Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten

Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten,
Erläuterung zu den Lösungsschritten und
bearbeitet von Regine Kauf und Katharina mathematische Kompetenzen
Staus, Jänner 2004
Bei diesem Beispiel handelt es sich um ein
Gleichungssystem, bestehend aus zwei linearen
Aufgabenstellung:
Gleichungen mit jeweils zwei Unbekannten. Es sind jene
reellen Zahlen (vgl. Grundmenge G = IR x IR) zu finden,
Löse das Gleichungssystem in G = IR x IR
welche beim Einsetzen in jede einzelne der beiden
rechnerisch auf 3 Arten:
Gleichungen I und II eine wahre Aussage ergeben.
I.
3x – 2y = 5
Mathematische Kompetenzen:
II.
4x + 3y = 1
Begriffe „Gleichungssystem, Grundmenge, reelle Zahlen“
kennen und damit arbeiten können;
Die mit Gleichungssystemen verbundene Aufgabenstellung
verstehen;
I.
II.
3x – 2y = 5
4x + 3y = 1
Es gibt nun mehrere Möglichkeiten, dieses
Gleichungssystem zu lösen. Durch Probieren wird man
die Lösung(en) jedoch kaum erraten. Dafür müsste man
ein beliebiges Zahlenpaar herausgreifen z. B. (3/1).
Schnell stellt sich aber heraus, dass dies keine richtige
Lösung ist. Denn: Setzt man für x den Wert 3 und für y
den Wert 1 in die beiden Gleichungen ein, ergeben sich
keinesfalls zwei wahre Aussagen:
I.
II.
3⋅3 –2⋅1=5
4⋅3 +3⋅1=1
→
→
7 = 5 f. A. !
15 = 1 f. A. !
Diesen Vorgang müsste man nun so lange wiederholen,
bis man schließlich (durch Zufall !) ein Zahlenpaar
findet, welches tatsächlich beim Einsetzen in beide
Gleichungen eine wahre Aussage ergibt. Ein ziemlich
hoffnungsloses Unterfangen! Ein methodisches,
systematisches Vorgehen ist in diesem Fall also erheblich
sinnvoller. Es stellte sich nun die Frage, wie man dabei
vorgehen soll. Generell wird man dabei versuchen, aus
den beiden Gleichungen mit 2 Unbekannten eine
Gleichung mit nur mehr einer Unbekannten zu gewinnen,
denn Gleichungen mit nur einer Unbekannten kann man
mit einfachen Methoden lösen !
Für die Umsetzung dieses Plans gibt es mehrere
Vorgehensweisen. Wir werden drei davon erläutern.
Mathematische Kompetenzen:
Wissen, welche Bedingungen die Lösung(en) eines
Gleichungssystems erfüllen müssen;
I.
II.
3x – 2y = 5
4x + 3y = 1
/ ⋅3
/⋅2
I.
III.
9x – 6y = 15
8x + 6y = 2
+
17x = 17
x=1
/ :17
x=1 in I (oder II) einsetzen liefert für y:
9 – 6y = 15
/ -9
– 6y = 6
/ : (-6)
y = -1
also: L = {(1 / - 1)}
Probe durch einsetzen von x = 1 und
y = - 1 in die beiden Gleichungen Æ
Beginnen wir mit dem Additionsverfahren (auch
Eliminationsverfahren genannt):
Dabei müssen wir die Gleichungen mit bestimmten
Zahlen so multiplizieren, dass bei anschließender
Addition der neuen Gleichungen eine Unbekannte
wegfällt. Mit welchen Zahlen multiplizieren wir nun die
beiden Gleichungen ? Angenommen wir möchten y
eliminieren. Da in der ersten Gleichung bei y der Faktor
–2 steht und in der zweiten der Faktor +3, bestimmen wir
das kgV dieser beiden Zahlen und erhalten 6. Also
multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3, die zweite
mit 2, denn dann steht bei y jeweils der Faktor 6, einmal
„+6“ das andere mal „-6“ und bei Addition der beiden
Gleichungen hebt sich y auf: -6y + 6y = 0 ! Somit
erhalten wir eine Gleichung mit nur mehr einer
Unbekannten, eben x. Aus dieser Gleichung kann man x
mit Hilfe einfacher Äquivalenzumformungen leicht
bestimmen. Mit diesen formen wir die Gleichung (ohne
die Lösungsmenge zu verändern) so um, dass x alleine
steht (Æ „explizite Form“) und die Lösung für x somit
einfach abgelesen werden kann.
I : 3⋅1– 2⋅( -1) = 5
3+2 =5
5 = 5 w. A. !
Um auch den Wert für die Unbekannte y zu erhalten,
setzt man nun das Ergebnis für x in eine der beiden
Gleichungen ein und löst nach y auf.
II : 4⋅1 + 3⋅( -1) = 1
4–3 =1
1 = 1 w. A. !
Beachte, dass die gefundene Lösung wirklich beim
Einsetzen in beide Gleichungen eine wahre Aussage
liefert !
Mathematische Kompetenzen:
Additionsverfahren kennen und anwenden können;
Begriff „Äquivalenzumformungen“ kennen und anwenden
können;
Wissen wie man die Probe für die Lösung eines
Gleichungssystems macht;
I.
3x – 2y = 5
II.
4x + 3y = 1
Aus I ⇒ 3x – 2y = 5
- 2y = -3x + 5
(*)
y = 1,5x - 2,5
Eine weitere Lösungsmethode des Gleichungssystem
stellt das Einsetzungsverfahren dar.
/ -3x Dabei löst man eine der beiden Gleichungen nach einer
/ :(-2) Unbekannten auf und setzt den für diese Unbekannte
erhaltenen Ausdruck an ihrer Stelle in die andere
Gleichung ein.
Wir wählen folgende Variante: wir lösen die erste
Gleichung zuerst nach y auf.
Mathematische Kompetenzen:
Das Einsetzungsverfahren kennen, verstehen und anwenden
können;
Eine Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach
einer Unbekannten auflösen können;
Ausdruck für y in der zweiten Gleichung
einsetzen :
4⋅x + 3⋅(1,5x - 2,5) = 1
4x + 4,5x - 7,5 = 1
/ +7,5
8,5x
= 8,5 /: 8,5
x
=1
Den für y erhaltenen Term 1,5x – 2,5 setzen wir dann in
der 2.Gleichung anstelle von y ein. Als Ergebnis erhalten
wir eine Gleichung mit nur mehr einen Unbekannten,
eben x. Diese können wir nun wieder leicht mit Hilfe von
Äquivalenzumformungen nach x auflösen.
x in (∗)
y = 1,5 ⋅ 1 – 2,5
y = -1
somit: L = {(1 / - 1)} !
I.
II.
3x – 2y = 5
4x + 3y = 1
I.
3x – 2y = 5
/ -3x
– 2y = 5 - 3y
/ : (-2)
y = - 2,5 +1,5x
II.
4x + 3y = 1
/ - 4x
3y = 1 – 4x / :3
y = 0,33 –1,33x
y
=
y
- 2,5 +1,5x = 0,33 –1,33x / -0.33
-2,83 + 1,5x = -1,33x
/ -1,5
-2, 83 = - 2,83x
/ : (-2,83)
x=1
II.
4 ⋅1 + 3y = 1 / -4
3y = -3 / :3
y = -1
somit: L = {(1 / - 1)} !
Um die Lösung für y zu erhalten, setzen wir den für x
gefundenen Wert in eine Gleichung des
Gleichungssystems ein. Am besten benutzen wir die
Gleichung (∗), da wir hier bereits nach y aufgelöst haben.
Wieder ergibt sich (natürlich) die gleiche Lösung wie
beim Additionsverfahren: x = 1, y = -1 !
Neben dem Additionsverfahren und dem
Einsetzungsverfahren gilt das Gleichsetzungsverfahren
als weitere sinnvolle Methode.
Dabei löst man beide Gleichungen nach der selben
Unbekannten auf und setzt dann die erhaltenen
Ausdrücke gleich. Im gegebenen Beispiel wählen wir die
Unbekannte y, nach der wir beide Gleichungen auflösen.
Dann setzen wir die für y erhaltenen Terme gleich und
erhalten wieder eine Gleichung mit nur mehr einer
Unbekannten, eben x. Diese lösen wir wie bekannt
mittels Äquivalenzumformungen nach x auf.
Sobald wir den Wert für x berechnet haben, setzen wir
ihn in eine der beiden Gleichungen ein, um auch y zu
bestimmen. Wieder erhalten wir das gleiche Ergebnis:
L = {(1 / - 1)} !