Aufgabe 1

SS 2012, Lineare Algebra 1
Lösungen zum 8. Aufgabenblatt
Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder
Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar. Insgesamt -- Wörter
Aufgaben Nr.
Ü1
Ü2
Ü3
Ü4
Erreichte Punkte:
Aufgabe 3 und 4 sind beide sehr leicht. Ich werde sie am Abend erst abtippen, denn es ist
Sonntagmorgen (4.00 Uhr) und ich bin seit gestern wach. Tippfehler und Layout werden
dann ebenfalls aufgebessert.
Übersicht:
Aufgabe 1: Spatprodukt, Ebenengleichung
Aufgabe 2: Basistransformation, affine Unterräume
Aufgabe 3: Determinanten
Aufgabe 4: Äquivalenzrelationen
FU Berlin - SS 2012: Lineare Algebra 1
Lösungen zum 8. Aufgabenblatt
Vorbemerkungen, Ergänzungen:
Definition: [Kreuzprodukt]
Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt)
im
definiert.
von zwei Vektoren
Eigenschaften:
(i)
Es gilt
sind.
genau dann, wenn
und
linear abhängig
(ii)
(iii)
steht senkrecht auf und .
Die Länge von
ist gleich dem Flächeninhalt des von
und aufgespannten Parallelogramms, also
(iv)
Die Vektoren
Rechtssystem.
bilden in dieser Reihenfolge ein
Definition: [Spatprodukt]
. Weil
ein Vektor ist, kann man dessen
Seien
Skalarprodukt mit einem dritten Vektor betrachten. Man erhält so das
Spatprodukt
. Hierbei handelt es sich um eine Determinante:
Wir können dabei in die obere oder die untere Zeile schreiben --- die
Determinanten sind gleich, weil ____ Vertauschungen nötig sind, um von
der einen zur anderen zu gelangen. Wichtig ist die Betrachtung, wann die
Determinante gleich Null ist.
! die Vektoren
liegen in derselben Ebene
Begründung:
1. Die Determinante steht für das Volumen, welches Null sein muss,
wenn der durch
und aufgespannte Kasten sich in Ebene
befindet.
2.
steht senkrecht auf der Ebene, sodass das Skalarprodukt mit
ergibt.
3. Die Vektoren in einer Ebene sind notwendigerweise linear
abhängig. Die Matrix ist also singulär, und die Determinante ist
Null.
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Aufgabe 1:
Für " #
$
$
seien die Vektoren
gegeben.
$
"
$
%
$
"
1. Wir haben das Volumen des Parallelotops (Spat) zu berechnen, das
von den drei Vektoren aufgespannt wird.
Spatprodukt = Determinante = Volumen
Wir berechnen zuerst
. Dabei steht für das
Kreuzprodukt und für das Skalarprodukt.
"
"
%
$
$
%" ) "*
& '(
& ' $
"
"
"
"
$
$
" %)"
Nun überprüfen wir mit der Determinante:
$
$
Sei +
$ "
$
% $ "
$
$ $
$ "
$ $ " = "* $ ) $ %" "* %" " % ) "
% $ " % $
$
$
, -./+
$ "
$ 0 " %)"
% $ " 123345
Damit resultiert " % ) " als Spat.
2. Wir verwenden:
! die Vektoren
7
liegen in derselben Ebene
" % ) " 6 ! einer der Faktoren ist 0. !
"
8-.9 % ) "
!" %
Daraus folgt also: Für " % und "
liegen die Vektoren auf
einer Ebene.
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Nun haben wir zu untersuchen, für welchen Wert von " die Vektoren
auf einer Geraden liegen. Dazu parametrisieren wir mit zwei
Vektoren eine Geradengleichung und machen die Punktprobe, um zu
überprüfen, ob der dritte Vektor ebenfalls auf dieser Ebene liegt.
als Stützvektor und :
$
$
:
"
$
$
Es resultiert die Geradengleichung mit <
$
=>& '
)<
$
Wir wählen
Punktprobe:
%
$
"
$
$
;
"
;
)<
:
;
"
;
als Richtungsvektor.
;
"
;
?
Und (*) liefert das folgende Gleichungssystem:
%
"
$
$
$
Umgeschrieben steht da mit < @ :
1) ;
2) "
3) $
A
;<
<"
;<
;<
" ) ;<
Aus Gleichung 1 erhalten wir, dass <
$. Dies setzen wir nun in
2 und 3 ein. Damit erhalten wir dann:
1) "
$
2) $ " ; ! " %
Punkt auf der aufgestellten Geradengleichung liegt. Demnach
existiert kein ", sodass die Vektoren auf einer Geraden liegen.
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3. Wir parametrisieren zuerst die Ebenengleichung und setzen dann
" %.
;
$
;
B>
)< " )
$
" $
$
;
$
;
;
B>
)< % )
$
$
;
;
Einen Normalenvektor der beiden Richtungsvektor erhalten wir
durch bilden des Kreuzprodukts:
C);
E
;
;
D)D
%
$
; C
E
;
;
$
$
,F
, EF
E
$
$
$
, nun können wir eine
Ein Normalenvektor lautet demnach
$
Normale G > F
:
aufstellen, die den Punkt : H
$ % D enthält.
)$
$
$
F
:
I& '
%
% J
D
$
$
D
$)
D
)
K
Die Normale ist also durch die Gleichung G >
)
K
gegeben.
$
Aufgabe 2:
1. Die Matrix der Abbildung L in der Monombasis lautet:
(Für den Spezialfall: F D)
$
;
O
R
% Q
H N
D
M
P
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Für ein allgemeines F steht dann da die Matrix:
$ U
V T W
ST T U
F
Warum ist das so?
Die Funktionen sind Vektoren zur Monombasis XY Z$
* [ Y \.
Die Vektoren enthalten dabei nur die Koeffizienten der Polynome.
Nehmen wir zum Beispiel den Vektor $ ] ^ D
[ , dann
ist die Ableitung eine lineare Abbildung in diesem Vektorraum,
welche auch durch eine Matrix darstellbar ist. Wir suchen also eine
Matrix, welche aus der Funktion L
D _ ^ *)]
$ die
Funktion L `
$;
$D ) ] macht, d. h. die Matrix macht aus
dem Vektor $ ] ^ D
[
den Vektor ] ;
^ % DD
K
[ F
] $D $; .
2. Das System anzugeben, ist sehr leicht, denn wir brauchen bloß
unsere gegeben Bedingungen zu verwenden. Dann erhalten wir mit
dem Fréchet - Differential a`
: ) ;: :
:b ) : ) :
$
:b ) ;: ) D:
;K
: ) $ %:
$
Damit haben wir unser LGS. Eine Lösung war aufgrund der
Aufgabenstellung nicht erforderlich.