Termine und Aufgaben

BERUFSAKADEMIE SACHSEN
Staatliche Studienakademie Leipzig
Prof. Dr. Ingolf Brunner
Studienrichtung Informatik
Brückenkurs Mathematik
12. - 15. September 2011
Sie möchten Informatik studieren? Dann ist Mathematik für Sie ein Grundlagenfach mit großem
Gewicht. Fundierte mathematische Kenntnisse sind in den meisten Fächern Ihres Studiums
erforderlich.
Leider besteht häufig eine Diskrepanz zwischen mitgebrachtem Schulwissen in Mathematik und
den Anforderungen, die an Studienanfänger der Informatik von Beginn an gestellt werden müssen.
Vielleicht wollen Sie Ihr Wissen noch einmal auffrischen und die eine oder andere Wissenslücke
rechtzeitig vor Studienbeginn schließen? Dann sollten Sie am Brückenkurs teilnehmen.
Um Ihre Chancen für einen Studienerfolg von Anfang an zu erhöhen, bieten wir Ihnen einen
Brückenkurs an. Dabei wird der erlernte Schulstoff studienfachbezogen aufgefrischt und ergänzt.
Ihr Job beginnt nicht erst nach dem Studium,
das Studium nicht erst mit der Immatrikulation
sondern jetzt!
Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik
Brückenkurs Mathematik
12. - 15. September 2011
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Inhaltsverzeichnis
Einführung............................................................................................................................................3
Ziel des Brückenkurses....................................................................................................................3
Gliederung des Brückenkurses........................................................................................................3
Aufgaben für die Teilnehmer...........................................................................................................3
Zeitlicher Ablauf..............................................................................................................................4
Literatur............................................................................................................................................4
Teil I: Aufgaben zum Rechnen mit reellen Zahlen und Lösen von Bestimmungsgleichungen...........5
Teil II: Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung....................................................................8
Teil III: Aufgaben zur Vektorrechnung..............................................................................................11
Teil IV: Aufgaben zu Komplexen Zahlen..........................................................................................13
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Brückenkurs Mathematik
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Einführung
Ziel des Brückenkurses
Die Ihnen im Brückenkurs angebotenen Lektionen sollen helfen, eventuelle Lücken im
Selbststudium zu schließen. Für die Klärung offener Fragen und die exemplarische Behandlung
einzelner Themen werden Seminarveranstaltungen in den Räumen der Staatlichen Studienakademie
Leipzig angeboten.
Damit Sie nicht allein mit trockenen Zahlen operieren, wurden viele Aufgaben mit physikalischem
Hintergrund gewählt. Und falls Sie als angehende Studenten der Informatik fragen, wozu denn
beispielsweise das Snelliussche Brechungsgesetz (Teil II, Aufgabe 6.) für Sie nützlich sein könnte:
Zur Datenübertragung benutzte Lichtwellenleiter beruhen meist auf dem Prinzip der Totalreflexion,
welches sich aus dem Brechungsgesetz ableiten lässt.
Die Teilnahme am Brückenkurs ist freiwillig. Wer nicht teilnehmen kann oder möchte sollte sich
unbedingt eingehend mit den Aufgaben beschäftigen. Auch die Teilnehmer des Brückenkurses
müssen sich intensiv vorbereiten - ohne Vorbereitung ist es vertane Zeit!
Uns ist natürlich klar, dass Sie nicht für jede Aufgabe sofort die richtige und eleganteste Lösung
finden werden. Vergessen Sie dabei nicht: Ein Ziel des Kurses ist auch die Ergänzung Ihres
Schulwissens. Also bitte nicht in Panik verfallen, wenn Sie mit den Aufgaben nicht auf Anhieb
zurechtkommen – das ist auch anderen schon passiert. Es ist völlig normal, wenn Sie ein paar Tage
zur Lösung der Aufgaben benötigen.
Gliederung des Brückenkurses
Im Verlauf des Brückenkurses werden folgende Themen behandelt:
Teil I.1:
Teil I.2:
Aufgaben zum Rechnen mit reellen Zahlen
(Einführung/Übungen)
Aufgaben zum Lösen von Bestimmungsgleichungen
(Einführung/Übungen)
Teil II:
Differential- und Integralrechnung (Einführung/Übungen)
Teil III:
Vektorrechnung (Einführung/Übungen)
Teil IV:
Komplexe Zahlen (Einführung/Übungen)
Die Teile III und IV sind für viele der Teilnehmer wahrscheinlich Ergänzungen zum Schulstoff. Zu
den Teilen I, II, III und IV wird im Brückenkurs eine Einführungsveranstaltung gehalten.
Anschließend werden die Aufgaben gemeinsam durchgerechnet (soweit zeitlich möglich).
Aufgaben für die Teilnehmer
Die folgenden Teile erarbeiten Sie bitte bis zum Beginn des Brückenkurses im Selbststudium:
– Lösung der Aufgaben zu Teil I
– Lösung der Aufgaben zu Teil II (soweit als möglich)
– Lösung von Teil III, Aufgabe 6. mittels Ihnen bekannter Methoden (falls Sie noch
keine Vektorrechnung kennen)
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Wir ermuntern Sie ausdrücklich, sich auch die restlichen Aufgaben im Vorfeld anzusehen. Weitere
Aufgabenstellungen können Sie bei Bedarf der Literatur entnehmen.
Zeitlicher Ablauf
12. September 2011: 08:00 Uhr – 09:30 Uhr
10:00 Uhr – 11:30 Uhr
12:00 Uhr – 13:30 Uhr
14:00 Uhr – 15:30 Uhr
Einführungsveranstaltung zu Teil I.1
Übungen zu Teil I.1
Einführungsveranstaltung zu Teil I.2
Übungen zu Teil I.2
13. September 2011: 08:00 Uhr – 09:30 Uhr
10:00 Uhr – 11:30 Uhr
12:00 Uhr – 13:30 Uhr
Einführungsveranstaltung zu Teil II
Übungen zu Teil II
Übungen zu Teil II
14. September 2011: 08:00 Uhr – 09:30 Uhr
10:00 Uhr – 11:30 Uhr
12:00 Uhr – 13:30 Uhr
Einführungsveranstaltung zu Teil III
Übungen zu Teil III
Übungen zu Teil III
15. September 2011: 08:00 Uhr – 09:30 Uhr
10:00 Uhr – 11:30 Uhr
12:00 Uhr – 13:30 Uhr
Einführungsveranstaltung zu Teil IV
Übungen zu Teil IV
Übungen zu Teil IV
Die Räume werden per Aushang im Eingangsbereich bekanntgegeben. Bei Hunger oder Durst
können Sie in den Pausen unsere Mensa nutzen.
Literatur
Gerald Hofmann: Ingenieurmathematik für Studienanfänger. B. G. Teubner 2003. ISBN:
3-519-00440-2
Peter Stingl: Einstieg in die Mathematik für Fachhochschulen. C. Hanser 2002. ISBN:
3-446-21950-1
Karl Bosch: Brückenkurs Mathematik. R. Oldenbourg 2000. ISBN: 3-486-25390-5
Diese Bücher sind in unserer Bibliothek vorhanden. Den Online-Katalog finden Sie unter der URL
http://opac.ba-leipzig.de . Natürlich können Sie die Bibliothek auch jetzt schon nutzen, allerdings
stehen einige Bücher nur zur Nutzung im Lesesaal zur Verfügung.
Danksagung
Die Aufgaben in diesem Brückenkurs habe ich nicht alle selbst erfunden. Viele Aufgaben zum Teil I wurden dem Buch
„Ingenieurmathematik für Studienanfänger“ von Gerald Hofmann entnommen, dessen Lektüre ich allen
Studienanfängern empfehle.
Viele Aufgaben zu den Teilen II, III und IV entstammen dem Brückenkurs, durch denn ich mich bei Studienbeginn im
Jahr 1987 selbst mit viel Schweiß gearbeitet habe. Leider habe ich keine Notizen zu den Namen der Betreuer dieses
Kurses, meine mich aber an Dr. B. Staudte, Dr. M. Staudte und Dr. B. Lippold zu erinnern.
Herr L. Aschmann hat freundlicherweise intensiv bei der Korrektur der Unterlagen zum Brückenkurs mitgewirkt und
einen Teil der Seminare übernommen. Die Veranstaltungen zum Teil I übernehmen meine Kollegen Frau Dr. Schneider
und Herr Dr. Heller.
Allen danke ich herzlich.
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Teil I: Aufgaben zum Rechnen mit reellen Zahlen und Lösen von
Bestimmungsgleichungen
1. Aufgabe:
Wandeln Sie in Dezimalzahlen um:
3
4
3
1
b)
c)
d)
a)
5
7
8
17
e)
13
11
2. Aufgabe:
Wandeln Sie die periodischen Dezimalzahlen in Brüche um:
a) 0,33 b) 2, 171 c) 0, 2
3. Aufgabe:
Berechnen Sie:
[ 43,2⋅3−2⋅35,3]⋅10
4. Aufgabe:
Berechnen Sie:
a) 2x−52
b) 2x3y2
c)  x−2y 2
5. Aufgabe:
Lösen Sie die Klammern auf (d.h., beseitigen Sie alle Klammern):
a) 3a5b⋅4a −5a−4b⋅3b−2b−6a⋅4a 3a−2b⋅2b
b) 5x [ 3y−5x2y ] −4y [ 5x−3y−7x3x−9y  x2y ]
6. Aufgabe:
Zerlegen Sie folgende Ausdrücke in Faktoren:
1
a) x 4− 2
b) ax3ay−bx−3by c) 1− xx 2− x 3x 4− x 5
z
7. Aufgabe:
Berechnen Sie ohne Hilfsmittel:
41 37
−
6 12
7 17
−
⋅15
16 48


8. Aufgabe:
Vereinfachen Sie:
a b
−
b a
a b

b a
9. Aufgabe:
Addieren bzw. subtrahieren Sie:
5
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a)
1
1

mn m−n
6
3 x 2−3xy 6 y 26xy
−
x y
x− y
b)
10. Aufgabe:
Vereinfachen Sie und geben Sie Existenzbedingungen für die auftretenden Terme an:
a1
−1
a−1
a1
1
a−1
11. Aufgabe:
Führen Sie die Polynomdivision aus:
a)  x 3−6 x 2 9x−4 ÷  x1
b) 24 x 4 −26 x 3−76 x 2 −32 x ÷ 4 x 2−7 x−8
12. Aufgabe:
Lösen Sie nach x auf:
a)  x32 =  x9 x1
a−b ab

= 0
a x a− x
b)
13. Aufgabe:
Lösen Sie die folgende Gleichung nach R auf:
1
1
1
=

R
R 1 R2
14. Aufgabe:
Vereinfachen Sie:
4
a)
 122  ⋅ 8 4
6
 44 
3
b)

4a−2 x
3a 5 x−3

2
−2
÷
 3a 4 x 2 
−2
 2ax−3 
15. Aufgabe:
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
a)

x x 3 y3
⋅ ⋅
y y x
 x ⋅ x
 x ⋅ x
6
b)
3
5 3
2 6
4
 x ⋅ x
3 9
2
÷
7
9 x 7⋅ x
16. Aufgabe:
Die Nenner der folgende Brüche sind rational zu machen, d.h., die Wurzeln im Nenner sollen
durch geeignete Umformungen beseitigt werden.
1
12  3
a)
b)
1 3
2
17. Aufgabe:
Zerlegen Sie unter Anwendung der Logarithmengesetze! Für welche Werte der Variablen (im
Reellen) sind die Terme definiert?
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a)

7
−2
ab

b) ln 3 −3
c d
1x
lg
1−x
18. Aufgabe:
Berechnen Sie ohne Hilfmittel:
a)
x = 2⋅10
2 lg 2
 10
3
b)
x =
1
lg 2lg 32
2
19. Aufgabe:
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen:
a)
2
x −2x−35 = 0
b)
ax =
1 1

x a
20. Aufgabe:
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen:
x 4 −10 x 29 = 0
21. Aufgabe:
Lösen Sie die Wurzelgleichungen:
4 2
a)  x 3−  x1 = 0 b) 13 =
 x11 x24
22. Aufgabe:
Zeigen Sie, daß die folgende Wurzelgleichung keine reellen Lösungen haben können, ohne
die Gleichung zu lösen:
 1− x x−1 = 1
23. Aufgabe:
Für welche reellen x sind die folgenden Gleichungen erfüllt?
a) 53x −5 = 252x1 b) 3 3x−1 27 x1=82
24. Aufgabe:
Lösen Sie:
a) log 4 x−log4  x−2 = 2
25. Aufgabe:
Vereinfachen Sie:
2
cos x⋅ 1tan x
26. Aufgabe:
Geben Sie alle Lösungen an:
a) 4 sin2 x3 cos x = 4,5
b) cot x = 2 sin x
b) log 5 xlog5 2x−1 = log 5  x4
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Teil II: Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung
1. Aufgabe:
Bilden Sie die ersten Ableitungen folgender Ausdrücke:
2
abx
x −1
2
a) y =
b) y=arcsin  2  c) y = 1x
cdx
x
2. Aufgabe:
Berechnen Sie die unbestimmten Integrale:
a)
∫ x sin x dx
b)
∫ ln x dx
c)
∫
1
 8−x 2
dx
3. Aufgabe:
Berechnen Sie die bestimmten Integrale:

2
a)
∫ axb cos x dx
0

b)
∫e
0
10
x
cos x dx
c)
∫ 2 x dx
0
4. Aufgabe:
 y y  x 1 − y  x
=
an der
x
x1 −x
Stelle x1=3. Dabei soll x die Werte 0; 1; 2; 2,9; 2,99; annehmen.
Zeigen Sie graphisch und arithmetisch, welchem Wert der Differenzenquotient zustrebt, wenn
 x= x1− x gegen Null strebt.
Bilden Sie von der Funktion y=x2 den Differenzenquotienten
5. Aufgabe:
In ein Dreieck (b=10, h=6) ist ein Rechteck eingeschrieben.
a) Es ist die Fläche A dieses Rechtecks als Funktion von x auszudrücken.
b) Bestimmen Sie den maximalen Wert von A.
6. Aufgabe:
Die x-Achse bedeutet die Grenze zweier Medien; in dem einen ist die Lichtquelle P(a,b). Ein
Lichtstrahl, der sich in dem einen Medium (y>0) mit der Geschwindigkeit c1 und in dem
anderen Medium (y<0) mit c2 fortbewegt, durchläuft die Strecke PAQ in kürzester Zeit
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(Fermatsches Prinzip).
Berechnen Sie das Verhältnis
sin 
.
sin 
7. Aufgabe:
Die Gleichung für den Ausschlag einer gedämpften Schwingung sei s=2 e−0,3 t sin3t ,
wobei t die Variable (Zeit) ist.
ds
Stellen Sie den Ausschlag s und die Geschwindigkeit v=
im Zeitbereich von t=0 bis
dt
t=5 grafisch dar und untersuchen Sie die Lage der Maxima und Minima.
8. Aufgabe:
Das von der Parabel y=x 2 , der x-Achse und der Geraden x=10 begrenzte Flächenstück ist
durch eine Senkrechte zur x-Achse
a) zu halbieren,
b) im Verhältnis m:n zu teilen.
Welche Gleichung hat die Senkrechte?
9. Aufgabe:
Es ist die Masse eines Stabes der Länge l=1 m zu bestimmen, wenn die lineare Dichte des
Stabes mit der Entfernung x von einem Ende des Stabes gegeben ist durch
kg
 x=0,2x 2
.
m
[ ]
10. Aufgabe:
Es ist die Wärmemenge Q zu berechnen, die durch einen Wechselstrom
t
I =I 0 sin 2  − während einer Periode T in einem Leiter mit dem Ohmschen
T
Widerstand R entsteht.
11. Aufgabe:
Die Arbeit dA, die von einem Gas geleistet wird, wenn es von dem Volumen V1 bei konstanter
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 
R⋅T
dV , wobei R
V
die universelle Gaskonstante ist. Berechnen Sie die vom Gas geleistete Arbeit beim Übergang
vom Volumen V1 zum Volumen V2 und diskutieren Sie das Ergebnis für V1>V2 sowie für
V1<V2.
Temperatur T auf das Volumen V1+dV gebracht wird, ist gleich dA=−
12. Aufgabe:
Ein Körper fällt im freien Fall aus der Höhe s0=10 m auf den Erdboden. Welche
Geschwindigkeit besitzt der Körper zum Zeitpunkt des Aufschlages, wenn er in der Höhe s0
ruhte?
Nach welcher Zeit, gemessen vom Zeitpunkt t0 des Loslassens des Körpers, schlägt er auf dem
m
Erdboden auf? Für g ist der Wert 10 2 zu verwenden.
s
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Teil III: Aufgaben zur Vektorrechnung
1. Aufgabe:
Gegeben sind die Vektoren:

A=1, 2, 3

B=−1,1, 2
Bestimmen Sie die Vektoren:

A 
B , A− 
B , 3
A2 
B ,

 ,
A⋅B
A× B
 ,
 × A
B
2. Aufgabe:
Ein Flugzeug fliegt relativ zur Erdoberfläche mit einer Geschwindigkeit von 800 km/h genau
nach Osten. Es weht ein Wind mit 50 km/h von Nord nach Süd. Mit welcher Geschwindigkeit
und in welcher Richtung würde das Flugzeug fliegen, wenn der Wind plötzlich aufhört?
3. Aufgabe:
Ein Schwimmer schwimmt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s genau rechtwinklig zur
Strömung über einen 40 m breiten Fluss. Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses betrage
konstant 2 m/s.
a) Geben Sie den Vektor der Geschwindigkeit des Schwimmers bezogen auf das Ufer an.
b) Kann der Schwimmer das andere Ufer erreichen? Wenn ja, wie viel Zeit benötigt er dafür?
4. Aufgabe:
Ein Wagen der Masse m = 1000 kg bewegt sich entgegen dem Uhrzeigersinn längs einer
kreisförmigen Rennstrecke vom Radius R = 5 km mit einer konstanten Geschwindigkeit
v = 81 m/s. Man geben den Vektor der Bahngeschwindigkeit v und den der
 im Punkt P(4 km, 3 km) auf der Bahn an. Der Mittelpunkt des Kreises
Zentrifugalkraft F
liegt im Koordinatenursprung.
5. Aufgabe:
Bilden Sie die zu den folgenden Vektoren gehörenden Einheitsvektoren!
11 −2 2
a) 
A=
,
,
15 3 15
4 −8 1
b) 
B= ,
,
3 3 3




6. Aufgabe:
Welchen Winkel bildet der Vektor

A= 1, 2  2,−3 

B= 1, 2, 0 
 = −2,−1, 5 
C
=
 mit den Koordinatenachsen? Gegeben ist:
D
A 
B C
7. Aufgabe:
Die drei Punkte A(2, 1, 5), B(5, 2, 8) und C(4,8,2) bilden ein Dreieck. Es ist mittels der
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Vektorrechnung die Fläche dieses Dreiecks zu ermitteln.
8. Aufgabe:
Die acht Punkte A(1, 2, 3), B(5, 1, 4), C(6, 4, 4), D(2, 5, 3), E(2, 2, 6), F(6, 1, 7), G(7, 4, 7)
und H(3,5,6) bilden ein Parallelepiped. Es ist mittels der Vektorrechnung das Volumen dieses
Parallelepipeds zu ermitteln.
9. Aufgabe:
Bestimmen Sie die Komponenten des Einheitsvektors 
n , der zu den Vektoren

B jeweils senkrecht (orthogonal) ist. Es sei:

A=2,−3,1
 =6, 1,−2
B

A und
10. Aufgabe:
 =Q v × B
  definiert.
B wird durch die Lorentzbeziehung F
Die magnetische Induktion 
 ist die Kraft, die auf die Ladung Q wirkt, wenn sich diese mit der Geschwindigkeit v
F
B bewegt. Berechnen Sie 
B aus den Ergebnissen der
in der magnetischen Induktion 
drei Experimente:
v1=1, 0,0 und F1=Q 0,−4, 2
v2 =0, 1, 0 und F2 =Q 4,0,−1
v3=0, 0,1 und F 3=Q −2, 1, 0
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Teil IV: Aufgaben zu Komplexen Zahlen
1. Aufgabe:
Berechnen Sie:
i)
Z = Z 1Z 2 (Addition)
ii) Z = Z 1−Z 2 (Subtraktion)
iii) Z = Z 1⋅Z 2 (Multiplikation)
iv) Z = Z 1÷Z 2 (Division)
für folgende Zahlen:
a) Z 1 = 22i
Z2 =
1 3i
b) Z 1 = 1 3i
Z 2 = 1− 3i
c) Z 1 =  3i
Z 2 = −1−i
Hinweis: Die Berechnung der Division ist in der Polarform einfacher.
2. Aufgabe:
Bestimmen Sie die Lösungen und stellen sie diese in der komplexen Ebene dar:
1 2
a) 5 x 2 20 x−60=0
b)
x −2 x4=0
2
3. Aufgabe:
Berechnen Sie ZZ * und Z⋅Z * für folgende Zahlen:
a) 25i
b) 5−3i
c) abi
Diskutieren Sie die Ergebnisse!
4. Aufgabe:
Berechnen Sie folgende Quotienten und vergleichen Sie die Ergebnisse:
23i
2−3i
a)
b)
1−i
1i
5. Aufgabe:
Vergleichen Sie e i  und e i i 2  k für k ∈ℤ .
6. Aufgabe:
Berechnen Sie:
a) 43i3
b)
 43i
c) ln 43i
7. Aufgabe:
Leiten Sie das Additionstheorem für sin− her!
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8. Aufgabe:
Berechnen Sie und stellen Sie das Ergebnis in der komplexen Ebene dar:
9. Aufgabe:
Stellen Sie die beiden Zahlen
Sie diese für A=6−3 i .
14
6
 −1 .
A bzw. A⋅i in der komplexen Ebene dar und vergleichen