Vorlesung 23.11.2016

Einführung in die Didaktik
der Mathematik
Andrea Hoffkamp
WS 2016/17
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Dienstag, 22. November 16
6.Vorlesung:
Allgemeine Lern- und Bildungsziele des
Mathematikunterrichts
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Dienstag, 22. November 16
Allgemeine Lern- und Bildungsziele des
Mathematikunterrichts
Ziele
Inhalte
Methoden
Erster Schritt: Was will ich grundsätzlich erreichen? Welchen
Bildungswert hat bzw. welchen Beitrag leistet die Mathematik
zur Allgemeinbildung?
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Dienstag, 22. November 16
Tauschen Sie sich 5 min mit Ihrer Sitznachbarin/Ihrem
Sitznachbar über die folgende Frage aus:
Welchen Bildungswert hat bzw. welchen Beitrag
leistet Ihrer Ansicht nach der Mathematikunterricht zur Allgemeinbildung?
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Dienstag, 22. November 16
„Angesichts der tiefgreifenden Wandlungsprozesse in unserer
Gesellschaft [..] und angesichts der großen ungelösten weltweiten
Probleme (Friedenssicherung, Befreiung von Hunger, Erhaltung der
Umwelt, sozialer Ausgleich, Emanzipation der Frauen) wird es einerseits
immer schwieriger, Allgemeinbildung zu definieren, andererseits aber
auch immer wichtiger, dass möglichst viele Menschen eine möglichst
gediegene Allgemeinbildung erwerben können. Eine funktionierende
Demokratie ist ohne aufgeklärte, also selbständig denkende Bürger
nicht vorstellbar.“
Heinrich Winter (1996): Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft
für Didaktik der Mathematik Nr. 61, 37­46.
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Dienstag, 22. November 16
Mathematikunterricht und Allgemeinbildung
Winter, H.: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft
für Didaktik der Mathematik 61 (1995), S. 37-46.
Mathematikunterricht in allgemeinbildendem Sinne ist nach HEINRICH
WINTER durch drei Grunderfahrungen gekennzeichnet:
(G1) „Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen
sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art
wahrzunehmen und zu verstehen,
Anwendung/Modellbildung,
Lebensweltbezug
(G2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache,
Symbolen, Bildern und Formen, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv
geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen,
Innermathematische
Orientierung
(G3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über
die Mathematik hinaus gehen, (heuristische Fähigkeiten) zu erwerben.“
Heuristische Denk- und
Arbeitsweisen
Dienstag, 22. November 16
Anwendung/Modellbildung,
Lebensweltbezug
•
Mathematik als nützliche, brauchbare Disziplin mit schier
universeller Reichweite
•
Allgemeinbildend wird dies aber erst durch mathematische
Modellbildung (der reine Gebrauch kennzeichnet noch nicht den
allgemeinbildenden Charakter)
•
Beispiel Zinsrechnung:
‣
‣
‣
‣
Für geliehenes Kapital wird „Mietzahlung“ (Zinsen) verlangt
Die Regeln hierfür sind gesellschaftliche Vereinbarungen
Zentraler Begriff:
Zinssatz = Mietbetrag pro Zeiteinheit und pro Geldeinheit
Erfahrung, wie Kapitalien bei Zins und Zinseszins wachsen oder
schrumpfen (exponentiell und nicht linear!)
H. Winter: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung
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Dienstag, 22. November 16
Innermathematische
Orientierung
•
„Jeder Schüler sollte erfahren, dass Menschen imstande sind,
Begriffe zu bilden und daraus ganze Architekturen zu schaffen. Oder
anders formuliert: dass strenge Wissenschaft möglich ist.“
•
•
Beispiel: Fundamentale Idee der Zahl (Vorlesung 5 - letzte Woche)
•
Kraft autonomen Denkens in der Deduktion: Es gibt unendlich viele
Primzahlen (Euklid vor über 2000 Jahren!)
•
Ungelöst ist: Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge?
Erfahrung: Einfachheit der Konstruktion von N („immer eins dazu“)
versus
Reichtum an Theoremen und teilweise ungelösten Problemen
H. Winter: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung
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Dienstag, 22. November 16
Heuristische Denkund Arbeitsweisen
•
•
„Mathematik als Schule des Denkens“
•
Beispiel: Förderung von Problemlösekompetenzen durch Einübung
und Bewusstmachung heuristischer Strategien und mentaler
Techniken
Transfer des strengen mathematischen Denkens in eine Alltagspraxis
des Denkens geschieht nicht von alleine!
➡ Reflexion der eigenen Tätigkeiten (des eigenen Denkhandelns)
nach oder während der Lösung von Aufgaben!
➡ Impulse: Was macht diese Aufgabe so schwierig? Komme ich durch
Probieren weiter? Hilft eine Zeichnung? Kann ich die Aufgabe in
Teilaufgaben zerlegen? War das Ergebnis zu erwarten/überraschend?
Gibt es einen anderen Lösungsweg? Was weiß ich jetzt besser als
vorher?
H. Winter: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung
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Dienstag, 22. November 16
Erinnerung:Feedback und formatives Assessment
WHAT WORKS BEST?
AKTIVIEREN VS. LERNEN BEGLEITEN?
Feedback
beinhaltet nicht nur Korrektur, Kritik und Klarstellung, sondern
vor allem Hinweise, wie der Lernende ans Ziel gelangen kann.
Elemente gelungenen Feedbacks
Where am I going? Was ist mein Ziel?
How am I going? Wie gelange ich an mein Ziel?
Where to next? Was sind die nächsten Schritte?
Feedback sollte aufgabenbezogen, prozessorientiert und
selbstregulationsfördernd sein.
Effektivste Formen des Feedbacks
• direkte Gabe von Hinweisen
• Verstärken richtiger Verhaltensweisen
• Feedback mit direkter Verbindung zu Aufgaben/Lernzielen
Am wenigsten effektive Formen des Feedbacks
• allgemeines Lob (das hast du gut gemacht)
• Bestrafung & Belohnungen
Prof. Dr. Nikolaus Schröck
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aus Vortragsfolien zur Hattie-Studie, 2013
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Innermathematische
Orientierung
Beispiel: Mathematisches
Argumentieren und Beweisen
Ein paar oft gehörte Aussagen:
• „Argumentieren gehört für mich zum Anforderungsbereich III“ (Lehrer/in)
•„Beweisen ist für die Schule viel zu schwierig. Ich konzentriere mich
lieber auf das, was tatsächlich nötig ist.“ (Lehrer/in)
• „Echtes Beweisen geht in der Schule gar nicht.“ (Lehrer/in)
• „In der Hochschulmathematik fällt mir das Beweisen besonders
schwer!“ (Student/in)
H.N. Jahnke, S. Ufer in Handbuch der Mathematikdidaktik, S. 331 ff., 2010
Dienstag, 22. November 16
Wir können doch alle argumentieren, oder?
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Kleine Einführung in die Aussagenlogik
Hier wollen wir weder Logik, noch den Aussagenlogik“ genannten Teil der
”
Logik systematisch betreiben. Wir wollen im wesentlichen nur einen gewissen
mathematischen Sprachgebrauch festlegen. Denn wir können alle logisch korrekt deduzieren, ohne darüber nachdenken zu müssen. Oder etwa nicht? Mit
folgendem Beispiel geben wir Ihnen die Möglichkeit, sich in der Beziehung
zu testen:
Wer ist auf dem Bild?
Wer ist auf dem Bild?
Ein Mann stand vor einem Portrait. Jemand fragte ihn: Wer ist das auf
”
dem Bild, das Sie sich da ansehen?“ Er antwortete: Brüder habe ich nicht,
”
aber der Vater dieses Mannes ist der Sohn meines Vaters.“ ( Der Vater dieses
”
Mannes“ bezieht sich natürlich auf den Vater des Mannes auf dem Bild.)
Wessen Portrait betrachtete der Mann?
Ein Mann stand vor einem Portrait. Jemand fragte ihn: „Wer ist das auf dem
Bild, das Sie sich da ansehen?“ Er antwortete: „Brüder habe ich nicht, aber
der Vater des Mannes auf dem Bild ist der Sohn meines Vaters.“
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Wessen Portrait betrachtete der Mann?
(Brückenkurs Skript FU Berlin von H. Scheerer)
Dienstag, 22. November 16
Ein Mann stand vor einem Portrait. Jemand fragte ihn: „Wer ist das auf
dem Bild, das Sie sich da ansehen?“ Er antwortete: „Brüder habe ich nicht,
aber der Vater des Mannes auf dem Bild ist der Sohn meines Vaters.“
Wessen Portrait betrachtete der Mann?
B=Mann auf dem Bild
M=Mann vor dem Bild
Prämissen
Vater von B = Sohn des Vaters von M
M hat keine Brüder
Vater von B = M, d.h. B ist Sohn von M
Konklusion
Vater von B = Sohn des Vaters von M
Vater von B ist M oder ein Bruder von M
M hat keine Brüder
Vater von B = M, d.h. B ist Sohn von M
Dienstag, 22. November 16
Was Sie nun erwartet:
•
Indirekte Beweise (Beweise per Widerspruch oder Beweis durch
Kontraposition) als Paradebeispiele mathematischen Beweisens
in der Schule (didaktisch-methodisch)
•
Philosophische und wissenschaftstheoretische Überlegungen
zu mathematischem Beweisen und Argumentieren
Dienstag, 22. November 16
Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in der lebendigen
Auseinandersetzung mit Mathematik und auf die gleiche Weise, in der tätigen Auseinandersetzung, werden sie erworben. Die angestrebten Formen der Nutzung von Mathematik müssen daher auch regelmäßig genutzte Formen des Mathematiklernens sein. Von zentraler Bedeutung für eine
erfolgreiche Nutzung und Aneignung von Mathematik sind vor allem die
folgenden fünf allgemeinen mathematischen Kompetenzen.
Mathematikunterricht in der Grundschule
Allgemeine mathematische Kompetenzen
196.34
Argumentieren
Dienstag, 22. November 16
Problemlösen
Schulwesen
Kommunizieren
Inhaltsbezogene beschreiben, Lösungswege
Kommunizieren ! eigene Vorgehensweisen
mathematische
anderer verstehen
und gemeinsam darüber reflektieren,
Kompetenzen
Darstellen von
! mathematische Fachbegriffe und Zeichen
sachgeMathematik
Modellieren
recht verwenden,
! Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei Verabredungen treffen und einhalten.
Diese lassen sich!für
Schülerinnen Aussagen
und Schüler
am Ende der
JahrArgumentieren
mathematische
hinterfragen
und4.
auf
Korgangsstufe wie folgt rektheit
konkretisieren:
prüfen,
!! mathematische
Zusammenhänge
erkennen
VerProblemlösen
mathematische Kenntnisse,
Fertigkeiten
undund
Fähigmutungen
keiten bei entwickeln,
der Bearbeitung problemhaltiger Aufga! Begründungen
ben anwenden, suchen und nachvollziehen.
Lösungsstrategien
entwickeln
und nutzender
(z.B.
sysModellieren
!! Sachtexten
und anderen
Darstellungen
Lebens2003 für Grundschule)
tematisch (Bildungsstandards
probieren),
wirklichkeit
die relevanten Informationen entneh! men,
Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche
Sachverhalte übertragen.
! Sachprobleme
in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch lösen und diese Lösungen
auf die Ausgangssituation beziehen,
7
! zu Termen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen Sachaufgaben formulieren.
(K 1) Mathematisch argumentieren
und die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen über
Dazu gehört: bereichen
die Angabe von Leitideen. Zugleich illustrieren die Aufgabenbeispiele
exemplarisch
die Standarderreichung,
indemcharakteristisch
sie zeigen, welche konkrete
– Fragen stellen,
die
für
die
Mathematik
sind („Gibt es
Qualität an mathematischer Leistung jeweils erbracht werden muss, um
…?“, „Wiedie
verändert
sich…?“,
„Ist
das
immer
so …?“)
und VermutunStandards zu erfüllen.
Sie sind
daher
auch
zur Adaption
und schöpferischen Diskussion für Lehrkräfte und Fachkollegien gedacht.
gen begründet
äußern,
2 Allgemeine
mathematische Kompetenzen
im Fach Mathematik
– mathematische
Argumentationen
entwickeln
(wie Erläuterungen, BeMit dem Erwerb des Mittleren Schulabschlusses sollen Schülerinnen und
gründungen,
Beweise),
Schüler über die nachfolgend genannten allgemeinen mathematischen
Kompetenzen
verfügen, die
für begründen.
alle Ebenen des mathematischen Arbei– Lösungswege
beschreiben
und
tens relevant sind. Diese Kompetenzen werden immer im Verbund erworben bzw. angewendet.
(K 2) Probleme mathematisch lösen
Dazu gehört:
–
–
vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten,
geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum
Problemlösen auswählen und anwenden,
–
die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren.
(K 3) Mathematisch modellieren
Dazu gehört:
–
den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen,
–
in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten,
–
Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden
Im Folgenden werden die oben benannten mathematischen KompetenSituation zen
interpretieren
und
prüfen.
erläutert, indem(Bildungsstandards
sie
beispielhaft
konkretisiert
werden.
werden
im
2003
für Sie
den
Mittleren
Schulabschluss)
Abschnitt 4.1 weiter ausdifferenziert.
(K 4) Mathematische Darstellungen verwenden
Dazu gehört:
Dienstag, 22. November 16
p
Irrationalität von 2 als Paradebeispiel eines „Beweises durch
Widerspruch“ bzw. „indirekten Beweises“ in der Schule (Klasse 9)
Zahlbereichserweiterung:
Warum reicht ℚ nicht
aus?
Dankwerts, Vogel (2006): Analysis
verständlich unterrichten
Dienstag, 22. November 16
Erkenntnistheoretische Herausforderung und
gleichzeitig allgemeinbildende Erkenntnis Fachphilosophische
Perspektive
Die Einführung der reellen Zahlen lässt sich nicht aus praktischen
Messaufgaben rechtfertigen. In realen Situationen (insb.
Messungen) treten irrationale Zahlen niemals direkt auf.
Der Übergang von den rationalen zu den reellen Zahlen ist eine
aus theoretischen Gründen zweckmäßige Erweiterung des
Zahlbereiches. Durch sie wird gesichert, dass für gewisse
geometrische und algebraische Probleme (Diagonalenlänge
eines Quadrats, Kreisumfang) anschaulich vorhandene
Lösungen auch in der Theorie als wohlbestimmte Objekte
existieren.
(A. Kirsch (1997): Mathematik wirklich verstehen, S.90)
Dienstag, 22. November 16
√2 ist irrational also nicht als Verhältnis ganzer Zahlen (=ratio) darstellbar
x =2
2
a
mit a, b 2 N \ {0}
Indirekte Argumentation: „Was wäre wenn?“ x =
b
2
a
) 2 = x2 = 2
b
) 2 · b2 = a2
Primfaktorzerlegung von a und b
Stelle dir a und b in Primfaktoren
zerlegt vor.
Dann kommt der Primfaktor 2 in
a2 und b2 jeweils gerade oft vor.
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
Dienstag, 22. November 16
In 2 · b2 taucht der Primfaktor 2
aber ungerade oft auf, also kann
die Gleichung nicht stimmen.
Beispiel Geometrie:
Indirektes Argumentieren tritt häufig auf!
Lehrplan Gymnasium Sachsen, Klasse 9
Dienstag, 22. November 16
Möglicher Einstieg
Methodische
Perspektive
(aus: Leuders et al., Mathemagische Momente, 2012)
Erklären Sie anhand der Bankräubergeschichte die einzelnen
Strukturelemente eines Beweises durch Widerspruch!
Dienstag, 22. November 16
(aus: Leuders et al., Mathemagische Momente, 2012)
Dienstag, 22. November 16
(aus: Leuders et al., Mathemagische Momente, 2012)
Dienstag, 22. November 16
Ein weiteres berühmtes Beispiel:
Unendlichkeit der Primzahlen
Lehrplan Gymnasium Sachsen, Klasse 6
Dienstag, 22. November 16
Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen!
Was ist eine Primzahl?
Was wissen Sie über Eigenschaften von Primzahlen und das
Verhältnis zwischen Primzahlen und natürlichen Zahlen, die nicht
Primzahl sind?
Wie beweist man solch eine Aussage?
Beweis: ......
Bringen Sie folgende „Beweisschnipsel“ bzw.
„Beweisschritte“ in eine sinnvolle Reihenfolge!
QED
Dienstag, 22. November 16
Methodische
Perspektive
Dienstag, 22. November 16
Dienstag, 22. November 16
Stark fomalisierter Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen
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Dienstag, 22. November 16
Ein paar wisenschaftstheoretische
Überlegungen
•
Mathematische Argumentationen werden als Muster Voraussetzung Schlussregel - Schluss strukturiert und in linearer Form geschrieben.
•
•
Verifizierung des Schlusses erfolgt aus bestimmten Voraussetzungen.
•
Beweise dienen dazu sich selbst oder andere von der Gültigkeit
einer Aussage zu überzeugen.
•
Ob dies gelingt hängt vom mathematischen Vorwissen bzw.
Hintergrund ab, aber auch von persönlichen bzw. sozio-kulturellen
normativen Vorstellungen.
Diese Voraussetzungen benötigen keine weitere Rechtfertigung oder
sind schon verifiziert.
Hoffkamp, A., Paravicini, W., Schnieder, J.: Denk- und Arbeitsstrategien zum Lernen von Mathematik am Übergang Schule - Hochschule.
In Hoppenbrock A., Biehler R, et al., Lehren und Lernen von Mathematik in der Studieneingangsphase - Herausforderungen und
Lösungsansätze, Springer Spektrum Verlag, 2015.
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Was ist das Allgemeinbildende beim
Argumentieren und Beweisen?
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Dienstag, 22. November 16
Tagesspiegel, März 2016
Argumentationstheorie in der Schule
Fachphilosophische
Perspektive
Gatzemeier, M. (2005). Philosophie als Theorie der Rationalität, Band 1, Kapitel 4:
Argumentationstheorie mit pädagogischem Bezug.
•
Was ist rationale Argumentation?
‣
‣
‣
•
Argumentation als Rede- oder Sprachhandlung
Zweck der Argumentation ist immer die Überzeugung des Gegenübers
von der Richtigkeit einer Behauptung, Aussage oder Satzes
„rational“ bezieht sich auf die Mittel der Argumentation, nur
„rationale“ sollen zugelassen sein
Alternativen zur rationalen Argumentation:
‣
Unterscheidungen in der letzten Begründungsinstanz:
-
so lange argumentieren, wie es persönliche Neigungen/Gefühle
gestatten
nur im Hinblick auf eigenen Nutzen ohne Berücksichtigung der
Interessen der Anderen argumentieren
man beruft sich auf Vorschriften (Autoritäten)
man beruft sich auf Intuitionen
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➡ Setzen wir voraus, dass Argumentationen den Zweck haben durch
Begründung von Sätzen eine sichere Orientierung für zukünftiges Handeln zu
bieten, dann würde man die genannten Alternativen verwerfen.
➡ Einige Bedingungen bzw.Verfahrensnormen für rationale Argumentation:
‣ Alle verwendeten Worte müssen verständlich sein, gemeinsame
‣
‣
‣
‣
‣
begriffliche Basis und Kenntnisse auf dem Gebiet der elementaren
Logik! Das sprachlogische Vokabular der rationalen Argumentation beruht
auf elementarer Logik!
Alle Behauptungen müssen begründet werden.
Kein vorgebrachtes Argument darf von vornherein ausgeschlossen
werden, sondern jedes muss geprüft werden
Geben/Verweigern von Zustimmung darf nicht sanktioniert (bestraft/
belohnt) werden
In der Argumentation darf man sich nicht auf ungeprüftes
gemeinsames Vorverständnis (subjektive Gruppeninteressen) berufen
Von den Teilnehmern zu fordern: Sachkunde (Kompetenz) und
Gutwilligkeit
Gatzemeier, M. (2005). Philosophie als Theorie der Rationalität, Band 1, Kapitel 4: Argumentationstheorie mit
pädagogischem Bezug.
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Dienstag, 22. November 16
1. Nennen Sie mindestens zwei für Sie wichtige Erkenntnisse,
die Sie aus der heutigen Veranstaltung mitnehmen.
2. Was hat Ihnen gefehlt? Welchen Teil hätten Sie gerne
tiefergehender oder auf andere Weise behandelt?
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