§3.5 Extremwertprobleme

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Dr. Gabriele Link
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§3.5 Extremwertprobleme
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Extrema
Sei D ⊆ Rn , und f : D → R, (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , x2 , . . . , xn ),
eine reellwertige Funktion von n Veränderlichen.
Definition
Die Funktion f hat ein lokales Maximum an der Stelle x̂ ∈ D, falls
x̂ eine offene Umgebung W ⊆ D besitzt sodass
f (x̂) ≥ f (x)
für alle
x ∈ W.
Gilt sogar f (x̂) ≥ f (x) für alle x ∈ D, so spricht man von einem
(globalen) Maximum. f hat ein lokales bzw. globales Minimum an
der Stelle x̂ ∈ D, falls −f dort ein lokales bzw. globales Maximum
besitzt. Ein lokales Extremum ist ein lokales Maximum/Minimum.
Satz 5.2
Ist D ⊆ Rn kompakt, und f : D → R stetig, so besitzt f ein
Maximum und ein Minimum.
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Kritische Punkte
Definition
Ist D ⊂ Rn offen und f : D → R partiell differenzierbar, so heißt
x ∈ D kritischer Punkt von f , falls
∂f
(x) = 0
∂xi
gilt für i = 1, 2, . . . , n.
Satz
Hat eine partiell differenzierbare Funktion f : D → R, D ⊂ Rn
offen, ein lokales Extremum an der Stelle x ∈ D, so ist x eine
kritische Stelle.
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Kritische Punkte im Spezialfall n = 2
Satz
Sei D ⊆ R2 offen, und f : D → R eine zweimal partiell
differenzierbare Funktion mit Hessematrix
fx1 x1 (x) fx1 x2 (x)
Hf (x) =
, x ∈ D.
fx2 x1 (x) fx2 x2 (x)
Für einen kritischen Punkt x ∈ D gilt:
1
Ist det Hf (x) > 0, so hat f in x ein lokales Extremum. Dieses
ist ein lokales Minimum, falls fx1 x1 (x) > 0, ein lokales
Maximum, falls fx1 x1 (x) < 0.
2
Ist det Hf (x) < 0, so hat f in x einen Sattelpunkt.
3
Für det Hf (x) = 0 ist keine allgemeine Aussage möglich.
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Extrema unter Nebenbedingungen
Seien D ⊆ Rn offen, und f , g1 , g2 , . . . gk : D → R stetig partiell
differenzierbare Funktionen.
Satz (Lagrangesche Multiplikatorenregel)
Ist x ∈ D ein lokales Extremum von f unter den Nebenbedingungen
g1 (x) = g2 (x) = · · · = gk (x) = 0,
und sind außerdem die Vektoren
grad g1 (x), grad g2 (x), . . . , grad gk (x) ∈ Rn
linear unabhängig, so existieren Zahlen λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R mit
grad f (x) +
k
X
λi · grad gi (x) = o.
i=1
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