Leittext: Kombinatorik - Unterricht Bettina Bieri

Bettina Bieri
Birkenhof 2
6405 Immensee
Betreuerin:
Frau Petra Brandt
Datum:
29. Januar 1999
(leicht überarbeitet im Februar 2015)
Leittext: Kombinatorik
Inhaltsverzeichnis:
LEITTEXT: KOMBINATORIK ............................................................................................ 2
1. PRODUKTEREGEL................................................................................................................. 3
1.1 Formel: Produkteregel ........................................................................................................................ 3
1.2 Beispiel................................................................................................................................................ 3
1.3 Aufgaben zur Produkteregel ............................................................................................................... 4
2. PERMUTATION ..................................................................................................................... 5
2.1 Definition ............................................................................................................................................ 5
2.2 Permutation von n verschiedenen Elementen ..................................................................................... 5
2.2.1 Formel: Permutation mit n verschiedenen Elementen .......................................... 5
2.2.2 Beispiel .................................................................................................................. 6
2.3 Permutation mit mehrfach vorkommenden Elementen........................................................................ 6
2.3.1 Formel: Permutation mit jeweils ni Elementen gleich (wobei 1 ≤ i ≤ k) .............. 7
2.3.2 Beispiel .................................................................................................................. 7
2.4 Aufgaben zur Permutation .................................................................................................................. 7
3. VARIATION .......................................................................................................................... 8
3.1 Definition ............................................................................................................................................ 8
3.2 Variation mit Wiederholung ................................................................................................................ 8
3.2.1 Formel: Variationen von n Elementen der Länge k mit Wiederholung ................ 8
3.3 Variation ohne Wiederholung ............................................................................................................. 9
3.3.1 Formel: Variationen von n Elementen der Länge k ohne Wiederholung ............. 9
3.3.2 Beispiel ................................................................................................................ 10
3.4 Aufgaben zu Variationen ................................................................................................................... 10
4. KOMBINATION ................................................................................................................... 11
4.1 Definition .......................................................................................................................................... 11
4.2 Kombination ohne Wiederholung ..................................................................................................... 11
4.2.1 Formel: Kombination ohne Wiederholung, von n Elementen der Länge k ........ 12
4.2.2 Beispiel ................................................................................................................ 12
4.3 Kombination mit Wiederholung ........................................................................................................ 12
4.3.1 Formel: Kombinationen mit Wiederholung, von n Elementen der Länge k ....... 12
4.3.2 Beispiel ................................................................................................................ 13
4.4 Aufgaben zu Kombinationen ............................................................................................................. 13
5. ZUSAMMENFASSUNG …………………………………………………………………….14
6. GEMISCHTE AUFGABEN ..................................................................................................... 15
7. LÖSUNGEN......................................................................................................................... 18
7.1 Lösungen zu den Aufgaben im Theorieteil ........................................................................................ 18
7.1.1 Lösungen zu Kapitel 1.3...................................................................................... 18
7.1.2 Lösungen zu Kapitel 2.4...................................................................................... 18
7.1.3 Lösungen zu Kapitel 3.4...................................................................................... 18
7.1.4 Lösungen zu Kapitel 4.4...................................................................................... 19
7.2 Lösungen der gemischten Aufgaben (Kap. 4) ................................................................................... 19
B. Bieri 2008
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Leittext: Kombinatorik
Leittext: Kombinatorik
Die Kombinatorik ist ein wichtiges Hilfsmittel für die Wahrscheinlichkeitstheorie. Diese ist ein Zweig der Mathematik, welcher sich mit zufälligen Ereignissen beschäftigt.
Als Begründer der Wahrscheinlichkeitstheorie werden im Allgemeinen die französischen Mathematiker des 17. Jahrhunderts Blaise Pascal und Pierre de Fermat genannt. Der Ursprung der Wahrscheinlichkeitstheorie liegt beim Versuch, bestimmte
Fragen im Zusammenhang mit Glücksspielen zu beantworten.
Z. B.: Lohnt es sich auf das Erscheinen eines Sechser-Pasches beim Werfen mit
zwei Würfeln zu wetten, wenn 24-mal gewürfelt wird?
Die Kombinatorik beschäftigt sich mit den Gesetzen der Zusammenstellung und
möglichen Anordnungen von endlich vielen, beliebig gegebenen Elementen einer
Menge.
Die zentrale Frage der Kombinatorik lautet:
Wie viele mögliche Komplexionen (Zusammenstellungen aus Elementen)
ergeben sich bei einer Problemstellung?
In der Kombinatorik werden drei Arten von Komplexionen unterschieden:
1. Permutation
a) mit verschiedenen Elementen
b) mit jeweils ni Elementen gleich
2. Variation
a) mit Wiederholung
b) ohne Wiederholung
3. Kombination
a) ohne Wiederholung
b) mit Wiederholung
Wir werden für jede der oben genannten Arten von Komplexionen eine Berechnungsformel kennen lernen. Diese erlauben es uns dann, die Anzahl der möglichen Komplexionen zu berechnen.
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Leittext: Kombinatorik
1. Produkteregel
Werdende Eltern suchen einen Namen für ihr Kind. Der Name soll aus drei Buchstaben bestehen, wobei der mittlere ein s sein soll. Der erste und der letzte Buchstabe
sollten a, e oder u sein.
Schreibe alle Möglichkeiten auf und versuche anhand einer Gleichung auszudrücken, wie viele mögliche Namen es gibt.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Anzahl möglicher Namen = _____________________________________________
Die Produkteregel kann man dann verwenden, wenn ein Experiment (Versuch) in k
Teilschritten durchgeführt werden kann. Man schaut sich die Anzahl Möglichkeiten
für die einzelnen Teilschritte an. Durch die Multiplikation der Möglichkeiten n der einzelnen Teilschritte erhält man die Anzahl Möglichkeiten, welche das ganze Experiment (Versuch) zur Durchführung besitzt. (Evtl. kann ein Baumdiagramm bei der Lösung helfen.)
1.1 Formel: Produkteregel:
n = n1 • n2 • n3 • … • nk
1.2 Beispiel:
In einem Restaurant werden 5 verschiedene Vorspeisen, 7 Hauptgerichte und
8 Desserts angeboten. Wie viele Möglichkeiten hast du, ein dreigängiges Menu zusammenzustellen?
1. Teilschritt: Du wählst aus den 5 Vorspeisen aus.
2. Teilschritt: Du wählst aus den 7 Hauptgerichten aus.
3. Teilschritt: Du wählst aus den 8 Desserts aus.
n = 5 • 7 • 8 = 280
Du kannst aus 280 verschiedenen Menus auswählen.
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1.3 Aufgaben zur Produkteregel:
1. Du brauchst neue Kleider. Im Geschäft stehen 5 verschiedene Pullis, 3 verschiedene Hosen und 10 verschiedene Sockenpaare zur Auswahl. Wie viele mögliche
Kombinationen kannst du einkaufen?
2. Bei einem Rennen starten 6 Pferde. Zwei davon sind den anderen weit überlegen. Wie viele Einlaufmöglichkeiten gibt es, unter der Voraussetzung, dass die
beiden Favoriten die ersten beiden Plätze belegen.
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2. Permutation:
2.1 Definition:
Jede Komplexion, in der alle n Elemente in irgendeiner Anordnung vorkommen,
heisst Permutation dieser n Elemente.
Wir unterscheiden zwei Arten von Permutationen:
2. 2 Permutation von n verschiedenen Elementen
2. 3 Permutation von n Elementen, die nicht alle verschieden sind.
2.2 Permutation von n verschiedenen Elementen
Wie viele Möglichkeiten gibt es, folgende Elemente aneinanderzureihen? Zeichne die
Möglichkeiten auf und versuche das Resultat mit einer Gleichung darzustellen.
2 Elemente
3 Elemente 4 Elemente
●■
●■▲
●■▲✚
Rechnung:
Rechnung:
Rechnung:
__________ _________ ______________________________________________
2.2.1 Formel: Permutation mit n verschiedenen Elementen:
Pn = n!
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Leittext: Kombinatorik
n! (lies: n Fakultät) bedeutet, dass n mit allen natürlichen Zahlen, welche kleiner als n
aber grösser als 0 sind multipliziert wird (also mit allen x < n für x ∈ IN).
2.2.2 Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine neunstellige Codenummer aus den Zahlen 1 – 9
zusammenzustellen, ohne dass eine Zahl zweimal verwendet wird?
Es handelt sich hier um eine Permutation mit n verschiedenen Elementen, da alle
9 Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge stehen müssen.
P9 = 9! = 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 362'880
Es gibt also 362'880 Möglichkeiten.
Wenn du diese Aufgabe mit der Produkteregel lösen würdest, kämst du auf genau
das gleiche Resultat, da du für die erste Zahl noch 9 Ziffern zur Verfügung hast, für
die zweite aber nur noch 8 (da du für die erste ja schon eine gebraucht hast) usw.
Vor allem aber bei grösseren Zahlen ist es von Vorteil, wenn du die Formel der Permutation verwendest, da du mit der Produkteregel viel zu lange brauchen würdest,
um eine solche Aufgabe zu lösen.
2.3 Permutation mit mehrfach vorkommenden Elementen
Wir haben uns nun die Möglichkeiten einer Anordnung angeschaut, wenn alle Elemente verschieden sind. Was passiert aber, wenn mehrere Elemente gleich sind?
Wie viele Möglichkeiten hast du, 2 gleiche Socken, eine Hose und einen Pulli an einer Wäscheleine aufzuhängen?
Probiere es aus, zeichne ein Beispiel auf und schreibe die Anzahl Möglichkeiten dazu.
Anzahl Möglichkeiten: __________________________
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Leittext: Kombinatorik
2.3.1 Formel: Permutation mit jeweils ni Elementen gleich (wobei 1 ≤ i ≤ k):
n!
n1 , n2 ,... nk Pn =
n1 !⋅ n2 !⋅... nk !
n1, n2, … nk stehen jeweils für die Anzahl gleicher Elemente.
2.3.2 Beispiel:
Du hast 20 Holzperlen, um eine Kette zu machen. Davon sind 10 schwarz, 5 rot,
3 weiss und 2 grau. Wie viele Möglichkeiten hast du, die Kette zu gestalten, wenn du
alle Perlen verwenden willst?
Da du alle Perlen verwenden willst und jeweils mehrere der gleichen Sorte hast,
handelt es sich um eine Permutation mit jeweils ni gleichen Elementen.
10 , 5 , 3, 2
P20 =
20!
= 465'585'120
10!⋅5!⋅3!⋅2!
Es gibt 465'585'120 Möglichkeiten die Kette zu gestalten.
2.4 Aufgaben zur Permutation
Achtung! Überlege vor dem Lösen jeder Aufgabe, ob es sich um eine Permutation
mit n verschiedenen oder mit Elementen, die nicht alle verschieden sind handelt!
1. Eine Klasse von 20 Schüler/innen kommt in ein neues Schulzimmer, das genau
20 Sitzplätze hat. Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es?
2. Peter will auf einen Brief die Adresse schreiben. Leider weiss er von der Postleitzahl nur noch, dass sie aus den Zahlen 9, 9, 7, 2 besteht. Die Reihenfolge hat er
aber vergessen. Wie viele mögliche Postleitzahlen gibt es?
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3. Variation
3.1 Definition:
Unter einer Variation von n Elementen zur k-ten Klasse (Ordnung) versteht man eine
aus k Elementen bestehende Komplexion. Dabei wird die Anordnung der Elemente
innerhalb der Komplexion berücksichtigt.
Wir unterscheiden zwei Arten von Variationen:
a) Variation mit Wiederholung
b) Variation ohne Wiederholung
In der Kombinatorik gilt:
n: Elemente, die zur Auswahl stehen.
k: Anzahl Elemente, die ausgewählt werden.
3.2 Variation mit Wiederholung
Nimm einen Würfel, würfle jeweils zwei Mal nacheinander und schreibe die erhaltenen zweistelligen Zahlen auf. Der erste Wurf gibt die Zehner-Ziffer, der zweite die
Einer-Ziffer an.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Wie viele Zahlen kannst du höchstens erhalten? Versuche das Resultat durch eine
Gleichung auszudrücken.
Anzahl möglicher Lösungen = ___________________________________________
3.2.1 Formel: Variationen von n Elementen der Länge k mit Wiederholung:
Vmw = nk
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3.2.2 Beispiel:
Bei einem Kreuzworträtsel ist ein Wort mit 4 Buchstaben gefragt. Wie viele mögliche
Wörter gibt es, wenn du nicht darauf achtest, ob die Wörter auch einen Sinn ergeben?
Da es auf die Reihenfolge der 4 Buchstaben ankommt, welche du aus 26 Möglichkeiten auswählst, handelt es sich um eine Variation und da jeder Buchstabe mehrmals
gebraucht werden kann, ist es eine Variation mit Wiederholung:
Vmw = 264 = 456`976
Beim ersten Buchstaben hast du 26 Buchstaben zur Auswahl. Beim zweiten auch,
beim dritten und vierten auch. Du hast also 264 = 456`976 Möglichkeiten.
3.3 Variation ohne Wiederholung:
Wie viele zweistellige Zahlen kannst du aus den Ziffern 1, 3, 7 und 8 bilden, wenn du
pro Zahl jede Ziffer nur einmal verwenden darfst?
Schreibe die möglichen Lösungen auf und versuche das Resultat durch eine Gleichung auszudrücken.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Anzahl möglicher zweistelliger Zahlen = ___________________________________
3.3.1 Formel: Variationen von n Elementen der Länge k ohne Wiederholung:
n!
Vow =
(n − k )!
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3.3.2 Beispiel:
Wie viele mögliche Wörter mit drei Buchstaben könnte man aus den Buchstaben E,
O, B, K und A machen, wenn man jeden Buchstaben nur einmal verwenden darf (die
Wörter müssen keinen Sinn ergeben)?
Es handelt sich um eine Variation ohne Wiederholung, da du aus 5 Buchstaben 3
auswählst und jeden pro Wort nur einmal gebrauchen darfst.
n = 5 (Buchstaben zur Auswahl)
k = 3 (Buchstaben pro Wort / ausgewählte Buchstaben)
Vow =
5!
5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
= =
= 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60
(5 − 3)! 2 !
2 ⋅1
Es gibt 60 mögliche Wörter. Beim ersten Buchstaben hast du noch 5 Möglichkeiten
zur Auswahl, beim zweiten noch 4 und beim dritten nur noch drei.
3.4 Aufgaben zu Variationen:
Schreibe zu den Aufgaben jeweils dazu, ob es sich um eine Variation mit oder ohne
Wiederholung handelt.
1. In einer Klasse mit 21 Schüler/innen werden ein/e Klassensprechen/in ein/e Stellvertreter/in und ein/e Verantwortliche/r für die Klassenkasse gewählt. Wie viele
mögliche Kombinationen für die Besetzung der "Ämtchen" gibt es?
2. Bei einem Wortspiel hat es in einem Sack von jedem Buchstaben des Alphabets
mehr als fünf. Wenn du nun 5 Buchstaben ziehst und der Reihe nach, so wie du
sie gezogen hast, vor dich hin legst, wie viele mögliche Wörter gibt es?
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4. Kombination
4.1 Definition:
Unter einer Kombination von n Elementen zur k-ten Klasse (Ordnung) versteht man
eine aus k Elementen bestehende Komplexion, die sich aus n verschiedenen Elementen bilden lässt. Dabei wird die Anordnung der Elemente innerhalb der Komplexion nicht berücksichtigt.
Wir unterscheiden zwei Arten von Kombinationen:
a) Kombination ohne Wiederholung
b) Kombination mit Wiederholung
4.2 Kombination ohne Wiederholung
Aus einem Sack in welchem sich 4 verschiedene Bonbons befinden, nimmst du zwei
heraus, um sie zu verschenken. Wie viele mögliche Kombinationen gibt es? Es
kommt nicht darauf an, in welcher Reihenfolge du die Bonbons herausnimmst.
Zeichne / schreibe alle Möglichkeiten auf:
Anzahl mögliche Kombinationen: _________________________________________
4.2.1 Formel: Kombination ohne Wiederholung, von n Elementen der Länge k:
n!
Kow =
k !(n − k )!
In dieser Formel wird die Anzahl der Möglichkeiten, wie alle Elemente geordnet werden könnten, geteilt durch die Anzahl Möglichkeiten sie neu zu ordnen.
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4.2.2 Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn du bei einem Jass 9 von 36 Karten ausgeteilt
bekommst.
Da es jede Karte nur einmal gibt und es für dich keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge die Karten ausgeteilt werden, handelt es sich um eine Kombination ohne
Wiederholung.
K ow =
36!
36!
=
= 94`143`280
9 !(36 − 9)! 9 !⋅ 27 !
Es gibt 94'143'280 Möglichkeiten, welche Karten du ausgeteilt bekommst.
4.3 Kombination mit Wiederholung
Aus einem Sack mit 4 Sorten Bonbons (von jeder Sorte hat es mehrere), nimmst du
zwei heraus, um sie zu verschenken. Wie viele verschiedene Kombinationen von
Bonbons kann der Beschenkte erhalten?
Zeichne / schreibe die Möglichkeiten auf und überlege dir, ob es mehr oder weniger
Möglichkeiten sind, als bei der Kombination ohne Wiederholung.
Es gibt mehr Möglichkeiten als bei der Kombination ohne Wiederholung
Es gibt weniger Möglichkeiten als bei der Kombination ohne Wiederholung
4.3.1 Formel: Kombinationen mit Wiederholung, von n Elementen der Länge k
(n + k − 1)!
K mw =
k!(n − 1)!
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4.3.2 Beispiel:
In einem Sack hast du viele schwarze, gelbe, rote und weisse Kugeln. Du ziehst
3 Kugeln. Wie viele Möglichkeiten hast du, verschiedene Farbkombinationen zu erhalten?
Da du aus verschiedenen Elementen auswählst, ohne dass die Reihenfolge eine
Rolle spielt und du auch jedes Element mehrmals ziehen kannst, handelt es sich um
eine Kombination mit Wiederholung.
K mw =
(4 + 3 − 1)!
6!
=
= 20
3!(4 − 1)! 3!⋅3!
Es gibt also 20 verschiedene Möglichkeiten.
4.4 Aufgaben zu Kombinationen:
Handelt es sich bei folgenden Fragestellungen um Kombinationen mit oder ohne
Wiederholung?
1. Aus einer Klasse mit 18 Schüler/innen werden 6 Personen für eine Volleyballmannschaft aufgestellt. Wie viele mögliche Mannschaften gibt es?
2. Bei einem Memory-Spiel (20 verschiedene Pärchen) nimmst du 2 Kärtchen. Wie
viele Möglichkeiten von Kärtchenkombinationen gibt es?
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5. Zusammenfassung
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6. Gemischte Aufgaben
Bei jeder Aufgabe gibt es zwei Teilaufgaben. Löse zuerst die Teilaufgabe a) und kontrolliere danach das Resultat. Wenn deine Lösung stimmt, kannst du gleich zur
nächsten Aufgabe übergehen. Ist die Lösung aber falsch, dann arbeite das entsprechende Kapitel im Theorieteil noch einmal durch (das Kapitel ist neben der Lösung
angegeben) und löse danach die Teilaufgabe b). Wenn du dann immer noch Probleme hast, wende dich an die Lehrperson! Schreibe zu jeder Aufgabe um welche Art
von Komplexion es sich handelt!
Viel Spass!
1. a) Peter darf vier Spielzeugautos aus-
b) In einem Geschäft werden 32 ver-
suchen. Auf dem Gestell stehen
schiedene Sorten Bonbons ange-
sieben verschiedene Sorten Autos,
boten. Frau Süss will für ihre
wobei es von jeder Sorte mehrere
Freundin eine Tüte mit 20 Bonbons
hat. Wie viele Kombinationen hat er
darin zusammenstellen. Wie viele
zur Auswahl?
Möglichkeiten hat sie?
2. a) In einem Rennen starten 7 Pferde.
b) Bei einem Wortspiel hast du
Wie viele Einlaufmöglichkeiten gibt
6 Kärtchen mit Buchstaben darauf.
es?
Wie viele Wörter kannst du bilden,
wenn du alle Kärtchen verwendst?
3. a) Von einer siebenstelligen Telefon-
b) Wie viele Wörter gibt es, die mit
nummer lauten die ersten drei Zah-
einem a, oder e beginnen, fünf
len 855. Wie viele solche sieben-
Buchstaben haben und mit einem
stellige Nummern sind möglich?
n, I, e, oder o aufhören?
4. a) Wie viele verschiedene Wörter
b) Herr Motto will eine neue Auto-
kann man aus den Buchstaben des
nummer. Diese soll 5-stellig sein
Wortes Mathematik bilden?
2 mal die Eins und 3 mal die Zwei
enthalten. Wie viele Möglichkeiten
hat er?
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Leittext: Kombinatorik
5. a) Bei einem Autorennen starten 12
b) Bei einem Marathon starten
Wagen. Wie viele Möglichkeiten für
500 Läufer. Von diesen 500 haben
die Belegung der ersten drei Ränge
aber nur 20 eine Chance auf eine
gibt es?
Platzierung. Wie viele Möglichkeiten für die Belegung der ersten
drei Ränge gibt es?
6. a) Auf einem Lottoschein werden von
b) 10 Kollegen fahren miteinander in
49 verschiedenen Zahlen 6 ange-
die Ferien. Sie haben aber nur ein
kreuzt. Wie viele Möglichkeiten gibt
Auto mit vier Plätzen. Wie viele
es?
mögliche Kombinationen gibt es,
wer im Auto mitfährt (die anderen
benützen den Zug).
7. a) Vier Leute kommen in ein Hotel. In
b) Du suchst bei einem Kreuzworträt-
diesem Hotel sind noch
sel ein Wort, das als ersten Buch-
6 Einzelzimmer frei. Wie viele Mög-
stabe ein b, a, oder e hat, an zwei-
lichkeiten, die Zimmer zu verteilen,
ter Stelle kein k und das mit einem
gibt es?
n aufhört. Das gesuchte Wort hat 6
Buchstaben. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
8. a) An einem Fest nehmen 43 Leute
b) An einer Party nehmen 36 Leute
Teil. Wie oft werden Hände ge-
Teil. Alle stossen miteinander an.
schüttelt, wenn alle sich gegenseitig
Wie oft hört man die Gläser klin-
begrüssen?
gen?
b) In einer Fabrik werden aus 3 Sor-
9. a) Ein Computer stellt ein binäres
Wort (Alphabet; 0,1) der Länge
ten Bonbons Ketten zu je vier
8 Bit zur Verfügung, um einen Farb-
Bonbons gemacht. Wie viele ver-
ton zu codieren. Wie viele ver-
schiedene Möglichkeiten gibt es,
schiedene Farbtöne kann der Com-
die Ketten zu gestalten?
puter darstellen?
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Leittext: Kombinatorik
10. a) Du möchtest 3 Kugeln Glace be-
b) Aus 13 verschiedenen Früchten
stellen. Es hat 12 verschiedene
sollte ein Früchtekorb mit
Sorten zur Auswahl. Wie viele Mög-
9 Früchten darin zusammengestellt
lichkeiten hast du (die Reihenfolge,
werden. Wie viele Möglichkeiten
in welcher du bestellst, spielt keine
gibt es, wenn jede Frucht mehr-
Rolle)?
mals vorkommen darf?
11. a) In einem Restaurant hat es noch
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es ein
zwei Stücke Schokoladentorte und
Memory-Spiel mit 15 Pärchen in
ein Stück Zitronenkuchen. Drei
einer Reihe auf den Tisch zu le-
Personen möchten ein Stück Ku-
gen?
chen. Wie viele Möglichkeiten gibt
es, die Kuchen zu verteilen?
12. a) Bei einer Schule stehen vier Fah-
b) In einem Haus mit 5 Zimmern soll
nenmasten (an jeder Seite des
jedes Zimmer mit einer anderen
Hauses eine). Wie viele Möglichkei-
Farbe ausgemalt werden. Es ste-
ten hat die Schule, ihre 25 ver-
hen 31 verschiedene Farben zur
schiedenen Fahnen aufzuhängen?
Auswahl. Wie viele Möglichkeiten
gibt es?
13. a) In einem Auto fahren 4 Leute mit
b) 12 Leute haben für ein Konzert die
Führerschein. Auf wie viele Arten
erste Reihe reserviert, welche ge-
können sie sich im Auto verteilen
nau aus 12 Plätzen besteht. Wie
(zwei sitzen vorne, zwei hinten)?
viele mögliche Platzverteilungen
gibt es?
b) Wie viele sechsstellige Zahlen gibt
14. a) Die Blindenschrift besteht aus
6 Positionen, an denen sich entwe-
es, die nur aus ungeraden Ziffern
der ein erhobener oder eingedrück-
bestehen?
ter Punkt befindet. Wie viele verschiedene Zeichen können dargestellt werden?
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7. Lösungen
7.1 Lösungen zu den Aufgaben im Theorieteil
7.1.1 Lösungen zu Kapitel 1.3
Aufgabe 1
5∗3∗10 = 150
Du kannst 150 verschiedene Kombinationen einkaufen.
Aufgabe 2
2∗1∗4∗3∗2∗1= 48
Es gib 48 verschiedene Einlaufsmöglichkeiten. (Der erste Platz wird von einem der
beiden Favoriten belegt. Für den zweiten kommt nur noch derjenige der Favoriten,
welcher den ersten Platz nicht erreicht hat, in Frage. Auf den dritten Platz hat wieder
jedes der vier langsameren Pferde eine Chance, auf den vierten noch die drei langsameren, welchen es nicht auf den dritten gereicht hat usw.)
7.1.2 Lösungen zu Kapitel 2.4
Aufgabe 1
P20 = 20! = 2,432902008∗1018
Es gibt 2,432902008∗1018 mögliche Sitzordnungen.
Aufgabe 2
4!
= 12
2!
Es gibt 12 verschiedene Postleitzahlen.
2
P4 =
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7.1.3 Lösungen zu Kapitel 3.4
Aufgabe 1
21!
= 7980
( 21 − 3)!
Es gibt 7'980 Kombinationen für die Besetzung der Ämtchen.
Vow =
Aufgabe 2
Vmw = 265 = 11881
' '376
Es gibt 11'881'376 verschiedene Wörter.
7.1.4 Lösungen zu Kapitel 4.4
Aufgabe 1
18!
18!
=
= 18'564
6!(18 − 6)! 6!⋅ 12 !
Es gibt 18'564 mögliche Mannschaften.
Kow =
Aufgabe 2
(20 + 2 − 1)!
21!
=
= 210
2!(20 − 1)! 2!⋅19!
Es gibt 210 verschiedene Kärtchenkombinationen.
K mw =
7.2 Lösungen der gemischten Aufgaben (Kap. 4)
1. Kmw (Kap. 4.3)
a) n=7; k=4:
=210
b) n=32; k=20: =7,7535∗1013
2. Pn (Kap. 2.2)
a) P7
=5'040
b) P6
3. Pr.R. (Kap. 1)
a) 1∗1∗1∗10∗10∗10∗10=10'000
b) 2∗26∗26∗26∗4=140'608
a)
b)
4.
N1…nkPn
(Kap. 2.3)
2,2,2P10
=453'600
2,3P5
=720
=10
5. Vow (Kap. 3.3)
a) n=12; k=3: =1'320
b) n=20; k=3:
=6'840
6. Kow (Kap. 4.2)
a) n=49; k=6: =13'983'816
b) n=10; k=4:
=210
7. Pr.R. (Kap. 1)
a) 6∗5∗4∗3=360
b) 3∗25∗26∗26∗26∗1=1'318'200
8. Kow (Kap.4.2)
a) n=43; k=2: =903
b) n=36; k=2:
=630
9. Vmw (Kap. 3.1)
a) n=2; k=8:
b) n=3; k=4:
=81
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=256
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10. Kmw (Kap. 4.3)
11.
N1…nkPn (Kap.
2.3)
a) n=12; k=3: =364
b) n=13; k=9:
a)
b) n1-nk=2; n=30 =8,09487∗∗1027
2P3
=3
=293'930
12. Vow (Kap. 3.3)
a) n=25; k=4: =303'600
b) n=31; k=5:
=20'389'320
13. Pn (Kap. 2.2)
a) P4
=24
b) P12
=479'001'600
14. Vmw (Kap. 3.1)
a) n=2; k=6:
=64
b) n=5; k=6:
=1'5625
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