622
P(B) = (471 + 148) / 1000 = 619/1000 = 0,619
P(A∩B) = 471/1000 = 0,471 B) 471/1000 0 471 ≠ P(B) * P(B) = 0,385 P(B) * P(B) 0 385
⇒ Die Ereignisse A und B sind abhängig
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung#27 Wahrscheinlichkeitsrechnung#27
Bei n=3732 Probanden wurde die Blutgruppe und das Geschlecht
g
, ob die
bestimmt. Untersuchen Sie anhand der Ergebnisse,
Blutgruppen 0, A, B, AB vom Geschlecht w, m abhängig sind oder
nicht.
w
m
0
817
862
A
723
765
B
176
191
Q1 - Zusatzübung
AB
92
106
Wahrscheinlichkeitsrechnung #28
Wahrscheinlichkeitsrechnung #28
Bei n=3732 Probanden wurde die Blutgruppe und das Geschlecht bestimmt. Untersuchen Sie anhand der Ergebnisse, ob die Blutgruppen 0, A, B, AB vom Geschlecht w, m abhängig sind oder nicht.
w
m
ges
g
0
817
862
1679
A
723
765
1488
B
176
191
367
Q1 - Zusatzübung
AB
92
106
198
1808
1924
3732
Wahrscheinlichkeitsrechnung #29
Wahrscheinlichkeitsrechnung #29
Falls die beiden Merkmale Blutgruppe und Geschlecht unabhängig
j
mögliche
g
Kombination der
sind,, dann muß für jede
Merkmalsausprägungen die Beziehung gelten:
P(w ∩ 0) = P(w) * P(0); P(w ∩ A) = P(w) * P(A);
( ∩ B)) = P(w)
( ) * P(B)
( ) ...... P(m
( ∩ AB)) = P(m)
( ) * P(AB);
( );
P(w
Gilt schon für eine Kombination die Gleichung nicht, so sind die
beiden Merkmale abhängig
abhängig.
Lösung: In diesem Beispiel sind die Merkmale Blutgruppe und
Geschlecht unabhängig voneinander!
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #30
Wahrscheinlichkeitsrechnung #30 Knapp zehn Prozent der kindlichen Neuroblastome manifestieren sich i St di
im Stadium 4‐S. Bei diesem Typ kommt es fast regelhaft zu einer 4 S B i di
T k
t f t
lh ft
i
Spontanremission (Annahme bei 8 von 10 Kindern). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 10 oder mehr von 12 erkrankten Kindern
Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 oder mehr von 12 erkrankten Kindern eine Spontanremission beobachtet wird?
•
12 stufiges ZE
•
alternative Ausgänge in jeder Stufe
g g
j
1 = Spontanremission, 0 = keine Spontanrem., p(1) = 0,8
•
unabhängige Stufen
unabhängige Stufen
•
Merkmal: X = Anzahl Spontanremissionen
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #31
Wahrscheinlichkeitsrechnung #31
beobachtet: 10 oder mehr von 12 erkrankten Kindern hatten eine Spontanremission
Merkmal:
X = Anzahl Spontanremissionen
Gesucht:
P(X ≥
(
10 | p(1) = 0,8 ) = ?
| p( )
)
•
•
•
•
P(X ≥ 10 | p(1) = 0,8 ) =
P(X 10 | (1) 0 8 )
P(X = 10 | p(1) = 0,8 ) +
P(X
10 | (1) 0 8 )
P(X = 11 | p(1) = 0,8 ) +
P(X 12 | (1) 0 8 ) ?
P(X = 12 | p(1) = 0,8 ) = ?
Ω12 = {(ω1,ω2,…ω12) | ωi ∈{0,1} }
| Ω12 | = 212 = 4096
P(X = 10 | p(1) = 0,8 ) = Anzahl der Pfade mit 10 SR * Wahrscheinlichkeit für einen Pfad
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #32
Wahrscheinlichkeitsrechnung #32
beobachtet: 10 oder mehr von 12 erkrankten Kindern hatten eine Spontanremission
Merkmal:
X = Anzahl Spontanremissionen
Gesucht:
P(X ≥
(
10 | p(1) = 0,8 ) = ?
| p( )
)
•
•
•
•
P(X ≥ 10 | p(1) = 0,8 ) =
P(X 10 | (1) 0 8 )
P(X = 10 | p(1) = 0,8 ) +
P(X
10 | (1) 0 8 )
P(X = 11 | p(1) = 0,8 ) +
P(X 12 | (1) 0 8 ) ?
P(X = 12 | p(1) = 0,8 ) = ?
Ω12 = {(ω1,ω2,…ω12) | ωi ∈{0,1} }
| Ω12 | = 212 = 4096
P(X = 10 | p(1) = 0,8 ) = Anzahl der Pfade mit 10 SR * Wahrscheinlichkeit für einen Pfad
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #33
Wahrscheinlichkeitsrechnung #33
beobachtet: 10 oder mehr von 12 erkrankten Kindern hatten eine
Spontanremission (SR)
Spontanremission (SR)
Merkmal:
X = Anzahl Spontanremissionen
Gesucht:
P(X ≥ 10 | p(1) = 0,8 ) = P(X = 10 | p(1) = 0,8 ) + P(X = 11 | p(1) = 0,8 )+ P(X = 12 | p(1) = 0,8 )?
•
Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses mit 10
P ti t SR B 1 P ti t SR 2 P ti t k i SR
Patienten SR: z.B.: 1. Patient SR, 2. Patient keine SR, und d
3. Patient SR usw.;
d.h. gesucht wird p((1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1))
= 0 8*0
= 0,8
0,2
2*0
0,8
8*…*0
0,8 = (0,8)
8 = (0 8)10*(0
(0,2)
2)2
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #34
Wahrscheinlichkeitsrechnung #34 beobachtet: 10
10 oder mehr von 12 erkrankten Kindern hatten eine
oder mehr von 12 erkrankten Kindern hatten eine
Spontanremission (SR)
Merkmal:
X = Anzahl Spontanremissionen
Gesucht:
h
P(X ≥ 10 | p(1) = 0,8 ) = P(X = 10 | p(1) = 0,8 ) + P(X = 11 | p(1) = 0,8 )+ P(X = 12 | p(1) = 0,8 )?
•
Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses mit 11
P ti t SR B 1 P ti t k i SR
Patienten SR: z.B.: 1. Patient keine SR, 2. Patient SR, und 3. Patient eine SR usw.;
d.h. gesucht wird p((0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1))
= 0 2*0
= 0,2
0,8
8*0
0,8
8*…*0
0,8 = (0,8)
8 = (0 8)11*(0
(0,2)
2)1
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #35
Wahrscheinlichkeitsrechnung #35
beobachtet: 10 oder mehr von 12 erkrankten Kindern hatten eine
Spontanremission (SR)
Merkmal:
X = Anzahl Spontanremissionen
Gesucht:
P(X ≥ 10 | p(1) = 0,8 ) = P(X = 10 | p(1) = 0,8 ) + P(X ≥
10 | p(1) 0 8 ) P(X 10 | p(1) 0 8 ) +
P(X = 11 | p(1) = 0,8 )+ P(X = 12 | p(1) = 0,8 )?
•
Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses mit 12
P ti t SR B 1 P ti t k i SR
Patienten SR: z.B.: 1. Patient keine SR, 2. Patient SR, und 3. Patient eine SR usw.;
d.h. gesucht wird p((1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1))
= 0 2*0
= 0,2
0,8
8*0
0,8
8*…*0
0,8 = (0,8)
8 = (0 8)12*(0
(0,2)
2)0
Q1 - Zusatzübung
Wahrscheinlichkeitsrechnung #36
Wahrscheinlichkeitsrechnung #36
beobachtet: 10 oder mehr von 12 erkrankten Kindern hatten eine
Spontanremission
Spo
ta e ss o (S
(SR))
Merkmal:
X = Anzahl Spontanremissionen
Gesucht:
P(X ≥ 10 | p(1) = 0,8 ) = ?
Anzahl der Pfade mit 10 Patienten mit SR:
Anzahl der Pfade mit 11 Patienten mit SR:
Anzahl der Pfade mit 12 Patienten mit SR:
66 Pfade
12 Pfade
1 Pfad⇒
P(X ≥ 10 | p(1) = 0,8 ) = P(X = 10 | p(1) = 0,8 ) + P(X = 11 | p(1) = 0,8 )
+ P(X = 12 | p(1) = 0,8 ) ⇒
66 * 0,810 * 0,22 + 12 * 0,811 * 0,21 + 1 * 0,812 * 0,20
= 0,56
Q1 - Zusatzübung