Die Satzgruppe des Pythagoras

Grundwissen Mathematik – 2
9. Klasse
Die Satzgruppe des Pythagoras
Kathetensatz
Im rechtwinkeligen Dreieck hat das Quadrat
über einer Kathete denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck aus der Hypothenuse
und dem an der Kathete anliegenden
Hypothenusenabschnitt.
Kurz:
a2 = c ⋅ p
b2 = c ⋅ q
Höhensatz
Im rechtwinkeligen Dreieck hat das Quadrat
über der Höhe denselben Flächeninhalt wie ein
Rechteck aus den beiden Hypothenusenabschnitten.
Kurz:
h2 = p ⋅ q
Anwendungsbeispiel
a = 6 cm
c = 7,5 cm
h=?
Berechnung der Höhe h, wenn Kathete a und
Hypothenuse c gegeben sind.
a2 = c ⋅ p ⇒ p = a2 : c
= 36cm2 : 7,5 cm = 4,8 cm
c = p+q⇒ q = c− p
= 7,5 cm – 4,8 cm = 2,7 cm
2
h = p⋅q ⇒ h = p⋅q
=
Satz des Pythagoras
Im rechtwinkeligen Dreieck haben die
Quadrate über den Katheten denselben
Flächeninhalt wie das Quadrat über der
Hypothenuse.
Kurz:
a2 + b2 = c2
2,7cm ⋅ 4,8cm = 3,6cm
Grundwissen Mathematik – 2
9. Klasse
Anwendungsbeispiele
• Diagonale eines Quadrats
d= 2a
• Raumdiagonale eines Würfels
d= 3a
•Diagonale im Rechteck
d
a
d=
2
l 2 + b2 + h2
d1 = 2 a (vgl. oben)
d2 = d12 + a2
= 2a2 + a2 = 3a2
⇒ d= 3a
d
d = l +b
• Raumdiagonale im Quader
2
d2 = a2 + a2 = 2a2
⇒d = 2 a
a
a
d1
b
h
b
l
l
Berechnungen analog
b