Mathematik

Mathematik
Beat Streckeisen, 25. Januar 2008
Inhalt
Rechnen mit Zahlen, Logische Symbole, Aussgagen . . . . . . . . . . . unit 1
Binome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 2
Strahlensätze, Euklid und Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 3
Gleichungen (Theorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 4
Gleichungen (gelöste Beispiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 5
Übungen (Strahlensätze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 6
Übungen (Pythagoras, Strahlensätze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 7
Übungen (Lineare Gleichungen, Terme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 8
Karthesische Koordinaten, Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . unit 9
Übungen (Geradengleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 10
Mengen und Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 11
Übungen zur Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 12
Quadratische und kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 13
Biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 14
Übungen (Quadratische Gleichungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 15
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 16
Übungen (Sinus- und Cosinussatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 17
Die quadratische Funktion, Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 18
Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 19
Winkel im Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unit 20
Mathematik / unit 1 / Seite 1
Rechnen mit Zahlen
Vorzeichenregeln
Addition
(+a) + (+b) = a + b
(+a) + (−b) = a − b
(−a)+(+b) = −a+b
(−a)+(−b) = −a−b
Division
(+a) : (+b) = a : b
(+a) : (−b) = −(a : b)
(−a) : (+b) = −(a : b)
(−a) : (−b) = a : b
Multiplikation
(+a) · (+b) = ab
(+a)·(−b) = −(a·b)
(−a)·(+b) = −(a·b)
(−a) · (−b) = a · b
Division
(+a)/(+b) = a/b
(+a)/(−b) = −(a/b)
(−a)/(+b) = −(a/b)
(−a)/(−b) = a/b
oder
Subtraktion
(+a) − (+b) = a − b
(+a) − (−b) = a + b
(−a)−(+b) = −a−b
(−a)−(−b) = −a+b
Division
(+a)
= ab
(+b)
oder
(+a)
(−b)
(−a)
(+b)
(−a)
(−b)
Klammern (Assoziativgesetze)
Addition und Subtraktion
a + (b + c) = a + b + c
a + (b − c) = a + b − c
a − (b + c) = a − b − c
a − (b − c) = a − b + c
Multiplikation und Division
a · (b · c) = abc
(c 6= 0)
a · (b : c) = ab
c
a
a : (b · c) = bc
(b · c 6= 0)
(b 6= 0; c 6= 0)
a : (b : c) = ac
b
Distributivgesetze
a · (b + c) = a · b + a · c
a · (b − c) = a · b − a · c
Rechnen mit Brüchen und Doppelbrüchen
a±c
a c
± =
b b
b
ad ± bc
a c
± =
b d
bd
ac
a c
· =
b d
bd
a d
ad
a c
: = · =
b d
b c
bc
a
b = a · d = ad
c
b c
bc
d
= − ab
= − ab
=
a
b
Mathematik / unit 1 / Seite 2
Logische Symbole, Aussagen
•
∨
: ”oder ”.
•
∧
: ”und ”.
•
¬
: ”nicht ”.
•
A =⇒ B
: ”wenn A, dann B ”.
•
A ⇐= B
: ”wenn B, dann A ”.
•
A ⇐⇒ B
: ” A genau dann, wenn B ”.
Aussagen sind Sätze, die entweder
• wahr (w) oder
• falsch (f)
sind.
Beispiele
• ”1 und 5 sind die einzigen natürlichen Zahlen, die Teiler von 5 sind.”
• ”Die Erde ist der einzige Planet, auf dem Leben existiert1.”
• ”Ist das Wetter schön?” Dies ist keine Aussage!
• ”Kaufe auf dem Heimweg noch ein Brot!” Dies ist keine Aussage!
• ”Er hat auf dem Heimweg noch ein Brot gekauft.”
• ”Es gibt eine natürliche Zahl, die 7 teilt.”
Wahrheitstabellen
• ¬
1
A
¬A
w
f
f
w
Wir wissen zwar nicht, ob diese Aussage wahr oder falsch ist, aber sicher ist nur eine Antwort
möglich.
Mathematik / unit 1 / Seite 3
Bei zusammengesetzten Aussagen schliessen wir aufgrund der Werte der Einzelaussagen auf den (Wahrheits-)Wert der Gesamtaussage. Beispiele für einige Verknüpfungen, dargestellt als Wahrheitstabelle:
• ∨ und ∧
A B
A∨B A∧B
w w
w
w
w f
w
f
f
w
w
f
f
f
f
f
• =⇒ und ⇐=
A B
A =⇒ B A ⇐= B
w w
w
w
w f
f
w
f
w
w
f
f
f
w
w
• ⇐⇒
A B
A ⇐⇒ B
w w
w
w f
f
f
w
f
f
f
w
Aufgabe 1
Entscheide, welche der folgenden Sätze Aussagen sind:
a) ”Der Vogel zwitschert.”
b) ”7 ist eine gerade Zahl.”
c) ”Wo befindet sich der Bahnhof?”.
d) ”Die Gleichung x2 + 1 = 0 hat keine reellen Lösungen.”
Mathematik / unit 1 / Seite 4
Aufgabe 2
Ergänzen Sie die Wahrheitstabelle:
A B
¬(A =⇒ B) A ∧ ¬B
w w
w f
f
w
f
f
Was fällt dabei auf?
Aufgabe 3
Ergänzen Sie die Wahrheitstabelle:
A B
¬(A ∨ B) ¬(A ∧ B)
w w
w f
f
w
f
f
Aufgabe 4
Ergänzen Sie die Wahrheitstabelle:
A B
w w
w f
f
w
f
f
A =⇒ (A =⇒ B)
Mathematik / unit 1 / Seite 5
Aufgabe 5
Beweise die nach De Morgan benannten Gesetze:
(¬(A ∧ B))
⇐⇒
(¬A ∨ ¬B)
(¬(A ∨ B))
⇐⇒
(¬A ∧ ¬B)
Mathematik / unit 1 / Seite 6
♥ Lösung:
1. (a) ”Der Vogel zwitschert.” Aussage
(b) ”7 ist eine gerade Zahl.” Aussage
(c) ”Wo befindet sich der Bahnhof?”. keine Aussage
(d) ”Die Gleichung x2 + 1 = 0 hat keine reellen Lösungen.” Aussage
2.
A B
¬(A =⇒ B) A ∧ ¬B
w w
f
f
w f
w
w
f
w
f
f
f
f
f
f
Beide Aussagen haben den gleichen Wahrheitsgehalt, sie sind identisch:
(¬(B =⇒ A))
⇐⇒
(A ∧ ¬B)
3.
A B
¬(A ∨ B) ¬(A ∧ B)
w w
f
f
w f
f
w
f
w
f
w
f
f
w
w
4.
A B
A =⇒ (A =⇒ B)
w w
w
w f
f
f
w
w
f
f
w
Also A =⇒ B ist äquivalent zu A =⇒ (A =⇒ B).
5. Schreiben Sie die Wahrheitstabellen für die Aussage links und die Aussage rechts
vom ⇐⇒ auf!
♥
Mathematik / unit 2 / Seite 7
Binomische Formeln:
Die Fläche des grossen
Quadrates (a + b)2
setzt sich aus den
kleinen
Quadraten
und zwei Rechtecken
zusammen.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Aufgabe 1
Vereinfache:
a)
9
10
·
5
12
12
25
·
−15
16
3y
10x
·
5
6
b)
7
c) 4 45 · 3 10
3
d) 2 29 · 3 34 · 6 10
6
e) 6 78 · 12 11
Aufgabe 2
Vereinfache:
a)
3
4
f)
5x
6y
·
5x
2y
b)
· 3y 2
g)
3a2
8b
c)
· 4b2
4a
5b
·
h)
25b2
12a2
x
yz
d)
· xz
8xy
5z
i)
u
v
·
10xz
3y
· uv
e)
k)
2x2
15y
·
25y 2
4x3
ax 2 2
·b y
by
Aufgabe 3
Vereinfache:
a)
5a
7(a + b)
·
14(a + b)
10b
2) a)
15x
8y
3) a)
a
4b
b)
b) 3 c)
2
i) − (p+q)
k) a2
2pq
c)
4
3a
c)
15a 4(b + c)
·
b+c
45a2
f)
1) a)
y
4x
x + y 12z
·
4z
x+y
u + v (r + s)2
(a + b)2 a2 − b2
·
g)
·
r2 − s2 u2 − v 2
(b − a)2 a2 + b2
ab
k)
· (a2 − ab)
ab − b2
4−y
x
·
2
y − 16
5x
p2 − q 2 p + q
·
i)
2pq
q−p
e)
♥ Lösung:
b)
3
8
5b
3a
9
b) − 20
c)
d)
d)
16 2
x
3
5(a−b)
18(a+b)
e)
444
25
5y
6x
d)
3(a + b) 25(a − b)2
·
15(a − b) 18(a + b)2
h)
4x2 − 1 9x3 − x
·
3x2 − x 2x4 − x3
= 17 19
d) 52 12 e) 86 14
25
f) 52 xy g) 32 a2b h)
1
e) − 5(y+4)
f)
r+s
(u−v)(r−s)
x2
y
g)
i) u2 k) abxy
(a+b)3
(a−b)(a2 +b2 )
h)
(2x+1)(3x+1)
x3
♥
Mathematik / unit 3 / Seite 8
Die Strahlensätze
In den nebenstehenden Figuren lassen sich die
Strahlensätze
anwenden. s1 und s2 sind zwei
beliebige von P ausgehende Strahlen, p1 ist parallel
zu p2 , kurz p1 k p2 . Dann gelten folgende Gleichungen:
PC : PD = PA : PB
P C : CA = P D : DB
P C : CD = P A : AB
Beliebige, geradlinig begrenzte Flächen lassen sich in Dreiecke zerlegen, deshalb geben
wir hier nur die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke an:
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie
sss: im Verhältnis der drei Seiten
sws: im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
Ssw: im Verhältnis zweier Seiten und dem der grösseren Seite
gegenüberliegenden Winkel
ww: in zwei Winkeln
übereinstimmen.
Rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn sie
ss: im Verhältnis der beiden Katheten oder einer Kathete und
der Hypotenuse
w: in einem spitzen Winkel
übereinstimmen.
Mathematik / unit 3 / Seite 9
Der Satz des Euklid
Wir betrachten das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten a,b und c. Die Hypotenuse c wird durch die Höhe hc
in die Teile p und q zerlegt. Wegen dem zweiten Ähnlichkeitssatz für rechtwinklige Dreieck (w) sind alle
drei Dreiecke ähnlich (das ursprüngliche und die zwei
Teile). Also gelten die Verhältnisse:
c : a = a : p
und c : b = b : q
Ausmultipliziert ergibt sich
a2 = c · p und b2 = c · q
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt
aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
Der Satz von Pythagoras
Indem wir die obigen Gleichungen addieren ergibt sich
a2 + b2 = cp + cq = c (p + q) = c2
| {z }
c
und damit der Satz von Pythagoras2
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der
Summe der Quadrate über den beiden Katheten.
Der Höhensatz
Eine kleine Rechnung mit obigen Resultaten und Bezeichnungen (h ist die Höhe hc )
ergibt schliesslich den Höhensatz. Zunächst gilt (Pythagoras):
a2 = h2 + p2
und b2 = h2 + q 2
Zusammengezählt:
2
a
+ b2 = 2h2 + p2 + q 2
| {z }
| {z }
c2
(p+q)2 −2pq
c2 = 2h2 + (p + q)2 −2pq
|
0 = 2h2 − 2pq
{z
c2
}
oder h2 = pq
Das Quadrat der Höhe im rechtwinkligen Dreieck ist gleich dem Produkt der
beiden Hypotenusenabschnitte.
2
Dieser Satz war bereits 3000 Jahre vor unserer Zeitrechnung in Persien bekannt und bewiesen.
Mathematik / unit 4 / Seite 10
Gleichungen
Gleichungen sind Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können. Enthält eine
Gleichung eine Variable, so ist sie je nach Wahl der Variablen falsch oder wahr. Diejenigen Werte der Variablen, für die die Gleichung wahr ist, heissen Lösungen der Gleichung.
♣ Beispiel:
2x + 3 = 7
ist wahr für x = 2, 2 ist eine Lösung der Gleichung.
♣
♣ Beispiel:
x2 + 3 = 7
ist wahr für x = 2 und für x = −2, sowohl 2 als auch −2 ist Lösung der Gleichung.
Die Menge aller Lösungen einer Gleichung fassen wir zusammen zur
Lösungsmenge und schreiben: Lx = L = {−2, 2}
♣
♣ Beispiel: Das Newtonsche Gestz ist eine Gleichung:
F =m·a
Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung.
♣
♣ Beispiel: Der Satz von Pythagoras ist eine Gleichung:
a2 + b2 = c2
Wir können in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypothenuse
a ausrechnen,
wenn wir
√
√
b und c kennen. Z.B. sei b = 3 und c = 5, dann ist a = 52 − 32 = 16 = 4. Auch hier
wäre -4 formal eine Lösung, aber negative Strecken machen keinen Sinn!
♣
Die Frage ist jetzt, wie wir allgemein Lösungsmengen von Gleichungen bestimmen
können. Leider lässt sich diese Frage nicht allgemein beantworten, für einige wenige
Fälle sind Formeln bekannt, sonst muss man sich etwas einfallen lassen oder tappt weiter im Dunkeln. Es gibt aber einige Äquivalenzumformungen, die die Lösungsmenge
nicht verändern und uns eine grosse Hilfe sind:
a+x =b ⇔ x = b−a
a−x =b ⇔ x = a−b
a
b
(a 6= 0)
a:x=b ⇔ x=
(b 6= 0)
a
b
√
√
√
x2 = a ⇔ x = ± a (a ≥ 0) also L = {− a, + a }
a·x=b ⇔ x=
Mathematik / unit 5 / Seite 11
Gleichungen (gelöste Beispiele)
♣ Beispiel: Löse die Gleichung:
x+
2 2x
4
x
−
−
= 2+
5
3
15
2
Wir multiplizieren (beide Seiten) mit 30:
30x + 12 − 20x − 8 = 60 + 15x
Wir addieren (auf beiden Seiten) 8 − 12 − 15x:
30x − 20x − 15x = 60 − 12 + 8
−5x = 56
Wir dividieren (beide Seiten) durch (-5):
Ergebnis: x =
56
1
= −11
−5
5
oder
L = {−11 15 }
♣
♣ Beispiel: Löse die Gleichung:
5 − 4x
1 2x − 5
−
=
2
3
6
Multiplikation mit 6:
3 − 4x + 10 = 5 − 4x
8=0
Ergebnis: L = { } (die Lösungsmenge ist die leere Menge, da es keine Zahl x gibt,
die die Gleichung erfüllt!)
♣
♣ Beispiel: Löse die Gleichung:
5 − 4x
1 2x − 1
−
=
2
3
6
3 − 4x + 2 = 5 − 4x
0 = 0
Ergebnis: L = R (die Lösungsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen R, da jede
Wahl von x die Gleichung erfüllt!)
♣
Mathematik / unit 5 / Seite 12
Aufgabe 1
Löse nach x auf:
x x
+
= 7
3 4
5x
7
3 x
=
+
e) −
4 2
6
12
a)
x x
−
= 6
2
5
9x 1
6
f)
+ = 2x −
14 2
7
b)
5x 1
7x
7x 2
x
− =
d)
− =
6
2
10
10 5
2
3x x 5x
x
g)
− −
−
= x−9
5
6
12 15
c)
Aufgabe 2
Löse nach x auf:
x + 1 3x − 1
−
= x−2
3
5
4−x 2
x − 3 2x − 5
−
=
−
c)
6
3
2
3
3x − 5 2x − 3 x + 6
x−3
e)
+
−
=
4
6
3
2
a)
4x + 6
5x + 1
= 6−
9
4
2 − 3x 2x − 3
x−1 1
d)
+
=
+
12
8
3
8
4x + 9 7x − 1
x+5 x+3
f)
−
=
−
10
25
4
20
b) 7 − x −
♥ Lösung:
1) a) 12 b) 20 c)
15
4
d) 2 e)
1
8
f) 1 g)
60
7
2) a) 2 b) 3 c) L = { } (keine Zahl erfüllt die Gleichung!) d) 0
e) 9 f) −2
♥
Mathematik / unit 6 / Seite 13
Übungen (Strahlensätze)
Aufgabe 1
g991213.d
Berechne x:
Aufgabe 2
g991213.e
Berechne x:
Aufgabe 3
g991213.f
Berechne x:
Lösungen
A 1: a)
ac
b−c
A 2: a)
ac
b
A 3: a)
g
4
b)
b)
bc
a+b
ab
a+b
b) 23 h
Mathematik / unit 7 / Seite 14
Übungen (Pythagoras, Strahlensätze)
Aufgabe 1
g991213.a
Berechne x:
Aufgabe 2
g991213.b
Berechne x:
Aufgabe 3
g991213.g
Berechne die gesuchten Grössen (im Dreieck links bezeichnet g die Grundseite):
Lösungen
A 1: a) 23 r b) 34 a
A 2: a) 23 b b)
A 3: a) F =
35
2
gh
4
√
5
b) x = a √410+1
Mathematik / unit 8 / Seite 15
Übungen (Lineare Gleichungen, Terme)
Aufgabe 1
m011023.1
Vereinfache:
a)
c)
1
1
− 10
5
2
3
+ 20
5
2
− 16
3
1
5
+ 18
12
=?
2
1
− 10
15
1
3
+ 10
5
1
+ 16
2
1
5
+ 16
8
b)
5 6 6
8
+
· −
13 13 7 7 = ?
4
4−
1
4+
3
=?
1 1 1 1
3 +4+5+6 =?
d)
Aufgabe 2
m011023.3
Bilde Faktoren:
a)
a2 − 4b2 = ?
c)
ab2 − ac2
b)
−1 + 9x2 = ?
Aufgabe 3
m011023.2
Vereinfache:
a)
c)
1−x − 1+x +4· x
=?
1+x 1−x
1 − x2
3a2 + 1 − 3a − 1 = ?
a+3
a2 − 9 a − 3
b)
1+x
x+2 x−3
x − 1 + x − 2 − (x − 1)(x − 2) = ?
d)
x − 2 + 2
=?
x2 − 1 x − 1 x + 1
Aufgabe 4
Kürze:
m950526.6
a)
x
2x
+
x−1 x+2 =?
2x
x
+
x+2 x−1
b)
3a2 − 27
6a + 12
=?
a2 − 6a + 9
a2 + 4a + 4
Aufgabe 5
Berechne x:
m950520.7
1
2
2
3
3
−x
4
+
1
2
−
2
= 0
3
Mathematik / unit 8 / Seite 16
Aufgabe 6
m950512.6
Löse die folgende Gleichung nach x auf:
1
2
1
2
1
2
1
−x
2
1
+
2
1
−
2
+
1
= 0
2
Aufgabe 7
m950505.8
Von drei Brüdern ist der älteste 12 Jahre älter als der zweitälteste und der zweitälteste
2 Jahre älter als der jüngste. Alle drei zusammen sind gleich alt wie die Mutter. Der
Vater ist 4 Jahre älter als die Mutter und viermal so alt wie der zweitälteste Sohn.
Wie alt ist jeder?
Aufgabe 8
m950520.5
Ein Quadrat hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Rechteck. Die lange Rechteckseite
ist un 1 länger als die Quadratseite, die kurze Rechteckseite ist um 74 kürzer als die
lange Rechteckseite.
Berechne die Länge der Quadratseite.
Aufgabe 9
m950505.5
Auf einer Bahn von 400 m Länge findet ein 100 000 m Lauf statt. Ein Läufer legt diesen
in 30 Minuten zurück, ein anderer in 31.25 Minuten.
Nach wievielen Metern holt der schnellere den langsameren ein, wenn beide ihre Geschwindigkeit beibehalten?
Aufgabe 10
m991204.7
Löse die Gleichung nach x auf:
√
√
5x−
√
7x +
√
5 =
7
Aufgabe 11
m991204.8
Löse die Gleichung nach x auf:
1
2
1
x
a
x−
− 2x +
+a =
4
2
2
Mathematik / unit 8 / Seite 17
Aufgabe 12
m991204.2
Löse nach x auf:
a)
x − 23 x + 2 =
b)
ax − 2x +
a
2
1
3
= 0
Aufgabe 13
m991204.1
Vereinfache soweit möglich:
a)
7
5
+
+2
6 12
=?
7 2
− +1
2 3
b)
b
a
−
+1
b+a b−a
=?
b
a
+
−1
a+b a−b
Lösungen
A 1: a)
7
1
19
13
b)
c)
d)
99
160
35
20
A 2: a) (a − 2b)(a + 2b) b) (3x − 1)(3x + 1) c) a(b + c)(b − c)
x−4
2x2 − 5x − 2
11a
d) 2
A 3: a) 0 b)
c) 2
(x − 1)(x − 2)
a −9
x −1
x
b)
x+1
A 4: a)
(a + 3)(a + 2)
2(a − 3)
A 5: x = − 12
A 6: x =
7
2
A 7: 56, 52, 26, 14 und 12.
A 8: x = 3
A 9: 100 000 m
A10: x =
√ √
√ 7−√ 5
5− 7
A11: x = 2a −
= −1
1
2
a
A12: a) −5 und b) − 2(a−2)
A13: a)
41
46
b)
a2
b2
Mathematik / unit 9 / Seite 18
Karthesische Koordinaten
Um Punkte (und weitere geometrische Objekte) in der Ebene algebraisch greifbar zu
machen, führen wir Koordinaten ein. Es ist üblich, dazu ein karthesisches Koordinatensystem zu verwenden. Wir legen zwei zueinander senkrecht stehende Achsen
(in der Mathematik meist mit x und y beschriftet) durch einen fest gewählten Punkt O
(auch Ursprung genannt). Die Orientierung ist im mathematischen Sinn positiv, was
heisst, dass man von der x−Achse im Gegenuhrzeigersinn zur y−Achse gelangt. Die
Achsen sind gerichtete Geraden, der Pfeil gibt die positive Richtung an. Demzufolge
sind die Koordinaten der Punkte die vom Ursprung in Pfeilrichtung liegen positive,
sonst negative Zahlen. Ein Punkt P wird dann durch das Zahlpaar (xP , yP ) gegeben,
wir schreiben
P = (xP , yP )
Durch die Achsen wird die Ebene in vier Quadranten eingeteilt. Auf Grund der Vorzeichen der
Koordinaten eines Punktes wissen wir, wo er
liegt:
I - Quadrant: xP > 0 und yP > 0
II - Quadrant: xP < 0 und yP > 0
III - Quadrant: xP < 0 und yP < 0
IV - Quadrant: xP > 0 und yP < 0
Geradengleichung
Die Gerade ist nicht parallel zur y−Achse:
y = mx + q
m heisst Steigung der Geraden, q ist der
Achsenabschnitt (auf der y−Achse).
Falls die Gerade parallel zur y−Achse ist, lautet die Gleichung
x = c
c ist der Abstand der Geraden von der y−Achse, es gilt c > 0 falls die Gerade rechts
und c < 0 falls sie links liegt.
Die Fallunterscheidung in parallel oder nicht parallel zur y−Achse kann umgangen
werden, wenn wir die allgemeine Form hinschreiben, die beide Fälle beschreibt
ax + by + c = 0
Wir sehen sofort, dass für b 6= 0 die Steigung m = − ab ist.
Mathematik / unit 10 / Seite 19
Übungen (Geradengleichung)
Aufgabe 1
m011129.b
Gib die Gleichung der Geraden g an.
Aufgabe 2
m011201.b
Gib die Gleichung der Geraden g an.
Aufgabe 3
Gib die Gleichungen der Geraden g und h an.
m011201.a
Mathematik / unit 10 / Seite 20
Aufgabe 4
m950707.a
Bestimme die gesuchten Grössen:
Lösungen
A 1: y = 23 x − 2
A 2: y =
13
x
12
+
1
2
A 3: g : y = −0.57x + 6 und h : y = 1.76x
A 4: a) A =
55
3
b) y = 65 x − 6 c) y = − 24
x−
25
24
5
Mathematik / unit 11 / Seite 21
Mengen und Intervalle
In einer Menge werden Objekte zusammengefasst. Diese Objekte heissen Elemente.
Mengen kann man auf zwei Arten definieren:
• in aufzählender Form (z.B. M = {a, b}) oder
• durch Beschreibung der Elemente (z.B. M = {D| D ist ein Dreieck })
Schema für den letzten Fall: {x|Eigenschaften (von x)}, x ist ein x−beliebiges Element,
damit es aber in der Menge liegt, muss es die Eigenschaften erfüllen. Manchmal gibt
es auch Eigenschaften die von keinem x erfüllt werden, dann ist die Menge leer: Eine
spezielle Menge ist die Leere Menge: Man schreibt { } oder ∅.
♣ Beispiel: {x| x ist eine ganze Zahl und es gilt x2 + 9 = 0} = { }
♣
Die Mächtigkeit der Menge (schreibweise: |M|) gibt die Anzahl der Elemente an.
Mengen können
• endlich (z.B. |{1, 2}| = 2) oder
• unendlich (z.B. |N| = |{1, 2, 3, . . . }| = ∞) sein.
Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle (z.B. {1, 2} = {2, 1}).
Falls alle Elemente einer Menge A auch Element der Menge B sind, sagen wir, dass A
eine Teilmenge von B ist. Wir schreiben kurz:
x ∈ A =⇒ x ∈ B
⇐⇒
A⊂B
♣ Beispiel: N ⊂ Z (Die natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen!3 )
♣
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Um Gleichheit
nachzuweisen, unterteilt man sich die Arbeit oft in zwei Teile:
A = B
3
⇐⇒
A ⊂ B und B ⊂ A
Die Menge N der natürlichen Zahlen ist nicht einheitlich definiert, einige Autoren betrachten 0
auch als natürliche Zahl. Ich benütze die Definition, bei der 0 keine natürliche Zahl ist. Die Menge
No bezeichnet dann die natürlichen Zahlen inklusive der 0.
Mathematik / unit 11 / Seite 22
Mengenoperationen
Aus zwei Mengen A und B können wir
• den Durchschnitt bilden
A ∩ B = {x| x ∈ A und x ∈ B}
• die Vereinigung bilden
A ∪ B = {x| x ∈ A oder x ∈ B}
• die Differenz bilden
A\B = {x| x ∈ A und x 6= B}
• das Karthesische Produkt bilden
A × B = {(x, y)| x ∈ A and y ∈ B}
Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A:
P(A) = {X| X ⊂ A}
♣ Beispiel: P({0}) = {{ }, {0}}
♣
Intervalle
Intervalle sind spezielle Mengen, meistens Abschnitte der reellen Achse. Wir unterscheiden
• abgeschlossene (z.B. [2, 6]) und
• offene4 (z.B. ]2, 6[)
Intervalle. Beim ersten gehören die Zahlen 2 und 6 dazu, beim zweiten nicht. Weiter
gibts es sinngemäss auch halboffene Intervalle (z.B. ]2, 6] oder [2, 6[). Intervalle sind
Kurzschreibweisen, beispielsweise ist
[2, 6[ = {x| x ∈ R und 2 ≤ x < 6}
♣ Beispiel: Alle negativen reellen Zahlen: ] − ∞, 0[
Bemerkung: −∞ ist keine reelle Zahl, muss deshalb ausgeklammert werden!
♣
♣ Beispiel: Alle positiven reellen Zahlen grösser oder gleich eins: [1, ∞[
Bemerkung: ∞ ist keine reelle Zahl, muss deshalb ausgeklammert werden!
♣
4
Offene Intervalle werden auch mit ”weicher Klammer” geschrieben: (2, 6)
Mathematik / unit 12 / Seite 23
Übungen zur Mengenlehre
Aufgabe 1
m950428.2
Schreibe sämtliche Teilmengen der nachstehenden Menge hin: B = {2, 3, 5}.
Bestimme die Potenzmenge P(B).
Aufgabe 2
m950428.3
Welche der nachfolgenden Aussagen sind für die Menge M = {0, 1} richtig?
a) 0 ∈ M
b) { } ⊂ M
c) {1} ∈ M
d) {1} ⊂ P(M)
e) { } ⊂ {{ }}
f) {0} = { }
g) M ⊂ P(M)
Aufgabe 3
m950428.4
T (n) bezeichne die Menge aller (natürlichen) Teiler der Zahl n. (Z.B. T (8) = {1, 2, 4, 8}).
Bestimme die folgende Menge:
(T (12)\T (18)) ∪ (T (18)\T (12))
Aufgabe 4
m950428.6
Welche Schlüsse für die Mengen A und B lassen sich aus den folgenden Aussagen
ziehen?
a) A\B = { }
b) A ⊂ A ∩ B
c) A\B ⊂ B
Aufgabe 5
m950428.7
Von den Schülern einer Klasse (K) spielen 14 Fussball (F ), 12 Handball (H), 8 Basketball (B), 4 F und H, 8 H und B, 2 F und H und B, 7 weder F noch H noch
B.
Bestimme die Anzahl Schüler der Klasse.
Mathematik / unit 12 / Seite 24
Aufgabe 6
m950428.8
Beweise die folgende Formel:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Aufgabe 7
m950428.9
Was kann man über die Mengen A und B sagen, wenn
a) |A ∩ B| = |A|
b) |A ∪ B| = |A ∩ B| + |A\B|
c) |A ∪ B| = 0
Aufgabe 8
m950505.6
Schreibe in aufzählender Form:
a) [9, 18]N
b) {x|x ∈ Z, x > −2}
Aufgabe 9
m950505.7
Schreibe als Intervall:
a) {x ∈ Q|2 ≤ x ≤ 22.17}
b) {x ∈ Q|2 ≤
1
x
≤ 10}
Aufgabe 10
m950512.1
Bestimme, welche Aussagen richtig und welche falsch sind (M1 = {a, b}, M2 = {b, c}
und M3 = {a}):
Aussage
1
M1 ∩ M2 = { }
2
M1 ⊂ P(M2 )
3
{ } ∈ P(M1 )
4
M3 ∈ P(M1 ∪ M2 )
5
M3 = M1\M2
richtig falsch
Mathematik / unit 12 / Seite 25
Aufgabe 11
m950512.2
Schreibe die folgenden Mengen explizit (d.h. in aufzählender Form):
a) {(x, y)|x, y ∈ N, 2x + y ≤ 5}
b) {(x, y)|x, y ∈ N, x − y = 0}
Aufgabe 12
m950520.1
Kreuze auf diesem Blatt an, ob die Aussage richtig oder falsch ist (M1 = {a, 2, 3},
M2 = {2, 4, 6, 8, . . .}, M3 = No ):
Aussage
richtig falsch
M1 ∩ M2 ⊂ M3
M2 \Z ⊂ M1
{(a, 2)} ∈ P (M1 )
M2 ∈ P (Q)
2
3
∈ [ 12 , 1]Z
|M1 × M1| = |P (M1 )|
|P ({ })| = 1
Aufgabe 13
Schreibe die folgenden Mengen explizit (d.h. in aufzählender Form):
a) {x|x ∈ N , x < 4}
b) {(x, y)|x ∈ N , y ∈ N o , x + y ≤ 4}
c) {a, 1} × {a, 2} = ?
m950520.2
Mathematik / unit 12 / Seite 26
Lösungen
A 1: {{ }, {2}, . . . , {2, 3, 5}}
A 2: r,r,f,f,r,f,f
A 3: {4, 9, 12, 18}
A 4:
a) A ⊂ B
b) A ⊂ B
c) Aussage allgemeingültig!
A 5: 29
A 6: Zunächst untersuchen wir ein Element x, das in A, aber nicht in B und nicht in
C ist und stellen fest, dass es links und rechts je genau einmal gezählt wird. Die
gleiche Überlegung gilt auch für B und C. Dann untersuchen wir ein Element x,
das in A ∩ B ist, aber nicht in C. Die gleiche Überlegung gilt auch für A ∩ C und
B ∩ C. Zuletzt nehmen wir noch ein Element aus A ∩ B ∩ C.
A 7:
a) A ⊂ B
b) B ⊂ A
c) B = A = { }
A 8:
a) {9, 10, 11, . . . , 17, 18}
b) {−1, 0, 1, 2, . . .}
A 9:
a) [2, 22.17]Q
1 1
b) [ 10
, 2 ]Q
A10: Falsch sind 1 und 2, richtig 3,4 und 5.
A11:
a) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1)}
b) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), . . .}
A12: r, r, f, r, f, f, r
A13:
a) {1, 2, 3}
b) {(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (4, 0)}
c) {(a, a), (a, 2), (1, a), (1, 2)}
Mathematik / unit 13 / Seite 27
Quadratische und kubische Gleichungen
Jede quadratische Gleichung lässt sich so
schreiben:
x2 + bx + c = 0
Die Lösungsformel ergibt sich aus der Figur, die
einen sogenannten ”Gnomon” zeigt:
x1,2
b
= − ±
2
s
b 2
2
−c
Erklärung: Man berechnet die Fläche des grossen Quadrates einerseits direkt und
andererseits als Summe der Teile, dann löst man die entstehende Gleichung nach x
auf.
Die Lösungsformel der allgemeinen quadratischen Gleichung
ax2 + bx + c = 0
finden wir, indem wir in der obigen Formel folgende Substitutionen ausführen:
b→
b
a
und c →
c
a
Die Formel ist
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Kubische Gleichungen
Bei der kubischen Gleichung wird es etwas komplizierter. Die allgemeine Gleichung
x3 + b x 2 + c x + d = 0
auf die Form
lässt sich zunächst mit der Substitution x = u − b
3
u3 + p u + q = 0
bringen. Die Teile dieser Gleichung lassen sich in einem räumlichen ”Gnomon” unterbringen. Der Würfel mit Kantenlänge u wird mit drei gleichen Quadern der Seitenfläche
p
und der Dicke u umgeben. Daraus ergibt sich die Gleichung
3
(l − u) · l =
p
3
oder
(l − u) =
p
3l
Mathematik / unit 13 / Seite 28
Links-hinten-unten ist ein Würfel mit Kantenlänge l − u versteckt.
Erklärung: Man berechnet das Volumen des grossen Würfels einerseits direkt und andrerseits als Summe der Stücke:
p
(*)
l3 = u3 + 3 · · u +(l − u)3
|
{z 3 }
−q
Aus beiden Gleichungen folgt zusammen
l3 = −q +
p 3
3l
Ich setze v = l3 und löse nach v auf
v = −q +
p3
27v
27v 2 + 27q v − p3 = 0
oder
Aus dieser quadratischen Gleichung ergibt sich
√
√
−9q + 81q 2 + 12p3
−27q + 272 q 2 + 4 · 27p3
=
v =
2 · 27
18
und
s
√
81q 2 + 12p3
18
Dies setzen wir in (*) ein und lösen nach u auf:
s
s
√ 2
√ 2
q
3
−9q
+
81q
+
12p
81q + 12p3
3
3 −9q +
3 3
−
+q
u = l− l +q =
18
18
l =
3
−9q +
Der letzte Ausdruck unter der Wurzel wird noch vereinfacht:
s
u1 =
3
−9q +
√
81q 2 + 12p3
−
18
s
3
9q +
√
81q 2 + 12p3
18
Aus u1 lässt sich x1 sofort berechnen: x1 = u1 + 3b . Die Gleichung hat eventuell noch
weitere (reelle) Lösungen. Diese Lösungen können mittels Polynomdivision der ursprünglichen Gleichung durch (x − x1) und anschliessender Lösung der entstehenden
quadratischen Gleichung gefunden werden.
Mathematik / unit 13 / Seite 29
Bemerkung:
Die angegebene Formel stimmt nur geometrisch mit der Skizze überein, wenn
• p > 0, dies sieht man, wenn wir die Figur betrachten
• q < 0, dies geht aus der Gleichung (*) hervor
Trotzdem ist die Formel auch sonst anwendbar!
♠ Aufgabe: Löse die Gleichung
x3 + 9x2 + 28x + 28
♠
Mathematik / unit 14 / Seite 30
Für die biquadratische Gleichung
ax4 + bx2 + c = 0
lässt sich eine einfache Lösungsformel herleiten. Zunächst macht man die Substitution
u = x2 und löst die entstehende quadratische Gleichung nach u auf. Die Lösungen
für x erhält man schliesslich durch Rücksubstitution, was hier einfaches Wurzelziehen
bedeutet:
s
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2,3,4 = ±
2a
♠ Aufgabe: Analog lässt sich eine Lösungsformel für die folgende Gleichung 6. grades
herleiten:
ax6 + bx3 + c = 0
♠
s
♥ Lösung: x =
3
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
♥
♠ Aufgabe:
a)
x4 − 5x2 + 4 = 0
c)
2
x− −1=0
x
♥ Lösung:
b)
x−
√
x=2
1. L = {−2, −1, 1, 2} 2. L = {4} 3. L = {−1, 2}
♠
♥
Mathematik / unit 15 / Seite 31
Übungen (Quadratische Gleichungen)
Aufgabe 1
m991123.1
Bestimme die Lösungsmenge Lx :
a)
x2 − 6x + 5 = 0
b)
2x2 + 9x + 7 = 0
c)
80x2 − 166x + 51 = 0
d)
x2 − 6.3 = −1.7x
e)
1 2
x
6
f)
0.75x2 + 0.5x = 1.25
− 16 x = 5
Aufgabe 2
m991123.2
Bestimme die Lösungsmenge Lx :
a)
x2 − 3x = 0
b)
5x2 − 14x = 0
c)
(x − 2)(x + 3) + 3(x2 − 30) = 25x − 96
d)
7x(x + 2) = 12x
e)
(x − 4)(2x − 9) = (x − 6)2
Aufgabe 3
m991123.3
Bestimme die Lösungsmenge Lx :
a)
x
2x−3
c)
9+2x
9−x2
e)
x−a
b
−
=
1
2x
=
5
3−x
+2 =
3
4x−6
−
4+x
6+2x
a
x+b
b)
2x
x−4
d)
x
a
f)
Aufgabe 4
+
3x
x+4
−
a
x
=
3a
a+x
+
x
a−x
=
4(x2 −x+4)
x2 −16
=
3a2
a2 −x2
3
2
m950512.4
Ein Quadrat hat den halben Flächeninhalt wie ein Rechteck. Die Quadratseite ist um
1 cm länger als die kürzere Rechteckseite. Die längere Rechteckseite misst 9 cm.
Berechne die Länge der Quadratseite.
Aufgabe 5
m950505.3
Ein Quadrat und ein Rechteck haben den gleichen Flächeninhalt. Eine Rechtecksseite
misst 18 cm, die andere ist um 4 cm kürzer als die Quadratseite.
Berechne den Flächeninhalt.
Mathematik / unit 15 / Seite 32
Aufgabe 6
m950526.3
Ein Rechteck 1 hat den halben Flächeninhalt wie ein Rechteck 2. Die längere Seite des
Rechtecks 1 ist um 5 länger als die kürzere Seite des Rechtecks 2. Die längere Seite des
Rechtecks 2 ist um 13 länger als die kürzere Seite des Rechtecks 2. Beim Rechteck 2
ergibt die Summe der beiden Seitenlängen 29.
Berechne die Seitenlängen der beiden Rechtecke.
Lösungen
A 1: a) {1, 5} b) {−1, − 72 } c){ 38 , 17
} d) {− 72 , 1.8} e) {−5, 6} f) {1, − 53 }
10
A 2: a) {0, 3} b) {0, 14
} c) {0, 6} d) {0, − 27 } e) {0, 5}
5
A 3: a) {1} b) { } c) {0, −7} d) {2a, − a2 } e) {a − b, −2b} f) {0, 2a}
A 4: Entweder 1.5 oder 3.
A 5: 144 cm2 oder 36 cm2
A 6:
84
/13
13
und 8/21
Mathematik / unit 16 / Seite 33
Zunächst definieren wir die trigonometrischen Funktionen für Winkel zwischen 0o
und 90o im rechtwinkligen Dreieck
Die unten notierten Seitenverhältnisse bestimmen wegen den Ähnlichkeitssätzen den
Winkel α eindeutig und andererseits bestimmt der Winkel α diese Verhältnisse. Wir
haben eine eineindeutige Zuordnung.
Name
Kurzform
Sinus
sin
Cosinus
cos
Tangens
tan
Definitionsgleichung
sin(α) =
Gegenkathete
a
=
c
Hypotenuse
cos(α) =
tan(α) =
Ankathete
b
=
c
Hypotenuse
Gegenkathete
a
=
b
Ankathete
Für die speziellen Winkel 0o , 30o (halbes gleichseitiges Dreieck!) 45o (gleichschenkligrechtwinkliges Dreieck!), 60o (halbes gleichseitiges Dreieck!) und 90o finden wir leicht5
0o
5
...
sin
0
cos
1
tan
0
30o
1
2
√
3
2
√
3
3
45o
√
2
2
√
2
2
1
60o
√
3
2
1
2
√
3
90o
1
0
∞
Zugegeben, für α = 0o und α = 90o können wir uns das Dreieck auch nicht mehr so gut vorstellen
Mathematik / unit 16 / Seite 34
Die trigonometrischen Funktionen lassen sich allgemeiner im Einheitskreis definieren.
Anhand der gleichen Figur können auch viele Eigenschaften und Formeln sofort hergeleitet werden. Wir betrachten zunächst einen beliebigen Punkt P = (xP , yP ) auf dem
Einheitskreis. Wir können mit seinen Koordinaten und dem Winkel ϕ, der von der
x−Achse zum Strahl OP gemessen wird und der im Bogenmass gleich dem Kreisbogen
d ist, die Definitionen aufschreiben:
1P
cos(x) = xP
sin(x) = yP
tan(x) =
yP
xP
Diese Definitionen gelten auch dann,
wenn der Punkt P in den andern Quadranten liegt, entsprechend
den Vorzeichen seiner Koordinaten
ergeben sich auch die Vorzeichen der
trigonometrsichen Funktionen.
Der Winkel ϕ wird bei geometrischen Berechnungen im Gradmass, sonst aber im Bogenmass angegeben.
2π
Die Umrechnung geht so: ϕBogenmass =
· ϕGradmass
360o
Im MATLAB verlangen die trigonometrischen Funktionen (Befehle: sin, cos und tan)
den Winkel im Bogenmass.
Wie erwähnt lassen sich einige Formeln direkt aus der Figur herauslesen, wie folgende
Beispiele zeigen:
q
± 1 − cos2 (ϕ)
sin(ϕ)
sin(ϕ)
tan(ϕ) =
= q
=
cos(ϕ)
cos(ϕ)
± 1 − sin2 (ϕ)
Vorzeichen gemäss Quadrant!
Aus der obigen Definition geht auch hervor, dass die trigonometrischen Funktionen
periodisch sind (der Winkel zwischen x−Achse und dem Strahl OP ist nur bis auf
Vielfache von 2π bestimmt. Die Werte des tan wiederholen sich sogar wieder nach
Vielfachen von π. Für beliebiges k ∈ Z gilt:
sin(x) = sin(x + 2kπ)
cos(x) = cos(x + 2kπ)
tan(x) = tan(x + kπ)
Mathematik / unit 17 / Seite 35
Sinussatz
In einem (allgemeinen) Dreieck gilt der Sinussatz:
a
sin(α)
=
sin(β)
b
Cosinussatz
In einem (allgemeinen) Dreieck gilt der Cosinussatz:
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ)
Übungen (Sinus- und Cosinussatz)
Aufgabe 1
g940704.b
Berechne den Winkel β.
Aufgabe 2
g940704.3
Berechne die Längen der Diagonalen des regelmässigen 7-Ecks mit Umkreisradius 2.
Aufgabe 3
Gegeben ist der Kreisradius r = 3, die Strecke a = 1
und der Winkel α = 40o .
Bestimme die Länge des Kreisbogens AB und den
Winkel β.
g940912.b
Mathematik / unit 17 / Seite 36
Aufgabe 4
g940912.a
Gegeben sind die Streckenlängen a = 10 und b =
8 sowie der Winkel α = 35o .
Bestimme die Streckenlängen x und y sowie den
Winkel β.
Aufgabe 5
g940905.a
Gegeben sind die Streckenlängen a = 10 und b =
8 sowie der Winkel α = 35o .
Bestimme die Streckenlängen x und y sowie den
Winkel β.
Aufgabe 6
g940905.b
Gegeben ist der Kreisradius r = 3 und die Winkel
α = 40o und β = 70o .
Bestimme die Länge der Strecke AB.
Aufgabe 7
Berechne den Winkel α.
m000219.a
Mathematik / unit 17 / Seite 37
Aufgabe 8
m000219.b
Berechne die Strecke x.
Aufgabe 9
m000219.1
In einem Parallelogramm sind die Seiten a = 3 und b = 1 sowie der Winkel α = 110o
gegeben.
In welchem Verhältnis teilt die Winkelhalbierende des Winkels α die gegenüberliegende
Seite?
Aufgabe 10
m000219.4
Wir betrachten das Dreieck mit den Seitenlängen a = 1.5, b = 2 und c = 3.
Berechne den Flächeninhalt und den Inkreisradius.
Aufgabe 11
Berechne die Höhe hc .
Lösungen
A 1: β = 43.38o
A 2: d1 = 3.1273 und d2 = 3.8997.
A 3: b = 1.404 und β = 63.41o
A 4: x = 5.60, y = 2.15 und β = 77.59o
A 5: x = 9.766, y = 2.1497 und β = 77.586o .
A 6: AB = 5.196
A 7: α = 53.80o .
A 8: x = 6.52
A 9: 1 : 2
A10: A = 1.33 und r = 0.410
A11: hc = 1.778
m000415.c
Mathematik / unit 18 / Seite 38
Die quadratische Funktion, Parabeln
Wir wollen die Punktmenge
p = {(x, y)|y = ax2 + bx + c}
untersuchen. Dabei sind die gegebenen reellen Zahlen a, b und c die Koeffizienten der
quadratischen Funktion.
Stellen wir die Punktmenge p im Koordinatensystem dar, so sehen wir eine Parabel.
Je nach Vorzeichen von a ist sie nach oben oder nach unten geöffnet.
Scheitelpunkt und Symmetrie
Aus der umgeformten6 Darstellung
b
y =a x+
2a
!2
b2
+ c−
4a
!
sehen wir, dass die Parabel eine vertikale Symmetrieachse mit der Gleichung
x=
−b
2a
hat. Auf ihr liegt je nach Vorzeichen von a der tiefste oder der höchste Punkt, er heisst
Scheitel oder Scheitelpunkt der Parabel. Seine Koordinaten sind demanch
b2
b
S = − ,c −
2a
4a
!
Allgemein ist die Scheitelpunktsform der Parabelgleichung:
y = f (x) = a(x − xS )2 + yS
6
Herleitung: Aus
y = ax2 + bx + c
folgt
b
y = a x2 + x + c
a
und
b
2
y = a x +2· x +c
2a
und
b2
b
b2
2
y = a x +2· x+ 2 +c−
2a
4a
4a
und schliesslich

2
2

b 
 +c− b
y = a
x
+

2a 
|{z}
| {z4a}
−xS
yS
Der unterklammerte Ausdruck ist −xS , weil dann der ganze Klammerinhalt 0 wird, und damit der
Wert für y extremal.
Mathematik / unit 18 / Seite 39
In der folgenden Figur sind einige Beispiele dargestellt:
2
2
y1=x +2*x−3
y2=1/2*x −x−2
12
5
10
4
8
3
6
2
4
1
2
0
0
−1
−2
−2
−10
−5
0
5
−4
−2
0
2
2
4
6
2
y =−2*x +3*x+5
y =−x +x+5
3
4
5
4
0
2
−5
0
−10
−2
−15
−4
−20
−6
−10
0
10
−5
0
5
Lösungsformel für die quadratische Gleichung
Aus der Scheitelpunktsform der Parabelgleichung lässt sich die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten. Dazu setzen wir y = 0:
b
0=a x+
2a
b2
− c−
4a
!
!2
b2
+ c−
4a
b
= a x+
2a
b
b2
−c=a x+
4a
2a
b
b2 − 4ac
= x+
2
4a
2a
s
±
√
!2
!2
b
b2 − 4ac
= x+
2
4a
2a
b
b2 − 4ac
= x+
2a
2a
√
b
b2 − 4ac
=x
− ±
2a
2a
√
−b ± b2 − 4ac
=x
2a
±
!2
!2
b
b2 − 4ac
= a x+
4a
2a
!
Mathematik / unit 18 / Seite 40
und schliesslich
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Die Gleichung hat nur dann reelle Lösungen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel
grösser oder gleich 0 ist. Falls der Ausdruck 0 ist, liegt eine einzige (man sagt auch 2
zusammenfallende) Nullstelle vor. Der Ausdruck unter der Wurzel hat einen Namen,
er heisst Diskriminante:
D = b2 − 4ac
Nullstellenform der Parabelgleichung
Falls die Parabel gemeinsame Punkte mit der x−Achse hat (Nullstellen) können wir
die Parabelgleichung auch so schreiben:
y = f (x) = a(x − x1)(x − x2 )
Beweis: Ausdrücke für x1 und x2 einsetzen und ausrechnen, es bleibt y = ax2 + bx + c.
Zusammenfassung
Wegen der Symmetrie der Parabel gilt immer
xS =
x1 + x2
2
Mathematik / unit 18 / Seite 41
Aufgaben
Bestimme jeweils die Parabelgleichung:
1. Die Parabel hat den Scheitel bei (1, −2) und geht durch den Ursprung.
2. Die Parabel hat bei −2 und 1 eine Nullstelle und geht durch den Punkt (0, 1).
3. Die Parabel hat die Symmetrieachse x = 2, bei 4 eine Nullstelle und geht durch
den Punkt (−3, −1).
4. Die Parabel hat die Symmetrieachse x = −1 und geht durch die Punkte (1, 1)
und (2, 2).
5. Die Parabel hat den Scheitel auf der x−Achse und geht durch die Punkte (0, 8)
und (−1, 2). (2 Lösungen!)
♥ Lösung:
1. y = f (x) = 2(x − 1)2 − 2
2. y = f (x) = − 12 (x − 1) (x + 2)
1
x · (x − 4)
3. y = f (x) = − 21
4. y = f (x) = 15 (x + 1)2 +
1
5
5. y = f (x) = 2(x + 2)2 oder y = f (x) = 18 x +
2
3
2
♥
Mathematik / unit 19 / Seite 42
Wurzelgleichungen
Wir untersuchen Gleichungen, bei denen die Variable x (in Termen) unter der Wurzel
vorkommt. Also ist
√
x + 1 − 2 = 2x
ein Beispiel, aber
√
2x+3 = x
ist keine Wurzelgleichung!
Die Lösungsmethode ist so:
1. Eine der vorkommenden Wurzeln isolieren, dann beide Seiten quadrieren.
2. Punkt 1. so oft wiederholen, bis keine Wurzelausdrücke mit Termen in
x mehr auftreten.
3. Lösugen der wurzelfreien Gleichung bestimmen.
4. Alle gefundenen Werte in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Diejenigen, die die Gleichung erfüllen, bilden die Lösungsmenge.
♣ Beispiel:
√
x+1−2
√
√
=
2x
|
+2
x+1
=
2x + 2
|
beide Seiten quadrieren
2
=
(2x + 2)2
|
Terme vereinfachen
x+1
=
4x2 + 8x + 4
|
−x − 1
0
=
4x2 + 7x + 3
|
Lösungsformel f. quadr. Gl.
x+1
x1,2 =
−7 ±





√
− 34
−7 ± 1
49 − 48
=
=

8
8



−1
oder
Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung sehen wir, dass beide Werte als Lösung
in Frage kommen, also gilt in diesem Fall
Lx = {−1, − 34 }
♣
Mathematik / unit 19 / Seite 43
♣ Beispiel:
√
10 − x + x
√
=
4
|
−x
10 − x
=
4−x
|
beide Seiten quadrieren
2
=
(4 − x)2
|
Terme vereinfachen
10 − x
=
16 − 8x + x2
|
−10 + x
0
=
6 − 7x + x2
|
Lösungsformel
√
10 − x
x1,2 =
7±
√





6
49 − 24
7±5
=
=

2
2



1
oder
Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung sehen wir, dass nur der Wert 1 als
Lösung in Frage kommt, also gilt in diesem Fall Lx = {1}.
♣
Manchmal löst auch gar keine der gefundenen Werte die ursprüngliche Gleichung, dann ist die Lösungsmenge leer!
Aufgaben
Berechne die Lösungen der folgenden Gleichungen:
1.
√
4( x + 9 − 3) = 3
2.
√
√
6( x + 4 − 2) = 5 − x + 4
3.
√
=1
2x − 3 − √ x
2x − 3
4.
√
√
5x − 6 − 3x + 3 − 1 = 0
♥ Lösung:
1)
81
16
2)
93
49
3) L = {6} 4) L = {11}
♥
Mathematik / unit 20 / Seite 44
Winkel im Kreis
Zeige, dass der Zentriwinkel β über einer Sehne doppelt so gross ist wie der Sehnen-Tangentenwinkel α.
Aus der Figur lesen wir heraus, dass das Doppelte des
Peripheriewinkels α + β über einer Sehne gleich dem
Zentriwinkel γ über der Sehne ist.
Dies ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Thales (alle PeripherieWinkel über einem Durchmesser sind 90o ).
m021023-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 1
m021023u-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 2
m021024-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 3
m021025-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 4
m021025u-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 5
m021026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 6
m021031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 7
m021027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 8
m021109-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 9
m021102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 10
m021029-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 11
m021030-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 12
m010423-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 13
m021107-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 14
m021101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 15
m021105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 16
m070708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 17
m070904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 18
m070916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 19
m070917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik / unit 20