Übungen zur Linearen Algebra II Blatt 8

Prof. Dr. Klaus Bongartz/
Thomas Konrad
BU Wuppertal
Fachbereich C - Mathematik
Freiwillig
Übungen zur Linearen Algebra II
Blatt 8
1. a) Stets ist εV injektiv. Für dim V < ∞ ist also εV ein Isomorphismus.
b) Jedes K.O.S. (χ1 , . . . , χn ) von V ∗ (dim V = n < ∞) ist ein duales K.O.S. (Betrach∗
te: ϕi = ε−1
V (χi ))
2. Seien f : X → Y , g : Y → Z linear.
(a) Zeigen Sie mit Hilfe der Formeln aus der Vorlesung für Kern und Bild der dualen
Abbildung:
X → Y → Z ist exakt ⇔ X ∗ ← Y ∗ ← Z ∗ ist exakt .
(b) Für dim X, dim Y < ∞ gilt Rang f ∗ = Rang f . Leiten Sie daraus ab, daÿ Zeilenund Spaltenrang einer Matrix stets übereinstimmen. (Das ist der richtige Beweis, der ohne Normalformen auskommt.)
P
3. Für A ∈ k n×n ist Spur(A) := ni=1 aii . Zeige:
a) Die Abbildung Spur : k n×n → k ist linear.
b) Für A, B ∈ k n×n gilt Spur(AB) = Spur(BA). Insbesondere haben ähnliche Matrizen gleiche Spur.
c) Für beliebige m, n ∈ N ist
f : k n×m → (k m×n )∗ mit (f (A))(B) = Spur(AB)
für A ∈ k n×m , B ∈ k m×n ein Isomorphismus. (Dies verallgemeinert den Isomorphismus k 1×n →(k
˜ n )∗ ).
4. (Preisaufgabe) Für A, B ∈ k n×n ist der Kommutator [A, B] := AB − BA. Ferner sei
sln := {A ∈ k n×n | Spur A = 0}. Wir betrachten die Abbildung Φ : k n×n × k n×n → k n×n
mit Φ(A, B) := [A, B].
a) Stets gilt Bild Φ ⊂ sln und sln wird als Vektorraum vom Bild von Φ erzeugt.
Ziel der Aufgabe ist es, zu zeigen, daÿ für k = Q, R, C Φ bereits surjektiv ist,
d.h. jede Matrix mit Spur 0 ist ein Kommutator.
b) Sei D eine Diagonalmatrix mit n verschiedenen Diagonaleinträgen λ1 , . . . , λn . Betrachte dann die Abbildung ad D : k n×n → k n×n mit (ad D)(A) := [D, A]. Zeige,
daÿ
(ad D)(Eij ) = (λi − λj )Eij ∀i, j
gilt. (Eij ist dabei die Matrix mit lauter Nullen und einer Eins in der i-ten Zeile und
j -ten Spalte.) Das Bild von (ad D) besteht also aus der Menge N aller Matrizen
mit lauter Nullen auf der Diagonalen.
Übungszettel im Internet unter http://wmaz.math.uni-wuppertal.de/konrad/exc/
c) GLn operiert auf k n×n × k n×n via g(A, B) = (gAg −1 , gBg −1 und auf sln via gA =
gAg −1 . Zeige, daÿ Φ ein Morphismus von G-Mengen ist, daÿ also Bild Φ stabil unter
Konjugation ist.
d) Zeige, daÿ für k = R, C oder Q (char k = 0) jede Matrix A mit Spur A = 0 ähnlich
ist zu einer Matrix aus N . Schlieÿe daraus, daÿ Φ für k = Q, R, C surjektiv ist.
e) Verallgemeinere duch genaue Analyse des Beweises die Aussage auf andere Körper,
insbesondere auf gewisse endliche Körper.
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